专题04二次根式的运算及规律、新定义型问题（专项训练）（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新《8上数学•同步备课资料合集》（新教材北师大）

 
 
 
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专题04 二次根式的运算及规律、新定义型问题 
 
常考题型·精准突破 
题型1 最简二次根式（重） 
题型2 同类二次根式（重） 
题型3 二次根式的混合运算（高频） 
题型4 二次根式中的分母有理化（高频） 
题型5 二次根式运算中的规律探究问题（难） 
题型6 二次根式运算中的新定义型问题（难） 
综合攻坚·知能拔高 
常考题型·精准突破 
◆题型1 最简二次根式 
1．（25-26 八年级下·重庆长寿·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） 
A．5 
B．1.5 
C．
5
2
 
D．25 
2．（25-26 八年级下·辽宁抚顺·期末）下列根式是最简二次根式的是（    ） 
A．0.2 
B．15 
C．
1
3
 
D．12 
3．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） 
A．
4 
B．
1
2
 
C．6 
D．
2
3a 
 
◆题型2 同类二次根式 
4．（25-26 八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与3 是同类二次根式的是（     ） 
A．
1
3
 
B．
1
6
 
C．2 
D．18 
5．（25-26 八年级下·安徽亳州·期末）下列是同类二次根式的一组是（     ） 
A．3 20 ，50 
B．
28 ，2 7
3
 
C．2ab ，3 ab 
D．
2m
n
，
2m
n
 
6．（25-26 八年级下·安徽宣城·期末）
27 与最简二次根式2 2
5
a −
是同类二次根式，则a =________． 
 
 
 
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◆题型3 二次根式的混合运算 
7．（25-26 八年级下·辽宁抚顺·期末）计算： 
(1)
(
)
0
1
48
3
2
30
2 2
3
5

+

−
+
 
(2)(
)(
) (
)
2
5
2
5
2
3
1
+
−
+
−
 
8．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）计算： 
(1)
27
50
6


 
(2)(
)
(
)(
)
2
3
1
3
1
3
5
+
−
+
+
 
(3)
1
48
3
12
24
2

−

+
 
9．（25-26 七年级下·陕西·期末）计算： 
(1)
8
1
32
2
2
+
−
 
(2)
27
2
18
8
3


 
(3)
1
2
24
2
27
6
3


−

+






 
(4)(
)(
) (
)
2
7
4 3
7
4 3
3 5
1
+
−
−
−
 
 
◆题型4 二次根式中的分母有理化 
10．（25-26 七年级下·山东济南·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
3
5 ，
2
3
1
+ ，这样一类
的式子，其实我们还可以将其进一步化简：3
3
5
3 5
5
5
5
5

=
=

，
(
)
(
) (
)
(
)
2
3
1
2
3
1
2
3
1
3 1
3
1
3
1
3
1

−

−
=
=
=
−
−
+
+

−
，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 
(1)仿照上面的解题过程，化简：2
3
=__________，
1
7
6
=
−
__________； 
(2)已知
1
5
2
a =
+
，
1
5
2
b =
−
，求
2
2
a
b
+
的值； 
 
 
 
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(3)解关于x 的方程：
2
2
2
2
1
1
3
3
5
5
7
99
101
x
x
x
x
+
+
+
+
=
+
+
+
+

． 
11．（25-26 八年级下·江西新余·期末）阅读材料：像(
)(
)
5
3
5
3
2
+
−
=
；
(
)
0
a
a
a a

=

；
(
)(
)
(
)
1
1
1
0
b
b
b
b
+
−
=
−

…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式
互为有理化因式．例如3 与
3 ，
2
1
+ 与2 1
−，3 3 5
+
与3 3 5
−
等都是互为有理化因式． 
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 
例如：
1
3
3
6
2 3
2 3
3
=
=

，
(
)
(
)(
)
2
2
1
2
1
3
2 2
2
1
2
1
2
1
+
+ =
=
+
−
−
+
． 
解答下列问题： 
(1)化简：
1
2
1
=
+
________； 
(2)比较大小：100
99
−
________ 99
98
−
（填“”，“”或“ = ”）； 
(3)计算：
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
2026
2025
+
+
++
+
+
+
+
． 
12．（25-26 八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 
已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值．他们是这样解答的： 
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
， 
2
3
a
−
= −
， 
(
)
2
2
3
a

−
=
即
2
4
4
3
a
a
−
+
=
， 
2
4
1
a
a

−
= −， 
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a

−
+ =
−
+ =
−
+ = −． 
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： 
(1)
1
3
2
=
+
____________． 
(2)化简：
1
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
120
119
121
120
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

． 
(3)若
1
10
3
a =
−
，求
2
6
11
a
a
−
+
的值． 
 
◆题型5 二次根式运算中的规律探究问题 
13．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）【观察思考】 
 
 
 
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第1个等式：
2
2
2
2
3
3
+
=
；第2 个等式：
3
3
3
3
8
8
+
=
；第3个等式：
4
4
4
4
15
15
+
=
；… 
(1)【规律发现】直接写出第4 个等式：__________________； 
(2)【规律表达】写出第n 个等式：__________________（用含n 的式子表示）； 
(3)【规律应用】根据上述规律，化简：
12
143
12
143
3
+

． 
14．（24-25 八年级下·安徽淮北·阶段检测）【观察思考】 
第1 个等式：
1
1
1
2
3
3
+
=
； 
第2 个等式：
1
1
2
3
4
4
+
=
； 
第3 个等式：
1
1
3
4
5
5
+
=
；  
第4 个等式： ； 
…… 
【规律发现】 
（1）①直接写出第4 个等式： ； 
②如果n 为正整数，用含n 的式子表示上述的运算规律： ． 
【规律证明】 
（2）证明②中的运算规律． 
【规律应用】 
（3）根据上述规律，化简：
1
2023
6075
2025
+

． 
15．（24-25 七年级下·安徽宣城·期中）【观察思考】 
观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 
第1 个等式：
2
2
1
2 1 1 1
0
0
−+
=
=
； 
第2 个等式：
2
2
2
2 2 1 1
1
1
−+
=
= ； 
第3 个等式：
2
2
3
2 3 1 1
4
2
−+
=
=
； 
第4 个等式：
2
2
4
2 4 1 1
9
3
−+
=
=
； 
第5 个等式：
2
2
5
2 5 1 1
16
4
−+
=
=
； 
…… 
【规律发现】 
（1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： 
①
2
2
6
2 6 1 1
−+
=_____； 
 
 
 
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②
2
2
101
2 101 1 1
−
+
=_____； 
（2）用含n （n 为正整数）的代数式表示出第n 个等式：_____； 
【规律应用】 
（3）根据上述规律计算： 
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 1 1 1
2
2 2 1 1
3
2 3 1 1
4
2 4 1 1
−+
−
−+
+
−+
−
−+
+
+

 
2
2
2
2
2
2
2023
2 2023 1 1
2024
2 2024 1 1
2025
2 2025 1 1
−
+
−
−
+
+
−
+
． 
 
◆题型6 二次根式运算中的新定义型问题 
16.定义：若两个二次根式m ，n 满足m n
p
=
，且p 是有理数．则称m 与n 是关于p 的美好二次根式． 
(1)若m 与2 是关于6 的美好二次根式，求m 的值： 
(2)若1
3
−
与4
3m
+
是关于n 的美好二次根式，求m 和n 的值． 
17.对于任意的正数m ，n 定义运算※为：
(
)
(
)
m
n m
n
m
n
m
n m
n

−


= 
+


※
. 
(1)计算48 75
※
的结果； 
(2)计算(
) (
)
3
2
12
8

※
※
的结果. 
18.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2 倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角
形的三边长分别是2，4 和10 ，因为
2
2
2
2
4
20
2 ( 10)
+
=
=

，所以这个三角形是奇异三角形． 
(1)若
ABC

的三边长分别是2，2 2 和6 ，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． 
(2)若Rt
ABC

是奇异三角形，直角边的长为a，b（a
b

），斜边长为c，写出a 和b 的等量关系式． 
 
 
 
综合攻坚·知能拔高 
一、单选题 
1．（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） 
A．2 与12 
B．
4 与8 
C．8 与12 
D．3 与12 
2．（25-26 八年级下·湖北孝感·期末）下列计算中，正确的是（     ） 
A．2
3
5
+
=
 
B．(
)
2
2
2
−
= − 
C．12
3
4

=
 
D．(
)
2
3
3
−
= − 
3．（25-26 八年级下·山东威海·期末）若
2
3
x =
+
，
2
3
y =
−
，则
2
2
x
xy
y
−
+
=（     ） 
 
 
 
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A．13 
B．14 
C．15 
D．16 
4．（25-26 八年级下·安徽亳州·期末）已知
10
5
3
x
x
−
−
+
= −，则代数式
10
5
x
x
−
+
+
的值为（     ） 
A．3 
B．3
− 
C．5 
D．5
− 
5．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互
为倒数的关系．如：由(
)(
)
2
1
2 1
1
+
−
= ，可得2
1
+ 与2 1
−互为倒数，即
1
2
1
2
1
=
−
+
，
1
2
1
2
1
=
+
−
．根据小明同学发现的规律，可得：
1
1
1
1
33 2
1
2
1
3
2
4
3
1
n
n
+
+
+
+
=
−
+
+
+
+
−

，
则整数n 的值为（    ） 
A．2176 
B．2177 
C．2178 
D．2179 
 
二、填空题 
6．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）3 与最简二次根式5
1
a + 是同类二次根式，则a =_________． 
7．（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）已知：
7
2
m =
+
，
7
2
n =
−
，则(
)(
)
1
1
m
n
+
+
的值为__________． 
8．（25-26 七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知：
2
1 4
4
1
y
x
x
−
=
−
+
−，则
2
x
y
y
x
+
−
的值为______． 
9．（25-26 八年级下·福建福州·期末）中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用三
角形三边求面积的方法，二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长
分别为a，b，c，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么三角形的面积
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
．若ABC

的三边长分别
为5，6，7，则ABC

的面积为______． 
10．（25-26 八年级下·全国·期末）定义：我们将(
)
a
b
+
与(
)
a
b
−
称为一对“对偶式”．因为
(
)(
) (
)
(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
+
−
=
−
=
−，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来
解决．例如：(
)(
) (
)
(
)
(
) (
)
2
2
15
3
15
3
15
3
15
3
12
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
，所以15
3
x
x
−
+
−
与
15
3
x
x
−
−
−
互为“对偶式”．则7
2
−
的“对偶式”是________． 
 
三、解答题 
11．（25-26 八年级下·天津河东·阶段检测）计算： 
(1)
3
2 12
5 2
4


； 
(2)
1
48
3
12
24
2

−

+
． 
12．（25-26 八年级下·四川广安·期末）计算 
 
 
 
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(1)
2
1
18
( 2)
6 2
−
−
−
 
(2)
(
)
3
24
48
12
3
2

+

−
 
(3)(
)
(
)(
)
2
3
1
3
2
3
2
−
−
−
+
 
13．（25-26 八年级下·重庆江津·期末）若最简二次根式
2
3
a −
与12
a
−
是同类二次根式． 
(1)求a 的平方根； 
(2)对于任意的正实数m 和n ，我们定义新运算：
(
)
*
(
)
m
n
m
n
m n
m
n
m
n

−


= 
+


，求(
) (
)
*2
18*45
a

的值． 
14．（25-26 八年级下·江西新余·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题 
(
)(
)
2
1
2 1
1,
+
−
=
 
(
)(
)
3
2
3
2
1,
+
−
=
 
(
)(
)
4
3
4
3
1,
+
−
=
 
(
)(
)
5
4
5
4
1,
+
−
=  
(1)观察以上规律，请写出第n 个等式：_____（n 为正整数）． 
(2)利用上面的规律，计算：
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
100
99
+
+
++
+
+
+
+
 
(3)请利用上面的规律，比较18
17
−
与19
18
−
的大小． 
15．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于
(
)
,
0,
0
m
a
b a
b
a
b




，若a
b
m
−
=
，则
m
a
b
a
b
=


．如：
1
3
2
3
2
=
+
−
，
3
5
2
5
2
=
+
−
，
4
10
6
10
6
=
−
+
． 
根据小明发现的规律，完成下列问题： 
(1)
5
7
2
=
−
 ，
7
7
n
n
=
+
+
 (
)
0
n 
． 
(2)若
6
15
15
x
x
=
−
+
，则x = ． 
(3)求
2
2
2
2
2
3
1
5
3
7
5
9
7
2027
2025
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

的值． 
16．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）定义：我们将(
)
a
b
+
与(
)
a
b
−
称为一对“对偶式”． 
因为(
)(
) (
)
(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
+
−
=
−
=
−
，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶
式”来解决． 
 
 
 
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例如：已知12
8
2
x
x
−
−
−
= ，求12
8
x
x
−
+
−
的值，可以这样解答： 
因为(
) (
) (
)
(
)
2
2
12
8
12
8
12
8
12
8
4
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−

−
+
−
=
−
−
−
=
−
−+
=
， 
所以12
8
2
x
x
−
+
−
=
． 
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： 
(1)对偶式2
3
+
与2
3
−
之间的关系是 ； 
A．互为相反数      B．互为倒数      C．绝对值相等 
(2)已知：18
6
6
x
x
−
+
−
=
，则18
6
x
x
−
−
−
= ； 
(3)已知10
2
4
x
x
+
+
+
=
，求x 的值．