专题04二次根式的运算及规律、新定义型问题（专项训练）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新《8上数学•同步备课资料合集》（新教材北师大）

 
 
 
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专题04 二次根式的运算及规律、新定义型问题 
 
常考题型·精准突破 
题型1 最简二次根式（重） 
题型2 同类二次根式（重） 
题型3 二次根式的混合运算（高频） 
题型4 二次根式中的分母有理化（高频） 
题型5 二次根式运算中的规律探究问题（难） 
题型6 二次根式运算中的新定义型问题（难） 
综合攻坚·知能拔高 
常考题型·精准突破 
◆题型1 最简二次根式 
1．（25-26 八年级下·重庆长寿·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） 
A．5 
B．1.5 
C．
5
2
 
D．25 
【答案】A 
【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，
据此对各选项逐一判断即可． 
【详解】解：∵5 满足最简二次根式的条件，∴A 符合要求；  
∵
3
1.5
2
=
，被开方数含分母，不满足条件，∴B 不符合要求；  
∵
5
2 的被开方数含分母，不满足条件，∴C 不符合要求；  
∵
25
5
=
，被开方数25 是能开得尽方的因数，不满足条件，∴D 不符合要求； 
2．（25-26 八年级下·辽宁抚顺·期末）下列根式是最简二次根式的是（    ） 
A．0.2 
B．15 
C．
1
3
 
D．12 
【答案】B 
【详解】解：选项A
1
0.2
5
=
，被开方数含分母，不是最简二次根式． 
 
 
 
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选项B 15 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 
选项C
1
3
，被开方数含分母，不是最简二次根式． 
选项D 12
4 3
=
，被开方数含能开得尽方的因数4 ，不是最简二次根式． 
3．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） 
A．
4 
B．
1
2
 
C．6 
D．
2
3a 
【答案】C 
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开
方数不含能开得尽方的因数或因式． 
【详解】解：A 选项：4
2
=
，被开方数4 是能开得尽方的数，不是最简二次根式； 
B 选项：
1
2
的被开方数含有分母，不是最简二次根式； 
C 选项：6 的被开方数6 不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 
D 选项：
2
3a 被开方数含能开得尽方的因式
2
a ，不是最简二次根式． 
 
◆题型2 同类二次根式 
4．（25-26 八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与3 是同类二次根式的是（     ） 
A．
1
3
 
B．
1
6
 
C．2 
D．18 
【答案】A 
【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与3 相同的即为同类二次
根式． 
【详解】解：选项A：
1
3
3
3
=
，化为最简后被开方数为3，与3 是同类二次根式； 
选项B：
1
6
6
6
=
，化为最简后被开方数为6 ，与3 不是同类二次根式； 
选项C：2 是最简二次根式，被开方数为2 ，与3 不是同类二次根式； 
选项D：18
3 2
=
，化为最简后被开方数为2 ，与3 不是同类二次根式． 
5．（25-26 八年级下·安徽亳州·期末）下列是同类二次根式的一组是（     ） 
A．3 20 ，50 
B．
28 ，2 7
3
 
C．2ab ，3 ab 
D．
2m
n
，
2m
n
 
【答案】B 
【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数
 
 
 
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是否相同，即可求解． 
【详解】解：A、
3 20
3 2 5
6 5
= 
=

，50
5 2
=
，3 20 和50 不是同类二次根式，故选项A 不符
合题意； 
B、
28
2 7
=

，2 7
2
7
3
3
=
，
28 和2 7
3
是同类二次根式，故选项B 符合题意； 
C、
2ab

的被开方数为2ab，3 ab 的被开方数为ab ，不相同，
2ab 和3 ab 不是同类二次根式，故选
项C 不符合题意； 
D、
2m
n

的被开方数为2m ，
2
2
m
mn
n
n
=
，被开方数为2mn ，
2m
n
和
2m
n
不是同类二次根式，故选
项D 不符合题意． 
6．（25-26 八年级下·安徽宣城·期末）
27 与最简二次根式2 2
5
a −
是同类二次根式，则a =________． 
【答案】4 
【分析】先将
27 化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于a 的一元一次方程，求解方程即
可得到a 的值． 
【详解】解：
27
3 3
=

，且
27 与最简二次根式2 2
5
a −
是同类二次根式， 
 二者最简形式的被开方数相同，即2
5
3
a−= ， 
解得
4
a =
． 
 
◆题型3 二次根式的混合运算 
7．（25-26 八年级下·辽宁抚顺·期末）计算： 
(1)
(
)
0
1
48
3
2
30
2 2
3
5

+

−
+
 
(2)(
)(
) (
)
2
5
2
5
2
3
1
+
−
+
−
 
【答案】(1)3
2 6
+
 
(2)5
2 3
−
 
【详解】（1）解：
(
)
0
1
48
3
2
30
2 2
3
5

+

−
+
 
1
48 3
2
30
1
5
=
+

− 
4
2 6
1
=
+
− 
3
2 6
= +
； 
（2）(
)(
) (
)
2
5
2
5
2
3
1
+
−
+
−
 
 
 
 
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(
)
(
)
2
2
2
5
2
3
2 3
1




=
−
+
−
+







 
5
4
3
2 3 1
= −+ −
+ 
5
2 3
=
−
． 
8．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）计算： 
(1)
27
50
6


 
(2)(
)
(
)(
)
2
3
1
3
1
3
5
+
−
+
+
 
(3)
1
48
3
12
24
2

−

+
 
【答案】(1)15 
(2)10
2 15
+
 
(3) 4
6
+
 
【详解】（1）解： 
27
50
6


 
27 50 6
=


 
225
=
 
15
=
 
（2）解：(
)
(
)(
)
2
3
5
3
1
3
1
+
+
−
+
 
(
2
2
2
2
[( 3)
2 3
5
( 5)
3)
1 
=
+

+
+
−
 
(3
2 15
5)
(3 1)
=
+
+
+
−
 
8
2 15
2
= +
+ 
10
2 15
=
+
 
（3）解：
1
48
3
12
24
2

−

+
 
1
48 3
12
2 6
2
=
−

+
 
16
6
2 6
=
−
+
 
4
6
=
+
 
9．（25-26 七年级下·陕西·期末）计算： 
(1)
8
1
32
2
2
+
−
 
(2)
27
2
18
8
3


 
 
 
 
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(3)
1
2
24
2
27
6
3


−

+






 
(4)(
)(
) (
)
2
7
4 3
7
4 3
3 5
1
+
−
−
−
 
【答案】(1) 9 2
2
 
(2)
2
4
 
(3) 23 3
6
 
(4)6 5
45
−
 
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； 
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； 
（3）先根据二次根式的性质化简，然后再根据二次根式的四则混合运算法则计算即可； 
（4）直接运用平方差公式、完全平方公式以及二次根式的混合运算法则计算即可． 
【详解】（1）解：
8
1
32
2
2
+
−
 
2
4 2
2
2
2
2
=
+
−
 
9 2
2
=
． 
（2）解：
27
2
18
8
3


 
27
2
18
8
3
=


 
1
9
8
4
=

 
1
9
8
4
=

 
1
9
1
4
8
=

 
1
8
=
 
1
2 2
=
 
2
4
=
． 
 
 
 
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（3）解：
1
2
24
2
27
6
3


−

+






 
6
6
3
6
2
2
2
3
3


=
−

+







 
3
11
2
2
3
6
3
6
=

+

 
11
2
3
6
3
=
+
 
23 3
6
=
． 
（4）解：(
)(
) (
)
2
7
4 3
7
4 3
3 5
1
+
−
−
−
 
(
)
(
)
2
2
2
7
4 3
3 5
6 5
1


=
−
−
−
+



 
49
48
45 6 5 1


=
−
−
−
+

 
49
48
46
6 5
=
−
−
+
 
6 5
45
=
−
． 
 
◆题型4 二次根式中的分母有理化 
10．（25-26 七年级下·山东济南·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
3
5 ，
2
3
1
+ ，这样一类
的式子，其实我们还可以将其进一步化简：3
3
5
3 5
5
5
5
5

=
=

，
(
)
(
) (
)
(
)
2
3
1
2
3
1
2
3
1
3 1
3
1
3
1
3
1

−

−
=
=
=
−
−
+
+

−
，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 
(1)仿照上面的解题过程，化简：2
3
=__________，
1
7
6
=
−
__________； 
(2)已知
1
5
2
a =
+
，
1
5
2
b =
−
，求
2
2
a
b
+
的值； 
(3)解关于x 的方程：
2
2
2
2
1
1
3
3
5
5
7
99
101
x
x
x
x
+
+
+
+
=
+
+
+
+

． 
【答案】(1) 2 3
3
，7
6
+
 
(2)18 
 
 
 
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(3)
101 1
100
x
+
=
 
【分析】（1）仿照例题进行分母有理化即可； 
（2）先对a 、b 分母有理化，再结合完全平方公式代入计算即可； 
（3）先将方程左侧的式子分母有理化，再合并计算求解即可． 
【详解】（1）解：2
2
3
2 3
3
3
3
3

=
=

； 
(
)(
)
1
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
+
+
=
=
=
+
−
−
−
+
； 
（2）解：
(
)
(
) (
)
1
5
2
1
5
2
5
2
5
2
5
2
a

−
=
=
=
−
+
+

−

，
(
)
(
) (
)
1
5
2
1
5
2
5
2
5
2
5
2
b

+
=
=
=
+
−
−

+
， 
(
)
(
)
2
2
2
2
5
2
5
2
5
4 5
4
5
4 5
4
18
a
b

+
=
−
+
+
=
−
+
+ +
+
=
； 
（3）解：
2
2
2
2
1
1
3
3
5
5
7
99
101
x
x
x
x
+
+
+
+
=
+
+
+
+

， 
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
2
3
1
2
5
3
2
7
5
2
101
99
1
1
3
3
1
3
5
5
3
5
7
7
5
99
101
101
99
x
x
x
x

−

−

−

−
+
+
+
+
=
+

−
+

−
+

−
+

−

， 
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3 1
2
5
3
2
7
5
2
101
99
1
3 1
5
3
7
5
101 99
x
x
x
x

−

−

−

−
+
+
+
+
=
−
−
−
−

， 
(
)
(
)
(
)
(
)
3 1
5
3
7
5
101
99
1
x
x
x
x
−
+
−
+
−
+
+
−
=

， 
(
)
101 1
1
x
−
= ， 
解得：
(
)(
)
1
101 1
101 1
100
101 1
101 1
101 1
x
+
+
=
=
=
−
−
+
． 
11．（25-26 八年级下·江西新余·期末）阅读材料：像(
)(
)
5
3
5
3
2
+
−
=
；
(
)
0
a
a
a a

=

；
(
)(
)
(
)
1
1
1
0
b
b
b
b
+
−
=
−

…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式
互为有理化因式．例如3 与
3 ，
2
1
+ 与2 1
−，3 3 5
+
与3 3 5
−
等都是互为有理化因式． 
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 
例如：
1
3
3
6
2 3
2 3
3
=
=

，
(
)
(
)(
)
2
2
1
2
1
3
2 2
2
1
2
1
2
1
+
+ =
=
+
−
−
+
． 
解答下列问题： 
(1)化简：
1
2
1
=
+
________； 
 
 
 
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(2)比较大小：100
99
−
________ 99
98
−
（填“”，“”或“ = ”）； 
(3)计算：
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
2026
2025
+
+
++
+
+
+
+
． 
【答案】(1) 2 1
− 
(2) 
(3)
2026
1
− 
【分析】（1）因为分母是2
1
+ ，其有理化因式为2 1
− ，所以给分子分母同乘2 1
− ，利用平方差公式
化去分母根号即可． 
（2）如果直接计算两个式子的值比较大小较复杂，那么可以对两个形如
1
n
n
+ −
的式子分别进行分子有
理化，将其转化为分子为1、分母为两个二次根式和的形式，再通过比较分母的大小判断两个原式的大小． 
（3）先仿照（1）的方法，将每一项
1
1
k
k
+ +
都进行分母有理化，拆分后可发现相邻项能相互抵消，利
用裂项相消的方法求和即可． 
【详解】（1）解： 
1
2
1
2
1
2
1
2 1
2
1
( 2
1)( 2
1)
−
−
=
=
=
−
−
+
+
−
． 
（2）解： 
( 100
99)( 100
99)
1
100
99
100
99
100
99
−
+
−
=
=
+
+
，
(
)(
)
99
98
99
98
1
99
98
99
98
99
98
−
+
−
=
=
+
+
， 
 因为100
99
99
98
0
+

+

，分子相同，分母越大分数越小， 
所以
1
1
100
99
99
98

+
+
，即100
99
99
98
−

−
． 
（3）解：
(
)(
)
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+ −
=
=
+ −
+ +
+ +
+ −

， 
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
2026
2025

+
+
++
+
+
+
+
 
2
1
3
2
4
3
2026
2025
=
−+
−
+
−
++
−
 
2026 1
=
−． 
12．（25-26 八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 
已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值．他们是这样解答的： 
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
， 
2
3
a
−
= −
， 
 
 
 
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(
)
2
2
3
a

−
=
即
2
4
4
3
a
a
−
+
=
， 
2
4
1
a
a

−
= −， 
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a

−
+ =
−
+ =
−
+ = −． 
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： 
(1)
1
3
2
=
+
____________． 
(2)化简：
1
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
120
119
121
120
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

． 
(3)若
1
10
3
a =
−
，求
2
6
11
a
a
−
+
的值． 
【答案】(1) 3
2
−
 
(2)10 
(3)12 
【分析】（1）进行分母有理化即可； 
（2）分母有理化后求和即可； 
（3）把a 分母有理化，变形后代入计算即可． 
【详解】（1）解：
(
)(
)
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
−
=
=
−
+
+
−
 
（2）解：原式
2
1
3
2
4
3
121
120
=
−+
−
+
−
+
+
−

 
121 1
=
− 
11 1
=
− 
10
=
 
（3）解：
1
10
3
10
3
a =
=
+
−

， 
0
3
1
a
−=
， 
(
)
2
3
10
a

−
=
， 
2
6
11
a
a

−
+
 
(
)
2
3
2
a
=
−
+
 
10
2
=
+ 
12
=
． 
 
◆题型5 二次根式运算中的规律探究问题 
13．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）【观察思考】 
 
 
 
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第1个等式：
2
2
2
2
3
3
+
=
；第2 个等式：
3
3
3
3
8
8
+
=
；第3个等式：
4
4
4
4
15
15
+
=
；… 
(1)【规律发现】直接写出第4 个等式：__________________； 
(2)【规律表达】写出第n 个等式：__________________（用含n 的式子表示）； 
(3)【规律应用】根据上述规律，化简：
12
143
12
143
3
+

． 
【答案】(1)
5
5
5
5
24
24
+
=
； 
(2) (
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
； 
(3)24 
【分析】直接由前面式子的结构特征，得到规律即可解决（1）（2），再由（2）中写出的规律
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
对（3）化简即可． 
【详解】（1）解：由前面式子所展示的规律可得第4 个等式：
5
5
5
5
24
24
+
=
； 
（2）解：由前面式子所展示的规律可得第n 个等式：(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
； 
（3）解：由（2）中规律(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
可得： 
12
143
12
143
12
12
12 4
24
143
3
143
3
+

=

=
=
． 
14．（24-25 八年级下·安徽淮北·阶段检测）【观察思考】 
第1 个等式：
1
1
1
2
3
3
+
=
； 
第2 个等式：
1
1
2
3
4
4
+
=
； 
第3 个等式：
1
1
3
4
5
5
+
=
；  
第4 个等式： ； 
…… 
【规律发现】 
（1）①直接写出第4 个等式： ； 
②如果n 为正整数，用含n 的式子表示上述的运算规律： ． 
【规律证明】 
 
 
 
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（2）证明②中的运算规律． 
【规律应用】 
（3）根据上述规律，化简：
1
2023
6075
2025
+

． 
【答案】（1）①
1
1
4
5
6
6
+
=
；②
(
)
1
1
1
2
2
n
n
n
n
+
=
+
+
+
； 
（2）证明：等式左边
(
)
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
 
又
1
0
n + 
， 
(
)
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n

+
=
+
=
+
+
右边， 
等式成立 
（3）2024 3 
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． 
（1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第4 个等式即可； 
②利用前面规律写出第n 个等式， 
（2）根据二次根式的性质证明即可； 
（3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 
【详解】解：（1）①
1
1
4
5
6
6
+
=
 
故答案为：
1
1
4
5
6
6
+
=
． 
②
(
)
1
1
1
2
2
n
n
n
n
+
=
+
+
+
 
故答案为：
(
)
1
1
1
2
2
n
n
n
n
+
=
+
+
+
． 
（2） 略 
（3）原式
1
2024
3 2025
2025
=


 
2024 3
=
 
15．（24-25 七年级下·安徽宣城·期中）【观察思考】 
观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 
第1 个等式：
2
2
1
2 1 1 1
0
0
−+
=
=
； 
第2 个等式：
2
2
2
2 2 1 1
1
1
−+
=
= ； 
 
 
 
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第3 个等式：
2
2
3
2 3 1 1
4
2
−+
=
=
； 
第4 个等式：
2
2
4
2 4 1 1
9
3
−+
=
=
； 
第5 个等式：
2
2
5
2 5 1 1
16
4
−+
=
=
； 
…… 
【规律发现】 
（1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： 
①
2
2
6
2 6 1 1
−+
=_____； 
②
2
2
101
2 101 1 1
−
+
=_____； 
（2）用含n （n 为正整数）的代数式表示出第n 个等式：_____； 
【规律应用】 
（3）根据上述规律计算： 
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 1 1 1
2
2 2 1 1
3
2 3 1 1
4
2 4 1 1
−+
−
−+
+
−+
−
−+
+
+

 
2
2
2
2
2
2
2023
2 2023 1 1
2024
2 2024 1 1
2025
2 2025 1 1
−
+
−
−
+
+
−
+
． 
【答案】（1）①5；②100；（2）
(
)
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
−+
=
−
=
−；（3）1012 
【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律
(
)
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
−+
=
−
=
−是
解此题的关键． 
（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； 
（2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； 
（3）根据
(
)
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
−+
=
−
=
−，计算即可得出答案． 
【详解】解：（1）由题意得： 
①
2
2
2
6
2 6 1 1
5
5
−+
=
=
， 
②
2
2
2
101
2 101 1 1
100
100
−
+
=
=
， 
故答案为：5，100 
（2）第1 个等式：
(
)
2
2
2
1
2 1 1 1
1 1
0
0
−+
=
−
=
=
； 
第2 个等式：
(
)
2
2
2
2
2 2 1 1
2 1
1
1
−+
=
−
=
= ； 
第3 个等式：
(
)
2
2
2
3
2 3 1 1
3 1
4
2
−+
=
−
=
=
； 
第4 个等式：
(
)
2
2
2
4
2 4 1 1
4 1
9
3
−+
=
−
=
= ； 
第5 个等式：
(
)
2
2
2
5
2 5 1 1
5 1
16
4
−+
=
−
=
=
； 
…… 
 
 
 
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出第n 个等式：
(
)
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
−+
=
−
=
−， 
故答案为：
(
)
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
−+
=
−
=
−； 
（3）
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 1 1 1
2
2 2 1 1
3
2 3 1 1
4
2 4 1 1
−+
−
−+
+
−+
−
−+
+
+

 
2
2
2
2
2
2
2023
2 2023 1 1
2024
2 2024 1 1
2025
2 2025 1 1
−
+
−
−
+
+
−
+
 
0 1 2 3 4 5
2022
2023 2024
=
−+ −+ −++
−
+
 
(
) (
) (
)
(
)
0 1
2
3
4
5
2022
2023
2024
=
−
+
−
+
−
++
−
+
 
(
) (
)
(
)
1
1
1
1
2024
= −+ −
+ −
++ −
+
 
1012
2024
= −
+
． 
1012
=
 
 
◆题型6 二次根式运算中的新定义型问题 
16.定义：若两个二次根式m ，n 满足m n
p
=
，且p 是有理数．则称m 与n 是关于p 的美好二次根式． 
(1)若m 与2 是关于6 的美好二次根式，求m 的值： 
(2)若1
3
−
与4
3m
+
是关于n 的美好二次根式，求m 和n 的值． 
【答案】(1)
3 2
m =
； 
(2)
8
n = −，
4
m =
． 
 
【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 
（1）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 
（2 ）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 
【详解】（1）解：由题意可得，·
6
2
m
=
， 
∴
3 2
m =
； 
（2）解：由题意可得，(
)(
)
1
3
4
3m
n
−
+
=
， 
整理得，(
)
3
3
4 3
4
m
n
−
=
−+ ， 
3
3
4 3
4
m
m
n
−
=
−+
， 
∴
4
3
4
m
m
n
=
−
=
−
，
 
∴
4
m =
， 
∴
8
n = −． 
17.对于任意的正数m ，n 定义运算※为：
(
)
(
)
m
n m
n
m
n
m
n m
n

−


= 
+


※
. 
(1)计算48 75
※
的结果； 
 
 
 
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(2)计算(
) (
)
3
2
12
8

※
※
的结果. 
【答案】(1)9 3 ； 
(2)2； 
 
【分析】本题考查新运算及根式的混合运算： 
（1）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案； 
（2）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案； 
【详解】（1）解：由题意可得， 
48 75
48
75
4 3
5 3
9 3
=
+
=
+
=
※
； 
（2）解：由题意可得， 
3 2
3
2
=
−
※
，8 12
8
12
2 2
2 3
=
+
=
+
※
， 
∴(
) (
) (
)
(
)
3 2
8 12
3
2
2
3
2
2

=
−

+
=
※
※
． 
18.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2 倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角
形的三边长分别是2，4 和10 ，因为
2
2
2
2
4
20
2 ( 10)
+
=
=

，所以这个三角形是奇异三角形． 
(1)若
ABC

的三边长分别是2，2 2 和6 ，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． 
(2)若Rt
ABC

是奇异三角形，直角边的长为a，b（a
b

），斜边长为c，写出a 和b 的等量关系式． 
【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析 
(2)
2
b
a
=
 
 
【分析】考查了直角三角形的性质、勾股定理； 
（1）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． 
（2）由勾股定理得出
2
2
2
a
b
c
+
=
①，由Rt
ABC
△
是奇异三角形，且b
a

，得出
2
2
2
2
a
c
b
+
=
②，由①②
得出
2
b
a
=
，即可得出结论． 
熟练掌握奇异三角形的定义、勾股定理是解题的关键． 
【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形；理由如下： 
2
2
2
2
(2 2)
12
2 ( 6)
+
=
=


， 
ABC

是奇异三角形， 
（2）Rt
ABC
△
中，
90
C

=
， 
2
2
2
a
b
c

+
=
， 
c
b
a



， 
2
2
2
2c
b
a

，
2
2
2
2a
b
c

， 
Rt ABC

是奇异三角形， 
2
2
2
2b
a
c

=
+
， 
 
 
 
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2
2
2
2
2b
a
a
b

， 
2
2
2
b
a

=
， 
2
b
a
=
， 
 
 
 
综合攻坚·知能拔高 
一、单选题 
1．（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） 
A．2 与12 
B．
4 与8 
C．8 与12 
D．3 与12 
【答案】D 
【分析】所有二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 
【详解】解：选项A：∵ 
12
2 3
=
，
2 的被开方数为2 ，2 3 的被开方数为3，2
3

，∴ A 错误； 
选项B：∵ 
4
2
=
，8
2 2
=
，不是同类二次根式，∴ B 错误； 
选项C：∵ 
8
2 2
=
，12
2 3
=
，被开方数2
3

，∴ C 错误； 
选项D：∵ 
12
2 3
=
，化简后与3 的被开方数均为3，∴ 二者是同类二次根式，D 正确． 
2．（25-26 八年级下·湖北孝感·期末）下列计算中，正确的是（     ） 
A．2
3
5
+
=
 
B．(
)
2
2
2
−
= − 
C．12
3
4

=
 
D．(
)
2
3
3
−
= − 
【答案】B 
【分析】根据二次根式的运算法则和性质逐一判断各选项即可得到结果． 
【详解】解：对于选项A ∵2 与3 不是同类二次根式，无法直接合并 ∴A 错误. 
对于选项B ∵
2
( 2)
2
−
= −，计算符合二次根式的乘方法则 ∴B 正确. 
对于选项C ∵12
3
12 3
4
2
4

=

=
=

 ∴C 错误. 
对于选项D ∵
2
( 3)
9
3
3
−
=
=
− ∴D 错误. 
综上，正确答案为：B． 
3．（25-26 八年级下·山东威海·期末）若
2
3
x =
+
，
2
3
y =
−
，则
2
2
x
xy
y
−
+
=（     ） 
A．13 
B．14 
C．15 
D．16 
【答案】A 
【分析】先将所求代数式变形为含x
y
+
和xy的形式，再计算x
y
+
与xy的值后代入计算． 
 
 
 
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【详解】解：
2
2
2
(
)
3
x
xy
y
x
y
xy
−
+
=
+
−
  
∵
2
3
x =
+
，
2
3
y =
−
  
∴
(
) (
)
2
3
2
3
4
x
y
+
=
+
+
−
=
， 
(
)(
)
2
2
2
3
2
3
2
( 3)
4 3 1
xy =
+
−
=
−
=
−=  
将
4
x
y
+
=
，
1
xy = 代入得： 
原式
2
4
3 1
16
3
13
=
−=
−
=
． 
4．（25-26 八年级下·安徽亳州·期末）已知
10
5
3
x
x
−
−
+
= −，则代数式
10
5
x
x
−
+
+
的值为（     ） 
A．3 
B．3
− 
C．5 
D．5
− 
【答案】C 
【分析】根据(
)(
)
10
5
10
5
15
x
x
x
x
−
−
+
−
+
+
= −
，结合已知条件即可求解． 
【详解】解：设
10
5
y
x
x
=
−
+
+
 
∵
10
5
3
x
x
−
−
+
= −， 
(
)(
)
(
) (
)
2
2
10
5
10
5
(
10)
(
5)
10
5
15
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
+
−
+
+
=
−
−
+
=
−
−
+
= −
， 
∴3
15
y
−
= −
， 
解得：
5
y =
， 
即
10
5
5
x
x
−
+
+
=
． 
5．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互
为倒数的关系．如：由(
)(
)
2
1
2 1
1
+
−
= ，可得2
1
+ 与2 1
−互为倒数，即
1
2
1
2
1
=
−
+
，
1
2
1
2
1
=
+
−
．根据小明同学发现的规律，可得：
1
1
1
1
33 2
1
2
1
3
2
4
3
1
n
n
+
+
+
+
=
−
+
+
+
+
−

，
则整数n 的值为（    ） 
A．2176 
B．2177 
C．2178 
D．2179 
【答案】C 
【分析】先对原式每一项做分母有理化，再利用裂项相消规律化简左边，最后解方程得到整数n 的值． 
【详解】解：根据题意得，
1
1
1
k
k
k
k
=
−
−
+
−
， 

1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
1
n
n
+
+
+
+
+
+
+
+
−

， 
(
) (
) (
)
(
)
2 1
3
2
4
3
1
n
n
=
−
+
−
+
−
+
+
−
−

 
1
n
=
−， 
1
33 2
1
n

−=
−， 
 
 
 
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移项得
33 2
n =
， 
两边平方得
(
)
2
2
33 2
33
2
2178
n =
=

=
， 
即整数n 的值为2178． 
 
二、填空题 
6．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）3 与最简二次根式5
1
a + 是同类二次根式，则a =_________． 
【答案】2 
【分析】被开方式相同的最简二次根式是同类二次根式，据此进行列式计算即可． 
【详解】解：∵5
1
a + 是最简二次根式， 
又∵3 与5
1
a + 是同类二次根式， 
∴
1
3
a+ =
， 
解得
2
a =
． 
7．（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）已知：
7
2
m =
+
，
7
2
n =
−
，则(
)(
)
1
1
m
n
+
+
的值为__________． 
【答案】4
2 7
+
 
【分析】先将所求代数式展开，再分别计算m
n
+
和mn 的值，代入后即可求出结果，解题用到整式乘法法
则与平方差公式． 
【详解】解：(
1)(
1)
1
m
n
mn
m
n
+
+
=
+
+
+ ， 
∵
7
2
m =
+
，
7
2
n =
−
， 
∴
( 7
2)
( 7
2)
2 7
m
n
+
=
+
+
−
=
，
2
2
( 7
2)( 7
2)
( 7)
2
7
4
3
mn =
+
−
=
−
=
−
=
， 
 将
3
mn =
，
2 7
m
n
+
=
代入展开式：原式
3
2 7
1
4
2 7
= +
+ =
+
． 
8．（25-26 七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知：
2
1 4
4
1
y
x
x
−
=
−
+
−，则
2
x
y
y
x
+
−
的值为______． 
【答案】9 2
8
4
−
 
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y
的值是解题的关键． 
先根据二次根式有意义的条件确定x 的值，再代入方程确定y 的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法
则计算即可． 
【详解】解：∵
2
1 4
4
1
y
x
x
−
=
−
+
−，  
∴1 4
0
x
−

且4
1
0
x −
，解得
1
4
=
x
． 
将
1
4
=
x
代入原方程
2
1 4
4
1
y
x
x
−
=
−
+
−，得
2
0
0
0
y −
=
+
=
， 
∴
2
y =
． 
 
 
 
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∴
2
x
y
y
x
+
−
 
2
2
4
2
1
1
4
=
+
−
 
1
8
2
8
=
+
−
 
2
2 2
2
4
=
+
−
 
9 2
2
4
=
−
 
9 2
8
4
−
=
． 
故答案为：9 2
8
4
−
． 
9．（25-26 八年级下·福建福州·期末）中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用三
角形三边求面积的方法，二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长
分别为a，b，c，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么三角形的面积
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
．若ABC

的三边长分别
为5，6，7，则ABC

的面积为______． 
【答案】6 6 
【详解】解：∵ABC

的三边长分别为5，6，7， 
∴
5
6
7
9
2
2
a
b
c
p
+ +
+ +
=
=
=
， 
∴
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
−
−
−
=
 
(
) (
) (
)
9
9
5
9
6
9
7
=

−

−

−
 
216
=
 
6 6
=
． 
10．（25-26 八年级下·全国·期末）定义：我们将(
)
a
b
+
与(
)
a
b
−
称为一对“对偶式”．因为
(
)(
) (
)
(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
+
−
=
−
=
−，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来
解决．例如：(
)(
) (
)
(
)
(
) (
)
2
2
15
3
15
3
15
3
15
3
12
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
，所以15
3
x
x
−
+
−
与
15
3
x
x
−
−
−
互为“对偶式”．则7
2
−
的“对偶式”是________． 
【答案】7
2
+
 
 
 
 
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【详解】解：根据定义，(
)
a
b
+
与(
)
a
b
−
称为一对“对偶式”， 
已知所求式子为7
2
−
，其中
7
a =
，
2
b =
， 
可得它的“对偶式”为7
2
+
． 
 
三、解答题 
11．（25-26 八年级下·天津河东·阶段检测）计算： 
(1)
3
2 12
5 2
4


； 
(2)
1
48
3
12
24
2

−

+
． 
【答案】(1) 
3 2
10
 
(2) 
4
6
+
 
【详解】（1）解：
3
2 12
5 2
4


 
3
4 3
5 2
4
=


 
3 5 2
= 
 
3 2
10
=
； 
（2）解：
1
48
3
12
24
2

−

+
 
1
48 3
12
2 6
2
=
−

+
 
4
6
2 6
=
−
+
 
4
6
=
+
． 
12．（25-26 八年级下·四川广安·期末）计算 
(1)
2
1
18
( 2)
6 2
−
−
−
 
(2)
(
)
3
24
48
12
3
2

+

−
 
(3)(
)
(
)(
)
2
3
1
3
2
3
2
−
−
−
+
 
【答案】(1) 2
− 
 
 
 
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(2)10 
(3)3
2 3
−
 
【详解】（1）解：原式
3 2
2 3 2
=
−−
 
2
= −． 
（2）解：原式
6
2 6
4 3
3
2
=

+

 
6
4 3
3
=
+

 
6
4
=
+
 
10
=
． 
（3）解：原式(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
2 3
1
3
2


=
−
+
−
−



 
4
2 3 1
=
−
− 
3
2 3
= −
． 
13．（25-26 八年级下·重庆江津·期末）若最简二次根式
2
3
a −
与12
a
−
是同类二次根式． 
(1)求a 的平方根； 
(2)对于任意的正实数m 和n ，我们定义新运算：
(
)
*
(
)
m
n
m
n
m n
m
n
m
n

−


= 
+


，求(
) (
)
*2
18*45
a

的值． 
【答案】(1) 
5

 
(2) 
9 
【详解】（1）解：∵最简二次根式
2
3
a −
与12
a
−
是同类二次根式， 
∴2
3
12
a
a
−=
−
， 
∴
5
a =
， 
∴a 的平方根为
5

； 
（2）解：∵
5
2
a =

，18
45

， 
∴(
) (
)
(
) (
)
*2
18*45
5*2
18*45
a

=

 
(
) (
)
5
2
18
45
=
−

+
 
(
) (
)
5
2
3 2
3 5
=
−

+
 
(
) (
)
3
5
2
2
5
=
−

+
 
(
)
3
5
2
= 
−
 
9
=
 
14．（25-26 八年级下·江西新余·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题 
 
 
 
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(
)(
)
2
1
2 1
1,
+
−
=
 
(
)(
)
3
2
3
2
1,
+
−
=
 
(
)(
)
4
3
4
3
1,
+
−
=
 
(
)(
)
5
4
5
4
1,
+
−
=  
(1)观察以上规律，请写出第n 个等式：_____（n 为正整数）． 
(2)利用上面的规律，计算：
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
100
99
+
+
++
+
+
+
+
 
(3)请利用上面的规律，比较18
17
−
与19
18
−
的大小． 
【答案】(1)(
)(
)
1
1
1
n
n
n
n
+ +
+ −
= 
(2)9 
(3) 19
18
18
17
−

−
 
【分析】（1）根据所给式子，可得出第n 个等式为(
)(
)
1
1
1
n
n
n
n
+ +
+ −
= ； 
（2）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题； 
（3）根据上面的规律可以比较18
17
−
和19
18
−
的大小． 
【详解】（1）解：(
)(
)
1
1
1
n
n
n
n
+ +
+ −
= （n 为正整数）. 
（2）解：
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
100
99
+
+
++
+
+
+
+
 
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
(
)(
)
2
1
3
2
4
3
100
99
2
1
2
1
3
2
3
2
4
3
4
3
100
99
100
99
−
−
−
−
=
+
+
++
+
−
+
−
+
−
+
−
 
(
) (
)
(
)
2 1
3
2
100
99
=
−
+
−
++
−
 
100
1
=
− 
10 1
=
− 
9
=
. 
（3）解：
1
18
17
18
17
−
=
+

，
1
19
18
19
18
−
=
+
， 
而
1
1
19
18
18
17

+
+
， 
19
18
18
17

−

−
. 
15．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于
(
)
,
0,
0
m
a
b a
b
a
b




，若a
b
m
−
=
，则
m
a
b
a
b
=


．如：
1
3
2
3
2
=
+
−
，
3
5
2
5
2
=
+
−
，
4
10
6
10
6
=
−
+
． 
 
 
 
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根据小明发现的规律，完成下列问题： 
(1)
5
7
2
=
−
 ，
7
7
n
n
=
+
+
 (
)
0
n 
． 
(2)若
6
15
15
x
x
=
−
+
，则x = ． 
(3)求
2
2
2
2
2
3
1
5
3
7
5
9
7
2027
2025
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

的值． 
【答案】(1) 7
2
+
，
7
n
n
+
−
 
(2)3 
(3) 2027
1
− 
【分析】（1）直接套用题目中的规律计算即可； 
（2）根据规律列等式求解； 
（3）先拆分每一项，再利用裂项相消法计算求和，中间项相互抵消后得到最终结果． 
【详解】（1）解：对于
5
7
2
−
，
7,
2
a
b
=
=
，可得
7
2
5
a
b
m
−=
−
=
=
， 
根据题目规律得
5
7
2
7
2
=
+
−
， 
对于
7
7
n
n
+
+
，
7,
a
n
b
n
=
+
=
，可得
(
)
7
7
a
b
n
n
m
−
=
+
−
=
=
， 
根据题目规律得
7
7
7
n
n
n
n
=
+
−
+
+
； 
（2）已知
6
15
15
x
x
=
−
+
，根据规律可得(
)
2
2
15
6
x
−
=
， 
整理得
2
15
6
x
−
=
，解得
2
9
x =
， 
由二次根式的非负性可知
0
x 
， 
∴
3
x = ； 
（3）根据题意可知，原式中每一项满足分子
(
) (
)
2
2
1
2
1
k
k
=
+
−
−
， 
因此可得
2
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
=
+ −
−
+ +
−
， 
∴原式(
) (
) (
)
(
)
3
1
5
3
7
5
2027
2025
=
−
+
−
+
−
++
−
 
3
1
5
3
7
5
2027
2025
=
−
+
−
+
−
++
−
 
2027
1
=
−． 
16．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）定义：我们将(
)
a
b
+
与(
)
a
b
−
称为一对“对偶式”． 
因为(
)(
) (
)
(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
+
−
=
−
=
−
，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶
式”来解决． 
 
 
 
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例如：已知12
8
2
x
x
−
−
−
= ，求12
8
x
x
−
+
−
的值，可以这样解答： 
因为(
) (
) (
)
(
)
2
2
12
8
12
8
12
8
12
8
4
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−

−
+
−
=
−
−
−
=
−
−+
=
， 
所以12
8
2
x
x
−
+
−
=
． 
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： 
(1)对偶式2
3
+
与2
3
−
之间的关系是 ； 
A．互为相反数      B．互为倒数      C．绝对值相等 
(2)已知：18
6
6
x
x
−
+
−
=
，则18
6
x
x
−
−
−
= ； 
(3)已知10
2
4
x
x
+
+
+
=
，求x 的值． 
【答案】(1)B 
(2)2 
(3)
1
x = − 
【分析】（1）根据倒数的性质，互为倒数的两数相乘得1，即可判断； 
（2）将两式相乘，得到积的值，再利用已知式子的值，求解即可； 
（3）同（2），构造对偶式，再相乘求出积，从而得到10
2
x
x
+
−
+
的值，再相消求解即可． 
【详解】（1）解：∵(
) (
)
2
3
2
3
4 3
1
+

−
=
−= ， 
∴2
3
+
和2
3
−
互为倒数； 
（2）解：∵(
)(
)
(
)
18
6
18
6
18
6
12
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−
−
−
=
−−
−
=
， 
又18
6
6
x
x
−
+
−
=
， 
∴18
6
12
6
2
x
x
−
−
−
=

=
； 
（3）解：(
)(
) (
)
(
)
2
2
10
2
10
2
10
2
10
2
8
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
−
=
∵
， 
10
2
4
x
x
+
+
+
=
又∵
， 
10
2
2
x
x

+
−
+
=
， 
∴
10
2
4
10
2
2
x
x
x
x

+
+
+
=

+
−
+
=

①
②
， 
+
①
②得，2 10
6
x
+
=
，即10
3
x
+
=
， 
两边平方得，10
9
x
+
=
， 
解得
1
x = −， 
经检验，
1
x = −是原方程的解．