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1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 配方法的应用 常考题型·精准突破 题型1 利用配方法求代数式的最值问题（高频） 题型2 利用配方法比较代数式的大小问题（重） 题型3 利用配方法求几何动点的的最值问题（重） 题型4 利用配方法求新定义型的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用配方法求代数式的最值问题 1．（25-26 八年级下·全国·课后作业）阅读下面的例题： 求代数式 2 6 10 x x + + 的最小值． 解： 2 2 2 6 10 6 9 1 ( 3) 1 + + = + + + = + + x x x x x ． 2 ( 3) 0 x + ， 2 ( 3) 1 1 + + x ， 2 6 10 x x + + 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式 2 10 27 + + y y 的最小值． (2)判断代数式 2 8 4 − + m m 有最大值还是有最小值，并求出该最值． 2．（25-26 九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的 问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式 2 6 18 x x + + 的最小值的过程如下： 解： 2 2 2 6 18 6 9 9 ( 3) 9 x x x x x + + = + + + = + + ． 2 ( 3) 0 x + ， 2 ( 3) 9 9 x + + ， 2 6 18 x x + + 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式 2 2 2 4 6 2( 1) 8 x x x − + + = − − + ，当x =_______时，代数式 2 2 4 6 x x − + + 有最_______值（填“大”或“小”）， 这个值是_______； (2)比较代数式 2 3 1 x x − + 与 2 2 3 6 x x + − 的大小，并说明理由． 3．（25-26 八年级上·山东德州·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是 数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的 和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛 应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解： 2 4 5 x x + −． 解：原式 2 4 4 4 5 x x = + + − −第一步 ( ) 2 2 9 x = + −第二步 ( )( ) 2 3 2 3 x x = + + + − 第三步 ( )( ) 5 1 x x = + − 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求 2 2 4 1 x x − + 的最小值． 解：原式 ( ) 2 2 2 1 x x = − + ( ) 2 2 2 1 1 1 x x = − + − + ( ) 2 2 1 1 1 x = − − + ( ) 2 2 1 2 1 x = − − + ( ) 2 2 1 1 x = − −． ( ) 2 1 0 x − ， ∴当( ) 2 1 0 x − = ，即 1 x = 时， 2 2 4 1 x x − + 的 值最小，最小值为2 0 1 1 −= −． 任务： (1)例1 因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将 2 6 8 x x − + 因式分解． (3)用配方法求：当x 为何值时，代数式 2 2 8 5 x x + −的值最小，最小值是多少． (4)当x =___________时，代数式 2 2 3 x x − + −有最___________值，是___________． ◆题型2 利用配方法比较代数式的大小问题 4．（2025 九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数x ， ① 2 2 8 9 0 x x − + ， 2 2( 2) 1 0 x − + ；② 2 ( 2) 0 x − ， 2 2( 2) 0 x − ． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数x ，都有 2 2( 2) 1 0 x − + ； (2)不论x 为何实数，请通过运算，比较多项式 2 3 5 1 x x − −与 2 3 10 x x + − 的值的大小． 5．（2025 九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要 应用，例如：试求二次三项式 2 4 5 x x + + 最小值． 解： ( ) 2 2 2 4 5 4 4 1 2 1 x x x x x + + = + + + = + + ， 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) ( ) 2 2 2 0, 2 1 1 x x + + + ， ∴ 2 4 5 1 x x + + ，即 2 4 5 x x + + 的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知 2 6 12 y x x = − + ，求y 的最小值． (2)比较代数式 2 3 2 x x − + 与 2 2 3 6 x x + − 的大小，并说明理由． 6． （2025 九年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式，可以将多项式 2x bx c + + 变形为( ) 2 x m n + + 的形式．例 如： ( ) 2 2 2 2 2 8 17 2 4 4 4 17 4 1 x x x x x − + = −+ − + = − + ． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式 2 2 3 x x − + 变形为( ) 2 x m n + + 的形式，并判断 2 2 3 x x − + 与0 的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是3 2 a + ，2 5 a + ，面积为 1S ；图②中矩形的长和宽分别是5a ， 5 a + ，面积为 2 S ．请比较 1S 与 2 S 的大小，并说明理由． ◆题型3 利用配方法求几何动点的的最值问题 7．（25-26 九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若 ( ) 2 2 2 4 x x x a b + − = − + ．a = _______，b = _______． （2）当x =_______时，代数式 2 2 4 x x − −有最小值，最小值是_______． （3）如图，ABC 中， 90 , 4cm, 8cm C AC BC = = = ，点M,N 分别是线段AC 和BC 上的动点，点M 从A 点出发以1cm/s 的速度向C 点运动；同时点N 从C 点出发以2cm/s的速度向B 点运动，当其中一点到达终点 时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t 的值为多少时， MCN △ 的面积最大，最大值为多少？ 8．（24-25 八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在ABC 中， 90 B = ， 12cm AB = ， 24cm BC = ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm / s的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/ s 的速度移动， 如果P，Q 两点分别从A，B 两点同时出发，设运动时间为xs． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)用含x 的式子表示：BP =______cm， PBQ S = △ ______ 2 cm ， APQC S = 四边形 ______ 2 cm ； (2)当PBQ 的面积为 2 32cm 时，求运动时间； (3)四边形APQC 的面积能否等于 2 172cm ？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式 2 4 6 y y + + 的最小值．解： ( ) 2 2 2 4 6 4 4 6 4 2 2 y y y y y + + = + + + − = + + ．因为 ( ) 2 2 0 y + ，所以( ) 2 2 2 2 y + + ，所以 2 4 6 y y + + 的最小值是2． ②解决问题：运动时间x 为何值时，四边形APQC 的面积最小？ 9．（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）综合与实践 [规律探究] （1）教材第54 页《数学活动》活动一中部分问题如下： 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如： 91 99 ，92 98 ，…，98 92 ，99 91 ．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 证明如下： 由已知可得，这两个两位数的和为①，设其中一个两位数为x，则另一个两位数为②． 设这两个两位数的积为y，则有y =③， 将此函数化为顶点式为④， 根据函数图象和性质，当x =⑤，y 有最大值． 因此我们可以猜想：若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大．（证明略）通过证明， 可以得出这个猜想是真命题． [实践运用] （2）如图，四边形ABCD的对角线 , AC BD 互相垂直，且 20 AC BD + = ，求四边形ABCD的面积的最大值． ◆题型4 利用配方法求新定义型的综合问题 10．（2025 九年级上·全国·专题练习）小明在学习配方法时，将关于x 的多项式 2 2 5 x x − + 配方成 2 ( 1) 4 x − + ， 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 发现当 1 x−的值为任意一对互为相反数的数时，多项式 2 2 5 x x − + 的值是相等的．例如：当 1 1 x−= ，即 2 x = 或0 时， 2 2 5 x x − + 的值均为5；当 1 2 x−= ，即 3 x = 或-1 时， 2 2 5 x x − + 的值均为8．于是小明给出一个 定义：对于关于x 的多项式，若当x m − 的值为任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多 项式关于x m = 镜像，例如 2 2 5 x x − + 关于x =1 镜像． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式 2 8 10 x x − + 关于________镜像； (2)若式子( )( ) 2 2 6 9 2 1 x x x x + + − + 关于x m = 镜像，求出方程 2 2 3 0 x mx + − = 的解． 11．（25-26 九年级上·广东深圳·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个 式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变 形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式 2 2 3 x x − + 进行配方． 解： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x − + = − + + = − + + = − + ． 我们定义：一个整数能表示成 2 2 a b + （a ，b 是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅 美数”例如，5 是“雅美数”．理由：因为 2 2 5 2 1 = + ．再如， ( ) 2 2 2 2 2 2 M x xy y x y y = + + = + + （x ，y 是整数）， 所以M 也是“雅美数”． (1)[问题解决]6，7，8，10 四个数中的“雅美数”是 ． (2)若二次三项式 2 6 13 x x − + （x 是整数）是“雅美数”，可配方成( ) 2 2 x m n − + （m ，n 为常数），则mn 的值 为 ； (3)[问题探究]已知 2 2 4 8 12 S x y x y k = + + − + （x ，y 是整数，k 是常数且 4 x −， 3 2 y ），要使S 为“雅美数”， 试求出符合条件的k 值． (4)[问题拓展]已知实数M ，N 是“雅美数”，求证： M N 是“雅美数”． 12．（25-26 九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数 有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 2 2 a b + (a，b 是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5 是“完美数”，理由：因为 2 2 5 2 1 = + ，再如， ( ) 2 2 2 2 2 2 M x xy y x y y = + + = + + ，(x，y 是整数)，所以M 也是“完 美数”． 【材料二】例如，把二次三项式 2 2 3 x x − + 进行配方，可求其最值． 解： 2 2 2 2 2 3 2 1 2 ( 2 1) 2 ( 1) 2 x x x x x x x − + = − + + = − + + = − + ； 当 1 x = 时， 2 2 3 x x − + 的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①11； ②34； ③60 ． 【探究问题】 (2)若 2 6 13 x x − + 可配方成 2 2 ( ) ( x m n m − + ，n 为正整数），则 n m 的值为 ； (3)已知 2 2 4 5 8 ( S a ab b b k a = + + − + ，b 是整数，k 是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值， 并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数x ，y 均满足 2 1 x y − = ，求代数式 2 2 2 4 2028 x y x + − + 的最小值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26 九年级上·广东佛山·期末）多项式 2 2 4 2 8 x y x y + + − + 的最小值为（ ） A．2 − B．1 C．3 D．2 2．（25-26 九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论a 为何实数，多项式 2 4 6 − + a a 的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 3．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于x 的一元二次方程 ( ) 2 1 0 a x h k − + = 与 ( ) 2 2 0 a x h k − + = 称为 “同形二次方程”（ 1 2 0 a a ）．现有关于x 的方程( ) 2 3 2 5 0 x + − = 与方程( ) ( ) 2 2 1 4 3 0 a x b x + + + + = 是“同形 二次方程”．则代数式 2 2 2026 ax bx − + − 的最大值是（ ） A．2022 − B．2024 − C．2026 − D．2028 − 二、填空题 4．（25-26 九年级上·江苏泰州·期中）已知， 12 33 M m = − ， 2 2 4 N m m − = ，则M________N ．（填 “＞”，“” 或“ = ”） 5．（25-26 九年级上·全国·课后作业）当x =__时，多项式 2 2 4 3 x x − − + 有最大值？求出这个最大值是 __ ． 6．（25-26 九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）新定义：关于x 的一元二次方程 2 1( ) 0 a x c k − + = 与 2 2( ) 0 a x c k − + = 称为“同族二次方程”．例如： 2 5( 6) 7 0 x − + = 与 2 6( 6) 7 0 x − + = 是“同族二次方程”．现有关于 x 的一元二次方程 2 2 ( 2)( 3 ) 5 0 m x m n + + − + + = 与 2 2( 1) 1 0 x − + = 是“同族二次方程”，则代数式 2 2029 mx nx + + 的最小值是_____． 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题 7．（25-26 九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式 2 4 5 x x + + ， (1)用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 8．（25-26 八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成 2 2 a b + （a 、b 是整数）的形式，则称这 个数为“完美数”．例如，5 是“完美数”．理由：因为 2 2 5 2 1 = + ，所以5 是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25 是“完美数”，请将它写成 2 2 a b + （a 、b 是整数）的形式________； （2）若 2 4 1 x x − −可配方成( ) 2 x m n − + （m 、n 为常数），则mn =________； 【探究问题】 （3）已知 2 2 4 6 13 0 x y x y + - + + = ，则x y + = ________； （4）已知 2 2 4 2 12 S x y x y k = + + − + （x 、y 是整数，k 是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一 个k 值，并说明理由； 9．（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当 0 a ， 0 b 时，由 2 ( ) 2 0 a b a ab b − = − + ，得 2 a b ab + 当 且仅当a b = 时，取到等号．已知 0 x ，求式子 4 x x + 的最小值．解：令a x = ， 4 b x = ，则由 2 a b ab + ， 得 4 4 2 4 x x x x + = ，当且仅当 4 x x = 时，即正数 2 x = 时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下 列问题： (1)2 3 + ______2 2 3 （用“ = ”“”“”填空） (2)当 0 x ，式子 9 x x + 的最小值为______． (3)如图，四边形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，AOB 、COD △ 的面积分别是8 和14，求四边形ABCD 面积的最小值． 10．（24-25 八年级下·安徽蚌埠·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代 数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式 2 4 8 y y + + 的最小值． 解： 2 2 2 4 8 4 4 4 ( 2) 4 y y y y y + + = + + + = + + ， 2 ( 2) 0 y + ， 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 ( 2) 4 4 y + + ， 当 2 y = −时， 2 4 8 y y + + 的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式 2 6 12 x x − + 的最小值； (2)【举一反三】若代数式 2 2 y x x = − − ：当x =__________时，y 有最__________值（填“大”或“小”），这 个值是__________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠 墙（墙的长度为15m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形ABEF 与长方 形EFCD 面积比为1:2，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多 少？ 11．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式 ( ) 2 0 ax bx c a + + 变形为( ) 2 a x m n + + 的形式，我们把这样的变形方法叫做多 项式 ( ) 2 0 ax bx c a + + 的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式 2 4 1 x x + −的最小值， ( ) 2 2 2 4 1 4 4 4 1 2 5 x x x x x + −= + + − −= + −可知，当 2 x = −时， 2 4 1 x x + −有最小值，最 小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式 2 2 3 x x + −，原式 2 2 1 1 3 x x = + + −− =____________ = _____________ ． (2)【项目解决】当a，b，c 分别为ABC 的三边长，且满足 2 2 4 6 13 0 a b a b + − − + = 时，直接写出c 的取值范 围． (3)如图，在四边形ABCD中，AC BD ⊥ ．若 8 AC BD + = ，求四边形ABCD面积的最大值 ． 12．（25-26 九年级上·四川内江·阶段检测）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如 ( ) 2 0 ax bx c a + + 的多项式变形为( ) 2 a x m n + + 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 2 0 ax bx c a + + 的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方 差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 2 2 2 2 4 4 4 5 4 5 2 2 x x x x + − = + + − − ( ) ( )( ) 2 2 4 4 9 2 9 1 5 x x x x x = + + − = + − = − + 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： （1）分解因式： 2 2 3 x x + −； （2）求多项式 2 2 6 7 x x + − 的最小值； （3）已知a，b，c 是ABC 的三边长，且满足 2 2 2 6 8 10 50 0 a b c a b c + + − − − + = ，求ABC 的周长． 【拓展应用】 （4）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c 是Rt ABC 和Rt DEF 的三边长．根据 勾股定理，可得 2 2 2 AE c c c = + = ，我们把关于x 的一元二次方程 2 2 0 ax cx b + + = ，称为“勾系一元二次 方程”，已知代数式 2 14 48 p p − + 的最小值是“勾系一元二次方程” 2 2 0 ax cx b + + = 的一个根．四边形ACDE 的周长为8 2 ，试求四边形ACDE 的面积．
