2009年广东省中考数学试卷以及答案_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_广东省_广东数学（广东省统一试卷）08-22

2009 年广东省初中毕业生学业考试 数 学 说明：全卷共4页，考试用时100分钟，满分120分. 一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的， 请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 4的算术平方根是（ ） A.±2 B.2 C. D.  2 2 2. 计算 a3 2结果是（ ） A. B. C. D. a6 a9 a5 a8 3. 如图所示几何体的主（正）视图是（ ） A B C D 4. 《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿 元，用科学计数法表示正确的是（ ） A. B. 元 C. 元 D. 元 7.261010元 72.6109 0.7261011 7.261011 5. 如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下 一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（ ） A B C D 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填在答题卡相应的位置上. 6. 分解因式 =_______________________. 2x3 8x C 7. 已知⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°， A B 则BC=_________cm. O 8. 一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则 现售价应为__________元. 第7题图 9. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若 4 从中随机摸出一球，摸到黄球的概率是 ，则n=__________________. 5 10. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖________块，第n个图形中需要黑色瓷砖___________块（用含n的代数式表示）. …… （1） （2） （3） 第10题图 三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分） 11. 计算 1 sin30°+ .   9  30 2 2 1 12. 解方程   x2 1 x1 y 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1 9 A 的图像与反比例函数y  的图像在第一象限相交于点A， C x 过点A分别作x 轴、y轴的垂线，垂足为点B、C.如果四 边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式. O B x 第13题图 A 14. 如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点， 延长BC到E，使CE=CD. （1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE， D 垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM=EM. E B C 第14题图 15. 如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测 量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围 在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什 么？（参考数据： ） 3 1.732, 2 1.414 P E F 30° 45° A B 第15题图 四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）16. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染.请 你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染 后，被感染的电脑会不会超过700台？ 17. 某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查地方法，从足球、乒乓球、篮 球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计 图（如图1、图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表 喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了多少位学生？ （2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （3）补全频数分布折线统计图. 人数 50 40 30 乒乓球 足球 20% 20 10 篮球 排球 40% 项目 O 足球 乒乓球 篮球 排球 图2 图1 第17题图 18. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ＡＢ＝５，ＡＣ＝６.过Ｄ点作DE∥AC交ＢＣ的延 长线于点Ｅ. A Q D （１）求△BDE的周长； （２）点Ｐ为线段BC上的点， O 连接PO并延长交AD于点Q.求证：BP=DQ. B P C E 第18题图 19. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行 四边形 ，对角线相交于点 ；再以 为邻边作第2个平行四边形 ，对角线 OBBC A A B、AC A BC C 1 1 1 1 1 1 1 1 相交于点 ；再以 为 O O B、OC A D 1 1 1 1 1 邻边作第3个平行四边形 ……依此类推. O O B B C 1 1 2 1 A （1）求矩形ABCD的面积； 1 C B O （2）求第1个平行四边形 、第2个 1 平行四边形 和第6个平行四边形的面积. A2 C B 1 1 B 2 C 2 第19题图 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）20.（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证： 1 阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的 . 3 （2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两 1 条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的 . 3 A A E E G O O B F C B C D D 图2 图1 第20题图 21. 小明用下面的方法求出方程 的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解， 2 x 30 并把你的解答过程填写在下面的表格中. 方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解 22. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂 直， （1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN； （2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形 ABCN的面积最大，并求出最大面积； （3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN， A D 求此时x的值. N B M C 第22题图2009 年广东省初中毕业生学业考试 数 学 参考答案 一、选择题 1.Ｂ２.Ａ３.Ｂ４.Ａ５.Ｃ 二、填空题 6.2x(x+2)(x-2)；7.4；8.96；9.8；10.10，3n+1. 三、解答题（一） 1 1 11. 解： 原式 3 14 2 2 12．解：去分母得：2=-(x+1) 解得：x=-3 检验：当x=-3时，分母 x2 19180 所以原方程的解是：x=-3. 13．解： ，∴ＯＢ＝ＡＢ＝３， ∴点Ａ的坐标为（３，３）  S OB2 9 正方形OBAC 2 ∵点Ａ在一次函数ｙ＝ｋｘ＋１的图像上， ∴３ｋ＋１＝３，解得：ｋ＝ 3 2 ∴一次函数的关系式是：y  x1. 3 １４．（１）作图（略） （２）证明： ∵△ABC是等边三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ABC＝∠ＡＣＢ＝６0° ∵ＡＤ＝ＣＤ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＤ＝３0° ∵CD=CE，∠ACB＝∠E+∠CDE=６0°，∴∠E＝３0° ∴∠E＝∠ＣＢＤ，∴ＢＤ＝ＤＥ ∵ＤＭ⊥ＢＥ，∴ＢＭ＝ＥＭ． １５．解：过点P作PQ⊥AB于Q，则有∠APQ=３0°，∠BPQ=45° 设PQ=x，则PQ=BQ=x，AP=2AQ=2(100-x). 在Rt△APQ 中， ∵tan∠APQ=tan30º = AQ ,即 3 100x .  PQ 3 x ∴ x50(3 3) 又∵ >50，∴计划修筑的这条高速公路会穿越保护区。 50(3 3)63.4 四、解答题（二） 16．解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得： 解得：x=9或-9（负值不合题意，舍去） x2 81∵ ＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台. 93 729 17．解：（1）20÷20%=100(名) （2）∵喜欢排球的人数是：100-20-30-100×40%=10（人） ∴喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数为：360º×10%=36º （3）图略 18.（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=5，ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ＝３ ∴ ，ＢＤ＝２OB=8 OB AB2 OA2 4 ∵ＡＤ∥ＣＥ，ＡＣ∥ＤＥ，∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形 ∴ＣＥ＝ＡＤ＝ＢＣ＝５，ＤＥ＝ＡＣ＝６ ∴△ＢＤＥ的周长是：ＢＤ+ＢＣ+ＣＥ+ＤＥ＝８+１０+６＝２４. （２）证明：∵AD∥BC，∴∠OBP=∠ODQ，∠OPD=∠OQD ∵OB=OD，∴△BOP≌△DOQ，∴BP=DQ。 19.（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB＝12 ∴∠ABC＝９０º， BC  AC2 AB2  202 122 16 ∴ 。 S ABBC1216192 矩形ABCD （２）解：∵ＯＢ ∥ ，ＯＣ ∥ ，∴四边形ＯＢ 是平行四边形。 BC BB BC 1 1 1 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＢ＝ＯＣ，∴四边形ＯＢ 是菱形。 BC 1 1 1 ∴OB BC，A B BC8，OA  OB  OB2 A B2 6 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ∴OB 2OA 12，∴S = BCOB  161296 1 1 菱形OBB 1 C 2 1 2 同理：四边形 ABCC 是矩形，∴Ｓ ＝AB BC =6848 １ １ １ 矩形Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｃ 1 1 1 1 ‥‥‥ 192 第ｎ个平行四边形的面积是：S ＝ ｎ 2ｎ 192 ∴S  =12． 6 26 五，解答题（三） 20.（１）证明：过点O作OH⊥AB于点H. ∵等边△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC ，OH⊥AB，OE⊥AC ∴∠B=∠C=60°，∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°， BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG ∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°，∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ 同理：四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＡＨＯＧ ∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ≌四边形ＡＨＯＧ ∴ ， S =S =S 四边形AHOG 四边形BHOF 四边形CFOG又∵ S S +S +S =3S ABC 四边形AHOG 四边形BHOF 四边形CFOG 四边形CFOG 1 ∴S = S ． 四边形CFOG 3 ABC （２）证明：过圆心Ｏ分别作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足为Ｍ、Ｎ. 则有∠OMF=∠ONG=90°，OM=ON，∠MON=∠FOG=120° ∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON，即∠MOF=∠NOG 1 ∴△MOF≌△NOG，∴S =S = S 四边形CFOG 四边形CMON 3 ABC ∴若∠DOE保持120°角度不变，当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两 1 条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的 . 3 21. 方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解 令 x=t t =1 t =10 x 1 1 1 则t2+2t-3=0 t =-3 t =-30(舍去） 所以x=1 2 2 令 x-2=t t =1 t =10 x-2=1 1 1 则t2+t-2=0 t =-2 t =-20(舍去） 所以x=3 2 2 22.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠ABM+∠BAM=90° ∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN ∴Rt△ABM∽Rt△MCN AB BM 4 x x(4x) （2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴ = ，即  解得：CN  MC CN 4-x CN 4 ∵ S = 1 CN+ABBC ∴ y= 1x(4x) 4  4 , 梯形 2 2   4   1 即：y  x2x8 2 1 1 1 又∵y  x2x8=-  x2 4x44  8 x22 10 2 2 2 ∴当x=2时，y有最大值10. ∴当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10. 4 x  AB BM （3）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴  ，即 x2 16 x4x 2 AM MN 4x2    4   化简得： x2 16 x20 ，解得：x=2 ∴当M点运动到BC的中点时Rt△ABM ∽Rt△AMN，此时x的值为2.