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专题02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
题型一：一元二次方程的解
题型二：判别一元二次方程的根的个数
题型三：利用根与系数的关系计算
题型四：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
题型五：实根分布
题型一：一元二次方程的解
1．解方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公
式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．
（1）先将方程变形为
，再利用直接开平方法解方程即可得；
（2）利用公式法解方程即可得．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
或
，
所以方程的解为
．
（2）解：方程
中的
，
方程根的判别式为
，方程有两个不相等的实数根，
所以方程的解为
，
即
．
2．解方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是∶
（1）根据直接开平方法求解即可；
（2）根据因式分解法求解即可．
【详解】（1）解∶∵
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
∴
，
；
（2）解∶∵
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
∴
，
．
3．解下列方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）用配方法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
，
移项，得
．
配方，得
，
即
，
，
，
．
（2）解：解：
，
，
，
，
即方程有两个不相等的实数根，
，
，
．
4．解方程：
．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程
即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得：
．
5．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法．
（1）通过移项、因式分解将方程转化为乘积形式求解；
（2）直接配方法求解．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
，
．
题型二：一元二次方程的根的个数
6．关于
的一元二次方程
有两个实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．
根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为0 且判别式为非负数计算即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴
，
∵关于
的一元二次方程
有两个实数根，
∴
解得
，
∴
的取值范围是
且
，
故选：C．
7．当关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根时，
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程
，若
，则方程有两个不相等的实数根，若
，则方程有
两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求
解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，
∴
，
∴
且
，
故选：C．
8．若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关
键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得
，由此即可求解．
【详解】解：由题知，
，
关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，
，即
解得
，
故答案为：
．
9．关于x 的一元二次方程方程
有实数根，则m 的取值范围是 ．
【答案】
且
【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0，方程有实数根，得到判别式大于
等于0，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：
且
，
解得：
且
；
故答案为：
且
．
10．已知一元二次方程
，必有两个实数根，求
的取值范围．
【答案】
的取值范围是
．
【分析】此题考查了根的判别式，由方程整理为
，然后根据
确定参数
的范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
根的判别式
，当方程有两个不相等的实数根时，
；当方程有两个相
等的实数根时，
；当方程没有实数根时，
．
【详解】解：
，
，
，
∵一元二次方程
，必有两个实数根，
∴
，
解得：
，
∴
的取值范围是
．
题型三：利用根与系数的关系计算
11．已知
是方程
的两根，求下列两个代数式的值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关
键．
（1）根据根与系数的关系得到
，再由
计算求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到
，再把所求式子去括号得到
，据此计
算求解即可．
【详解】（1）解：∵
是方程
的两根，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
是方程
的两根，
∴
，
∴
．
12．设
是方程
的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据根与系数的关系可得
，再由
即可得到答
案；
（2）根据根与系数的关系可得
，再由
即可得到答案．
【详解】（1）解：∵
是方程
的两个根，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
是方程
的两个根，
∴
，
∴
．
13．设
，
是一元二次方程
的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式和分式的求值，
（1）根据一元二次方程的根与系数的关系得到
，
，然后根据完全平方公式变形，即可
求解；
（2）将
通分得到
，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）∵
，
是一元二次方程
的两个根
∴
，
∴
；
（2）
．
14．已知
是方程
的两个根，求下列代数式的值．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式运算和完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次
方程根与系数的关系，把所给代数式经过恒等变形为含
的形式后，整体代入
的值是
解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系：如果
的两个实数根是
，那么
，得到
的值．
（1）把原式通分后运算得到
，然后利用整体代入法计算即可；
（2）利用完全平方公式的变形得到
，然后利用整体代入法计算即可．
【详解】（1）方程
中，
，已知有两个根，
由一元二次方程根与系数的关系得
．
；
（2）
．
15．已知方程
的两个根分别为
，
，求下列代数式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根与系数的关系：若
，
是一元二次方程
的两根时，
，
，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键．
（1）由根与系数的关系可知，
，
．把
变形成
，代入
，
即可求解；
（2）把
变形成
代入
，
即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系可知，
，
．
；
（2）解：
．
16．已知
，
是一元二次方程
的两个实数根：
(1)填空：
_____；
_____．
(2)求代数式
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系求值，熟知这些知识点是正确解题的关键．
（1）由
，
是一元二次方程的两个实数根，则根据
，
求值即可．
（2）将
化成
，即可求解．
【详解】（1）由一元二次方程
可知
，
，
．
（2）
．
17．已知
是方程
的两个实数根，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程
的两个根为
，则
．
（1）根据
即可求解；
（2）根据
即可求解；
（3）根据
即可求解；
（4）根据
即可求解；
【详解】（1）解：
是方程
的两个实数根，
．
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
题型四：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
18．已知关于x 的一元二次方程
．
(1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
，
是该方程的两根，且满足
，求m 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
或
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题的
关键：
（1）根据根的判别式得出
，再根据完全平方式转化，进而可得出结论；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出
，
，再将其代入得出
，求解即可
【详解】（1）证明：
，
故无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：
，
，
，
，
，
，
．
故m 的值为
或．
19．若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根
，
．
(1)求
的取值范围；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题主要查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程
有两个不相等的实数根，
∴
，
解得：
；
（2）解：∵方程
有两个不相等的实数根
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
，
∵
，
∴
．
20．已知关于x 的一元二次方程
．
(1)求证：无论m 取任何实数时，方程总有两个实数根．
(2)若方程的两个实数根
满足
，请求出m 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握根的判别式与方程的根的个数之间
的关系是解题的关键：
（1）运用一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（2）根据根与系数的关系可得
、
，然后代入
得到关于m
的方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵关于x 的一元二次方程
，
∴方程总有2 个实数根；
（2）解：由题意，得：
，
，
∵
，
∴
，
∴
，解得：
．
21．已知关于
的一元二次方程
．
(1)当方程有两个实数根时，求
的取值范围．
(2)当方程的两个根
满足
时，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键．
（1）根据方程有两个实数根得到
，由此即可求解；
（2）根据题意方程的两个根
得到，
，结合完全平方公式的变形得到
，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：关于
的一元二次方程
，方程有两个实数根，
∴
，
整理得，
，
解得，
；
（2）解：方程
的两个根
，
∴
，
∵
，
∴
，整理得，
，
∴
，
整理得，
，
∴
，
解得，
，
当
时，
，
解得，
，符合题意；
当
时，
，
∵
，
∴原方程无实数，
∴
舍去，
∴
．
22．已知关于
的方程
，
(1)当
取何值时，方程有两个不相等的实数根?
(2)设
、
是方程的两根，且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）由题意易得
，然后代入进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：
；
（2）解：由题意得：
，
∴
，
解得：
．
23．已知关于
的一元二次方程
的两个根为
，若
，求
的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可得
，代
入
得出
，解方程，即可求解．
【详解】解：由题意，得
．
，
，
解得
．
且此时
符合题意.
24．已知：关于x 的方程
．
(1)求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根为
，
且满足
，求k 的值．
【答案】(1)详见解析
(2)k 的值为
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌
握一元二次方程根的判别式列出关于k 的式子．
（1）根据根的判别式
，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出
，
，利用
，即可得到k 的
值．
【详解】（1）证明：∵
，
∴不论k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得：
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
，
即k 的值为
．
25．关于
的一元二次方程
的两根
，
满足
，求
的值．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关
系与根的判别式是解题的关键；由题意易得
，
，然后根据
可建立方
程进行求解
【详解】解：由题意知，
，
．
因为
，
所以
．
解得，
．
因为
，
所以
．
26．已知关于
的一元二次方程
．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围．
(2)若方程
的两个实数根
、
满足
，求实数
值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意可得
，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系得到
，据此可得方程
，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
的两个实数根
、
，满足
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
题型五：实根分布
27．已知关于x 的方程
有两个异号的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据方程有两个异号的实数根结合二次项系数非0，即可得出
，
，解
之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，根据根的判别式
结合二次项系数非0 得出关于k 的不等式是解题的关键．
【详解】由题意得，
，
解得：
．
由条件可知
，
解得
．
的取值范围为
．
故选：A．
28．已知关于
的一元二次方程
．
(1)求证：不论k 为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根是负数，求k 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键；
（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵方程
，
，
，
，
，
∴无论
为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：由方程
得
，
∴
或
，
，
，
∵方程有一个根为负数，
．
∴
．
∴
的取值范围是
．
29．已知关于
的一元二次方程
．
(1)求证：无论
为何值，方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个实数根大于，求
的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．
（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出
，根据判别式的意义即可证明；
（2）设方程的两个根分别为
，
，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即
可求得
的取值范围．
【详解】（1）证明：
，
，
，
，
无论
为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
解方程得
，
，
．
由题意可知，
，
．
30．已知关于x 的方程
的两个实数根同号，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】运用
解题即可.
【详解】根据题意得到
，即
，解得
.
故答案为：
.
31．已知a，
，证明：“
且
”是“关于x 的方程
有实数根，且两根均小于2”
的充分条件．
【答案】证明见解析
【分析】由
且
得到a 与b 的范围，以此讨论方程的根的情况，从而得到答案﹒
【详解】由
且
，得
，
，
则方程
的判别式
，所以该方程有两根，不妨设方程两根分别为
、
，
因为
，
，所以
且
﹒
