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一元二次方程常考类型分类训练
（10 种类型共 50 道）
【类型一 一元二次方程的定义】
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．𝑥𝑦+2=1 B．𝑥2+ 1 −9=0 C．𝑥2 =0 D．𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =3
2𝑥
2．若关于𝑥的方程(𝑘−1)𝑥2−4𝑥−5=0是一元二次方程，则𝑘的取值范围是（ ）
A．𝑘 ≠0 B．𝑘 ≠1 C．𝑘 ≠0且𝑘 ≠1 D．𝑘 =0
3．已知关于𝑥的方程(𝑚+3)𝑥2−3𝑚−1=0是一元二次方程，则𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚 ≠0 B．𝑚≠−3 C．𝑚 ≠3 D．𝑚 ≠𝑥
4．若关于𝑥的方程(𝑚−2)𝑥𝑚2−2+𝑥 =0是一元二次方程，则𝑚的值是（ ）
A．−2 B．±2 C．3 D．±3
5．若(𝑎−2)𝑥2−2𝑥+2=0是关于𝑥的一元二次方程，则𝑎的值是（ ）
A．2 B．−2 C．0 D．不等于2的任意实数
【类型二 配方】
6．已知一元二次方程𝑥2−3𝑥−2=0，用配方法解该方程，配方后的方程是（ ）
2
A．(𝑥− 3 ) =2 B．(𝑥−6)2 =38
2
2 2
3 17 3 1
C．(𝑥− ) = D．(𝑥− ) =
2 4 2 4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．用配方法将二次三项式3𝑎2−4𝑎+5变形的结果是（ ）
2 2 2 2
2 11 2 11 2 11 2 11
A．(𝑎− ) + B．3(𝑎− ) + C．3(𝑎+ ) + D．3(𝑎− ) +
3 9 3 3 3 3 3 9
8．用配方法解方程𝑥2−4𝑥−3=0，则配方正确的是（ ）
A．(𝑥−2)2 =1 B．(𝑥+2)2 =1 C．(𝑥−2)2 =7 D．(𝑥+2)2 =7
9．将方程2𝑥2−12𝑥+1=0配方成(𝑥−𝑚)2 =𝑛的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A．(𝑥+3)2 =17 B．(𝑥+3)2 = 17 C．(𝑥−3)2 =17 D．(𝑥−3)2 = 17
2 2
10．用配方法解方程3𝑥2−6𝑥+2=0，则方程可变形为（ ）
A．(𝑥−3)2 = 1 B．(𝑥−1)2 = 1 C．(3𝑥−1)2 =1 D．(𝑥−1)2 = 2
3 3 3
【类型三 判定根的情况】
11．下列关于𝑥的一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．𝑥2−2𝑥+3=0 B．2𝑥2 +2𝑥−1=0
C．3𝑥2−2=1 D．𝑥2−2𝑥+1=0
12．一元二次方程𝑥2−2𝑥−1=0的根的情况为（ ）
A．有两不相等实根 B．有两相等实根
C．无实根 D．不能确定
13．下列关于x的一元二次方程中，一定有实数解的是（ ）
A．𝑥2−2𝑥+2=0 B．𝑥2−𝑥−𝑚=0 C．√2𝑥2−2𝑥+1=0 D．𝑥2−𝑚𝑥−
1=0
14．方程2𝑥2+3𝑥+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
15．一元二次方程3𝑥2−6𝑥+4=0根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【类型四 根与系数的关系】
16．关于x的方程2𝑥2+6𝑥−7= 0的两根分别为𝑥 ，𝑥 ，则𝑥 +𝑥 的值为（ ）
1 2 1 2
7 1
A．3 B．−3 C．− D．
2 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．设一元二次方程𝑥2−5𝑥+2=0的两个实根为𝑥 和𝑥 ，则𝑥 𝑥 ＝（ ）
1 2 1 2
A．−5 B．5 C．−2 D．2
18．已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−6𝑥+𝑘+1=0的两个实数根为𝑥 ，𝑥 ，且𝑥 2+𝑥 2 =24，则k的值为
1 2 1 2
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
19．已知方程𝑥2−3𝑥+2=0的两根是𝑥 ,𝑥 ，则 1 + 1 的值是（ ）
1 2 𝑥1 𝑥2
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
20．已知m，n是方程𝑥2+2𝑥−6=0的两根，则3𝑚2+4𝑚𝑛+2𝑛2+2𝑚的值为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．20
【类型五 最值问题】
21．关于代数式𝑥2−4𝑥+5的判断，下列正确的是（ ）
A．有最小值2 B．有最大值1 C．有最小值1 D．有最大值2
22．代数式𝑥2−4𝑥+5的最小值为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
23．代数式𝑥2−4𝑥+3的最小值为（ ）．
A．−1 B．0 C．3 D．5
24．已知关于x的多项式𝑥2−𝑚𝑥+9的最小值为8，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
25．已知m是有理数，则m2﹣2m+4的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【类型六 近似解】
26．根据下列表格中的对应值，判断方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0 (𝑎 ≠0，𝑎，𝑏，𝑐为常数)的一个解𝑥的范围是( )
𝑥 3.23 3.24 3.25 3.26
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 −0.06 −0.02 0.03 0.09
A．3<𝑥 <3.23 B．3.23<𝑥 <3.24
C．3.24<𝑥 < 3.25 D．3.25<𝑥 <3.26
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．根据下表确定方程𝑥2−𝑏𝑥−5=0的解的取值范围是（ ）
𝑥 −3 −2 −1 … 4 5 6
𝑥2−𝑏𝑥−5=0 13 5 −1 … −1 5 13
A．−2<𝑥<−1或4<𝑥 <5 B．−2<𝑥<−1或5<𝑥 <6
C．−3<𝑥 <−2或5< 𝑥 <6 D．−3<𝑥 <−2或4<𝑥 <5
28．根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 −0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0 (𝑎 ≠0)的一个解x的范围是（ ）
A．𝑥 <3.24 B．3.24<𝑥 <3.25
C．3.25<𝑥 < 3.26 D．3.25<𝑥 <3.28
29．根据下表的对应值，试判断一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0 的一个解的取值范围是（ ）
x −3 −1 1 4
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 0.06 0.02 −0.03 −0.07
A．−3<𝑥 <−1 B．−0.03<𝑥 <0.02
C．−1<𝑥 <1 D．−0.07<𝑥 < −0.03
30．根据表格中的信息，估计一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0（a、b、c为常数，𝑎 ≠0）的一个解x的范围
为（ ）
𝑥 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 −0.44 −0.25 −0.04 0.19 0.44
A．0.4<𝑥 <0.5 B．0.5<𝑥 < 0.6
C．0.6<𝑥 <0.7 D．0.7<𝑥 <0.8
【类型七 由根的情况判断参数范围】
31．关于𝑥的方程(𝑚−3)𝑥2−4𝑥−2=0有两个不相等的实数根，则实数𝑚的取值范围是 ．
32．关于𝑥的方程𝑥2−𝑘(𝑥+1)+𝑥 =0有实数根，则𝑘的取值范围是 ．
33．若关于𝑥的方程𝑚𝑥2−(2𝑚−1)𝑥+(𝑚+1)=0有两实根，那么𝑚的取值范围是 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司34．若关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥2−3𝑥+2=0有实数根，则字母𝑘的取值范围是 ．
35．已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2+6𝑥+𝑘 =0．若此方程有两个实数根，则实数𝑘的取值范围为 ．
【类型八 换元法】
36．若(2𝑥+3𝑦)2+3(2𝑥+3𝑦)−4=0，则2𝑥+3𝑦的值为 ．
37．已知实数x满足(𝑥2−𝑥)2−2(𝑥2−𝑥)−3=0，则代数式𝑥2−𝑥+2020的值为 ．
38．若(𝑚2+𝑛2)(𝑚2+𝑛2−1)=12，求(𝑚2+𝑛2)的值为 ．
39．若(𝑥2 +𝑦2)(𝑥2+𝑦2−2)−8=0，则𝑥2+𝑦2 = ．
40．若(𝑥2 +𝑦2)2−5(𝑥2+𝑦2)−6=0，则𝑥2+𝑦2 = ．
【类型九 适当方法解方程】
41．用适当方法解方程：
(1)2𝑥2−7𝑥+3=0；
(2)𝑥+5=𝑥2−25．
42．用适当方法解下列方程：
(1)𝑥2+4𝑥−1=0；
(2)𝑥(2𝑥−5)=2𝑥−5．
43．用适当方法解下列方程：
(1)𝑥(𝑥−2)+𝑥−2=0
(2)𝑥2−4𝑥−4=0
44．用适当方法解下列方程
(1)𝑥2−7𝑥+2=0；
(2)2𝑥(𝑥−3)+𝑥 =3．
45．请你选用适当方法解方程
(1)𝑥(𝑥−3)=𝑥−3
(2)𝑥2−4𝑥−6=0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【类型十 应用题】
46．据统计，2020年底某市汽车拥有量为75万辆，而截止到2022年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为
了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2024年底全市汽车拥有量不超过125.48 万辆；
且从2023年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假设每年新增汽车数量相同，
请估算出该市从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出2020年底至2022年底该市汽
车拥有量的年平均增长率．
47．学校课外兴趣活动小组准条利用长为8m的墙𝐴𝐵和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平
行于墙一边𝐶𝐷长为xm．
(1)如图1，如果矩形花园的一边靠墙𝐴𝐵，另三边由篱笆𝐸𝐶𝐷𝐹围成，当苗圃园的面积为60m2时，求x的值；
(2)如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙𝐴𝐵和一节篱笆𝐵𝐹构成，另三边由篱笆𝐴𝐶𝐷𝐹围成，当苗圃园的面积
为60m2时，求x的值．
48．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时
修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，
乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(𝑚+25)小时；甲工程队的修路速度比原计划每
小时下降了3𝑚米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司49．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜
爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大伯
和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大
伯的速度每分钟提高了2𝑎米，时间都各自多走了10𝑎分钟，结果两人又共走了6900米，求𝑎的值．
50．某服装销售商用24000元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又
用50000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出40件，销售价每降低10元，
则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为2000元，销售价应为多少？
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