文档内容
2013 年广东省中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（3分）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260 000 000
000元，用科学记数法表示为（ ）
A．0.126×1012元 B．1.26×1012元C．1.26×1011元D．12.6×1011元
4．（3分）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a﹣5＜b﹣5 B．2+a＜2+bC． D．3a＞3b
5．（3分）数字1、2、5、3、5、3、3的中位数是（ ）
A．1B．2C．3D．5
6．（3分）如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，则∠1的大
小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）下列等式正确的是（ ）
A．（﹣1）﹣3=1 B．（﹣4）0=1C．（﹣2）2×（﹣2）3=﹣26D．（﹣5）4÷（﹣5）2=﹣52
8．（3分）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D ．
第1页（共27页）9．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）已知k ＜0＜k ，则函数y=k x﹣1和y= 的图象大致是（ ）
1 2 1
A． B． C． D．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写
在答题卡相应位置上.
11．（4分）分解因式：x2﹣9= ．
12．（4分）若实数a、b满足|a+2| ，则 = ．
13．（4分）一个六边形的内角和是 ．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA= ．
15．（4分）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将
△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的
形状是 ．
16．（4分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是
（结果保留π）．
第2页（共27页）三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）
17．（5分）解方程组 ．
18．（5分）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数
式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．
19．（5分）如图，已知 ▱ABCD．
（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，
保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
20．（8分）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足
球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项
目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如 图和所示的不完整
统计图表．
（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；
（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的
人数．
样本人数分布表
类别 人数 百分比
排球 3 6%
乒乓球 14 28%
羽毛球 15
第3页（共27页）篮球 20%
足球 8 16%
合计 100%
21．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支
援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
22．（8分）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另
一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S ，Rt△BFC的面积为S ，Rt△DCE的面积为S ，则S
1 2 3 1
S +S （用“＞”、“=”、“＜”填空）；
2 3
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．
第4页（共27页）（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出
P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
24．（9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，
BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．
25．（9分）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板
DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE= ．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点
B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板
DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．
（1）如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则
∠EMC= 度；
（2）如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；
（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与
x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．
第5页（共27页）第6页（共27页）2013 年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2016•德州）2的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是
0．
2．（3分）（2013•广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、三棱锥的俯视图是 ，故此选项错误；
B、六棱柱的俯视图是六边形，故此选项错误；
C、正方体俯视图是正方形，故此选项正确；
D、圆锥的俯视图是有圆心的圆，故此选项错误，
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都
应表现在三视图中．
第7页（共27页）3．（3分）（2013•东莞市）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约
1260 000 000 000元，用科学记数法表示为（ ）
A．0.126×1012元 B．1.26×1012元C．1.26×1011元D．12.6×1011元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值是易错点，由于1260 000 000 000有13位，所以可以确定n=13﹣1=12．
【解答】解：1260 000 000 000=1.26×1012．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．（3分）（2013•东莞市）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a﹣5＜b﹣5 B．2+a＜2+bC． D．3a＞3b
【分析】以及等式的基本性质即可作出判断．
【解答】解：A、a＞b，则a﹣5＞b﹣5，选项错误；
B、a＞b，则2+a＞2+b，选项错误；
C、a＞b，则 ＞ ，选项错误；
D、正确．
故选D．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等
式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（3分）（2013•东莞市）数字1、2、5、3、5、3、3的中位数是（ ）
A．1B．2C．3D．5
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：将数据从大到小排列为：1，2，3，3，3，5，5，
第8页（共27页）则中位数是3．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义及计算方法是
关键．
6．（3分）（2013•东莞市）如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若
∠2=50°，则∠1的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】由 AC∥DF，AB∥EF，根据两直线平行，同位角相等，即可求得
∠1=∠A=∠2=50°．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠A=∠2=50°，
∵AC∥DF，
∴∠1=∠A=50°．
故选C．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角
相等定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（3分）（2013•东莞市）下列等式正确的是（ ）
A．（﹣1）﹣3=1 B．（﹣4）0=1C．（﹣2）2×（﹣2）3=﹣26D．（﹣5）4÷（﹣5）2=﹣52
【分析】根据负整数指数幂：a﹣p= （a≠0，p为正整数），零指数幂：a0=1（a≠0），
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．同底数幂的除法法则
底数不变，指数相减分别进行计算，可得答案．
【解答】解：A、（﹣1）﹣3=﹣1，故此选项错误；
B、（﹣4）0=1，故此选项正确；
第9页（共27页）C、（﹣2）2×（﹣2）3=﹣25，故此选项错误；
D、（﹣5）4÷（﹣5）2=52，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法，关键是熟
练掌握各运算的计算法则，不要混淆．
8．（3分）（2013•广东）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D ．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，5x﹣2x＞5+1，
合并同类项得，3x＞6，
系数化为1得，x＞2，
在数轴上表示为：
故选A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上
表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数
轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式
组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
9．（3分）（2013•广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
第10页（共27页）【解答】解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，B、C、D都是轴对称图形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确找出对称轴．
10．（3分）（2013•广东）已知k ＜0＜k ，则函数y=k x﹣1和y= 的图象大致是（
1 2 1
）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．
【解答】解：∵k ＜0＜k ，b=﹣1＜0
1 2
∴直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握
它们的性质才能灵活解题．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写
在答题卡相应位置上.
11．（4分）（2016•镇江）分解因式：x2﹣9= （ x + 3 ）（ x﹣3 ） ．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式
的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．（4分）（2013•东莞市）若实数a、b满足|a+2| ，则 = 1 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
第11页（共27页）【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
则原式= =1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13．（4分）（2013•东莞市）一个六边形的内角和是 720 ° ．
【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可．
【解答】解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°．
故答案为：720°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）．
180°（n≥3）且n为整数）．
14．（4分）（2013•东莞市）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=
．
【分析】首先由勾股定理求得斜边AC=5；然后由锐角三角函数的定义知sinA=
，然后将相关线段的长度代入计算即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC= =5（勾股定理）．
∴sinA= = ．
故答案是： ．
第12页（共27页）【点评】本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理．本题考查锐角三角函数的定义
及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为
对边比邻边．
15．（4分）（2013•东莞市）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，
在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边
形ACE′E的形状是 平行四边形 ．
【分析】四边形ACE′E的形状是平行四边形；首先根据三角形中位线的性质可得
DE∥AC，DE= AC，再根据旋转可得DE=DE′，然后可根据一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形进行判定即可．
【解答】解：四边形ACE′E的形状是平行四边形；
∵DE是△ABC的中线，
∴DE∥AC，DE= AC，
∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，
∴DE=DE′，
∴EE′=2DE=AC，
∴四边形ACE′E的形状是平行四边形，
第13页（共27页）故答案为：平行四边形．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，以及平行四边形的判定，关键是掌握一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形．
16．（4分）（2015•青海）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积
的和是 （结果保留π）．
【分析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．
【解答】解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，
∴阴影部分的面积应为：S= = ．
故答案是： ．
【点评】本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化
为几个规则图形的面积的和或差来求．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）
17．（5分）（2013•东莞市）解方程组 ．
【分析】将方程组中的第一个方程代入第二个方程消去x求出y的值，进而求出x
的值，即可得到方程组的解．
【解答】解： ，
第14页（共27页）将①代入②得：2（y+1）+y=8，
去括号得：2y+2+y=8，
解得：y=2，
将y=2代入①得：x=2+1=3，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入
消元法与加减消元法．
18．（5分）（2013•广东）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任
意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．
【分析】选②与③构造出分式，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把a、
b的值代入进行计算即可．
【解答】解：选②与③构造出分式， ，
原式= = ，
当a=6，b=3时，原式= = ．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
19．（5分）（2013•东莞市）如图，已知 ▱ABCD．
（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，
保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．
【分析】（1）根据题目要求画出图形即可；
（2）首先根据平行四边形的性质可得 AD∥BC，AD=BC，进而得到 AD=CE，
第15页（共27页）∠DAF=∠CEF，进而可利用AAS证明△AFD≌△EFC．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠CEF，
∵在△AFD和△EFC中，
，
∴△AFD≌△EFC（AAS）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，关键是正确
画出图形，掌握平行四边形的性质．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
20．（8分）（2013•东莞市）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽
毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜
爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如 图
和所示的不完整统计图表．
（1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图）；
（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的
人数．
样本人数分布表
第16页（共27页）类别 人数 百分比
排球 3 6%
乒乓球 14 28%
羽毛球 15
篮球 20%
足球 8 16%
合计 100%
【分析】（1）由排球的人数除以所占的百分比求出总人数，乘以篮球所占的百分
比即可求出篮球的人数，补全条形统计图，如图所示，求出羽毛球所占的百分比，
补全人数分布图，如图所示；
（2）用人数乘以羽毛球所占的百分比即可求出人数．
【解答】解：（1）3÷6%=50人，
则篮球的人数为50×20%=10人，
则补全条形统计图如下：
第17页（共27页）羽毛球占总数的百分比为：15÷50=30%，
补全人数分布表为：
类别 人数 百分比
排球 3 6%
乒乓球 14 28%
羽毛球 15 30%
篮球 10 20%
足球 8 16%
合计 50 100%
（2）920×30%=276人．
则七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数为276人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，以及众数，弄清题意是解本
题的关键．
21．（8分）（2013•东莞市）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方
有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12
100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【分析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的
百分率）2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；
（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此
第18页（共27页）列式子解答即可．
【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
10000×（1+x）2=12100，
解得x =0.1，x =﹣2.1（不合题意，舍去）；
1 2
答：捐款增长率为10%．
（2）12100×（1+10%）=13310元．
答：第四天该单位能收到13310元捐款．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数
×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数．
22．（8分）（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形
BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S ，Rt△BFC的面积为S ，Rt△DCE的面积为S ，则S =
1 2 3 1
S +S （用“＞”、“=”、“＜”填空）；
2 3
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
【分析】（1）根据S = S ，S +S = S ，即可得出答案．
1 矩形BDEF 2 3 矩形BDEF
（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明
即可．
【解答】（1）解：∵S = BD×ED，S =BD×ED，
1 矩形BDEF
∴S = S ，
1 矩形BDEF
∴S +S = S ，
2 3 矩形BDEF
第19页（共27页）∴S =S +S ．
1 2 3
（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．
证明△BCD∽△DEC；
证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EDC=∠CBD，
又∵∠BCD=∠DEC=90°，
∴△BCD∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常
用的就是两角法，此题难度一般．
四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）（2013•东莞市）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出
P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即
可；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图
象与y轴交点即可；
（3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的
长即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
第20页（共27页）∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x；
（2）∵m=2，
∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3），
∴C（0，3）、D（2，﹣1）；
（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵PO∥DE，
∴ = ，
∴ = ，
解得：PO= ，
∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（ ，0）．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以
及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．
24．（9分）（2013•东莞市）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦
第21页（共27页）BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；
（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．
（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出
结论．
【解答】（1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），
∴∠BCA=∠BAD．
（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴ = ，即 = ，
解得：DE= ．
（3）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
第22页（共27页）∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解
答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．
25．（9分）（2013•广东）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，
AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE= ．将这副直角三角板按如图
1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角
板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．
（1）如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则
∠EMC= 1 5 度；
（2）如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；
（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与
x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．
第23页（共27页）【分析】（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；
（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；
（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：
（I）当0≤x≤2时，如答图1所示；
（II）当2＜x≤6﹣ 时，如答图2所示；
（III）当6﹣ ＜x≤6时，如答图3所示．
【解答】解：（1）如题图2所示，
∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE= ，
∴tan∠DFE= = ，∴∠DFE=60°，
∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；
（2）如题图3所示，当EF经过点C时，
FC= = = = ；
（3）在三角板DEF运动过程中，
（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：
设DE交BC于点G．
第24页（共27页）过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF= = MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即 MN+x=MN，解得：MN= x．
y=S ﹣S
△BDG △BFM
= BD•DG﹣ BF•MN
= （x+4）2﹣ x• x
= x2+4x+8；
（II）当2＜x≤6﹣ 时，如答图2所示：
过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF= = MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即 MN+x=MN，解得：MN= x．
y=S ﹣S
△ABC △BFM
= AB•AC﹣ BF•MN
= ×62﹣ x• x
= x2+18；
（III）当6﹣ ＜x≤6时，如答图3所示：
第25页（共27页）由BF=x，则AF=AB﹣BF=6﹣x，
设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°= （6﹣x）．
y=S = AF•AM= （6﹣x）• （6﹣x）= x2﹣ x+ ．
△AFM
综上所述，y与x的函数解析式为：
y= ．
【点评】本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同
时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外
也可以利用三角形相似，殊途同归．
第26页（共27页）参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；wdzyzlhx；星期八；zhjh；caicl；zcx；CJX；
sjzx；HLing；wdxwwzy；HJJ；dbz1018；sks；ZJX；gbl210；未来（排名不分先后）
菁优网
2017年4月17日
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