文档文本内容
一元二次方程应用题分类训练
（10 种类型共 50 道）
【类型一 比赛问题】
1．首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参
加第一轮比赛的共有几名选手？
【答案】参加第一轮比赛的共有15名选手
【分析】设参加第一轮比赛的共有𝑥名选手，根据“每位棋手与棋手比赛一盘制，第一轮比赛共下了105场”，
列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设参加第一轮比赛的共有𝑥名选手，
𝑥(𝑥−1)
根据题意得： =105，
2
整理得：𝑥2−𝑥−210 =0，
解得：𝑥 =15，𝑥 =−14（不符合题意，舍去），
1 2
∴参加第一轮比赛的共有15名选手．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2．区教育局要组织辖区内学校进行足球友谊赛，赛制为单循环形式，即每两所学校之间都赛一场，计划安
排28场比赛，应邀请多少所学校参加比赛?
【答案】应邀请8所学校参加比赛
1
【分析】设应邀请x所学校参加比赛，根据列一元二次方程 𝑥(𝑥−1) =28，求解即可．
2
【详解】解：设应邀请x所学校参加比赛，
1
由题意得： 𝑥(𝑥−1)=28，
2
解得：𝑥 =8，𝑥 =−7（不符合题意舍去），
1 2
答：应邀请8所学校参加比赛．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意列出一元二次方程是解题的关键．
3．某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），
共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛?
【答案】11支
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×(队的个数−1) =110，
把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设有𝑥支球队参加比赛．
由题意可得：𝑥(𝑥−1)=110，
解得𝑥 =11，𝑥 =−10（不合题意，舍去），
∴有11支球队参加比赛．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
4．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形
式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．
(1)问该校八年级共有几个班？
(2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要
取得多少场胜利？
【答案】(1)10个班
(2)5场
【分析】（1）该校八年级共有𝑥个班，利用比赛的总场数=该校八年级的班数×（该校八年级的班数−1)÷2，
可列出关于𝑥的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）设小奉同学所在的2101班胜了𝑦场，则负了(9−𝑦)场，利用积分=2×胜的场数+1×负的场数，结合
积分不低于14分，可列出关于𝑦的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：该校八年级共有𝑥个班，
1
根据题意得： 𝑥(𝑥−1)=45，
2
整理得：𝑥2−𝑥−90 =0，
解得：𝑥 =10，𝑥 =−9（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该校八年级共有10个班；
（2）设小奉同学所在的2101班胜了𝑦场，则负了(9−𝑦)场，
根据题意得：2𝑦+(9−𝑦) ≥14，
解得：𝑦 ≥5，
∴𝑦的最小值为5．
答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
5．学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【答案】（1）6；（2）9支
1
【分析】根据赛制为单循环形式 ×4×3场，即可求解；
2
（2）设有𝑥 支球队参加比赛，根据题意，列出方程，即可求解．
1
【详解】解：（1） ×4×3=6 （场），
2
答：共进行6场比赛；
（2）设有𝑥 支球队参加比赛，根据题意得：
1
𝑥(𝑥−1)=36 ，
2
解得：𝑥 =9,𝑥 =−8 （不合题意，舍去），
1 2
答：有9支球队参加比赛．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【类型二 增长率】
6．某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10
月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率．
【答案】月平均降价率是10%
【分析】设月平均降价率是x，由题意可列一元二次方程求解．
【详解】设月平均降价率是𝑥，
依题意得：39(1−𝑥)2 =31.59，
解得：𝑥 =0.1=10%，𝑥 =1.9（不符合题意，舍去），
1 2
∴月平均降价率是10%．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题关键．
7．刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利6400元．4月份的盈利达到8100元，且从2月到4月，每个月盈
利的增长率相同．
(1)求每个月盈利的增长率；
(2)按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元．
【答案】(1)每个月盈利的增长率为12.5%
(2)按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到9112.5元
【分析】（1）设每个月盈利的增长率为𝑥，根据题意列出一元二次方程6400(1+𝑥)2 = 8100，即可求解增长
率．
（2）由第一问所求增长率即可求解．
【详解】（1）解：设每个月盈利的增长率为𝑥，依题意得：6400(1+𝑥)2 = 8100，
解得：𝑥 =0.125=12.5%，𝑥 =−2.125（不合题意，舍去）．
1 2
答：每个月盈利的增长率为12.5%．
（2）解：8100×(1+12.5%)=8100×1.125=9112.5（元）．
答：按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到9112.5元．
【点睛】本题考查一元二次方程中的增长率问题．正确理解题意是解题关键．
8．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐
款3000元，第三天收到捐款4320元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1)捐款增长率为20%
(2)第四天该单位能收到5184元捐款
【分析】（1）设捐款增长率为x，根据“第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元，第二天、第三天
收到捐款的增长率相同”列方程，解方程即可得到答案；
（2）用第三天收到的捐款乘以(1+20%)即可得到答案．
【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得：3000×(1+𝑥)2 =4320，
解得𝑥 =0.2，𝑥 =−2.2（不合题意，舍去）；
1 2
答：捐款增长率为20%.
（2）第四天收到捐款为：4320×(1+20%)=5184（元），
答：第四天该单位能收到5184元捐款．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
9．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为
12.5万人．
(1)求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
(2)预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿
．．．
地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？
．．
【答案】(1)这两个月平均增长率为25%
(2)6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 x，由2月份游客人数为 1.6万人，4月份游
客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设 5 月份后 10 天日均接待游客人数是 a 万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不
等式，即可求解．
【详解】（1）解：设这两个月平均增长率为𝑥，根据题意，得：8(1+𝑥)2 =12.5
1 9
解得，𝑥 = =25%，𝑥 = − （舍）
1 4 2 4
答：这两个月平均增长率为25%．
（2）解：设6月份后20天日均接待游客人数是𝑎万人，山题意可得：6.625+20𝑎 ≤12.5(1+25%)
𝑎 ≤0.45
答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，
进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图
书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】(1)50%；
(2)能，见解析．
【分析】（1）设进馆人次的月平均增长率为𝑥，再分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，最后根据三
个月进馆人次等于608的等量关系列方程解答即可；
（2）根据（1）计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，最后与500比较即可．
【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为𝑥，则由题意得：128+128(1+𝑥)+128(1+𝑥)2 =608，
化简得：4𝑥2+12𝑥−7=0，
∴(2𝑥−1)(2𝑥+7) =0，
∴𝑥 =0.5=50%或𝑥 =−3.5（舍）；
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）解：能，理由：∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128(1+50%)3 =128× 27 =432 <500．
8
即校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【类型三 围栏问题】
11．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门，另外三边
用木栏围成，木栏长30m．
(1)若养鸡场面积为120m2，求鸡场长和宽各为多少米？
(2)养鸡场面积能达到200m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)垂直于墙的边长为10米，平行于墙的边长为12米
(2)不能，理由见解析
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）设垂直于墙的边长为𝑥m，根据鸡场的面积列出方程，解之即可；
（2）根据鸡场的面积列出方程，根据解的情况判断即可．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为𝑥m．
由题意可得：𝑥(30+2−2𝑥)=120，
解得𝑥 =10，𝑥 =6，
1 2
当𝑥 =6时，32−2𝑥 =20>18，不合题意，舍去．
当𝑥 =10时，32−2𝑥 =12．
∴𝑥 =10．
答：垂直于墙的边长为10m，平行于墙的边长为12米时，鸡场的面积为120m2；
（2）鸡场的面积不能达到200m2．理由如下：𝑥(30+2−2𝑥) =200，
整理得：2𝑥2−32𝑥+200 =0．
∵ △=(−32)2−4×2×200=−576<0，
∴此方程无解．
答：鸡场的面积不能达到200m2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用．得到平行于墙的边长的代数式是解决本题的易错点．
12．“口袋公园”是面向公众开放，规模较小，形状多样，具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，类型包括
小游园、小微绿地等．近年来，我市以全面推动生态文明建设、创建国家园林城市为目标，以满足市民对
便捷游园的期待和要求为导向，从绿着手，以美为善，为美而行，在城区范围内兴建了 30多个主题鲜明、
特色突出、以小而灵、以精致胜的“口袋公园”．某“口袋公园”有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏
靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪𝐴𝐵𝐶𝐷，求该矩形草坪𝐵𝐶边的长．
【答案】该矩形草坪BC边的长为15米
35−𝑥
【分析】可设𝐵𝐶边的长为x米，则AB的长是 米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
2
【详解】解：设𝐵𝐶边的长为x米，且𝑥 ≤16，
35−𝑥
根据题意得：𝑥× =150
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得：𝑥 =15，𝑥 =20，
1 2
∵20>16，
∴𝑥 =20不合题意，舍去，
2
即：𝑥 =15，
答：该矩形草坪BC边的长为15米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未
知数，列出方程．
13．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长
15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
(1)若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长𝐴𝐵和宽𝐵𝐶；
(2)该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由.
【答案】(1)长𝐴𝐵为15m，宽𝐵𝐶为8m
(2)想法不能实现
【分析】（1）设𝐵𝐶 =𝑥m，则可表示出长𝐴𝐵，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
（2）设𝐵𝐶 =𝑥m，则可表示出长𝐴𝐵，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符合题
意，即可作出判断．
【详解】（1）解：设𝐵𝐶 =𝑥m，则𝐴𝐵 =(39−3𝑥)m，
由题意得：𝑥(39−3𝑥) =120，
整理得：𝑥2−13𝑥+40=0，
解得：𝑥 =5，𝑥 =8，
1 2
当𝑥 =5时，39−3𝑥 =24>15，不符合题意；当𝑥 =8时，39−3𝑥 =15，符合题意；
答：鸡场的长𝐴𝐵和宽𝐵𝐶分别为15m与8m．
（2）解：设𝐵𝐶 =𝑥m，则𝐴𝐵 =(39−3𝑥)m，
由题意得：𝑥(39−3𝑥) =130，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司整理得：3𝑥2−39𝑥+130 =0，
Δ=(−39)2−4×3×130 =1521−1560 <0，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程与图形，正确列出方程是解题的关键．
14．如图，某校广场有一段26米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，其余三边新
建围栏，围成一块长方形草坪（如图𝐶𝐷𝐸𝐹）．
(1)若新建围栏长度为120米，长方形草坪面积为1152平方米，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，
请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由；
(2)若长方形草坪面积为100平方米，整修旧围栏的费用是每米1.25元，建新围栏的费用是每米5元，计划
修建费正好为175元，能否完成该草坪围栏修建任务？ 若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，
请说明理由．
【答案】(1)能完成，利用旧围栏24米；
(2)能完成，利用旧围栏20米或8米．
【分析】（1）设𝐶𝐷的长为𝑥米，则𝐷𝐸的长为(120−2𝑥)米，利用长方形面积公式列一元二次方程计算即可
求解；
100
（2）设利用旧围栏m米，则𝐷𝐸 =𝑚米，𝐶𝐷 = 𝐸𝐹 = 米，利用总费用175元，列出分式方程计算即可求
𝑚
解．
【详解】（1）解：设𝐶𝐷的长为𝑥米，则𝐷𝐸的长为(120−2𝑥)米，
依题意得：𝑥(120−2𝑥) =1152，
整理得：𝑥2−60𝑥+576=0，
∵Δ=(−60)2−4×1×576 =1296 >0，
∴𝑥 =
60±√1296
=
60±36
，
2 2
∴𝑥 =48，𝑥 =12，
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴120−2𝑥 =24或120−2𝑥 =96> 26（不合题意，舍去），
∴能完成，利用旧围栏24米；
100
（2）解：设利用旧围栏m米，则𝐷𝐸 =𝑚米，𝐶𝐷 = 𝐸𝐹 = 米，
𝑚
100
依题意得：1.25𝑚+5(𝑚+2⋅ )=175，
𝑚
整理得：0.25𝑚2−7𝑚+40=0，
∵Δ=(−7)2−4×0.25×40 =9> 0，
∴𝑚 =
7±√9
=
7±3
，
2×0.25 0.5
∴𝑚 =20，𝑚 =8，
1 2
经检验，𝑚 =20，𝑚 =8都是原方程的解，且满足题意，
1 2
答：能完成，利用旧围栏20米或8米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程．
15．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为25米
的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少
时，鸡舍面积为80平方米？
【答案】当鸡舍的长、宽分别是10米和8米时，鸡舍面积为80平方米
【分析】设𝐴𝐵边的长度为𝑥米，则𝐶𝐷边的长度为(𝑥−1)米，𝐵𝐶边的长度为(26−2𝑥)米，根据矩形的面积公
式列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：设𝐴𝐵边的长度为𝑥米，则𝐶𝐷边的长度为(𝑥−1)米，𝐵𝐶边的长度为25−𝑥−(𝑥−1)=(26−2𝑥)
米，
由题意得：𝑥(26−2𝑥) =80，
解得：𝑥 =5，𝑥 =8，
1 2
当𝑥 =5时，𝐵𝐶 =26−2𝑥 =16>12，不符合题意，舍去；
当𝑥 =8时，𝐵𝐶 =26−2𝑥 =10，
即当鸡舍的长、宽分别是10米和8米时，鸡舍面积为80平方米．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据题意正确列方程是解题关键．
【类型四 通道问题】
16．如图，某学校有一块长40m，宽20m的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地
之间及周边留有宽度相等的人行通道.
(1)若设计人行通道的宽度为1m，则三块长方形绿地的面积共多少平方米?
(2)若三块长方形绿地的面积共512m2，求人行通道的宽度．
【答案】(1)三块的长方形绿地的面积共648平方米
(2)人行通道的宽度为2m
【分析】（1）根据题意得：三块长方形绿地的长为(40−4)m，宽为(20−2)m，可求得面积；
（2）设人行通道的宽度为 x 米，则两块矩形绿地的长为(40−4𝑥)m，宽为(20−2𝑥)m，根据题意得：
(40−4𝑥)(20−2𝑥) =512，解方程可得．
【详解】（1）解：(40−4)×(20−2)=648(m2)
答：三块的长方形绿地的面积共648平方米；
（2）解：设人行通道的宽度为x米，
由题意，得(40−4𝑥)(20−2𝑥) =512，
化简，得8(10−𝑥)2 =512，
解得𝑥 =2，𝑥 =18（不符合题意，舍去）.
1 2
答：人行通道的宽度为2m．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键．
17．某小区在绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使
它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】人行通道的宽度为1米.
【分析】设人行通道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积和为102平方米，列出关于x的一元二次方程，求
解即可.
【详解】设人行通道的宽度为x米，根据题意得：(20﹣3x)(8﹣2x)＝102，
解得：x1＝1，x2＝29 (不合题意，舍去).
3
答：人行通道的宽度为1米.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用----面积问题，根据题意，列出一元二次方程，是解题的关
键.
18．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形场地上修建两横两竖通道，其中横、竖通道的宽度比
59
为3：2．其余部分种植花草，若通道所占面积是整个场地面积的 ．
150
（1）求横、竖通道的宽度各为多少？
（2）若修建1平方米道路需投资750元， 种植花草1平方米需投资250元．求修建共需投资多少钱？
【答案】（1）横3m，竖2m；（2）268000元．
【分析】（1）设竖通道的宽为2xm，则横通道的宽为3xm，除通道外部分场地可拼成长（30-4x）m、宽（20-6x）
59
m的长方形，根据长方形的面积公式结合通道所占面积是整个场地面积 的 ，即可得出关于x的一元二次
150
方程，解之即可得出结论；
（2）根据总投资=道路面积×1m2道路造价+草地面积×种植1m2花草费用，即可求出结论．
【详解】解：（1）设竖通道的宽为2xm，则横通道的宽为3xm．
59
根据题意得：（30-4x）（20-6x）=30×20×（1- ），
150
整理得：6x2-65x+59=0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司59
解得：x1=1，x2= （不合题意，舍去），
6
∴2x=2，3x=3．
答：横通道宽3m，竖通道宽2m．
59 59
（2）30×20× ×750+30×20×（1- ）×250，
150 150
=177 000+91000，
=268000（元）．
答：此次修建需要投资268000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）
根据总价=单价×数量，求出总投资钱数．
19．如图，某校将修建一块长为60米，宽为50米的矩形场地.其中：阴影部分为通道，通道的宽度均相等，
空白部分为三个矩形的运动区且面积等于2430平方米，每个矩形的一边长均为𝑎米．求通道的宽度.
【答案】2米
【分析】设通道的宽度为𝑥米,用含x式子表示出a，根据“运动区面积为2430平方米”，列方程，解方程即可．
60−3𝑥
【详解】解：设通道的宽度为𝑥米,则𝑎 = ;
2
60−3𝑥
根据题意得：(50−2𝑥)(60−3𝑥)−𝑥· =2430,
2
解得𝑥 =2,𝑥 =38（不合题意，舍去）.
1 2
答：中间通道的宽度为2米.
【点睛】本题考查一二次方程的应用，根据解题用含x式子表示出运动区面积的关键.
20．如图①，某新建火车站站前广场需要绿化的面积为35000𝑚2，施工队在绿化了11000𝑚2后，将每天的
工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？
（2）该项绿化工程中有一块长为20𝑚、宽为8𝑚的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的面积之和为56𝑚2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图②所示），则人行通道的宽度是
多少米？
【答案】（1）2000；（2）2
【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；
（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程．
11000 35000−11000 35000
【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成𝑥平方米，则： + = −4
𝑥 1.5𝑥 𝑥
解得：𝑥 =2000
经检验𝑥 =2000是原分式方程的解，
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）设人行通道的宽为𝑦m，根据题意得：(20−3𝑦)(8−2𝑦)=56，
26
解得𝑦 =2，𝑦 = ＞8（不合题意，舍去），
1 2 3
答：人行道的宽为2米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——几何问题和分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系
是解题关键．
【类型五 工程问题】
21．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计
划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1
米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
6
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
5
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
1
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 𝑎米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
6
2
少挖 𝑎米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7𝑎−12)万元．求a的值．
9
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总
6
施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
5
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每
1 2
天可多挖 𝑎米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 𝑎米，即可得出关于 a 的一元二次方程，解
6 9
之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
6
依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x，
5
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
1 2
（2）依题意，得：(10+𝑎)(5+ 𝑎)+12(5− 𝑎) =12×5+10×5+(7𝑎−12) ，
6 9
整理，得：𝑎2−18𝑎+72=0，
解得：𝑎 =12，𝑎 =6，
1 2
当𝑎 =12时，总成本为：12×5+10×5+7×12−12=182（万元），
1
∵182＞150，
∴𝑎 =12不符合题意舍去；
1
当𝑎 =6时，总成本为：12×5+10×5+7×6−12=140（万元），
2
∵140＜150，
∴𝑎 =6符合题意；
2
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数
量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工
程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每
小时铺设路面60米．
2
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工程
3
完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同
时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了(150+2𝑚)
小时，求m的值．
【答案】(1)300
(2)5
2 5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为 x 小时，则大型设备的使用时间为(1+ )𝑥 = 𝑥小时，根据题意列
3 3
出方程，即可求解；
5
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为300× =500小时，根据题意可得小型设备的使用时间为
3
(300+18𝑚)小时，大型设备铺设公路每小时为(60−𝑚)米，大型设备的使用时间为(650+2𝑚)小时，根据
题意列出方程，即可求解．
2 5
【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为 x 小时，则大型设备的使用时间为(1+ )𝑥 = 𝑥小时，根据题
3 3
5
意得：30𝑥+60× 𝑥 =39000，
3
解得：𝑥 =300，
答：小型设备的使用时间为300小时；
5
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为300× =500小时，
3
根据题意得：小型设备的使用时间为(300+18𝑚)小时，大型设备铺设公路每小时为(60−𝑚)米，大型设备
的使用时间为：500+150+2𝑚= (650+2𝑚)小时，
∴30(300+18𝑚)+(60−𝑚)(650+2𝑚) =39000+9000，
整理得：𝑚2−5𝑚 =0，
解得：𝑚 =5,𝑚 =0（舍去）．
1 2
即m的值为5．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解
题的关键．
23．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工
程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每
小时铺设路面60米
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2
（1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个
3
工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？
（2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米
多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值
多3.2𝑎 0 ⁄ ，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了𝑎 0 ⁄ ，
0 0
使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多( 1 𝑎+30) 0 ⁄ ，求𝑎的值．
0
2
【答案】（1）当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；（2）32．
【分析】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为 x 小时，根据总工作量大于等于 39000 米列出不
等式求解即可；
（2）根据题意列出方程并求解，然后舍去不合题意的解即可．
2
【详解】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为(1+ )x小时，
3
2
根据题意得：30𝑥+60(1+ )𝑥 ≥39000，
3
解得：x≥300，
答：当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；
2 1
（2）由题意得：300×（1+3.2𝑎%）×30+60×（1-𝑎%）×300(1+ )×（1+ 𝑎%+30%）=39000+9000，
3 2
整理得：𝑎(𝑎−32) =0，
解得：𝑎 =0或32，
∵𝑎﹥0，
∴𝑎=32，
故𝑎的值是32．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，正确理解，找出合适的等量关系或不
等关系，列出方程和不等式是解题的关键．
24．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，
计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完
成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
4
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
3
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1
米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每
2
1
天少挖 m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
4
【答案】（1）1000米；（2）4
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总
4
施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
3
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出
关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，
4
依题意，得：8（2000-x）≥ ×6x，
3
解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
1 1
（2）依题意，得：（6+m）（6+ m）+8（6- m）=6×（6+8）+11m-8，
2 4
整理，得：m2-8m+16=0，
解得：m1=m2=4．
答：m的值为4．
【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的
关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时
在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园.
（1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河
2
步道里程数是疏通河道里程数的 倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
3
（2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万
元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建
滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期
增加2a％，求a的值.
【答案】（1）原计划修建滨河步道8千米；（2）a的值是28.
2
【分析】（1）根据修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的 倍，列方程即可得出结论；
3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）先根据一期工程修建滨河步道里程数是疏通河道里程数与工程费用计算出每千米修建滨河步道与疏通
河道的工程费，然后根据题意列方程，并利用换元法解方程即可得出结论．
【详解】（1）设原计划修建滨河步道x千米，
2
根据题意，得 (20−𝑥) =𝑥.解这个方程，得𝑥 =8.
3
答：原计划修建滨河步道8千米
（2）根据题意，
一期工程疏通河道里程数：20−8= 12（千米）.
一期工程疏通河道费用：600÷12=50（万元/千米）.
一期工程修建滨河步道费用：(840−600)÷8=30（万元/千米）
50(1−2.5𝑎%)×12(1+3𝑎%)+30(1+2.5𝑎%)×8(1+5𝑎%) =840(1+2𝑎%)
令𝑎％=𝑡，原方程可化为：50(1−2.5𝑡)×12(1+3𝑡)+30(1+2.5𝑡)×8(1+5𝑡)=840(1+2𝑡)，
整理这个方程，得25𝑡2−7𝑡 =0.
解这个方程，得𝑡 =0，𝑡 =0.28.
1 2
∴𝑎％=0（舍去），𝑎％=0.28.∴𝑎 =28.
答：a的值是28.
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件．
【类型六 行程问题】
26．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B
地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分
钟．
【答案】(1)480m/min；400m/min
(2)70min
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，
按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最
后求解．
【详解】（1）解：设小红的速度为𝑥m/min，则小明的速度为1.2𝑥m/min，
12000 12000
依据题意列方程得， − =5，
𝑥 1.2𝑥
∴12000×1.2−12000 =5×1.2𝑥，
∴𝑥 =400，
经检验，𝑥 =400是原式方程的解．
∴1.2×400=480m/min．
∴小红的速度为400m/min，小明的速度为480m/min．
故答案为：480m/min；400m/min．
（2）解：∵小明的速度为480m/min，
∴小明从A地道B地需要的时间为：12000÷480=25min．
∵小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，
∴30−25= 5min．
设B地到C地的距离为𝑥m，依据题意列方程得，
(𝑥−480×5) 𝑥−480×5
30×10+ ×(10+ ) =2300
480 480
𝑥 𝑥
∴300+( −5)×(10+ −5) =2300，
480 480
𝑥 𝑥
∴( −5)×( +5)=2000，
480 480
𝑥2
∴ −25 =2000，
4802
2
𝑥
∴( ) =2025，
480
∴𝑥 =21600或𝑥 =−21600（舍去）．
21600+12000
∴A地到C地所需要时间为： =70min．
480
故答案为：70min．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关
系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比
前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行
走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【分析】（1）根据题意先设 n 分钟后第 1 次相遇，利用数列求和知识得到关于 n 的方程，解此方程即可得
甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多
少分钟．
𝑛(𝑛+3)
【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有 +5n＝70，
2
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
𝑛(𝑛+3)
（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 +5n＝3×70，
2
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关
键．
28．为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑
是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的
愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从𝐴地出发，匀速跑向距离12000m处的𝐵地，
小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达𝐵地．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从𝐴地到达𝐵地后，小明以跑步形式继续前进到𝐶地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30
分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增
加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从𝐴地到𝐶地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)480米
(2)70分钟
【分析】（1）设小齐每分钟跑𝑥米，则小明每分钟跑1.2𝑥米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；
（2）设小明从𝐴地到𝐶地锻炼共用𝑦分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设小齐每分钟跑𝑥米，则小明每分钟跑1.2𝑥米，
12000 12000
由题意得： −5= ，
𝑥 1.2𝑥
解得：𝑥 =400，
经检验，𝑥 =400既是所列分式方程的解也符合题意，
则1.2𝑥 =1.2×400 =480，
答：小明每分钟跑480米．
（2）解：设小明从𝐴地到𝐶地锻炼共用𝑦分钟，
由题意得：10×30+(𝑦−30)(10+𝑦−30)=2300，
解得：𝑦 =70，𝑦 =−20（不符合题意，舍去），
1 2
答：小明从𝐴地到𝐶地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
29．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程
缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整
个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10
卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测
试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
【答案】（1）1800米；（2）52分钟．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；
（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列出
方程即可求解．
𝑥+200 𝑥
【详解】解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得： = ，
25 25−2.5
解得x=1800．
答：A、B两地间的路程为1800米；
（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，
整理得y2﹣50y﹣104=0，
解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．
答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程．
30．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁
路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时
间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事
1
件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 𝑚小时，求m的值．
10
【答案】（1）1600；（2）20．
【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速
提高了 l20 千米/小时，全程设计运行时间只需 8 小时，比原铁路设计运行时间少用 16 小时”，分别得出等
式组成方程组求出即可；
1
（2）根据题意得出：(80+120)(1−𝑚%)(8+ 𝑚)=1600进而求出即可．
10
8(120+𝑥)=𝑦 𝑥 = 80
【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：{ ，解得：{ ，
(8+16)𝑥 =320+𝑦 𝑦 =1600
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
1
（2）由题意可得出：(80+120)(1−𝑚%)(8+ 𝑚)=1600，
10
解得：𝑚 =20，𝑚 =0（不合题意舍去），
1 2
答：m的值为20．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【类型七 动点问题】
31．如图△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵 = 90°，𝐴𝐵 =6，𝐵𝐶 =8．点P从A开始沿边𝐴𝐵向点B以1cm/s的速度移动，与此
同时，点Q从点B开始沿边𝐵𝐶向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动
到点C时，两点停止运动，问：
(1)经过几秒，△𝑃𝐵𝑄的面积等于8cm2？
(2)△𝑃𝐵𝑄的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．
【答案】(1)2s或4s
(2)不存在△𝑃𝐵𝑄的面积会等于10cm2，理由见解析
1
【分析】（1）△𝑃𝐵𝑄的面积等于 𝐵𝑃·𝐵𝑄，设运动时间为𝑡，则可用含𝑡的式子表示𝑃𝐵,𝐵𝑄，根据数量关系，
2
列方程即可求解；
（2）同（1）中的方法列出方程，看方程是否有解即可求解．
【详解】（1）解：∵点𝑃的速度是1cm/s，点𝑄的速度是2cm/s，点𝑃,𝑄分别从点𝐴,𝐵同时出发，当点𝑄运动到
点𝐶时，两点停止运动，∠𝐵 =90°，𝐴𝐵 =6cm，𝐵𝐶=8cm，
∴点𝑃从点𝐴到点𝐵的时间为6÷1=6秒，点𝑄从点𝐵到点𝐶的时间为8÷2=4秒，
设点𝑃,𝑄运动的时间为𝑡(0<𝑡 ≤4)，
∴𝐴𝑃=𝑡cm，𝐵𝑄 =2𝑡cm，则𝐵𝑃 =(6−𝑡)cm，
∵△𝑃𝐵𝑄的面积等于8cm2
∴𝑆 = 1 𝐵𝑃·𝐵𝑄 = 1 (6−𝑡)×2𝑡 =8，即𝑡2−6𝑡+8=0，
△𝑃𝐵𝑄 2 2
解方程得，𝑡 =2，𝑡 =4，
1 2
∴经过2s或4s时，△𝑃𝐵𝑄的面积等于8cm2．
（2）解：不存在△𝑃𝐵𝑄的面积会等于10cm2，理由如下：
设运动时间为𝑎秒，
1
根据题意得，𝑆 = (6−𝑎)×2𝑎 =10，
△𝑃𝐵𝑄 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴𝑎2−6𝑎+10= 0，
∵Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(−6)2−4×10 =−4<0，
∴关于𝑎的一元二次方程无解，
∴不存在△𝑃𝐵𝑄的面积会等于10cm2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元
二次方程的运用，求解是解题的关键．
32．已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵 = 90°,𝐴𝐵 =5cm,𝐵𝐶 =7cm．点𝑃从点𝐴开始沿𝐴𝐵边向点𝐵以1cm/s的速
度匀速运动，同时点𝑄从点𝐵开始沿𝐵𝐶边向点𝐶以2cm/s的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点
也随之停止运动．设运动时间为𝑥s(𝑥 > 0)．
(1)________s后，△𝑃𝐵𝑄的面积为4cm2；
(2)几秒后，𝑃𝑄的长度为5cm？
(3)△𝑃𝐵𝑄的面积能否为7cm2？请说明理由．
【答案】(1)1
(2)2s后，𝑃𝑄的长度为5cm
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）设经过x秒钟，△𝑃𝐵𝑄的面积为4cm2，根据点P从A点开始沿𝐴𝐵边向点B以1cm/s的速度移
动，点Q从B点开始沿𝐵𝐶边向点C以2cm/s的速度移动，表示出𝐵𝑃和𝐵𝑄的长可列方程求解；
（2）根据𝑃𝑄 =5，利用勾股定理𝐵𝑃2+𝐵𝑄2 =𝑃𝑄2，求出即可；
（3）通过判定方程的根的判别式即可判定能否达到．
【详解】（1）解：由题意得：𝐴𝑃 =𝑥cm,𝐵𝑃=(5−𝑥)cm,𝐵𝑄 =2𝑥cm，
1 1
由𝑆 = 𝐵𝑃⋅𝐵𝑄，得 (5−𝑥)⋅2𝑥 =4，
△𝑃𝐵𝑄 2 2
整理，得𝑥2−5𝑥+4=0，
解得𝑥 =1,𝑥 =4．
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当𝑥 =4时，2𝑥 =8>7，
说明此时点𝑄越过点𝐶，不符合要求，舍去，
所以1s后，△𝑃𝐵𝑄的面积为4cm2．
故答案为：1．
（2）解：由题意得：𝐴𝑃 =𝑥cm,𝐵𝑃 =(5−𝑥)cm,𝐵𝑄 =2𝑥cm，
在Rt△𝐵𝑃𝑄中，由勾股定理得：𝐵𝑃2+𝐵𝑄2 =𝑃𝑄2，
得(5−𝑥)2+(2𝑥)2 =52，
整理，得𝑥2−2𝑥 =0，
解得𝑥 =0（不合题意，舍去），𝑥 =2，
1 2
答：2s后，𝑃𝑄的长度为5cm；
（3）解：不能．
理由：假设△𝑃𝐵𝑄的面积为7cm2，
1
则由题意，得： (5−𝑥)⋅2𝑥 =7，
2
整理，得：𝑥2−5𝑥+7=0，
因为Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(−5)2−4×1×7=25−28=−3< 0，
所以此方程无实数根，
所以△𝑃𝐵𝑄的面积不能为7cm2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得出等量关系是解决问题的关键．
33．如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐶 =12cm，点𝑃从𝐴开始沿𝐴𝐵边向点𝐵以1厘米/秒的速度移动，点
𝑄从点𝐵开始沿𝐵𝐶边向点𝐶以2厘米/秒的速度移动，当点𝑃到达𝐵点或点𝑄到达𝐶点时，两点停止移动，如果
𝑃、𝑄分别是从𝐴、𝐵同时出发，𝑡秒钟后．
(1)求出△𝑃𝐵𝑄的面积；
(2)当△𝑃𝐵𝑄的面积等于8平方厘米时，求𝑡的值；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)是否存在△𝑃𝐵𝑄的面积等于10平方厘米，若存在，求出𝑡的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)𝑆 =−𝑡2+6𝑡
△𝑃𝐵𝑄
(2)𝑡 =2或𝑡 =4
(3)不存在
1
【分析】（1）根据题意得：𝐴𝑃 =𝑡cm，𝐵𝑄=2𝑡cm，𝐵𝑃=(6−𝑡)cm，再由𝑆 = 𝐵𝑃⋅𝐵𝑄，进行计算即
△𝑃𝐵𝑄 2
可得到答案；
（2）令𝑆 =−𝑡2+6𝑡 =8，解方程即可得到答案
△𝑃𝐵𝑄
（3）令𝑆 =−𝑡2+6𝑡 =10，看该方程是否有解，即可得到答案．
△𝑃𝐵𝑄
【详解】（1）解：根据题意可得：𝐴𝑃 =𝑡cm，𝐵𝑄=2𝑡cm，
∴𝐵𝑃=(6−𝑡)cm，
∴𝑆 = 1 𝐵𝑃⋅𝐵𝑄= 1 (6−𝑡)⋅2𝑡 =−𝑡2+6𝑡；
△𝑃𝐵𝑄 2 2
（2）解：根据题意得：令𝑆 =−𝑡2+6𝑡 =8，
△𝑃𝐵𝑄
解得：𝑡 =2，𝑡 =4，
1 2
∴当△𝑃𝐵𝑄的面积等于8平方厘米时，𝑡 =2或𝑡 =4
（3）解：根据题意得：令𝑆 =−𝑡2+6𝑡 =10，
△𝑃𝐵𝑄
整理得：𝑡2−6𝑡+10=0，
∵Δ=(−6)2−4×1×10=−4< 0，
∴方程无解，
∴不存在△𝑃𝐵𝑄的面积等于10平方厘米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34．已知：如图，△𝐴𝐵𝐶是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿𝐴𝐵、𝐵𝐶方
向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为𝑡(s)，
解答下列问题：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)当t为何值时，△𝑃𝐵𝑄是直角三角形？
2
(2)是否存在某一时刻t，使得四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积是△𝐴𝐵𝐶面积的 ？如果存在，求出相应的t值；如果不存
3
在，说明理由．
【答案】(1)t= 1或t =2时，△𝑃𝐵𝑄是直角三角形
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意分两种情况①∠𝐵𝑄𝑃 =90°；②∠𝐵𝑃𝑄 =90°．然后在直角三角形𝐵𝑄𝑃中根据𝐵𝑃，𝐵𝑄
的表达式和∠𝐵的度数进行求解即可；
（2）本题可先用△𝐴𝐵𝐶的面积−△𝑃𝐵𝑄的面积表示出四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积，结合四边形面积等于三角形𝐴𝐵𝐶
面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么
求出的t值即可．
【详解】（1）设经过t秒△𝑃𝐵𝑄是直角三角形，
则𝐴𝑃=𝑡cm，𝐵𝑄=𝑡cm，
△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =3cm，∠𝐵=60°，
∴𝐵𝑃=(3−𝑡)cm，
若△𝑃𝐵𝑄是直角三角形，则∠𝐵𝑄𝑃 =90°或∠𝐵𝑃𝑄 =90°，
1
当∠𝐵𝑄𝑃 =90°时，𝐵𝑄 = 𝐵𝑃，
2
1
即𝑡 = (3−𝑡)，𝑡 =1，
2
1
当∠𝐵𝑃𝑄 =90°时，𝐵𝑃 = 𝐵𝑄，
2
1
3−𝑡 = 𝑡，𝑡 =2，
2
答：当t =1或t=2时，△𝑃𝐵𝑄是直角三角形．
（2）过P作𝑃𝑀 ⊥ 𝐵𝐶于M，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司△𝐵𝑃𝑀中，
∵∠𝐵 =60°
∴∠𝐵𝑃𝑀=30°
1 3−𝑡
∴𝐵𝑀 = 𝐵𝑃=
2 2
√3
∴𝑃𝑀 =√𝐵𝑃2−𝐵𝑀2 = (3−𝑡)
2
∴𝑆 =
1
𝐵𝑄⋅𝑃𝑀 =
1
⋅𝑡⋅
√3
(3−𝑡)，
△𝑃𝐵𝑄 2 2 2
∴𝑆 =𝑆 −𝑆 = 1 ×32× √3 − 1 ×𝑡× √3 (3−𝑡)= √3 𝑡2− 3√3 𝑡+ 9√3 ，
四边形𝐴𝑃𝑄𝐶 △𝐴𝐵𝐶 △𝑃𝐵𝑄 2 2 2 2 4 4 4
2
假设存在某一时刻t，使得四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积是△𝐴𝐵𝐶面积的 ，
3
2
则𝑆 = 𝑆 ，
四边形𝐴𝑃𝑄𝐶 3 △𝐴𝐵𝐶
∴ √3 𝑡2− 3√3 𝑡+ 9√3 = 2 × 1 ×32× √3 ，
4 4 4 3 2 2
∴𝑡2−3𝑡+3=0，
∵(−3)2−4×1×3<0，
∴方程无解，
2
∴无论t取何值，四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积都不可能是△𝐴𝐵𝐶面积的 ．
3
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定与三角形面积公式，一元二次方程的应用，
根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
35．如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 =90°，𝐴𝐶 =20cm，𝐵𝐶 =15cm．现有动点𝑃从点𝐴出发，沿𝐴𝐶向点𝐶方向
运动，动点𝑄从点𝐶出发，沿线段𝐶𝐵向点𝐵方向运动．如果点𝑃的速度是4cm/s，点𝑄的速度是2cm/s，它们同
时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为𝑡s，(0≤𝑡 ≤5)，求：
(1)当𝑡为多少秒时，𝑃、𝑄两点之间的距离是10cm？
(2)用含𝑡的代数式表示Rt△𝐶𝑃𝑄的面积𝑆；
4
(3)当𝑡为多少秒时，𝑆 = 𝑆 ？
△𝐶𝑃𝑄 25 △𝐴𝐵𝐶
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1)3秒或5秒
(2)𝑆= 20𝑡−4𝑡2(0≤𝑡 ≤5)
(3)2秒或3秒
【分析】（1）若运动的时间为𝑡s，则𝐶𝑃 =(20−4𝑡)cm，𝐶𝑄 =2𝑡cm，利用勾股定理，即可求出𝑃𝑄的长；
（2）若运动的时间为𝑡s，则𝐶𝑃 =(20−4𝑡)cm，𝐶𝑄 =2𝑡cm，利用三角形的面积公式，即可求出𝑆 =20𝑡−4𝑡2；
4
（3）利用三角形的面积公式，结合𝑆 = 𝑆 ，即可得出关于𝑡的一元二次方程，解之即可求出𝑡的值．
△𝐶𝑃𝑄 25 △𝐴𝐵𝐶
【详解】（1）解：若运动的时间为𝑡s，则𝐶𝑃 =(20−4𝑡)cm，𝐶𝑄 =2𝑡cm，
∵∠𝐶 =90°，𝑃𝑄 =10cm，
∴𝑃𝐶2+𝐶𝑄2 =𝑃𝑄2，
即(20−4𝑡)2+(2𝑡)2 =102，
解得𝑡 =3，𝑡 =5，
1 2
答：当𝑡为3秒或5秒时，𝑃、𝑄两点之间的距离是10cm；
（2）解：若运动的时间为𝑡s，则𝐶𝑃 =(20−4𝑡)cm，𝐶𝑄 =2𝑡cm，
∴𝑆= 1 𝐶𝑃⋅𝐶𝑄 = 1 (20−4𝑡)×2𝑡 =20𝑡−4𝑡2，
2 2
∴Rt△𝐶𝑃𝑄的面积𝑆 =20𝑡−4𝑡2(0 ≤𝑡 ≤5)；
（3）解：根据题意得：
20𝑡−4𝑡2 = 4 × 1 ×20×15，
25 2
解得𝑡 =2，𝑡 =3，
1 2
4
答：当𝑡为2秒或3秒时，𝑆 = 𝑆 ．
△𝐶𝑃𝑄 25 △𝐴𝐵𝐶
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、代数式求值以及勾股定理，解题的关键是：（1）利
用勾股定理求出𝑃𝑄的长；（2）根据各数量之间的关系，用含𝑡的代数式表示出𝑆；（3）找准等量关系，正确
列出一元二次方程．
【类型八 图表信息】
36．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从
乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是
指截止发布日期的所有售票累计收入）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是𝑥，利用第3次累计票房=第1次累计票房×（1+平均每次
累计票房增长的百分率） 2，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结÷单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是𝑥，
依题意得：10(1+𝑥)2 =12.1，
解得：𝑥 =0.1=10%，𝑥 =−2.1（不符合题意，舍去）．
1 2
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：[1000000000×(1+10%)−1000000000]÷40
=[1100000000−1000000000]÷40
=100000000÷40
=2500000（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或1000000000×10%÷40=100000000÷40 =2500000（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
37．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a
元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1）91.2 ；（2）10
【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a
元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；
（2）若𝑎 > 18 ，可得𝑎2 = 620 <182 ，从而得到𝑎 <18 ，再由“用水量每月不超过 a 吨时，每吨按 0.3a
3
元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
0.3×122+0.4×12×(22−12) =91.2 元；
（2）若𝑎 > 18 ，有：0.3𝑎2 =62 ，解得：𝑎2 = 620 <182 ，即𝑎 <18 ，不合题意，舍去，
3
∴𝑎 <18 ，
根据题意得：0.3𝑎2+0.4𝑎(18−𝑎) =62 ，
解得：𝑎 =10,𝑎 =62 （舍去），
1 2
答：规定用水量a的值为10吨．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
38．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水
公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如
果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3．
【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可；
（2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案．
【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；
（2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70，
解得：a＝3或a＝4
5a（5﹣a）+10＝40
解得：a＝3或a＝2，
综上，规定用水量为3吨．
则规定用水量a的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．
39．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a
a
吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收 元的附加费用．据统计，某
100
户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150
吨时，应交水费多少元？
1.6𝑥(0≤𝑥 ≤100)
【答案】（1）a＝100；（2）𝑦={ ，当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
2.6𝑥−100(𝑥 >100)
【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用
水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收 a 元的附加费用；然后列出关于 a 的方程求得 a 值，最后结
100
合8月份的用水量对答案进行取舍即可；
（2）根据（1）中求得的 a 值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将 x=150 吨代入合适的解
析式求解即可．
【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1．6×140＝224＜264，
所以需加收:(140−a) a =264−224=40(元)，
100
即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标
故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）100＝2.6x﹣100．
100
1.6x(0≤x≤100)
即y={
2.6x−100(x>100)
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立
分段函数关系式是解答本题的关键．
40．根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人．
【分析】设参加这次旅游的员工有𝑥人，由30×80=2400 <2800可得出𝑥 >30，根据总价=单价×人数，
即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【类型九 数字问题】
41．一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原
来的两位数的乘积为252，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数是12或21
【分析】设原来的两位数十位上的数字为𝑥，则个位上的数字为(3−𝑥)，根据“新两位数与原来的两位数的
乘积为252”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】设原来的两位数十位上的数字为𝑥，则个位上的数字为(3−𝑥)，
依题意得：(10𝑥+3−𝑥)[10(3−𝑥)+𝑥] =252，
整理得：𝑥2−3𝑥+2=0，
解得：𝑥 =1，𝑥 =2，
1 2
当𝑥 =1时，3−𝑥 =2，
当𝑥 =2时，3−𝑥 =1，
∴原来的两位数是12或21，
答：原来的两位数是12或21．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．
42．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位
数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数．
【答案】16或49
【分析】设一位数为𝑥，则两位数为𝑥2，根据题意列出方程求解即可．
【详解】设一位数为𝑥，则两位数为𝑥2．
则根据题意可得：100𝑥+𝑥2 −(10𝑥2+𝑥) =252，
整理得：𝑥2−11𝑥+28=0．
分解得：(𝑥−4)(𝑥−7)=0，
解得：𝑥 =4，𝑥 =7．
1 2
答：这个两位数为16或49．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示
为100𝑥+𝑥2；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为10𝑥2+𝑥，读懂题意，找出
等量关系式是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司43．一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数
乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
【答案】35或53
【分析】设个位数字为𝑥，则十位数字是8−𝑥．再建立方程[10(8−𝑥)+𝑥][10𝑥+(8−𝑥)]=1855，再解方
程即可．
【详解】解：设个位数字为𝑥，则十位数字是8−𝑥．根据题意可得：[10(8−𝑥)+𝑥][10𝑥+(8−𝑥)]=1855，
整理得：9𝑥2−72𝑥+135 =0．
分解得：(9𝑥−27)(𝑥−5) =0，
解得：𝑥 =3，𝑥 =5．
1 2
答：原来的两位数是35或53．
【点睛】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题，确定相等关系列方程是解本题的关键．
44．有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
【答案】这个两位数是24.
【分析】设个位数字为x，则十位数字为(x－2)，进而可表示出这个两位数；再根据“这个两位数等于其各位
数字之积的3倍”可列出关于x的方程，通过解方程问题就迎刃而解了.
【详解】设个位数字为x，则十位数字为(x－2)，这个两位数是[10(x－2)＋x].
根据题意，得：10(x－2)＋x＝3x(x－2)，
整理，得：3x2－17x＋20＝0，5分
解得x1＝4，x2＝ (不合题意，舍去).
当x＝4时，x－2＝2，
∴这个两位数是24.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---数字问题，解题关键是掌握数字的表示方法，找出题目中的等
量关系.
45．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小
4，求这个两位数．
【答案】这个两位数为84．
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数
解即可．
【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．
答：这个两位数为84．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字．
【类型十 销售问题】
46．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为
了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么
可多售出2件．设每件童装降价𝑥元．
(1)降价后，每件盈利__________元，每天可销售__________件；（用含𝑥的代数式填空）
(2)该专卖店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此时每件童装降价多少元，若不能，说明理由．
【答案】(1)(40−𝑥)，(20+2𝑥)
(2)该专卖店每天盈利不能等于1300元．理由见解析
【分析】（1）根据每件利润=实际售价−进价，销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，列式即可；
（2）根据总利润=每件利润×销售数量，列出一元二次方程，由根的判别式判断即可．
【详解】（1）解：一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．如果每件童装降价1
元，那么可多售出2件．设每件童装降价𝑥元时，
每件盈利(120−80−𝑥) =(40−𝑥)元，每天可销售(20+2𝑥)件，
故答案为：(40−𝑥)，(20+2𝑥)；
（2）根据题意得，(20+2𝑥)(40−𝑥)=1300，
整理得：𝑥2−30𝑥+250=0，
∴𝑎 =1，𝑏 =−30，𝑐 =250，
∴ Δ=(−30)2−4×250=−100 <0，
∴ 方程无解，专卖店每天盈利不能等于1300元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程并正确解答是解题的关键．
47．谯城区某商场销售一款上衣每件进价100元，销售价为160元时，每天可售出40件，为了扩大销售量，
经市场调查发现，如果每件服装降价5元；那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件衣服降价𝑥元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利多少元（用含𝑥的代数式表示） ；
(2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利2200元；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)商家能达到平均每天盈利2600元吗？请说明你的理由．
2
【答案】(1) 𝑥； (60−𝑥)元；
5
(2)当每件服装降价10元时，商家平均每天能盈利2200元；
(3)商家不能达到平均每天盈利2600元，理由见解析
【分析】（1）设每件衣服降价𝑥元，根据题意找出数量关系即可解答；
（2）设每件衣服降价𝑥元，根据题意找出数量关系和等量关系即可解答；
2
（3）设每件衣服降价𝑥元，根据题意可得方程(160−𝑥−100)(40+ 𝑥)=2600进而即可解答．
5
【详解】（1）解：设每件衣服降价𝑥元，
2
∴如果每件服装降价5元，则每天销售量增加 𝑥件，
5
2
故答案为： 𝑥；
5
∵上衣每件进价100元，销售价为160元，
∴每件商品盈利160−𝑥−100 =(60−𝑥)元，
故答案为：(60−𝑥)元．
2
（2）解：设每件衣服降价𝑥元，根据题意得：(160−𝑥−100)(40+ 𝑥)=2200，
5
解得：𝑥 =−50（不符合题意舍去），𝑥 =10，
1 2
∴当每件服装降价10元时，商家平均每天能盈利2200元，
答：当每件服装降价10元时，商家平均每天能盈利2200元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利2600元，理由如下：
2
设每件衣服降价𝑥元，根据题意得：(160−𝑥−100)(40+ 𝑥) =2600，
5
整理得：𝑥2+40𝑥+500=0，
∴𝑎 =1，𝑏 =40，𝑐 = 500，
∴𝛥 =𝑏2−4𝑎𝑐 =402−4×1×500=−400 <0，
∴商家不能达到平均每天盈利2600元，
答：商家不能达到平均每天盈利2600元．
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，根据题意找出数量关系和等量关系是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司48．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元．
小李：当售价为每千克38元时每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加 120 千克．
问：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
（设每千克水果降价𝑥元）
[自主解答]
借题发挥
若采用直接设未知数的方法，设降价后这种水果的销售价格为每千克𝑥元，应该如何列方程？方程的解应如
何取舍？
38−𝑥
【答案】水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元；(𝑥−22)(160+ ×120) =
3
3640，尽可能让顾客得到实惠，方程的解应选择较小的值，即𝑥 =29
𝑥
【分析】每千克水果降价𝑥元，超市每天可获得销售利润3640元，可列方程(38−𝑥−22)(160+ ×120) =
3
3640，解方程即可；降价后这种水果的销售价格为每千克𝑥元，超市每天可获得销售利润 3640 元，可列方
38−𝑥
程(𝑥−22)(160+ ×120) =3640，解方程，选择较小的解即可．
3
【详解】解：每千克水果降价𝑥元，超市每天可获得销售利润3640元，
𝑥
由题意得：(38−𝑥−22)(160+ ×120) =3640，
3
整理得：𝑥2−12𝑥+27=0，
解得：𝑥 =3或𝑥 =9，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴𝑥 =9，
∴售价为38−9= 29（元/千克）．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
降价后这种水果的销售价格为每千克𝑥元，
38−𝑥
由题意得：(𝑥−22)(160+ ×120) =3640，
3
解得：𝑥 =35或𝑥 =29，
为了尽可能让顾客得到实惠，方程的解应选择较小的值，即𝑥 =29．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司49．2018—2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，2020
年新冠病毒爆发，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，引起了政府、市场监
督等部门的高度重视，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，由于猪瘟疫情，生猪减少，市
场对猪肉的需求量持续增加，所以猪肉价格持续上涨，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上涨了5𝑎%，
市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元．
(1)求a的值；
(2)双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售出150
千克，因为政府部门的高度重视，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，精品瘦肉的售价每千克下降1元，
其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，并尽可能让消费者
得到实惠，精品瘦肉的售价应为多少元？
【答案】(1)a的值为25；
(2)精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【分析】（1）根据题意可得2020年1月18号猪肉的价格为32(1+5𝑎%)元/千克，再根据购买4.5千克的精
品瘦肉花了324元列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出2020年1月18号猪肉的价格，再根据总利润=每千克猪肉的利润×猪肉重量列出
方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：32×(1+5𝑎%)×4.5=324，
解得𝑎 =25，
∴a的值为25；
（2）解：设精品瘦肉的售价应为x元，
5×25
2020年1月18号的价格为32×(1+ )=72元/千克，
100
根据题意得：(𝑥−52)[150+10×(72−𝑥)]=3040，
整理得：𝑥2−139𝑥+4828 =0
解得𝑥 =71或𝑥 =68，
∵尽可能让消费者得到实惠，
∴x取68，
答：精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关
系列出方程是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司50．返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液，去
市场购买时，发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，
单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．
(1)当𝑥 =70时，每瓶洗手液的价格是 元；当𝑥 =140时，每瓶洗手液的价格是 元．
(2)如果家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？
【答案】(1)8；7.2
(2)一共购买了200瓶洗手液．
【分析】（1）根据题意，分别计算出当𝑥 =70以及𝑥 =140时，每瓶洗手液的价格即可；
（2）100瓶洗手液价格为800，由花费1200元可得购买瓶数超出了100瓶，设一共购买了x瓶洗手液，根
据题意表示出每瓶单价进而表示出花费，列方程，解出x的值，再根据最低价不能低于每瓶5元对x的值进
行取舍即可．
【详解】（1）解：当𝑥 =70时，每瓶洗手液的价格是8元；
当𝑥 =140时，
140−100
8− ×0.2=7.2（元）．
10
故答案为：8；7.2；
（2）解：8×100 =800<1200，
∴ 𝑥 >100，
𝑥−100
∴ 𝑥(8− ×0.2)=1200，
10
解得：𝑥 =200，𝑥 =300，
1 2
当𝑥 =200时，洗手液单价为：
200−100
8− ×0.2=6（元）；
10
当𝑥 =300时，洗手液单价为：
300−100
8− ×0.2=4（元）．
10
∵最低价不能低于每瓶5元，4<5，
∴ 𝑥 =200．
答：一共购买了200瓶洗手液．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
