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一元二次方程常考类型分类训练
（10 种类型共 50 道）
【类型一 一元二次方程的定义】
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．𝑥𝑦+2=1 B．𝑥2+ 1 −9=0 C．𝑥2 =0 D．𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =3
2𝑥
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是 2 次的整式方程叫
做一元二次方程，即可判断答案．
【详解】解：A、𝑥𝑦+2=1含有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、𝑥2+ 1 −9= 0不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
2𝑥
C、𝑥2 =0是一元二次方程，故符合题意；
D、𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =3中的二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有 3 个条件：①
整式方程；②含有一个未知数；③所含未知数的项的次数是2．
2．若关于𝑥的方程(𝑘−1)𝑥2−4𝑥−5=0是一元二次方程，则𝑘的取值范围是（ ）
A．𝑘 ≠0 B．𝑘 ≠1 C．𝑘 ≠0且𝑘 ≠1 D．𝑘 =0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义，得到𝑘−1≠0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：𝑘−1≠0，
∴𝑘 ≠1；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为 2 的整式方程，
叫做一元二次方程．
3．已知关于𝑥的方程(𝑚+3)𝑥2−3𝑚−1=0是一元二次方程，则𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚 ≠0 B．𝑚≠−3 C．𝑚 ≠3 D．𝑚 ≠𝑥
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程(𝑚+3)𝑥2−3𝑚−1=0是一元二次方程，
∴𝑚+3≠0，
解得：𝑚 ≠−3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不为零是解题的关键．
4．若关于𝑥的方程(𝑚−2)𝑥𝑚2−2+𝑥 =0是一元二次方程，则𝑚的值是（ ）
A．−2 B．±2 C．3 D．±3
【答案】A
【分析】根据题意列方程即可求解；
【详解】解：∵(𝑚−2)𝑥𝑚2−2+𝑥 =0是一元二次方程，
∴{
𝑚−2≠0
，
𝑚2−2=2
∴𝑚 =−2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解题的关键．
5．若(𝑎−2)𝑥2−2𝑥+2=0是关于𝑥的一元二次方程，则𝑎的值是（ ）
A．2 B．−2 C．0 D．不等于2的任意实数
【答案】D
【分析】一元二次方程中𝑥2的系数不能为0，由此可解．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】解：∵ (𝑎−2)𝑥2−2𝑥+2=0是关于𝑥的一元二次方程，
∴ 𝑎−2≠ 0，
∴ 𝑎 ≠2，
即𝑎的值是不等于2的任意实数．
故选D．
【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
【类型二 配方】
6．已知一元二次方程𝑥2−3𝑥−2=0，用配方法解该方程，配方后的方程是（ ）
2
A．(𝑥− 3 ) =2 B．(𝑥−6)2 =38
2
2 2
3 17 3 1
C．(𝑥− ) = D．(𝑥− ) =
2 4 2 4
【答案】C
【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：∵𝑥2−3𝑥−2=0，
∴𝑥2−3𝑥 =2，
2
则𝑥2−3𝑥+ 9 =2+ 9 ，即(𝑥− 3 ) = 17 ，
4 4 2 4
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
7．用配方法将二次三项式3𝑎2−4𝑎+5变形的结果是（ ）
2 2 2 2
2 11 2 11 2 11 2 11
A．(𝑎− ) + B．3(𝑎− ) + C．3(𝑎+ ) + D．3(𝑎− ) +
3 9 3 3 3 3 3 9
【答案】B
【分析】二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
【详解】解：3𝑎2−4𝑎+5= 3(𝑎2− 4 𝑎+ 4 )− 4 +5=3(𝑎− 2 )2+ 11 ．
3 9 3 3 3
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子
的值．
8．用配方法解方程𝑥2−4𝑥−3=0，则配方正确的是（ ）
A．(𝑥−2)2 =1 B．(𝑥+2)2 =1 C．(𝑥−2)2 =7 D．(𝑥+2)2 =7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】C
【分析】先把−3移到方程的右边，然后方程两边都加 4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式
即可．
【详解】解：∵𝑥2−4𝑥−3=0，
∴𝑥2−4𝑥 =3，
∴𝑥2−4𝑥+4=3+4，
∴(𝑥−2)2 =7．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(𝑥+𝑚)2 =𝑛(𝑛 ≥0)的形式，再利用直
接开平方法求解，掌握完全平方公式是解题的关键．
9．将方程2𝑥2−12𝑥+1=0配方成(𝑥−𝑚)2 =𝑛的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A．(𝑥+3)2 =17 B．(𝑥+3)2 = 17 C．(𝑥−3)2 =17 D．(𝑥−3)2 = 17
2 2
【答案】D
【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可
求解．
【详解】解：2𝑥2−12𝑥+1=0，
二次项化系数为1得：𝑥2−6𝑥+ 1 =0，
2
移项得：𝑥2−6𝑥 =− 1 ，
2
配方得：𝑥2−6𝑥+9=9− 1 ，
2
整理得：(𝑥−3)2 = 17 ，
2
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
10．用配方法解方程3𝑥2−6𝑥+2=0，则方程可变形为（ ）
A．(𝑥−3)2 = 1 B．(𝑥−1)2 = 1 C．(3𝑥−1)2 =1 D．(𝑥−1)2 = 2
3 3 3
【答案】B
【分析】根据配方法解方程的方法，进行变形即可．
【详解】解：3𝑥2−6𝑥+2=0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司二次项系数化为1，得𝑥2−2𝑥 =− 2 ，
3
配方，得𝑥2−2𝑥+1=− 2 +1，
3
∴(𝑥−1)2 = 1 ．
3
故选：B．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
【类型三 判定根的情况】
11．下列关于𝑥的一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．𝑥2−2𝑥+3=0 B．2𝑥2 +2𝑥−1=0
C．3𝑥2−2=1 D．𝑥2−2𝑥+1=0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的判别式𝑏2−4𝑎𝑐对每一项判断即可解答．
【详解】解：∵一元二次方程为𝑥2−2𝑥+3=0，
∴𝑎 =1，𝑏 =−2，𝑐 =3，
∴𝑏2−4𝑎𝑐 =(−2)2−4×1×3=−10<0，
∴一元二次方程为𝑥2−2𝑥+3=0无实数根，
故A项符合题意；
∵一元二次方程为2𝑥2+2𝑥−1=0，
∴𝑎 =2,𝑏 =2,𝑐 =−1，
∴𝑏2−4𝑎𝑐 =22−4×2×(−1) =12>0，
∴一元二次方程为2𝑥2+2𝑥−1=0有两个不相等的实数根，
故B项不符合题意；
∵一元二次方程为3𝑥2−2=1，
∴一元二次方程为3𝑥2−3=0，
∴𝑎 =3，𝑐 =−3，𝑏 =0，
∴𝑏2−4𝑎𝑐 =(0)2−4×3×(−3)=36 >0，
∴一元二次方程为3𝑥2−3=0有两个不相等的实数根，
故C项不符合题意；
∵一元二次方程为𝑥2－2𝑥+1=0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴𝑎 =1，𝑏 =−2，𝑐 =1，
∴𝑏2−4𝑎𝑐 =(−2)2−4×1×1=0，
∴一元二次方程为𝑥2－2𝑥+1=0有两个相等的实数根，
故D项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式𝑏2−4𝑎𝑐，掌握一元二次方程的判别式是解题的关键．
12．一元二次方程𝑥2−2𝑥−1=0的根的情况为（ ）
A．有两不相等实根 B．有两相等实根
C．无实根 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式先计算出Δ>0，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：𝑎 =1，𝑏 =−2，𝑐 =−1，
∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(−2)2−4×1×(−1)=4+4=8> 0，
∴一元二次方程𝑥2−2𝑥−1=0的根的情况为有两不相等实根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的根与Δ=𝑏2−4𝑎𝑐
有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程
没有实数根．
13．下列关于x的一元二次方程中，一定有实数解的是（ ）
A．𝑥2−2𝑥+2=0 B．𝑥2−𝑥−𝑚=0
C．√2𝑥2−2𝑥+1= 0 D．𝑥2−𝑚𝑥−1=0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可．
【详解】解：A、𝑥2−2𝑥+2=0，Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =4−4×2=−4<0，该方程无实数根；
B、𝑥2−𝑥−𝑚 =0，Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(−1)2−4×(−m)=1+4𝑚，该方程不一定有实数根；
C、√2𝑥2−2𝑥+1=0，Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(−2)2−4√2=4(1−√2)<0，该方程无实数根；
D、𝑥2−𝑚𝑥−1=0，Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(−m)2−4×(−1) =𝑚2+4>0，该方程有实数根．
故选：D．
【点睛】此题主要考查一元二次方程实数根的情况，正确利用根的判别式进行判断是解题关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．方程2𝑥2+3𝑥+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵𝑏2−4𝑎𝑐 =32−4×2×1=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的根与Δ =𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ =0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数
根．
15．一元二次方程3𝑥2−6𝑥+4=0根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：3𝑥2−6𝑥+4=0
∵𝑎 =3,𝑏 =−6,𝑐 =4，Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =36−4×3×4=36−48=−12<0
∴原方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0 (𝑎 ≠0，𝑎，𝑏，𝑐为常数)的根的判别式Δ=𝑏2−4𝑎𝑐，
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ =0时，
方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
【类型四 根与系数的关系】
16．关于x的方程2𝑥2+6𝑥−7= 0的两根分别为𝑥 ，𝑥 ，则𝑥 +𝑥 的值为（ ）
1 2 1 2
7 1
A．3 B．−3 C．− D．
2 2
【答案】B
𝑏 𝑐
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即𝑥 +𝑥 =− ，𝑥 𝑥 = ，即可解答．
1 2 𝑎 1 2 𝑎
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】解：∵关于x的方程2𝑥2 +6𝑥−7=0的两根分别为𝑥 ，𝑥 ，
1 2
6
∴𝑥 +𝑥 =− =−3，
1 2 2
故选：B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解本题的关键．
17．设一元二次方程𝑥2−5𝑥+2=0的两个实根为𝑥 和𝑥 ，则𝑥 𝑥 ＝（ ）
1 2 1 2
A．−5 B．5 C．−2 D．2
【答案】D
【分析】直接根据根与系数的关系计算即可．
【详解】解：∵𝑥 ，𝑥 是方程𝑥2−5𝑥+2=0的两个实数根，
1 2
2
∴𝑥 𝑥 = =2，
1 2 1
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的
解题方法．
18．已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−6𝑥+𝑘+1=0的两个实数根为𝑥 ，𝑥 ，且𝑥 2+𝑥 2 =24，则k的值为
1 2 1 2
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及整理𝑥 2+𝑥 2 =(𝑥 +𝑥 )2−2𝑥 ⋅𝑥 =24即可求解．
1 2 1 2 1 2
【详解】解：由题意得：𝑥 +𝑥 =6，𝑥 ⋅𝑥 = 𝑘+1，
1 2 1 2
则：𝑥 2+𝑥 2 =𝑥 2+2𝑥 ⋅𝑥 +𝑥 2−2𝑥 ⋅𝑥 =(𝑥 +𝑥 )2−2𝑥 ⋅𝑥 =24，
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
即：62−2(𝑘+1)=24，
解得：𝑘 =5，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的是解题的关键．
19．已知方程𝑥2−3𝑥+2=0的两根是𝑥 ,𝑥 ，则 1 + 1 的值是（ ）
1 2 𝑥1 𝑥2
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】解：由题意，𝑥 +𝑥 =3,𝑥 ⋅𝑥 =2，
1 2 1 2
∴
1
+
1
=
𝑥1+𝑥2
=
3
=1.5．
𝑥1 𝑥2 𝑥1𝑥2 2
故选：C
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；掌握根与系数关系定理是解题的关键．
20．已知m，n是方程𝑥2+2𝑥−6=0的两根，则3𝑚2+4𝑚𝑛+2𝑛2+2𝑚的值为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．20
【答案】B
【分析】根据方程解的定义及根与系数关系，得𝑚2+2𝑚−6=0，𝑚+𝑛 =−2，3𝑚2+4𝑚𝑛+2𝑛2+2𝑚=
(𝑚2+2𝑚)+2(𝑚+𝑛)2，代入求解即可．
【详解】解：∵m，n是方程𝑥2+2𝑥−6=0的两根，
∴𝑚2+2𝑚−6=0，𝑚+𝑛 =−2．
∴𝑚2+2𝑚 =6
∴3𝑚2+4𝑚𝑛+2𝑛2+2𝑚 =(𝑚2+2𝑚)+2(𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2)=(𝑚2+2𝑚)+2(𝑚+𝑛)2．
∴3𝑚2+4𝑚𝑛+2𝑛2+2𝑚 =6+2×(−2)2 =14．
故选：B．
【点睛】本题考查方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系；理解一元二次方程根与系数关系是解题
的关键．
【类型五 最值问题】
21．关于代数式𝑥2−4𝑥+5的判断，下列正确的是（ ）
A．有最小值2 B．有最大值1 C．有最小值1 D．有最大值2
【答案】C
【分析】将代数式𝑥2−4𝑥+5配方，根据平方的非负性判断最值，选择正确答案即可．
【详解】解：𝑥2−4𝑥+5=𝑥2−4𝑥+4+1=(𝑥−2)2+1，
∵(𝑥−2)2 ≥0，
∴(𝑥−2)2+1≥1，
∴当𝑥 =2时，代数式𝑥2−4𝑥+5取得最小值1，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式配方法判断最值，掌握配方法是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司22．代数式𝑥2−4𝑥+5的最小值为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用配方法对代数式做适当变形即可解答．
【详解】解：𝑥2−4𝑥+5=𝑥2−4𝑥+4+1=(𝑥−2)2+1
∵(𝑥−2)2 ≥0
∴(𝑥−2)2+1≥1
即代数式𝑥2−4𝑥+5≥1
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式、不等式等知识点，掌握运用配方法求最值是解题的关键．
23．代数式𝑥2−4𝑥+3的最小值为（ ）．
A．−1 B．0 C．3 D．5
【答案】A
【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．
【详解】代数式𝑥2−4𝑥+3=𝑥2−4𝑥+4−1=(𝑥−2)2−1
∵(𝑥−2)2 ≥0，
∴(𝑥−2)2−1≥−1即代数式|𝑥2−4𝑥+3≥−1，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，
从而完成求解．
24．已知关于x的多项式𝑥2−𝑚𝑥+9的最小值为8，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用配方法将𝑥2−𝑚𝑥+9进行配方，即可得出答案.．
𝑚 2 𝑚2
【详解】解：原式=(𝑥− ) +9− ，
2 4
𝑚 𝑚 𝑚2
当x- =0，即x= 时，原式取得最小值9- =8，
2 2 4
整理得：𝑚2 =4，
解得：m=±2，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则m的值可能为2，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键．
25．已知m是有理数，则m2﹣2m+4的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据配方法对式子进行配方，利用非负性求解最小值即可．
【详解】解：𝑚2−2𝑚+4=(𝑚−1)2+3
∵(𝑚−1)2 ≥0，当𝑚 =1时，(𝑚−1)2 =0
∴(𝑚−1)2+3≥3，当𝑚=1时，(𝑚−1)2+3=3
𝑚 =1，为有理数，𝑚2−2𝑚+4的最小值为3
故选A
【点睛】本题考查了配方法的应用，然后根据非负性求出最小值，解题的关键是掌握配方法．
【类型六 近似解】
26．根据下列表格中的对应值，判断方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0 (𝑎 ≠0，𝑎，𝑏，𝑐为常数)的一个解𝑥的范围是( )
𝑥 3.23 3.24 3.25 3.26
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 −0.06 −0.02 0.03 0.09
A．3<𝑥 <3.23 B．3.23<𝑥 <3.24
C．3.24<𝑥 < 3.25 D．3.25<𝑥 <3.26
【答案】C
【分析】方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0的根就是式子𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的值为 0 时所对应的 x 的值，观察表格即可得出
答案．
【详解】解：由表中数据可知：𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐的值接近0时对应的𝑥的值在3.24与3.25之间，
所以方程的一个解的范围为3.24<𝑥 < 3.25．
故选：C．
【点睛】此题主要考查方程的近似解，解题的关键是熟知方程近似解的判定方法．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．根据下表确定方程𝑥2−𝑏𝑥−5=0的解的取值范围是（ ）
𝑥 −3 −2 −1 … 4 5 6
𝑥2−𝑏𝑥−5=0 13 5 −1 … −1 5 13
A．−2<𝑥<−1或4<𝑥 <5 B．−2<𝑥<−1或5<𝑥 <6
C．−3<𝑥 <−2或5< 𝑥 <6 D．−3<𝑥 <−2或4<𝑥 <5
【答案】A
【分析】根据表格数据的变化规律，利用“夹逼法”得到一元二次方程的解的取值范围．
【详解】解：根据表格，当𝑥 =−2和𝑥 =5时，𝑥2−𝑏𝑥−5=5>0，
当𝑥 =−1和𝑥 =4时，𝑥2−𝑏𝑥−5=−1<0，
∴该方程的解的取值范围为−2<𝑥<−1或4<𝑥 < 5，
故选：A．
【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律，掌握利用“夹逼法”探究一元二次
方程的近似解是解答的关键．
28．根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 −0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0 (𝑎 ≠0)的一个解x的范围是（ ）
A．𝑥 <3.24 B．3.24<𝑥 <3.25
C．3.25<𝑥 < 3.26 D．3.25<𝑥 <3.28
【答案】B
【分析】利用𝑥 =3.24和𝑥 =3.25所对应的𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的值可判断关于 x 的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0 (𝑎 ≠ 0)
的一个解x的范围．
【详解】解：∵当𝑥 =3.24时，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =−0.02<0，当𝑥 =3.25时，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0.01>0，
∴关于x的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0 (𝑎 ≠0)的一个解x的范围是3.24<𝑥 <3.25．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一元二次方程一个解
的范围．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．根据下表的对应值，试判断一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0 的一个解的取值范围是（ ）
x −3 −1 1 4
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 0.06 0.02 −0.03 −0.07
A．−3<𝑥 <−1 B．−0.03<𝑥 <0.02
C．−1<𝑥 <1 D．−0.07<𝑥 < −0.03
【答案】C
【分析】利用表中数据得到𝑥 =−1，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0.02，𝑥 =1，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =−0.03，于是可判断 x
在−1<𝑥 <1范围内取某一个值时，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0，所以得到一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0的一解的
取值范围．
【详解】解：∵当𝑥 =1时𝑦= 0.02>0，当𝑥=−1时𝑦=0.06>0，
∴当x在−1< 𝑥 <1中取一个值时，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0，
∴一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0的某一个解的取值范围是−1< 𝑥 <1．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
30．根据表格中的信息，估计一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0（a、b、c为常数，𝑎 ≠0）的一个解x的范围
为（ ）
𝑥 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 −0.44 −0.25 −0.04 0.19 0.44
A．0.4<𝑥 <0.5 B．0.5<𝑥 < 0.6
C．0.6<𝑥 <0.7 D．0.7<𝑥 <0.8
【答案】C
【分析】𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0应该在𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 >0与𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 <0之间，从表中选择合适的数据即可．
【详解】解：由表中数据得：
当𝑥 =0.6时，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =−0.04，
当𝑥 =0.7时，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0.19，
∴使方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0成立的一个解应该在0.6与0.7之间，
∴ 0.6<𝑥 <0.7．
故选C
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．
【类型七 由根的情况判断参数范围】
31．关于𝑥的方程(𝑚−3)𝑥2−4𝑥−2=0有两个不相等的实数根，则实数𝑚的取值范围是 ．
【答案】𝑚 >1且𝑚 ≠3/𝑚 ≠3且𝑚 >1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ >0，即可得出关于𝑚的一元一次不等式组，解之即可得出实
数𝑚的取值范围．
【详解】解：∵关于𝑥的方程(𝑚−3)𝑥2−4𝑥−2=0有两个不相等的实数根，
𝑚−3≠0
∴ { ，
Δ=(−4)2−4(𝑚−3)×(−2)>0
解得：𝑚 >1且𝑚 ≠3．
故答案为：𝑚 >1且𝑚 ≠3．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”
是解题的关键．
32．关于𝑥的方程𝑥2−𝑘(𝑥+1)+𝑥 =0有实数根，则𝑘的取值范围是 ．
【答案】任意实数
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：方程𝑥2−𝑘(𝑥+1)+𝑥 =0整理得𝑥2−(𝑘−1)𝑥−𝑘 =0，
∵关于x的一元二次方程𝑥2−𝑘(𝑥+1)+𝑥 =0有实数根，
∴Δ=(𝑘−1)2+4𝑘 =(𝑘+1)2 ≥0，
∴𝑘的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)，若Δ=𝑏2−
4𝑎𝑐 >0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ =𝑏2−4𝑎𝑐 =0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=𝑏2−
4𝑎𝑐<0，则方程没有实数根．
33．若关于𝑥的方程𝑚𝑥2−(2𝑚−1)𝑥+(𝑚+1)=0有两实根，那么𝑚的取值范围是 ．
1
【答案】𝑚 ≤ 且𝑚 ≠0
8
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义进行求解即可．
【详解】解：∵关于𝑥的方程𝑚𝑥2−(2𝑚−1)𝑥+(𝑚+1)=0有两实根，
∴方程𝑚𝑥2−(2𝑚−1)𝑥+(𝑚+1)= 0是一元二次方程，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴𝑚 ≠0且Δ=[−(2𝑚−1)]2−4𝑚(𝑚+1) =4𝑚2+1−4𝑚−4𝑚2−4𝑚 =1−8𝑚 ≥0，
1
∴𝑚 ≠0且𝑚≤ ，
8
1
故答案为：𝑚 ≤ 且𝑚 ≠0．
8
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和判别式的意义，一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的根与Δ=
𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当
Δ<0时，方程无实数根．
34．若关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥2−3𝑥+2=0有实数根，则字母𝑘的取值范围是 ．
9
【答案】𝑘 ≤ 且𝑘 ≠0
8
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到𝑘 ≠0且Δ=(−3)2−4𝑘×2≥0，然后求出两不
等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得𝑘 ≠0且Δ=(−3)2−4𝑘×2≥0，
9
解得𝑘 ≤ 且𝑘 ≠0．
8
9
故答案为𝑘 ≤ 且𝑘 ≠0．
8
【点睛】本题主要考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的根与Δ=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关
系：当Δ >0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无
实数根．
35．已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2+6𝑥+𝑘 =0．若此方程有两个实数根，则实数𝑘的取值范围为 ．
【答案】𝑘 ≤9
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵𝑥2+6𝑥+𝑘 =0有两个实数根
∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =36−4𝑘 ≥0，
解得：𝑘 ≤9
故答案为：𝑘 ≤9．
【点睛】本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐 =0 (𝑎 ≠0，𝑎，𝑏，𝑐为常数)的根的判别式Δ=𝑏2−4𝑎𝑐，
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ =0时，
方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【类型八 换元法】
36．若(2𝑥+3𝑦)2+3(2𝑥+3𝑦)−4=0，则2𝑥+3𝑦的值为 ．
【答案】−4或1/1或−4
【分析】先用换元法把方程转化为一元二次方程，再利用十字相乘法因式分解的形式求一元二次方程，即
可求解．
【详解】解：设2𝑥+3𝑦 =𝑡，原方程可变形为：𝑡2+3𝑡−4=0，
∴(𝑡+4)(𝑡−1)=0，
解得，𝑡 =−4或1；
∴2𝑥+3𝑦的值为−4或1．
故答案为：−4或1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和换元法的运用，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
37．已知实数x满足(𝑥2−𝑥)2−2(𝑥2−𝑥)−3=0，则代数式𝑥2−𝑥+2020的值为 ．
【答案】2023
【分析】设𝑡 =𝑥2−𝑥，则原方程转化为关于 t 的一元二次方程𝑡2−2𝑡−3=0，利用因式分解法解该方程
即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式≥0，方程有解．
【详解】解：设𝑡 =𝑥2−𝑥，
由原方程，得𝑡2−2𝑡−3=0，
整理，得(𝑡−3)(𝑡+1)=0，
所以𝑡 =3或𝑡 =−1．
当𝑡 =3时，𝑥2−𝑥 =3，则𝑥2−𝑥+2020 =2023；
当𝑡 =−1时，𝑥2−𝑥 =−1即𝑥2−𝑥+1=0时，𝛥 =(−1)2−4×1×1<0，方程无解，此种情形不存在．
故答案是：2023．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量
代换．
38．若(𝑚2+𝑛2)(𝑚2+𝑛2−1)=12，求(𝑚2+𝑛2)的值为 ．
【答案】4
【分析】设𝑚2+𝑛2 =𝑥，把原方程变形，求得x，即可得出(𝑚2+𝑛2)的数值．
【详解】解：设𝑚2+𝑛2 =𝑥，则原方程为𝑥(𝑥−1)=12，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司整理得𝑥2−𝑥−12 =0，
(𝑥+3)(𝑥−4)=0，
∴𝑥+3=0，𝑥−4= 0，
解得𝑥 =−3，𝑥 =4，
1 2
∵𝑚2+𝑛2是非负数，
∴𝑚2+𝑛2 =4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
39．若(𝑥2 +𝑦2)(𝑥2+𝑦2−2)−8=0，则𝑥2+𝑦2 = ．
【答案】4
【分析】令𝑥2+𝑦2 =𝑚，得到一个关于m的一元二次方程，解此一元二次方程即可得出答案．
【详解】解：设𝑥2+𝑦2 =𝑚，则有𝑚(𝑚−2)−8=0，
即𝑚2−2𝑚−8=0，(𝑚−4)(𝑚+2)=0．
∴𝑚 =4，𝑚 =−2．
1 2
∵𝑥2+𝑦2 ≥0，∴𝑚 =−2不合题意，舍去．
∴𝑥2+𝑦2 =4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法，需要注意𝑥2+
𝑦2不能是负数．
40．若(𝑥2 +𝑦2)2−5(𝑥2+𝑦2)−6=0，则𝑥2+𝑦2 = ．
【答案】6
【分析】设𝑥2+𝑦2 =𝑡．则原方程转化为关于𝑡的一元二次方程𝑡2−5𝑡−6=0，即(𝑡−6)(𝑡+1)=0；然
后解关于𝑡的方程即可．
【详解】解：设𝑥2+𝑦2 =𝑡(𝑡 ≥ 0)．则
𝑡2−5𝑡−6=0，即(𝑡−6)(𝑡+1)=0，
解得，𝑡 =6或𝑡 =−1(不合题意，舍去)；
故𝑥2+𝑦2 =6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意𝑥2+𝑦2 =𝑡中的𝑡的取值范围：𝑡 ≥0．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【类型九 适当方法解方程】
41．用适当方法解方程：
(1)2𝑥2−7𝑥+3=0；
(2)𝑥+5=𝑥2−25．
1
【答案】(1)𝑥 =3；𝑥 =
1 2 2
(2)𝑥 =6，𝑥 =−5
1 2
【分析】（1）把原方程化为(2𝑥−1)(𝑥−3) =0，可得两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）把原方程化为(𝑥+5)(𝑥−6) =0，可得两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：∵2𝑥2−7𝑥+3=0，
∴(2𝑥−1)(𝑥−3)= 0，
∴2𝑥−1=0，𝑥−3=0，
1
解得：𝑥 =3，𝑥 = ；
1 2 2
（2）∵𝑥+5=𝑥2−25，
∴(𝑥+5)(𝑥−5)−(𝑥+5)=0，
∴(𝑥+5)(𝑥−6)=0，
∴𝑥+5=0，𝑥−6= 0，
解得：𝑥 =6，𝑥 =−5．
1 2
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．
42．用适当方法解下列方程：
(1)𝑥2+4𝑥−1=0；
(2)𝑥(2𝑥−5)=2𝑥−5．
【答案】(1)𝑥 =−2+√5，𝑥 =−2−√5
1 2
5
(2)𝑥 = ，𝑥 =1．
1 2 2
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）𝑥2+4𝑥−1=0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司𝑥2+4𝑥 =1
𝑥2+4𝑥+4=5
(𝑥+2)2 =5
𝑥+2=±√5
解得𝑥 =−2+√5，𝑥 =−2−√5；
1 2
（2）𝑥(2𝑥−5) =2𝑥−5
𝑥(2𝑥−5)−(2𝑥−5)=0
(2𝑥−5)(𝑥−1)= 0
∴2𝑥−5=0或𝑥−1=0
5
解得𝑥 = ，𝑥 =1．
1 2 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
43．用适当方法解下列方程：
(1)𝑥(𝑥−2)+𝑥−2=0
(2)𝑥2−4𝑥−4=0
【答案】(1)𝑥 =2，𝑥 =−1
1 2
(2)𝑥 =2+2√2，𝑥 =2−2√2
1 2
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用配方法求即可．
【详解】（1）解：(𝑥−2)(𝑥+1) =0，
𝑥−2=0或𝑥+1= 0，
∴𝑥 =2，𝑥 =−1．
1 2
（2）解：𝑥2−4𝑥+4=4+4
(𝑥−2)2 =8，
𝑥−2=±2√2，
𝑥 =2+2√2，𝑥 =2−2√2．
1 2
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法和配方法解一元二次方程是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司44．用适当方法解下列方程
(1)𝑥2−7𝑥+2=0；
(2)2𝑥(𝑥−3)+𝑥 =3．
【答案】(1)𝑥 =
7+√41
，𝑥 =
7−√41
1 2 2 2
1
(2)𝑥 =3，𝑥 =−
1 2 2
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）先移项，再提公因式(𝑥−3)即可求解．
【详解】（1）解：𝑥2−7𝑥+2=0
∵𝑎 =1，𝑏 =−7，𝑐 =2，
∴Δ=(−7)2−4×1×2=41>0，
7±√41
∴𝑥 =
2
∴𝑥 =
7+√41
，𝑥 =
7−√41
．
1 2 2 2
（2）2𝑥(𝑥−3)+𝑥 =3
移项，得 2𝑥(𝑥−3)+(𝑥−3)=0，
提公因式，得(2𝑥+1)(𝑥−3)= 0，
∴2𝑥+1=0或𝑥−3=0，
1
∴𝑥 =− ，𝑥 =3．
1 2 2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法主要有直接开方法、公式法、因式分解
法，根据方程的特点选择合适简便的解法是本题的重点．
45．请你选用适当方法解方程
(1)𝑥(𝑥−3)=𝑥−3
(2)𝑥2−4𝑥−6=0
【答案】(1)𝑥 =3或𝑥 =1
(2)𝑥 =√10+2，𝑥 =−√10+2
1 2
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵ 𝑥(𝑥−3)−(𝑥−3)=0，
∴(𝑥−3)(𝑥−1)=0，
则𝑥−3=0或𝑥−1= 0，
解得𝑥 =3或𝑥 =1；
（2）解：𝑥2−4𝑥−6=0，
移项，得𝑥2−4𝑥 =6，
配方，得𝑥2−4𝑥+4=10，
即(𝑥−2)2 =10，
∴(𝑥−2)=±√10，
∴𝑥 =√10+2，𝑥 =−√10+2．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【类型十 应用题】
46．据统计，2020年底某市汽车拥有量为75万辆，而截止到2022年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为
了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2024年底全市汽车拥有量不超过125.48 万辆；
且从2023年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假设每年新增汽车数量相同，
请估算出该市从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出2020年底至2022年底该市汽
车拥有量的年平均增长率．
【答案】从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆；2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年
平均增长率是20%
【分析】设2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，由题意可列一元二次方程求解；根
据2024年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆即可求出从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过多少
万辆．
【详解】设2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率是𝑥，
根据题意，得75(1+𝑥)2 =108，
得𝑥 =0.2=20%，𝑥 =−2.2（不合题意，舍去），
1 2
设从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过𝑦万辆，
由题意得：(108×0.9+𝑦)×0.9+𝑦≤ 125.48，解得𝑦 ≤20，
答：从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆；2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司增长率是20%．
【点睛】本题考查一元二次方程与增长率问题．正确理解题意是解题关键．
47．学校课外兴趣活动小组准条利用长为8m的墙𝐴𝐵和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平
行于墙一边𝐶𝐷长为xm．
(1)如图1，如果矩形花园的一边靠墙𝐴𝐵，另三边由篱笆𝐸𝐶𝐷𝐹围成，当苗圃园的面积为60m2时，求x的值；
(2)如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙𝐴𝐵和一节篱笆𝐵𝐹构成，另三边由篱笆𝐴𝐶𝐷𝐹围成，当苗圃园的面积
为60m2时，求x的值．
【答案】(1)6
(2)12
26−𝑥
【分析】（1）可求𝐶𝐸 = ，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解；
2
26+8−2𝑥
（2）可求𝐴𝐶 = =17−𝑥，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求
2
解．
【详解】（1）解：∵四边形𝐸𝐶𝐷𝐹是矩形，
26−𝑥
∴ 𝐶𝐸 = ，
2
26−𝑥
由题意得： ⋅𝑥 =60，
2
整理得：𝑥2−26𝑥+120=0，
解得：𝑥 =6，𝑥 =20，
1 2
∵0<𝑥 ≤8，
∴ 𝑥 =20不合题意舍去，
∴𝑥 =6．
答：当苗圃园的面积为60m2时，x的值为6．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）解：∵四边形𝐸𝐶𝐷𝐹是矩形，
26+8−2𝑥
∴ 𝐴𝐶 = =17−𝑥，
2
∴ {
8≤𝑥
，
17−𝑥 >0
解得：8≤𝑥 <17，
由题意得：(17−𝑥)⋅𝑥 =60，
整理得：𝑥2−17𝑥+60=0，
解得：𝑥 =5，𝑥 =12，
1 2
∴ 𝑥 =5不合题意舍去，
∴𝑥 =12．
答：当苗圃园的面积为60m2时，x的值为12．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式
是解题的关键．
48．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时
修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，
乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(𝑚+25)小时；甲工程队的修路速度比原计划每
小时下降了3𝑚米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米
(2)m的值为18
【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面 x 米，则甲工程队每小时铺设路面(2𝑥+30)米，根据题意列出
方程求解即可；
（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面(2𝑥+30)米，
根据题意得，32𝑥+32(2𝑥+30) =4800，
解得：𝑥 =40，
则2𝑥+30=110，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）解：根据题意得，40(32+𝑚+25)+(110−3𝑚)(32+𝑚)=4800+1000，
整理得，𝑚2−18𝑚 =0，
解得：𝑚 =18，𝑚 =0（舍去），
1 2
∴m的值为18．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
49．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜
爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大伯
和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大
伯的速度每分钟提高了2𝑎米，时间都各自多走了10𝑎分钟，结果两人又共走了6900米，求𝑎的值．
【答案】(1)张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米
(2)𝑎的值为5
【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟𝑥米，则张大伯每分钟走1.2𝑥米，根据两人共走了800米列方
程，解得𝑥的值代入1.2𝑥中计算即可；
（2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走(50+2𝑎)米，由已知条件可得张大伯走了(10𝑎+5)
分钟，李大伯走了(10𝑎+10)分钟，根据两人又共走了6900米列方程，解方程并根据实际意义确定𝑎值即可．
【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟𝑥米，得：5×1.2𝑥+10𝑥 =800
解得𝑥 =50
∴1.2𝑥 =60（米）
所以，张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米；
（2）解：依题意，得：60(10𝑎+5)+(50+2𝑎)(10𝑎+10) =6900
整理得𝑎2+56𝑎−305=0
解得𝑎 =−61（舍），𝑎 =5
1 2
答：𝑎的值为5．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题
的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司50．某服装销售商用24000元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又
用50000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出40件，销售价每降低10元，
则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为2000元，销售价应为多少？
【答案】(1)第一次购进了这种服装100件，每件进价240元
(2)销售价定为270元/件
【分析】（1）设每件进价 x 元，根据第二次购进数量是第一次购进数量的 2 倍，每件的进价多了10元，列
出方程，解出方程即可；
（2）设销售价为m元/件，根据使一天的利润恰好为2000元，列出方程，解出方程即可．
24000 50000
【详解】（1）解：设第一次购进了这种服装x件，由题意可得： +10= ，
𝑥 2𝑥
解得𝑥 =100，
经检验：𝑥 =100是所列方程的解，并符合题意，
则24000÷100 =240，
答：第一次购进了这种服装100件，每件进价240元；
（2）解：设销售价为m元/件，
则每天销售量为：40+2(300−𝑚)=−2𝑚+640（件），
∵10+240 =250（元），
则由题意可得：(𝑚−250)×(−2𝑚+640)=2000，
整理，得𝑚2−570𝑚+81000 =0，
解得：𝑚 =270，𝑚 =300，
1 2
∵让利促销，
∴𝑚=300（舍去），取𝑚 =270，
答：销售价定为270元/件．
【点睛】本题考查一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
