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一元二次方程计算题分类训练
（5 种类型共 56 道）
【类型一 直接开平方法】
1．用直接开平方法解下列方程：
(1)𝑥2−3=5； (2)−0.5𝑥2+2=0．
2．用直接开平方法解下列方程：
(1)2𝑥2 =32； (2) 2 𝑦2− 1 =0．
3 9
3．用直接开平方法解下列方程：
(1)5(𝑥−2)2−10=0； (2) 1 (2𝑥−2)2−16=0．
3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．用直接开平方法解下列方程：
(1) 1 (𝑥+3)2 =6； (2)4(𝑥+1)2 =(𝑥−2)2．
3
5．用直接开平方法解下列方程：
(1)49𝑥2 −36= 0； (2)9(𝑥+1)2 =25．
6．用直接开平方法解方程．
(1)𝑥2−49=0 (2)−5𝑥2+20=0
【类型二 配方法】
7．用配方法解下列方程：
(1)𝑥2−6𝑥+10=0； (2)−2𝑥2+7𝑥−6=0．
8．用配方法解下列方程：
(1)4𝑥2−4𝑥−1=0； (2)7𝑥2−23𝑥+6=0．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9．用配方法解方程：
(1)(2𝑥−1)2 =4𝑥+9； (2)5𝑦2+(2𝑦−3)2 =14．
10．用配方法解下列方程：
(1)2𝑥−5𝑥2 =2； (2)1.3𝑥2+0.6𝑥+ 1 =0．
4
11．用配方法解方程：
(1)𝑥2+7𝑥 =− 13 ； (2)3𝑥2+6𝑥+2=11．
4
12．用配方法解方程：
(1)(𝑥+1)(2𝑥−3)= 1． (2)5𝑥2−15𝑥−7=0．
【类型三 公式法】
13．用公式法解方程：
(1)𝑥2+2𝑥−6=0． (2)2𝑥(𝑥−3)=(𝑥−1)(𝑥+1)．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．用公式法解下列方程：
(1)−2𝑥2+7𝑥 =0； (2) 1 𝑥2− 1 𝑥 =0．
4 2
15．用公式法解下列方程：
(1)𝑥2+𝑥+2=0； (2)−7𝑥2+6𝑥−9=0．
16．用公式法解下列方程：
(1)𝑥2−4𝑥 =5 (2)2𝑥2−6𝑥+1= 0
17．用公式法解下列方程：
(1)− 1 𝑥2−2𝑥 =4； (2)−𝑥(2𝑥−5)=−4．
4
18．用公式法解下列方程：
(1)𝑥2+3𝑥−2=0； (2)−7𝑥2+6𝑥−9=0．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【类型四 因式分解法】
19．用因式分解法解下列方程：
(1)𝑥2−6𝑥 =−9； (2)4(𝑥−3)2−25(𝑥−2)2 =0．
20．用因式分解法解下列方程：
(1)𝑥2+5𝑥 =0； (2)(𝑥−5)(𝑥−6)=𝑥−5．
21．用因式分解法解下列方程：
(1)3𝑥2−√5𝑥 =0； (2)7𝑥(𝑥−3)=3𝑥−9．
22．用因式分解法解下列方程：
（1）4𝑦2 =3𝑦； (2)(2𝑥+3)(2𝑥−3)−𝑥(2𝑥+3) =0．
23．用因式分解法解下列方程．
(1)𝑥2−𝑥−56 =0 (2)3𝑥(𝑥−2)=2(𝑥−2)
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24．用因式分解法解下列方程．
(1)(2𝑥−3)2−(𝑥−2)2 =0； (2)2(𝑡−1)2+𝑡 =1．
【类型五 换元法】
25．解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神
奇”的方法叫换元法．
例如：解方程(𝑥2 −𝑥)2−8(𝑥2−𝑥)+12=0
解：设𝑥2−𝑥 =𝑦
原方程化为：
𝑦2−8𝑦+12=0 ∴(𝑦−2)(𝑦−6)=0
∴𝑦−2=0或𝑦−6=0 ∴𝑦 =2，𝑦 =6
1 2
当𝑦 =2时，即𝑥2−𝑥 =2
(𝑥−2)(𝑥+1)=0
∴𝑥−2=0或𝑥+1= 0
𝑥 =2，𝑥 =−1
1 2
当𝑦 =6时，即𝑥2−𝑥 =6
(𝑥−3)(𝑥+2)=0 ∴𝑥−3=0或𝑥+2=0
∴𝑥 =3，𝑥 =−2
3 4
∴原方程的解是：𝑥 =2，𝑥 =−1，𝑥 =3，𝑥 =−2
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请你利用换元法解方程：(𝑥2 −7)2−(𝑥2 −7)−2=0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司26．为解方程(𝑥2 −1)2−5(𝑥2−1)+4=0，我们可以将𝑥2 −1看作一个整体，然后设𝑥2−1=𝑦，那么原
方程可化为𝑦2−5𝑦+4=0……①.
解得𝑦 =1，𝑦 =4.
1 2
当𝑦 =1时，𝑥2−1=1，即𝑥2 =2.∴𝑥 = ±√2.
当𝑦 =4时，𝑥2−1=4，即𝑥2 =5.∴𝑥 = ±√5.
所以，原方程的解为𝑥 =√2，𝑥 =−√2，𝑥 =√5，𝑥 =−√5．
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（解答问题）上述解题过程中的“由原方程得到方程①”这一步，是利用“整体换元”的方法达到了降次的目的，
从而求出原高次方程的解，体现了转化的数学思想.
请你参考以上解决问题的方法解方程：(𝑥2 +2𝑥)2−2𝑥2−4𝑥−3=0．
27．某数学兴趣小组探究下面的方程解答方法，为解方程：(𝑥2 −1)2−5(𝑥2−1)+4=0，可以将(𝑥2−1)
看作一个整体，然后设𝑥2−1=𝑡，则原方程可化为𝑡2−5𝑡+4=0，解得𝑡 =1，𝑡 =4．
1 2
当𝑡 =1时，𝑥2−1=1，即𝑥2 =2，则𝑥 =±√2；
当𝑡 =4时，𝑥2−1=4，即𝑥2 =5，则𝑥 =±√5．
故原方程的解为：𝑥 =√2，𝑥 =−√2，𝑥 =√5，𝑥 =−√5．
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上述解题方法，我们称之为换元法，请利用换元法解以下方程：2𝑥−5√𝑥+2=0．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司28．为解方程(𝑥2 −1)2−5(𝑥2−1)+4=0，我们可以将(𝑥2−1)视为一个整体；然后设𝑥2−1=𝑦，则
(𝑥2 −1)2 =𝑦2，原方程化为𝑦2−5𝑦+4=0．①
解得𝑦 =4，𝑦 =1．
1 2
当𝑦 =4时，𝑥2−1=4，∴𝑥2 =5，∴𝑥 =±√5，
1
当𝑦 =1时，𝑥2−1=1，∴𝑥2 = 2，∴𝑥 =±√2．
2
∴原方程的解为𝑥 =√2，𝑥 =−√2，𝑥 =√5，𝑥 =−√5．
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解答问题：
(1)填空在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的；体现了________的数学思想．
(2)解方程𝑥4−𝑥2−6= 0．
29．为解方程𝑥4−3𝑥2+2=0，我们将𝑥2视为一个整体，
解：设𝑥2 =𝑦，则𝑥4 =𝑦2，
原方程可化为𝑦2−3𝑦+2=0，
解得𝑦 =2，𝑦 =1，
1 2
当𝑥2 =2时，𝑥 =±√2，
当𝑥2 =1时，𝑥 =±1，
∴原方程的解为𝑥 =±√2或𝑥 =±1．
(1)上面的解题方法，利用（ ）法达到了降幂的目的．
(2)依据此方法解方程：(𝑥2−1)2−5(𝑥2−1)+6=0．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司30.为解方程(𝑥2−1)2−3(𝑥2−1)=0，我们可以将𝑥2−1视为一个整体，然后设𝑥2−1= 𝑦，原方程化为
𝑦2−3𝑦 =0．①
解得𝑦 =0,𝑦 =3．
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当𝑦 =0时，𝑥2−1=0，𝑥2 =1，∴𝑥 =±1．
当𝑦 =3时，𝑥2−1=3，𝑥2 =4，∴𝑥 =±2．
∴原方程的解为𝑥 =1,𝑥 =−1,𝑥 =2,𝑥 =−2．
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解答问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
(2)利用上述材料中的方法解方程：(𝑥2+3)2−4(𝑥2+3)=0．
31．解方程：𝑥4−𝑥2−6=0
解：设𝑦 =𝑥2，则原方程可化为𝑦2−𝑦−6=0
解得𝑦 =3，𝑦 =−2
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当𝑦 =3时，𝑥2 =3解得𝑥 =±√3，当𝑦=−2时，𝑥2 =−2此方程无实数根，
∴原方程的解为𝑥 =√3，𝑥 =−√3
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(1)在上面解方程的过程中，利用 法达到了降次的目的；
(2)观察上述解方程的过程，然后解方程：𝑥4−5𝑥2+6=0．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司32．𝑥4−5𝑥2+4=0是一个一元四次方程．
根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：
设𝑥2 =𝑦，那么𝑥4 =𝑦2，于是原方程可变为 ．
解得𝑦 =1，𝑦 = ．
1 2
当𝑦 =1时，𝑥2 =1，
∴𝑥 =±1．
当𝑦 = 时，𝑥2 = ，
∴𝑥 = ．
∴原方程有4个根，分别是 ．
【应用】仿照上面的解题过程，解方程：(𝑥2 −2𝑥)2+𝑥2−2𝑥−6=0．
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