专题 7 反比例函数
1.反比例函数的三种形式是 、 、 (k≠0,k 是常数),其自变量的取值范围是 .
反比例函数的图象是 ，当k 时，双曲线的两个分支在第一、三象限，在 ，y随x的增大
而 ；当k 时，双曲线的两个分支在第二、四象限，在 ，y随x的增大而 .反比
例函数的图象是关于 对称的中心对称图形，又是 图形，其对称轴为 .双曲线与 x 轴、y
轴都没有 ，两个分支 坐标轴，但永远 坐标轴.
k
2.反比例函数的反比例系数|k|的几何意义：过反比例函数 y= (k≠0)的图象上任一点 P 作 、
x
k
的垂线 PM,PN,则所得的矩形 PMON 的面积为S= PM⋅PN=__________.∵y= ,∴xy=k,即S=
x
¯
.
实战演练
6
1.反比例函数 y= 的图象分别位于 ( )
x
A.第一、第三象限
B.第一、第四象限
C.第二、第三象限
D.第二、第四象限
4
2.点(1,y ),(2,y ),(3,y ),(4，y)在反比例函数 y= 图象上,则 y,y,y,y 中最小的是 ( )
1 2 3 4 x 1 2 3 4
A. y B. y
1 2
C. y D. y
3 4
6
3.已知点 A(x ,y),B(x ,y)在反比例函数 y= 的图象上，且 x₁<0<x，则下列结论一定正确的是 ( )
1 1 2 2 x 2
A.y₁+ y₂<0
B.y₁+ y₂>0
C.y₁<y₂
D.y₁>y₂
m
4.一次函数y= mx+n的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A、B，其中点 A、B的坐标为
x
( 1 )
A − ,−2m 、B(m,1),则△OAB的面积是 ( )
m
13
A.3 B.
4
7 15
C. D.
2 4k
5.一次函数 y₁=k₁x+b (k₁≠0)与反比例函数 y = 2 (k ≠0)的图象交于点 A(-1,-2),点 B(2,1).当.y<y 时，x
2 x 2 1 2
的取值范围是 ( )
A. x<-1
B.-1<x<0或x>2
C.0<x<2
D.0<x<2或x<-1
k
6.若点 A(a-1,y ),B(a+1,y )在反比例函数 y= (k<0)的图象上，且y>y,则a的取值范围是( )
1 2 x 1 2
A. a<-1
B.-1<a<1
C. a>1
D. a<-1或a>1
7.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p(Pa)是它的受力面积 S(m²)的反比例函数，其
函数图象如图所示.当S=0.25 m²时，该物体承受的压强p的值为 Pa.
6
8.已知反比例函数 y=− 的 图 象 经 过 点 (4, a),则 a 的 值为 .
x
2m−1 1
9.若A(1,y ),B(3,y )是反比例函数 y= (m< )图象上的两点，则y、y 的大小关系是 y y.(填
1 2 x 2 1 2 1 2
“>”、“=”或“<”)
m2+1
10.已知点A(a,y ),B(a+1,y )在反比例函数 y= (m是常数)的图象上，且. y₁<y₂,，则a 的取值范围
1 2 x
是 .
11.密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积 V(单位：m³)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m³)随之变化.
已知密度ρ与体积V 是反比例函数关系，它的图象如图所示.
(1)求密度ρ关于体积V 的函数解析式.
(2)当 V =10m³时，求该气体的密度ρ.k
12.设函数 y = 1,函数 y₂= k₂x+b(k₁,k₂,b是常数， k₁≠0,k₂≠0).
1 x
(1)若函数 y 和函数y₂ 的图象交于点 A(1,m),点 B(3,1),
1
①求函数 y , y₂ 的表达式;
1
②当2<x<3时,比较 y 与 y₂ 的大小(直接写出结果).
1
(2)若点 C(2,n)在函数 y 的图象上,点 C先向下平移2 个单位，再向左平移4个单位，得点 D，点D 恰好落
1
在函数y₂的图象上，求n的值.
k
13在直角坐标系中，设函数 y = 1 (k 是常数, k >0,x>0)与函数 y₂=k₂x(k₂是常数， k₂≠0)的图象交
1 x 1 1
于点 A，点A 关于 y轴的对称点为点 B.
(1)若点 B 的坐标为(-1,2),
①求 k , k₂的值;
1
②当y < y₂时，直接写出x的取值范围；
1
k
(2)若点 B 在函数 y = 3 (k 是常数，k₃≠0)的图象上,求 k₁+k₃的值.
3 x 3
k
14.如图,反比例函数 y= (k≠0,x⟩0)的图象与y=2x的图象相交于点C,过直线上点 A(a,8)作 AB⊥y轴交于点
x
B，交反比例函数图象于点 D,且AB=4BD.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求四边形OCDB 的面积.压轴预测
k
1.已知点 A(2,-3)关于x轴的对称点A'在反比例函数 y= 的图象上，则实数 k 的值为 ( )
x
1
A. -6 B.
6
1
C.6 D.−
6
k k k
2.如图，是三个反比例函数 y = 1,y = 2, y = 3 在y 轴右侧的图象，则 ( )
1 x 2 x 3 x
A.k₁>k₂>k₃ B.k₂>k₁>k₃
C.k₃>k₂>k₁ D.k₃>k₁>k₂
k
3.已知点A(x₁, y₁),B(x₁+1, y₂)都在反比例函数 y= (k<0)的图象上, ( )
x
A.若 −2<x₁<−1,则 y₁>y₂
B.若 −1<x₁<0,则 y₁<y₂
C.若( 0<x₁<1,则 y₁<y₂
D.若 1<x₁<2,则 y₁>y₂
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD四个顶点 的坐标分别为 A (-1,2),B(-1,-1),C(3,-1),D(3,2),当双曲线
k
y= (k⟩0)与矩形有四个交点时，k的取值范围是 ( )
x
A.0<k<2 B.1<k<4
C. k>1 D.0<k<1
k
5.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别落在双曲线 y= (k⟩0)第一和第三象限的两支上，连接AB，线
x
段 AB 恰好经过原点O,以 AB 为腰作等腰三角形 ABC,AB=AC,点 C 落在第四象限中,且 BC∥x轴.过点 C作
CD∥AB交x轴于 E 点,交双曲线第一象限一支于 D 点，若△ACD的面积为 4√5−4,则k= .k
6.将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线 y=3x+m，若反比例函数. y= 的图象与直线y=3x+m相
x
交于点A，且点 A 的纵坐标是3.
(1)求 m 和k 的值;
k
(2)结合图象求不等式 3x+m> 的解集.
x
1 k
7.如图，一次函数 y= x+b与反比例函数 y= (k<0)图象交于点 A(-4,m),B(-1,2),AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴
2 x
于点 D.
(1)填空:m= ,b= ,k= ;
(2)观察图象，直接写出在第二象限内x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)P 是线段AB 上一点,连接 PC,PD,若S =S ,求点 P 的坐标.
△PCA △PDB参考答案
k
1.y= y=kx−1xy=kx≠0 双曲线 >0 每一象限内 减小 <0每一象限内 增大 原点 轴对称直线 y=±x 交
x
点 无限接近于交不到
2. x轴 y轴|y|·|x|=| xy| |k|
6
1. A 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.因为反比例函数 y= 中k=6>0,所以其图象位于第一、第
x
三象限，故选 A.
4 4
2. D 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.由题意知 y =4,y =2,y = ,y =1.∵1< <2<4,最.小
1 2 3 3 4 3
的是 y₄,故选 D.
6
3. C 【解析】本题考查反比例函数的图象和性质.∵双曲线 y= 分别位于第一、三象限，且
x
x₁<0<x₂,∴y₁<y₂,故选C.
{−1+n=−2m,
4. D 【解析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积公式.由题知 m2+n=1, 解得
m≠0,
{m=2, 1 3
所以A(- ,-4),B(2,1),一次函数的解析式为y=2x-3,令y=0,得. x= ,所以一次函数与x轴的交点为(
n=−3, 2 2
(3 ) 1 1 3 15
C ,0 ,，所以△OAB的面积是 ×OC× (y −y )= × ×5= ,故选 D.
2 2 B A 2 2 4
5. D 【解析】本题考查一次函数与反比例函数的图象与性质.利用图象法求解，根据两点坐标求出函数解析
式并画出函数图象，从而确定当y₁<y₂时，x的取值范围是x<-1或0<x<2,故选 D.
6. B 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.∵k<0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，当点
A(a-1,y₁),B(a+1,y₂)在图象的同一支上时,∵y₁>y₂,∴a-1>a+1,此不等式无解;当点A(a-1,y₁),B(a+1，y₂)分别在图象的两支
上时，∵ y₁>y₂,∴a−1<0,a+1>0,解得 - 1<a<1,故选 B.
k
解答本题的关键是掌握当 k<0时，在 y= 图象的每一支上，y随x的增大而增大.
x
1000×0.1 100
7.400 【解析】本题考查反比例函数的实际应用.由题知， p= ,即 p= ,当 S=0.25 m²时，
S S
100
p= =
400(Pa).
0.25
3 6 6 3
8.− 【解析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征.将点(4,a)代入 y=− ,得 a=− =− .
2 x 4 2
1
9.< 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.∵m< ,∴2m−1<0,则反比例函数的图象经过第二、四象
2
限，∴点A，B在第四象限.∵第四象限内，函数y随x的增大而增大， ∴y₁<y₂.
10.-1<a<0 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质. ∵m²+1>0,，∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每一象限内 y随x的增大而减小.∵a<a+1，y₁<y₂,∴a<0,a+1>0,解得-1<a<0.
10
11.(1) = (V⟩0)(2)1
ρ V
(1)根据图象上点 A 的坐标，利用待定系数法即可求解；(2)将V=10代入(1)中的函数解析式，即可求解.
k
解：(1)设密度ρ关于体积V 的函数解析式为 ρ= (V>0,k≠0).
V
k k
把V=4,ρ=2.5代入 ρ= ,得 2.5= .
V 4
解得k=10.
10
所以密度ρ关于体积V的函数解析式为 ρ= (V⟩0).
V
10
(2)当V=10时. ,ρ= =1.
10
所以该气体的密度为1 kg/m³.
评分说明：(1)k写成m 等其他字母均可.
(2)不写V>0,k≠0均不扣分.
3
12.(1)① y = ,y =−x+4② y <y (2)1
1 x 2 1 2
13.(1)①k1=2,k2=2 ②x>1 (2)0
8
14.(1)y= (2)10
x
(1)根据点 A 纵坐标求得a 的值，然后根据 AB⊥y轴与AB=4BD求得点D 的坐标，从而求得反比例函数的
解析式；(2)先求得两函数交点 C 的坐标，再利用△ABO与△ADC面积之差计算四边形OCDB 的面积.
解:(1)由点A(a,8)在y=2x上,则a=4,
∴A(4,8).
∵AB⊥ y 轴, 与 反 比 例 函 数 图 象 交 于 点 D,且 AB=4BD,
∴BD=1,即 D(1,8).
8
∴k=8，反比例函数解析式为 y= .
x
8 8
(2)∵C是直线y=2x与反比例函数 y= 图象的交点， ∴2x= ,
x x
∵x>0,
∴x=2,则C(2,4).
1
S = ×4×8=16,
ABO 2
1
S = ×3×4=6,
ADC 2
S =S −S =10.
四 边 形OCDABBO ADC
压轴预测1. C 【解析】本题考查反比例函数图象和对称性.由题意得点 A(2,-3)关于x轴的对称点A'的坐标为(2,3),把点
k
A'(2,3)代入 y= 得k=2×3=6,故选C.
x
2. C 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.由反比例函数的性质可知，若k>0，那么k的值越大，图象
离坐标轴越远，. ∴k₃>k₂>0..又y₁ 的图象在第四象限，∴k₁< 0,∴k₃>k₂>k₁,,故选 C.
3. C
k
4. D 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.由题可知，当双曲线 y= (k⟩0)经过点 B(-1,-1)时,双曲线
x
与矩形ABCD有三个交点,此时k=-1×(-1)=1.根据反比例函数的对称性，结合图象可知，当0<k<1时，双曲线与矩
形有四个交点，故选 D.
5.2 【解析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质、三角形的面积公式.如图，过点 A 作 AF⊥BC
于点F，连接BD，设点 A 的坐标为(a,k),a>0,则点 B的坐标为(-a,-k/a).∵AB=AC,∴BF=CF=a-(-a)=2a,∴ BC = 2BF =
4a,∴ 点 C 的 坐标为 ( 3a,− k) .设直线AB的解析式为y= mx，代入点A的坐标，得 k =ma,∴m= k , 即直线
a a a2
k
AB 的解析式为y= kzx.∵CD∥AB,∴设直线CD的解析式为
y= x+b,
将点 C坐标代入得
a2
k k 4k k 4k k 4k k
− = ⋅3a+b,∴b=− ,: 直线CD的解析式为 y= x− . 由 x− = 可得 x=2a+√5a( 舍负 ),
a a2 a a2 a a2 a x
( k )
∴点 D 的 坐 标 为 2a+√5a, .∵AB∥CD,∴S△BCD = S△ACD = 4√5−4.又
2a+√5a
1 1 ( k k)
S = BC⋅(y −y ),∴ ⋅4a⋅ + =4√5−4,解得k=2.
BCD 2 D B 2 2a+√5a a
6.(1)m=0,k=3 (2)x>1或-1<x<0
(1)根据直线平移后的方程得到 m 的值，进而得到点A 的坐标，根据点 A 在反比例函数的图象上得到k的
值；(2)画出两函数的图象，数形结合求解不等式或将不等式转换为不等式组求解.
解：(1)∵将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线 y=3x+m,
∴3x+1-1=3x+m,
∴m=0.
k
∵反比例函数 y= 的图象与直线y=3x+m相交于点A，且点 A 的纵坐标是3，
x
∴将 y=3代入 y=3x得3x=3,x=1,
∴A(1,3).
k
∵点 A(1,3)在反比例函数 y= 图象上，
xk
∴3= ,∴k=3.
1
综上所述,m=0,k=3.
k
(2)求不等式 3x+m> 的解集有以下两种解法：
x
3
解法一：如图，在平面直角坐标系中画出y=3x与 y= 的图象.
x
3
∵y=3x与 y= 的图象都是中心对称图形，
x
点 A(1,3)关于原点的对称点为(-1,-3).
3
由图象可知:当x>1或-1<x<0时, 3x> .
x
k
∴不等式 3x+m> 的解集为x>1或-1<x<0.
x
3
解法二： ∵3x> ,
x
1
∴x> .
x
{x>0, {x<0,
∴
或
x2>1 x2<1.
{x>0, { x<0,
∴ 或 或x<-1
x>1 −1<x<1.
∴x>1或-1<x<0.
k
∴不等式 3x+m> 的解集为x>1或-1<x<0.
x
1 5
7. (1) , ,-2
2 2
(2)-4<x<-1
( 5 5)
(3) − ,
2 4
(1)将点 B的坐标代入反比例函数和一次函数的表达式即可求出k 和b的值，再将点 A 的坐标代入一次函数
的表达式中，即可求出 m的值；(2)根据两个函数图象的位置关系结合A，B两点的坐标，即可写出x的取值范围；
(3)设出 P 点的坐标,分别表示出△PCA 和△PDB 的面积，列方程即可求解.1 5
解： (1) , ,−2.
2 2
(2)当-4<x<-1时，一次函数的值大于反比例函数的值.
1 5
(3)由(1)可知，一次函数 y= x+ ,
2 2
( 1 5)
设 P点坐标为 t, t+ .
2 2
∵△PCA 和△PDB的面积相等,
1 1 1 ( 1 5)
∴ × ×(t+4)= ×1× 2− t− ,
2 2 2 2 2
5
解得 t=− ,
2
( 5 5)
∴P点坐标为 − , .
2 4
