7.6实系数一元二次方程的解法（原卷版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_复数知识点题型分类PDF

7.6 实系数一元二次方程的解法
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：实系数一元二次方程....................................................... 2
考点二：求解复数集上的方程的方法...............................................2
考点三：实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）...............2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：解实系数一元二次方程.................................................... 3
模块三：综合巩固.........................................................................3
7.6 实系数一元二次方程的解法
模块一：基础知识
考点一：实系数一元二次方程
实系数一元二次方程
2
0( , ,
,
0)
ax
bx
c
a b c
a





R
中的
2
4
b
ac


为根的判别式，那么
（1）
0

方程有两个不相等的实根
2
4
2
b
b
ac
a


；
（2）
0

方程有两个相等的实根
2
b
a

；
（3）
0

方程有两个共轭虚根
2
4
2
b
ac
b i
a


，
考点二：求解复数集上的方程的方法
①设
( ,
)
z
x
yi x y


R 化归为实数方程来解决．
②把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．
③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
考点三：实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
（1）当
2
4
0
b
ac



时，方程的两个实根满足韦达定理
1
2
b
x
x
a


，
1
2
c
x x
a

。
（2）当
2
4
0
b
ac



时，方程的两个共轭虚数根
1x 、
2x ，则
1
2
1
1
1
2Re
b
x
x
x
x
x
a





，
2
2
2
2
1
2
1
1
1
4
2
2
b
ac
b
c
x x
x
x
x
a
a
a






















。
综上所述，无论方程的判别式
2
4
b
ac

的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的
情况，即实系数一元二次方程
2
0
ax
bx
c



（a 、b 、c
R

且
0
a 
）的两个根与系数满足关系
1
2
2

b
x
x
a
，
1
2 c
x x
a
模块二：题型分类
题型一：解实系数一元二次方程
1.已知复数z 满足方程
2
4
5
0
z
z



，则z 
．
2.若1
i
是实系数方程
2
0
x
ax
b



的一个根，则另一个根是
，

a
，
b 
.
模块三：综合巩固
1.若复数z 满足方程
2
1
0
z 
（i 是虚数单位），则z （
）
A．1
B．i
C．i

D．i

2.已知p 、q为实数，2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
x
px
q



的一个根，则p
q

（
）
A．14
B．38
C．34

D．14

3.若复数z 是
2
2
0
x
x



的根，则z （
）
A．1
B．
2
C．2
D．3
4.若复数3
i
为方程
2
0
x
mx
n



（m，nR ）的一个根，则该方程的另一个根是（
）
A．3 i

B．3 i

C．i
3

D．i
3

5．（多选）若1
2i

是关于x 的方程


2
0
,
x
ax
b
a b



R 的一个复数根，则（
）
A．
2
a 
B．
5
b 
C．
i
a
b

的共轭复数的模为
29
D．
i
a
b

，
i
b
a

在复平面内对应的两点之间的距离为7 2
6．（多选）已知复数范围内关于x 的方程
2
3
0
x
x



的两根为
1
2
,
x x ，则下列结论正确的是（
）
A．
2
1
3
x x


B．
1
2
1
x
x


C．
1
x 与
2
x 互为共轭复数
D．
1
2
11
x
x


7．设方程
2
18
3
0
x
x



的两根为
1x ,
2x ，则
1
2
1
1
x
x


．
8．方程
2
6
25
0
x
x



在复数范围内的根为
．
9．如果
,p q 都是实数，关于x 的方程
2
2
0
x
px
q



有一个根2
3i

，则p
q


10．若
1
3i
x 
是关于x 的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是
.
11．设常数
R
p
，已知关于x 的方程
2
2
0
x
px



.
(1)若
2
p 
，求该方程的复数根；
(2)若方程的两个复数根为、，且
1



，求p 的值.
12．已知关于x 的实系数一元二次方程


2
2
2
4
1
1
0
x
m
x
m




(1)若
2
m 
，求方程的两个根；
(2)若方程有两虚根
1
2
,
z z ，
1
2
4
z
z


，求m 的值；
(3)若方程的两根为
1
2
,
x x ，其在复平面上所对应的点分别为
,
A B ，点A 关于y 轴的对称点为C（不同于点A ），
如果
1
OB OC



，求m 的取值范围.