一元二次方程计算题分类训练
（5 种类型共 56 道）
【类型一 直接开平方法】
1．用直接开平方法解下列方程：
(1)𝑥2−3=5； (2)−0.5𝑥2+2=0．
【答案】(1)x =2√2，x =−2√2
1 2
(2)x =2，x =−2
1 2
【分析】（1）将原方程移项可得x2 =8，然后利用直接开方法求解即可；
（2）将原方程移项可得x2 =4，然后利用直接开方法求解即可．
【详解】（1）解：x2−3=5，
∴x2 =8，
∴x=±2√2，
∴x =2√2，x =−2√2．
1 2
（2）∵−0.5x2+2=0，
∴−0.5x2 =−2，
∴x2 =4，
∴x=±2，∴x =2，x =−2．
1 2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解一元二次方程是解题关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2．用直接开平方法解下列方程：
(1)2𝑥2 =32； (2) 2 𝑦2− 1 =0．
3 9
【答案】(1)x =4，x =−4
1 2
(2)y =
√6
，y =−
√6
1 6 2 6
【分析】（1）先把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解；
（2）先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解．
【详解】（1）解：两边都除以2得：x2 =16，
直接开平方得：x=±4，
∴x =4，x =−4．
1 2
（2）解：移项得： 2 y2 = 1 ，
3 9
两边都除以 2 得：y2 = 1 ，
3 6
直接开平方得：y=±
√6
，
6
∴y =
√6
，y =−
√6
．
1 6 2 6
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
3．用直接开平方法解下列方程：
(1)5(𝑥−2)2−10=0； (2) 1 (2𝑥−2)2−16=0．
3
【答案】(1)x =2+√2，x =2−√2
1 2
(2)x =1+2√3，x =1−2√3
1 2
【分析】（1）将方程变形为(x+a)2 =b(b ≥0)，开平方求解，转化为一元一次方程，求解；
（2）将方程变形为(x+a)2 =b(b ≥0)，开平方求解，转化为一元一次方程，求解；
【详解】（1）解：5(x−2)2−10=0，
(x−2)2 =2，
x−2=±√2，
x =2+√2，x =2−√2．
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）解： 1 (2x−2)2−16=0，
3
(2x−2)2 = 48，
2x−2=±4√3，
x =1+2√3，x =1−2√3．
1 2
【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键．
4．用直接开平方法解下列方程：
(1) 1 (𝑥+3)2 =6； (2)4(𝑥+1)2 =(𝑥−2)2．
3
【答案】(1)x =3√2−3 ，x =−3√2−3
1 2
(2)x =−4 ，x = 0
1 2
【分析】（1）先方程两边同时乘以3，变形为(x+3)2 =18，再开平方得x+3=±3√2，再解一元一次方程
即可求解．
（2）先把方程变形为[2(x+1)]2 =(x−2)2，再开平方得2(x+1)=±(x−2)，再解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解： 1 (x+3)2 =6
3
(x+3)2 =18
x+3=±3√2
x+3=3√2或x+3=−3√2，
x =3√2−3 ，x =−3√2−3；
1 2
（2）解：4(x+1)2 = (x−2)2
[2(x+1)]2 =(x−2)2
2(x+1)=±(x−2)
2(x+1)=x−2或2(x+1)=−(x−2)
x =−4 ，x =0．
1 2
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
5．用直接开平方法解下列方程：
(1)49𝑥2 −36= 0； (2)9(𝑥+1)2 =25．
6 6
【答案】(1)x = ，x =−
1 2
7 7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2 8
(2)x = ，x =−
1 3 2 3
【分析】（1）用直接开平方法解答即可；
（2）用直接开平方法解答即可．
【详解】（1）49x2−36=0，
移项，得49x2 =36，
两边同时除以49，得x2 = 36 ，
49
6
开方，得x=± ，
7
6 6
则方程的两个根为x = ，x =− ．
1 7 2 7
（2）9(x+1)2 = 25
两边同时除以9，得(x+1)2 = 25 ，
9
5
开方，得x+1=± ，
3
5 5
即x+1= 或x+1=− ，
3 3
2 8
则方程的两个根为x = ，x =− ．
1 3 2 3
【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.
6．用直接开平方法解方程．
(1)𝑥2−49=0 (2)−5𝑥2+20=0
【答案】(1)x =7,x =−7
1 2
(2)x =2,x =−2
1 2
【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：x2−49=0，
x2 =49，
解得x =7,x =−7；
1 2
（2）解：−5x2+20=0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司x2 =4，
解得x =2,x =−2．
1 2
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
【类型二 配方法】
7．用配方法解下列方程：
(1)𝑥2−6𝑥+10=0； (2)−2𝑥2+7𝑥−6=0．
【答案】(1)原方程无实数根
3
(2)x =2，x =
1 2 2
【分析】（1）将常数项移到方程右边，左边化(x+a)2的形式，方程右边小于0，故无解；
（2）将方程化为(x+a)2 =b(b ≥0)，开平方求解；
【详解】（1）原方程为x2−6x =−10，
则x2−6x+9=−10+9，
∴(x−3)2 =−1，
∴原方程无实数根；
（2）原方程为−2x2+7x=6，
∴x2− 7 x=−3，
2
2 2
∴x2− 7 x+( 7 ) =−3+( 7 ) ，
2 4 4
2
7 1
∴(x− ) = ，
4 16
7 1 3
∴x− =± ，即x =2，x = ．
4 4 1 2 2
【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程；根据等式性质，将方程化为(x+a)2 = b(b ≥0)是解题的关键．
8．用配方法解下列方程：
(1)4𝑥2−4𝑥−1=0； (2)7𝑥2−23𝑥+6=0．
【答案】(1)x =
1+√2
,x =
1−√2
1 2 2 2
2
(2)x =3，x =
1 2 7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）移项、然后二次项系数化成1，配方、根据平方根的定义转化为两个一元一次方程，即可求解；
（2）移项、然后二次项系数化成1，配方、根据平方根的定义转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：移项,得：4x2−4x=1，
二次项系数化成1得：x2−x= 1 ，
4
配方,x2−x+ 1 = 1 ，
4 2
2
即(x−
1
) =
1
，则x−
1
=±
√2
，
2 2 2 2
解得：x =
1+√2
，x =
1−√2
；
1 2
2 2
（2）解：方程变形得：x2− 23 x=− 6
7 7
2
配方得：x2− 23 x+( 23 ) = 361 ，
7 14 196
2
23 361
即(x− ) = ，
14 196
23 19
开方得： x− =± ，
14 14
2
解得：x =3，x = ．
1 2 7
【点睛】考查配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程的左边化成含有未知数的完全平方式，右边是
一个非负数的性质，根据平方根的定义，直接开方即可．
9．用配方法解方程：
(1)(2𝑥−1)2 =4𝑥+9； (2)5𝑦2+(2𝑦−3)2 =14．
【答案】(1)x =1+√3,x =1−√3
1 2
5 1
(2)y = ,y =−
1 3 2 3
【分析】（1）根据完全平方公式，化为(x+a)2 = b(b ≥0)形式，开方化为一次方程求解；
（2）根据完全平方公式，化为(x+a)2 = b(b ≥0)形式，开方化为一次方程求解．
【详解】（1）解：(2x−1)2 = 4x+9，
x2−2x−2=0，
x2−2x+1=3，
(x−1)2 =3，
∴x−1=√3或x−1=−√3．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴x =1+√3,x =1−√3．
1 2
（2）解：5y2+(2y−3)2 =14，
9y2−12y−5=0，
y2− 4 y+ 4 = 5 + 4 ，
3 9 9 9
∴(y− 2 )2 =1．
3
2 2
∴y− =1或y− =−1．
3 3
5 1
∴y = ,y =− ．
1 3 2 3
【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，理解完全平方公式是解题的关键．
10．用配方法解下列方程：
(1)2𝑥−5𝑥2 =2； (2)1.3𝑥2+0.6𝑥+ 1 =0．
4
【答案】(1)方程无解
(2)方程无解
【分析】根据完全平方公式(a±b)2 =a2±2ab+b2将方程的左边配成完全平方，右边为常数，再利用平方
根的定义解方程即可.
【详解】（1）解：化简得：
−5x2+2x=2，
x2− 2 x+ 1 =− 2 + 1 ，
5 25 5 25
2
1 9
(x− ) =− ，
5 25
2
1
∵(x− ) ≥0，
5
∴原方程无解；
（2）解：化简得：
26x2+12x+5=0，
2 2
x2+ 12 x+( 6 ) −( 6 ) + 5 =0，
26 26 26 26
2
6 94
(x+ ) =− ，
26 676
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2
6
∵(x+ ) ≥0，
26
∴原方程无解；
【点睛】本题考查了用配方法求一元二次方程的解，掌握完全平方公式是解题关键．
11．用配方法解方程：
(1)𝑥2+7𝑥 =− 13 ； (2)3𝑥2+6𝑥+2=11．
4
1 13
【答案】(1)x =− ，x =−
1 2 2 2
(2)x =1，x =−3
1 2
【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：x2+7x=− 13 ，
4
x2+7x+ 49 = 49 − 13 ，
4 4 4
(x+ 7 )2 =9，
2
7
x+ =±3，
2
1 13
x =− ，x =− ；
1 2 2 2
（2）（2）3x2+6x+2=11，
3x2+6x−9=0，
x2+2x−3=0，
x2+2x+1=4，
(x+1)2 =4，
x+1=±2，
x =1，x =−3．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键．
12．用配方法解方程：
(1)(𝑥+1)(2𝑥−3)= 1． (2)5𝑥2−15𝑥−7=0．
【答案】(1)x =
1+√33
,x =
1−√33
1 4 2 4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3 √365 3 √365
(2)x = + ,x = −
1 2 10 2 2 10
【分析】（1）先移项，然后将二次项系数化为1，再配方，最后开平方，即可得出答案；
（2）先移项，然后将二次项系数化为1，再配方，最后开平方，即可得出答案．
【详解】（1）解：(x+1)(2x−3) =1，
化简，得2x2−x=4，
二次项系数化为1，得x2− 1 x=2，
2
2 2
配方，得x2− 1 x+( 1 ) =2+( 1 ) ，
2 4 4
2
1 33
即(x− ) = ，
4 16
开平方得，x−
1
=±
√33
，
4 4
解得：x =
1+√33
,x =
1−√33
．
1 4 2 4
（2）解：5x2−15x−7=0，
移项得：5x2−15x =7，
二次项系数化为1得：x2−3x= 7 ，
5
2 2
配方得：x2−3x+( 3 ) = 7 +( 3 ) ，
2 5 2
2
3 73
即(x− ) = ，
2 20
3 73
开平方得：x− =±√ ，
2 20
解得：x =
3
+
√365
,x =
3
−
√365
．
1 2
2 10 2 10
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步
骤．
【类型三 公式法】
13．用公式法解方程：
(1)𝑥2+2𝑥−6=0． (2)2𝑥(𝑥−3)=(𝑥−1)(𝑥+1)．
【答案】(1)x =−1+√7，x =−1−√7
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)x =3+2√2，x =3−2√2
1 2
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）x2+2x−6=0
a=1，b =2，c =−6
∴Δ=22−4×1×(−6)=28>0
∴x=
−2±√28
=−1±√7
2×1
解得：x =−1+√7，x =−1−√7；
1 2
（2）2x(x−3)=(x−1)(x+1)
化简得x2−6x+1=0
a=1，b =−6，c=1
∴Δ=(−6)2−4×1×1=32>0
∴x=
6±√32
=3±2√2
2×1
解得：x =3+2√2，x =3−2√2．
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
14．用公式法解下列方程：
(1)−2𝑥2+7𝑥 =0； (2) 1 𝑥2− 1 𝑥 =0．
4 2
7
【答案】(1)x =0，x =
1 2 2
(2)x =0，x =2
1 2
−b±√b2−4ac
【分析】根据x= 进行求解即可．
2a
【详解】（1）−2x2+7x=0，
解：a=−2,b =7,c=0，
∴b2−4ac=49，
−7±7
∴x= ，
−4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7
∴x =0，x = ；
1 2 2
（2） 1 x2− 1 x=0，
4 2
1 1
解：a= ,b =− ,c=0，
4 2
∴b2−4ac= 1 ，
4
1 1
±
∴x= 2 2，
1
2
∴x =0，x =2．
1 2
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程求根公式x=
−b±√b2−4ac
．
2a
15．用公式法解下列方程：
(1)𝑥2+𝑥+2=0； (2)−7𝑥2+6𝑥−9=0．
【答案】(1)方程无实数解
(2)方程无实数解
【分析】（1）利用公式法即可求解；
（2）利用公式法即可求解．
【详解】（1）解：∵a=1 ，b =1 ，c =2，
∴b2−4ac=−7< 0，
故方程无实数解；
（2）解：∵a=−7 ，b =6 ，c=−9，
∴b2−4ac=−216<0，
故方程无实数解．
【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程．掌握相关结论即可．
16．用公式法解下列方程：
(1)𝑥2−4𝑥 =5 (2)2𝑥2−6𝑥+1= 0
【答案】(1)x =5，x =−1
1 2
(2)x =
3+√7
，x =
3−√7
1 2 2 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边
化为常数；
（2）利用求根公式法解方程．
【详解】（1）解：x2−4x=5，
x2−4x+4=5+4，
(x−2)2 =9，
开方得：x−2=±3，
∴x =5，x =−1；
1 2
（2）∵a=2，b =−6，c=1，
Δ=b2−4ac=36−8=28
∴x=
6±√28
，
4
∴x =
3+√7
，x =
3−√7
．
1 2 2 2
【点睛】本题考查一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，
要针对题目选用适当的方法求解．掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
17．用公式法解下列方程：
(1)− 1 𝑥2−2𝑥 =4； (2)−𝑥(2𝑥−5)=−4．
4
【答案】(1)x =x =−4
1 2
(2)x =
5+√57
，x =
5−√57
1 4 2 4
【分析】（1）先把原方程化为一般式，然后利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）先把原方程化为一般式，然后利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵− 1 x2−2x=4，
4
∴x2+8x+16=0，
∴(x+4)2 =0，
解得x =x =−4；
1 2
（2）解：∵−x(2x−5)=−4，
∴2x2−5x−4=0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴a=2，b =−5，c=−4，
∴Δ=b2−4ac=(−5)2−4×2×(−4) =√57>0，
∴x=
−b±√b2−4ac
=
5±√57
，
2a 4
解得x =
5+√57
，x =
5−√57
．
1 4 2 4
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．用公式法解下列方程：
(1)𝑥2+3𝑥−2=0； (2)−7𝑥2+6𝑥−9=0．
【答案】(1)x =
−3+√17
，x =
−3−√17
1 2 2 2
(2)方程无实数解
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2+3x−2=0，
a=1，b =3，c =−2，
则b2−4ac=17>0，
∴x=
−3±√17
，
2
∴x =
−3+√17
，x =
−3−√17
；
1 2 2 2
（2）解：−7x2+6x−9=0，
a=−7，b =6，c=−9，
则b2−4ac=−216<0，
∴此方程无实数解．
【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式x=
−b±√b2−4ac
．
2a
【类型四 因式分解法】
19．用因式分解法解下列方程：
(1)𝑥2−6𝑥 =−9； (2)4(𝑥−3)2−25(𝑥−2)2 =0．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1)x =x =3
1 2
16 4
(2)x = ,x =
1 7 2 3
【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；
（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．
【详解】（1）解：x2−6x=−9
x2−6x+9=0
(x−3)2 =0
解得：x =x =3；
1 2
（2）解：4(x−3)2−25(x−2)2 =0
[2(x−3)]2−[5(x−2)]2 =0，
[2(x−3)+5(x−2)][2(x−3)−5(x−2)]=0，
2(x−3)+5(x−2)=0或2(x−3)−5(x−2)=0，
16 4
解得x = ,x = ．
1 7 2 3
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．
20．用因式分解法解下列方程：
(1)𝑥2+5𝑥 =0； (2)(𝑥−5)(𝑥−6)=𝑥−5．
【答案】(1)x =0，x =−5
1 2
(2)x =5，x =7
1 2
【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】（1）∵x2+5x=0
∴x(x+5)=0
∴x=0或x+5=0
∴x =0，x =−5
1 2
（2）∵(x−5)(x−6) =x−5
∴(x−5)(x−6)−(x−5)=0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴(x−5)(x−6−1)=0
∴x−5=0或x−6−1=0
∴x =5，x =7
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．
21．用因式分解法解下列方程：
(1)3𝑥2−√5𝑥 =0； (2)7𝑥(𝑥−3)=3𝑥−9．
【答案】(1)x =0，x =
√5
1 2 3
3
(2)x =3，x =
1 2
7
【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可；
（2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可．
【详解】（1）解：x(3x−√5)=0
①x=0②3x−√5=0
∴x =0，x =
√5
．
1 2 3
（2）解：7x(x−3)=3(x−3)
7x(x−3)−3(x−3)=0
(x−3)(7x−3)=0
①x−3=0②7x−3=0
3
∴x =3，x = ．
1 2 7
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键．
22．用因式分解法解下列方程：
（1）4𝑦2 =3𝑦； (2)(2𝑥+3)(2𝑥−3)−𝑥(2𝑥+3) =0．
3 3
【答案】（1）y =0,y = ；（2）x =− ,x =3
1 2 4 1 2 2
【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；
(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.
【详解】(1) 4y2 =3y；
4y2−3y=0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司y(4y−3)=0
y=0或4y-3=0
3
∴y =0,y = ，
1 2 4
3
故答案为：y =0,y = ；
1 2 4
(2) (2x+3)(2x−3)−x(2x+3)=0
(2x+3)(x−3)=0
2x+3=0或x−3=0
3
x =− ,x =3，
1 2 2
3
故答案为：x =− ,x =3．
1 2 2
【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2 =3y时，给方程两
3
边同除以y，解得y= ，而丢掉y=0的情况．
4
23．用因式分解法解下列方程．
(1)𝑥2−𝑥−56 =0 (2)3𝑥(𝑥−2)=2(𝑥−2)
【答案】(1)x =8，x =−7
1 2
2
(2)x =2，x =
1 2
3
【分析】（1）首先把方程变形可得(x−8)(x+7) =0，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x的值即
可；
（2）首先对方程进行整理，得出3x(x−2)−2(x−2)=0，再因式分解可得(x−2)(3x−2)=0，然后得出
两个一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）x2−x−56 =0，
∴(x−8)(x+7)=0，
∴x−8=0或x+7=0，
∴x =8；x =−7；
1 2
（2）3x(x−2)=2(x−2)，
移项，得3x(x−2)−2(x−2)=0，
∴(x−2)(3x−2) =0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴x−2=0或3x−2=0，
2
∴x =2；x = ．
1 2 3
【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是
解题关键．
24．用因式分解法解下列方程．
(1)(2𝑥−3)2−(𝑥−2)2 =0； (2)2(𝑡−1)2+𝑡 =1．
5
【答案】(1)x = ,x =1
1 3 2
1
(2)t =1,t =
1 2 2
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：(2x−3)2−(x−2)2 =0，
∴[(2x−3)+(x−2)][(2x−3)−(x−2)]=0，
∴(3x−5)(x−1) =0，
∴3x−5=0或x−1=0，
5
∴x = ,x =1．
1 3 2
（2）解：2(t−1)2+t=1
∴2(t−1)2+t−1=0，
∴(t−1)(2t−1) =0，
1
∴t =1,t = ．
1 2 2
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【类型五 换元法】
25．解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神
奇”的方法叫换元法．
例如：解方程(𝑥2 −𝑥)2−8(𝑥2−𝑥)+12=0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解：设𝑥2−𝑥 =𝑦
原方程化为：
𝑦2−8𝑦+12=0 ∴(𝑦−2)(𝑦−6)=0
∴𝑦−2=0或𝑦−6=0 ∴𝑦 =2，𝑦 =6
1 2
当𝑦 =2时，即𝑥2−𝑥 =2
(𝑥−2)(𝑥+1)=0
∴𝑥−2=0或𝑥+1= 0
𝑥 =2，𝑥 =−1
1 2
当𝑦 =6时，即𝑥2−𝑥 =6
(𝑥−3)(𝑥+2)=0 ∴𝑥−3=0或𝑥+2=0
∴𝑥 =3，𝑥 =−2
3 4
∴原方程的解是：𝑥 =2，𝑥 =−1，𝑥 =3，𝑥 =−2
1 2 3 4
请你利用换元法解方程：(𝑥2 −7)2−(𝑥2 −7)−2=0
【答案】x=√6或x=−√6或x=3或x=-3
【分析】设x2−7=y，然后解关于y的方程；再根据y值解关于x的方程．
【详解】解：(x2−7)2−(x2−7)−2=0，
设x2−7=y，则原方程化为y2−y−2=0，
∴(y+1)(y−2)=0，
∴解得：y=-1或y=2，
当y=-1时，即x2−7+1=0，
解得：x=√6或−√6；
当y=2时，即x2−7−2=0，
解得：x=3或-3，
综上：原方程的解为x=√6或x=−√6或x=3或x=-3．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就
把复杂的问题转化为简单的问题．
26．为解方程(𝑥2 −1)2−5(𝑥2−1)+4=0，我们可以将𝑥2 −1看作一个整体，然后设𝑥2−1=𝑦，那么原
方程可化为𝑦2−5𝑦+4=0……①.
解得𝑦 =1，𝑦 =4.
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当𝑦 =1时，𝑥2−1=1，即𝑥2 =2.∴𝑥 = ±√2.
当𝑦 =4时，𝑥2−1=4，即𝑥2 =5.∴𝑥 = ±√5.
所以，原方程的解为𝑥 =√2，𝑥 =−√2，𝑥 =√5，𝑥 =−√5．
1 2 3 4
（解答问题）上述解题过程中的“由原方程得到方程①”这一步，是利用“整体换元”的方法达到了降次的目的，
从而求出原高次方程的解，体现了转化的数学思想.
请你参考以上解决问题的方法解方程：(𝑥2 +2𝑥)2−2𝑥2−4𝑥−3=0．
【答案】x =1，x =−1，x =−3
1 2 3
【分析】先把x2+2x看作一个整体,设x2+2x= y,代入得到新方程y2−2y−3=0,利用求根公式可以求解.
【详解】解：设x2+2x=y，
那么原方程可化为y2−2y−3=0
解得y =3，y =−1.
1 2
当y=3时，x2+2x=3，即（x+1）2=4.
所以，x1=1,x2=-3.
当y=−1时，x2+2x=−1，即（x+1）2=0.
所以，x=−1.
所以，原方程的解为x =1，x =−1，x =−3
1 2 3
【点睛】本题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：用整体换元方法进行降次解方程.
27．某数学兴趣小组探究下面的方程解答方法，为解方程：(𝑥2 −1)2−5(𝑥2−1)+4=0，可以将(𝑥2−1)
看作一个整体，然后设𝑥2−1=𝑡，则原方程可化为𝑡2−5𝑡+4=0，解得𝑡 =1，𝑡 =4．
1 2
当𝑡 =1时，𝑥2−1=1，即𝑥2 =2，则𝑥 =±√2；
当𝑡 =4时，𝑥2−1=4，即𝑥2 =5，则𝑥 =±√5．
故原方程的解为：𝑥 =√2，𝑥 =−√2，𝑥 =√5，𝑥 =−√5．
1 2 3 4
上述解题方法，我们称之为换元法，请利用换元法解以下方程：2𝑥−5√𝑥+2=0．
1
【答案】x =4，x =
1 2 4
【分析】设√x=m，按照题意，将√x=m代入方程得2m2−5m+2=0，求出m的值，再求出x即可．
【详解】解：设√x=m．
原方程化为：2m2−5m+2=0，
1
解得：m =2，m = ．
1 2 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当m =2时，√x= 2，解得：x =4；
1
1 1 1
当m = 时，√x= ，解得：x = ．
2 2 2 4
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，会根据题目所描述的换元法求解
方程．
28．为解方程(𝑥2 −1)2−5(𝑥2−1)+4=0，我们可以将(𝑥2−1)视为一个整体；然后设𝑥2−1=𝑦，则
(𝑥2 −1)2 =𝑦2，原方程化为𝑦2−5𝑦+4=0．①
解得𝑦 =4，𝑦 =1．
1 2
当𝑦 =4时，𝑥2−1=4，∴𝑥2 =5，∴𝑥 =±√5，
1
当𝑦 =1时，𝑥2−1=1，∴𝑥2 = 2，∴𝑥 =±√2．
2
∴原方程的解为𝑥 =√2，𝑥 =−√2，𝑥 =√5，𝑥 =−√5．
1 2 3 1
解答问题：
(1)填空在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的；体现了________的数学思想．
(2)解方程𝑥4−𝑥2−6= 0．
【答案】(1)换元，转化
(2)x=±√3
【分析】（1）题目中的方法用的是换元法，体现了转化的数学思想；
（2）令x2 =a，得a2−a−6=0，用因式分解法解方程求出a的值，再求出x的值．
【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降幂的目的，体现了转化的数学思
想，
故答案为：换元，转化；
（2）解：令x2 =a，则原方程变为a2−a−6=0，
∴(a−3)(a+2)=0，
解得a=3或a =−2，
∵a=x2 ≥0，
∴a=3，
∴x2 =3，
∴x=±√3．
【点睛】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．为解方程𝑥4−3𝑥2+2=0，我们将𝑥2视为一个整体，
解：设𝑥2 =𝑦，则𝑥4 =𝑦2，
原方程可化为𝑦2−3𝑦+2=0，
解得𝑦 =2，𝑦 =1，
1 2
当𝑥2 =2时，𝑥 =±√2，
当𝑥2 =1时，𝑥 =±1，
∴原方程的解为𝑥 =±√2或𝑥 =±1．
(1)上面的解题方法，利用（ ）法达到了降幂的目的．
(2)依据此方法解方程：(𝑥2−1)2−5(𝑥2−1)+6=0．
【答案】(1)换元
(2)x=±√3或x=±2
【分析】（1）根据换元法解一元二次方程；
（2）根据换元法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，
故答案为：换元；
（2）解：(x2−1)2−5(x2−1)+6=0
设x2−1=y，
原方程可化为y2−5y+6=0，
解得y =2，y =3，
1 2
当x2−1=2时，x=±√3，
当x2−1=3时，x=±2，
∴原方程的解为x=±√3或x=±2．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键．
30.为解方程(𝑥2−1)2−3(𝑥2−1)=0，我们可以将𝑥2−1视为一个整体，然后设𝑥2−1= 𝑦，原方程化为
𝑦2−3𝑦 =0．①
解得𝑦 =0,𝑦 =3．
1 2
当𝑦 =0时，𝑥2−1=0，𝑥2 =1，∴𝑥 =±1．
当𝑦 =3时，𝑥2−1=3，𝑥2 =4，∴𝑥 =±2．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴原方程的解为𝑥 =1,𝑥 =−1,𝑥 =2,𝑥 =−2．
1 2 3 4
解答问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
(2)利用上述材料中的方法解方程：(𝑥2+3)2−4(𝑥2+3)=0．
【答案】(1)换元，转化
(2)x =1,x =−1
1 2
【分析】（1）根据换元法和转化的数学思想即可得；
（2）设x2+3=m，利用换元法解方程即可得．
【详解】（1）解：由题意得：在原方程得到方程y2−3y=0的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体
现了转化的数学思想，
故答案为：换元，转化．
（2）解：设x2+3=m，则方程可转化为m2−4m =0，
解得：m =0,m =4，
1 2
当m =0时，x2+3=0，方程根的判别式为Δ =0−4×1×3=−12 <0，方程没有实数根，
当m =4时，x2+3=4，则x2 =1，解得x =1,x =−1，
1 2
所以原方程的解为x =1,x =−1．
1 2
【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
31．解方程：𝑥4−𝑥2−6=0
解：设𝑦 =𝑥2，则原方程可化为𝑦2−𝑦−6=0
解得𝑦 =3，𝑦 =−2
1 2
当𝑦 =3时，𝑥2 =3解得𝑥 =±√3，当𝑦=−2时，𝑥2 =−2此方程无实数根，
∴原方程的解为𝑥 =√3，𝑥 =−√3
1 2
(1)在上面解方程的过程中，利用 法达到了降次的目的；
(2)观察上述解方程的过程，然后解方程：𝑥4−5𝑥2+6=0．
【答案】(1)换元
(2)x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3
1 2 3 4
【分析】（1）所给的材料是用了换元法，把高次方程转化为一元二次方程，即可得答案；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）设y=x2，则原方程可化为y2−5x+6=0，然后利用因式分解法解一元二次方程得到y =2，y =3，
1 2
然后把y =2，y =3分别代入y=x2，再解一元二次方程即可．
1 2
【详解】（1）解：由题意得，在原方程得到方程y2−y−6=0的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，
体现了转化的数学思想；
故答案为：换元；
（2）解：设y=x2，则原方程可化为y2−5x+6=0，
解得y =2，y =3，
1 2
当y=2时，x2 =2，解得x=±√2，
当y=3时，x2 =3，解得x=±√3，
∴原方程的解为x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3．
1 2 3 4
【点睛】本题考查解换元法高次方程，读懂阅读材料，掌握换元法是解题的关键．
32．𝑥4−5𝑥2+4=0是一个一元四次方程．
根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：
设𝑥2 =𝑦，那么𝑥4 =𝑦2，于是原方程可变为 ．
解得𝑦 =1，𝑦 = ．
1 2
当𝑦 =1时，𝑥2 =1，
∴𝑥 =±1．
当𝑦 = 时，𝑥2 = ，
∴𝑥 = ．
∴原方程有4个根，分别是 ．
【应用】仿照上面的解题过程，解方程：(𝑥2 −2𝑥)2+𝑥2−2𝑥−6=0．
【答案】探索：y2−5y+4=0，4，4，4，±2，x =−1，x =1， x =−2， x =2；
1 2 3 4
应用：x =1−√3，x =1+√3
1 2
【分析】探索：利用换元的思想求出所求方程的根即可
应用：利用换元的思想求出所求方程的根即可
【详解】探索
∵设x2 =y，那么x4 =y2，
∴原方程可变为y2−5y+4=0，
解得y =1，y =4
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当y=1时，x2 =1，
∴x=±1．
当y=4时，x2 =4，
∴x=±2；
原方程有4个根，分别是x =−1，x =1， x =−2， x =2；
1 2 3 4
故答案为：y2−5y+4=0，4，4，4，±2，x =−1，x =1， x =−2， x =2；
1 2 3 4
应用
∵(x2−2x)2+x2−2x−6=0，设y=x2−2x，
∴方程变形为：y2+y−6=0，
解得：y=2或y=−3，
可得x2−2x=2或x2−2x=−3（无解），
解得：x =1−√3，x =1+√3．
1 2
【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
