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专题 07 一元二次方程
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：一元二次方程的定义........................................................................................................................3
考点二：一元二次方程的定义解法................................................................................................................3
考点三：根与系数的关系................................................................................................................................3
考点四：一元二次方程实际应用....................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................5
考点一：一元二次方程的相关概念................................................................................................................5
题型一：识别一元二次方程..........................................................5
题型二：利用一元二次方程的概念求参数值............................................6
题型三：一元二次方程的一般式......................................................6
题型四：由一元二次方程的解求参数的值..............................................6
题型五：由一元二次方程的解求代数式的值............................................6
题型六：已知一元二次方程的一个根，求另一个根......................................7
考点二：解一元二次方程................................................................................................................................7
题型一：用直接开平方法解一元二次方程..............................................7
题型二：利用配方法解一元二次方程..................................................7
题型三：因式分解法解一元二次方程..................................................8
题型四：公式法解一元二次方程......................................................8
题型五：利用换元法解一元二次方程..................................................8
题型六：选用合适的方法解一元二次方程..............................................9
题型七：错看或错解一元二次方程问题................................................9
题型八：配方法的应用.............................................................11
题型九：判断不含字母的一元二次方程的根的情况.....................................12
题型十：根的判别式求字母的值或取值范围...........................................13
题型十一：应用根的判别式证明方程根的情况.........................................13
考点三：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）..............................................................................15
题型一：韦达定理求代数式的值.....................................................15
题型二：韦达定理求代数式的值.....................................................16
题型三：韦达定理方程的解通过降次求代数式的值.....................................16
题型四：由方程两根满足关系求字母或代数式的值.....................................17
题型五：不解方程由根与系数的关系判断根的正负.....................................17
题型六：由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围...............................18
题型七：与根与系数有关的新定义问题...............................................18
题型八：构造一元二次方程求代数式的值.............................................18
题型九：根与系数的关系和根的判别式的综合应用.....................................19
考点四：一元二次方程的应用......................................................................................................................19
题型一：增长率问题...............................................................19
题型二：几何问题.................................................................20
题型三：传染病与枝干问题.........................................................23
题型四：单双循环问题.............................................................24
题型五：涨价降价销售利润问题.....................................................24
题型六：工程问题.................................................................26
题型七：行程问题.................................................................27题型八：动点问题.................................................................27
题型九：探究拓展问题.............................................................28专题 07 一元二次方程
模块一：基础知识
考点一：一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b
是一次项系数；c是常数项。
考点二：一元二次方程的定义解法
(1)直接开方法。适用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形
式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为： 的形式，这个式子叫
做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
(4)因式分解法。主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法。
考点三：根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x 和x ，则x ，x 与方程的系数a，b，c之间有如下关
1 2 1 2
b c
系：x +x ＝− ； x •x ＝
1 2 a 1 2 a
【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x ,x
1 2
1）平方和 x2+x2= (x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
1 2
2）倒数和 + =
x1 x2 x x
1 23）差的绝对值 | x - x |=√(x −x ) 2=√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x
4) 1+ 2 = 1 2 = 1 2 1 2
x x x x x x
2 1 1 2 1 2
5） (x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
【注意】
1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为 x 1 ,x 2， 那么x 1+ x 2 ＝−p， x 1 •x 2 ＝q .
2. 以两个数x1 , x2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2 -（x 1+ x 2 ）x+ x 1 •x 2 ＝0.
3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c
的值.
4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
考点四：一元二次方程实际应用
1.用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
2.与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第
二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长
(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.
即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等
量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售
价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形
面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为
(a−2x)(b−2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)．
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还
是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为 1，每一个传染源传
染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为 1，每一个细胞分裂为
x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．
1
∴m = n（n－1）
2
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．
∴m = n（n－1）
模块二：题型分类
考点一：一元二次方程的相关概念
题型一：识别一元二次方程
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x−y=0 B．ax2+2x−3=0
C．x2+2x+5=x(x−1) D．x2−1=02．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：
(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．
3.下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2−1=0 B．2x+ y=1 C．x+ =3 D．4x+5=6x
x
题型二：利用一元二次方程的概念求参数值
1.已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
2.方程(m−2)xm2−2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
3.关于x的方程(m+1)x|m|+1−mx+6=0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．−1 B．3 C．1 D．1或−1
题型三：一元二次方程的一般式
1.将一元二次方程3x2=5x−1写成一般形式，下列等式正确的是（ ）
A．3x2−5x−1=0 B．3x2+5x−1=0
C．3x2−5x+1=0 D．3x2+5x+1=0
2.将方程4x2+8x=25化成ax2+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2，−25 C．4，8，−25 D．1，2，25
3.若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ．
4.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的常数项是0，则a的值为（ ）
1
A．1 B．−1 C．1或−1 D．
2
题型四：由一元二次方程的解求参数的值
1.若x=1是方程x2−2x+a=0的根，则a= ．
2.若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为 ．
题型五：由一元二次方程的解求代数式的值
1.关于x的一元二次方程2xa−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
2.如果x=−1是方程x2+mx+n=0的一个根，那么m、n的大小关系是（ ）
A．m>n B．m=n C．mb，则2a+b的值为 ．
3.解关于x的方程： 4(2x−5) 2=9(3x−1) 2．
题型二：利用配方法解一元二次方程
1.用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．(x+1) 2=3 B．(x+1) 2=6 C．(x−1) 2=3 D．(x−1) 2=6
2.用配方法解一元二次方程3x2+6x−1=0时，将它化为(x+a) 2=b的形式，则a+b的值为（ ）
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
3.将方程2x2−12x+1=0配方成(x−m) 2=n的形式，下列配方结果正确的是（ ）
17 17
A．(x+3) 2=17 B．(x+3) 2= C．(x−3) 2=17 D．(x−3) 2=
2 2
4.用配方法解方程x2−4x−3=0，配方得(x+m) 2=7，常数m的值是 ．
5.根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x＝1，x＝n．
1 2
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
题型三：因式分解法解一元二次方程
1.解方程：(2x+3) 2=(3x+2) 2
2.解方程：x(x−2)=x−2．
3.一元二次方程(x−2)(x+7)=0的根是 ．
4.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为 ．
5.解方程：x2−6x+9=(5−2x) 2
6.解方程：x(x−6)=−4(x−6)．
题型四：公式法解一元二次方程
1.用公式法解方程x2−4x−11=0时，Δ＝（ ）
A．−43 B．−28 C．45 D．60
2.方程x2−3x=1的解是 ．
3.方程x2+2x−2=0的解是 .
4.一元二次方程x2−3x+2=0根的判别式的值为 ．
题型五：利用换元法解一元二次方程
1.已知(a2+b2) 2 −a2−b2−6=0，求a2+b2的值为 ．
2.若(x2+ y2+3)(x2+ y2−3)=16，则x2+ y2= ．
3.我们知道方程x2+2x−3=0的解是x =1，x =−3，现给出另一个方程(2x+3) 2+2(2x+3)−3=0，
1 2
它的解是（ ）
A．x =1，x =3 B．x =1，x =−3 C．x =−1，x =3 D．x =−1，x =−3
1 2 1 2 1 2 1 24.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如列表所示：则一元二次方程a(2x−1) 2+b(2x−1)+c=7的解
为 ．
x … −3 0 1 3 5 …
y … 7 −8 −9 −5 7 …
题型六：选用合适的方法解一元二次方程
1.解方程：x2−4x−5=0．
2.解方程(x−2) 2=4．
3.解下列方程
(1)9x2−(x−1) 2=0
(2)x2−4x−1=0
(3)2x2−x−3=0
题型七：错看或错解一元二次方程问题
1.关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A B C D
整理得，x2﹣4x＝﹣3 整理得，x2﹣4x＝﹣3
移项得，（x﹣3）（x﹣1）
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， 配方得，x2﹣4x+2＝﹣1
两边同时除以
＝0
b2﹣4ac＝28 ∴（x﹣2）2＝﹣1
（x﹣1）得，x＝3 ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0
4±√28 ∴x﹣2＝±1
∴x＝ ＝2±√7 ∴x 1 ＝1，x 2 ＝3
2 ∴x ＝1，x ＝3
1 2
A．A B．B C．C D．D
2.下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整．
解方程： (x−3) 2=4x2
解： x−3=2x …第一步
x−2x=3⋯ 第二步
x=−3⋯ 第三步
(1)提示：第 步开始出现错误；
(2)改正：3.小敏与小霞两位同学解方程3(x−3)=(x−3) 2的过程如下框：
小霞：
小敏： 移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0
两边同除以(x−3) ，
，得 提取公因式，得
3=x−3，
(x−3)(3−x−3)=0．
则x=6．
则x−3=0或3−x−3=0，
解得x =3，x =0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
4.（1）计算：sin45°+tan45°−2cos60°．
（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
x2−2x=1 第一步
x2−2x+1=1，即(x−1) 2=1第
二步
x−1=±1 第三步
x =0，x =2 第四步
1 2
任务一：
①填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是 ，依据的一个数学公式是 ；第
步开始出现错误；
任务二：
②请你直接写出该方程的正确解．
5.下面是小聪同学用配方法解方程：2x2−4x−p=0 (p>0)的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
2x2−4x−p=0
解：移项，得：2x2−4x=p．①
p
二次项系数化为1，得：x2−2x=
．②
2
p
配方，得x2−2x+1=
．③
2
p
即(x−1) 2= .
2∵p>0，
√ p
∴x−1=± ．④
2
√2p √2p
∴x =1+ ，x =1− ．⑤
1 2 1 2
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？
(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
题型八：配方法的应用
1.【课本再现】
材料一：解方程：x2+8x−9=0．
解：把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9．
两边都加42，得x2+8x+42=9+42，即(x+4) 2=25．
两边开方，得x+4=±5，即x+4=5或x+4=−5，
所以x =1，x =−9．
1 2
在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为
配方法．
材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题．
例如：x2−6x+10=(x2−6x+9)−9+10=(x−3) 2+1．
∵(x−3) 2≥0，
∴(x−3) 2+1≥1，即x2−6x+10有最小值1．
【尝试运用】
（1）解一元二次方程x2−4x−2=0，配方后可变形为（ ）
A．(x−4) 2=8 B．(x−4) 2=6 C．(x−2) 2=2 D．(x−2) 2=6
（2）利用配方法求−x2−6x+5的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程x2+ y2+2x−4 y+5=0，求(x−2) y的值．2.配方法在代数式求值、解方程、求最值问题……中都有着广泛的应用．
例如：若代数式M=a2−2ab+2b2−2b+2，
利用配方法求M的最小值：M=a2−2ab+2b2−2b+2
=a2−2ab+b2+b2−2b+1
=(a−b) 2+(b−1) 2+1
∵(a−b) 2≥0，(b−1) 2≥0，
∴当a=b=1时，代数式M有最小值为1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+_________；
(2)若代数式M=a2+4a+6，求M的最小值；
(3)已知a2+2b2+c2−2ab−2b−4c+5=0，求代数式a+b+c的值．
题型九：判断不含字母的一元二次方程的根的情况
1.一元二次方程2x2−5x+6=0的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
2.下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x−2=0 B．x2−2x=0
C．x2+x+5=0 D．x2−2x+1=0
3.下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1=2x B．x2+1=0
C．x2−2x=3 D．x2−2x=0
4.请填写一个常数，使得关于x的方程x2−2x+ =0有两个不相等的实数根．
题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况
1.关于x的方程x2−3kx−2=0实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
2.关于x的一元二次方程x2+(k−3)x+1−k=0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
题型十：根的判别式求字母的值或取值范围
1.已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，那么a的取值范围是 ．2.已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
3.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2−2(1+2c)=（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
4.若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
1 1
A．−4 B．− C． D．4
4 4
5.对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程
(k−3) ⊗x=k−1的根的情⊗况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
6.若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．k< B．k≤ C．k< 且k≠0 D．k≤ 且k≠0
3 3 3 3
7.若关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a>−1且a≠0 C．a≥−1且a≠0 D．a>−1
8.已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况为（
）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
9.若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．1
10.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
题型十一：应用根的判别式证明方程根的情况
1.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．2.已知关于x的一元二次方程x2−2x−3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
3.已知关于x的一元二次方程x2−ax+a−1=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
4.已知关于x的方程x2+(3k−2)x−6k=0．
(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围
1.关于x的一元二次方程(m−3)x2−2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m<4且m≠3 B．m>4 C． m≥4 D．m≤4且m≠3
9
2.若关于x的方程kx2−3x− =0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
4
A．k=0 B．k≥−1且k≠0 C．k≥−1 D．k>−1
3.已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x ，x 两实数根．
1 2
(1)求m的取值范围；
6
(2)是否存在实数m，满足(x −1)(x −1)=− ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理
1 2 m−7
由．
4.已知关于x的一元二次方程x2+3x+2k−1=0有两个实数根x ，x
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)若x2−x2=3√5，求k的值．
1 2
5.已知三个关于x的方程x2−x+m=0,(m−1)x2+2x+1=0和(m−2)x2+2x−1=0．若其中至少有两个
方程有实根，求实数m的取值范围．题型14 与根的判别式有关的新定义问题
1.定义新运算a∗b，对于任意实数a，b满足a∗b=(a+b)(a−b)−1，其中等式右边是通常的加法、减
法、乘法运算，例如4∗3=(4+3)(4−3)−1=7−1=6，若x∗k=x（k为实数） 是关于x的方程，则
它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
2.对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程
(k−3) ⊗x=k−1的根的情⊗况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3.定义运算：m☆n=mn2−mn−1．例如:4☆2=4×22−4×2−1=7．则方程1☆x=0的根的情况为
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
考点三：一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理）
题型一：韦达定理求代数式的值
1.已知实数x ,x 是方程x2+x−1=0的两根，则x x = ．
1 2 1 2
2.若 是方程 的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x 、x ，则 的值为（ ）
1 2
A．﹣3 B． C．1 D．
4.已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x ，x ，则x ＋x ﹣x x 的值等于 ．
1 2 1 2 1 2
5.一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．
6.已知方程x2−4x−1=0的两根为x ,x ，则(1−x )(1−x )= ．
1 2 1 27.已知 、 是方程 的两根，则代数式 的值为_________．
8.已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x ，x ，若x =−1，则a−x2−x2的值为
1 2 1 1 2
（ ）
A．7 B．−7 C．6 D．−62 m+3n
9.已知m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，则 − 的值是（ ）
m−n m2−n2
1 1
A．−3 B．−2 C．− D．−
3 2
√b √a
10.已知a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的两个根，则a +b 的值是（ ）
a b
A．−2√3 B．−3√2 C．3√2 D．2√3
题型二：韦达定理求代数式的值
1.若m，n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 ．
2.若a、b是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为_________．
3.已知a、b是方程 的两根，则 ___________．
4.已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若 ，求m的值．
5.若α、β为方程2x2−5x−1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ ）
A．−13 B．12 C．14 D．15
m3+m2n
6.若m，n是一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根，则 的值为 ．
3m−1
题型三：韦达定理方程的解通过降次求代数式的值
1.已知x ，x 是方程x2−x−2022=0的两个实数根，则代数式x3−2022x +x2的值是（ ）
1 2 1 1 2
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
2.已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
3.已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
4.已知a，b是方程x2−3x−5=0的两根，则代数式2a3−6a2+b2+7b+1的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
5.已知α、β是方程x2+x−1=0的两根，则α4β−β3+5的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6.已知α，β是方程x2+2x−1=0的两根，则α3+5β+10的值为 ．题型四：由方程两根满足关系求字母或代数式的值
1.若关于x的一元二次方程 两根为 ，且 ，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2.已知关于x的方程x2−(2m−1)x+m2=0的两实数根为x ，x ，若(x +1)(x +1)=3，则m的值为
1 2 1 2
（ ）
A．−3 B．−1 C．−3或3 D．−1或3
3.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x ,x ，且满足x x =2，则x +x 的值为
1 2 1 2 1 2
（ ）
A．4 B．-4 C．4或-2 D．-4或2
4.若a、b是关于x的一元二次方程x2−2kx＋4k=0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（ ）
A．−1 B．3 C．−1或3 D．−3或1
5.关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x ,x ，(x −x +2)(x −x −2)+2x x
1 2 1 2 1 2 1 2
=−3，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
x x
6.已知x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且
2+ 1
＝x 2+2x ﹣1，则k的值为 ．
1 2 x x 1 2
1 2
7.α、β是关于x的方程x2−x+k−1=0的两个实数根，且α2−2α−β=4，则k的值为 ．
题型五：不解方程由根与系数的关系判断根的正负
1.关于x的方程(x−1)(x+2)=ρ2（ρ为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
2.已知x 、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
1 2
A．x ≠x B．x +x ＞0 C．x •x ＞0 D．x ＜0，x ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
3.关于x的方程3x2−7x+4=0的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
4.关于x的方程(x−2)(x+1)=p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根题型六：由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围
1.已知关于x的一元二次方程x2−6x+(2m+1)=0的两个实数根为x 、x ，且2x x +x +x ≥20，则m
1 2 1 2 1 2
的取值范围是（ ）
A．m≥3 B．m≤−4 C．3≤m≤4 D．−3≤m≤4
2.已知关于x的方程4x2−(k+5)x−k−9=0有两个不相等的实数根x ，x ，且x =−1，0x +x −4，则m的取值范围
1 2 1 2 1 2
是 ；
4.已知关于x的方程x2−(2m+1)x+m2=0(m≠0)有两实数根x ,x ，请用m表示x 2+x 2的值并求出m的
1 2 1 2
取值范围．
题型七：与根与系数有关的新定义问题
1
1.定义运算：a∗b=a(1−b)，若a，b是方程x2−x+ m=0(m<0)的两根，则b∗b−a∗a的值为
4
（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．±1
2.对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a∗b=a2+2ab−b2，例如：3∗5=32+2×3×5−52=14．
1 1
若m，n是方程(x+2)∗3=0的两个实数根，则 + 的值为（ ）
m n
10 1 10
A． B．-3 C． D．−
7 7 7
3.对于实数m、n，定义运算“※”：m※n=mn(m+n)．例如，4※2=4×2×(4+2)=48．若x ，x
1 2
是关于x的一元二次方程x2−5x−4=0的两个实数根，则x ※x = ．
1 2
4.对于任意实数a，b，定义：a◆b=a2+3ab+2b2．若方程x◆2=5的两根记为m，n，则
m2+n2−mn= ．
题型八：构造一元二次方程求代数式的值
1.如果mn是两个不相等的实数，且满足m2+m=3，n2+n=3，那么代数式3n2−mn−3m的值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．9
1 1
2.若a≠b，且a2−4a+1=0,b2−4b+1=0则 + 的值为（ ）
1+a2 1+b21
A． B．1 C．.4 D．3
41 1
3.若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则 + 的值为 ．
a b
2 2
4.已知实数m，n (m≠n) 满足等式m2−2m−1=0，n2−2n−1=0，则 + 的值是 ．
m n
题型九：根与系数的关系和根的判别式的综合应用
1.关于x的一元二次方程x2−4x+k+2=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果x ，x 是方程的两个解，令w=x x2+x2x +k，求w的最大值．
1 2 1 2 1 2
2.已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
x x 5
(2)若x ，x 是方程的两个实数根，且 2+ 1=− ，求m的值．
1 2 x x 2
1 2
3.已知关于x的一元二次方程mx2−2x−1=0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
(1)求m的取值范围；
(2)当x2+x2=x x +1时，求m的值．
1 2 1 2
考点四：一元二次方程的应用
题型一：增长率问题
1.据国家统计局发布的《2023年国民经济和社会发展统计公报》显示，2023年和2025年全国居民人均可
支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2023年至2025年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
依题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2.某种产品预计两年内成本将下降36％，则年平均下降率为 ．
3.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，
根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200(1+x) 2=242 B．200(1−x) 2=242 C．200(1+2x)=242 D．200(1−2x)=2424.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位 个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位 个．
设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意，可列方程为___________．
5.某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为
．
6.在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a
分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设
每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．a(1−x) 2=70%a B．a(1+x) 2=70%a
C．a(1−x) 2=30%a D．30%(1+x) 2a=a
7.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是
361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
8.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5
月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
题型二：几何问题
1.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，
且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
2.为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够
长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请
说明理由．3.一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周
外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），
下面所列方程正确的是（ ）
A．2(7+x)(5+x)=7×5 B．(7+x)(5+x)=2×7×5
C．2(7+2x)(5+2x)=7×5 D．(7+2x)(5+2x)=2×7×5
4.如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），
上、下，左、右页边距分别为acm、bcm、ccm、dcm．若纸张大小为16cm×10cm，考虑到整体的美
观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？
5.春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建
设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场
总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（ ）
A．(64−2x)(40−x)=64×40×80% B．(40−2x)(64−x)=64×40×80%
C．64x+2×40x−2x2=64×40×80% D．64x+2×40x=64×40×(1−80%)
6.如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a(m),AD=b(m)，面积为s(m2)．现将边AB增加1m．（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 ．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s(m2)，则s的值是
．
7.六张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个相邻边长为m，50的大矩形，部分
数据如图所示．
（1）若n=8，则矩形A的水平边长为 ；
（2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长： ；
（3）若矩形A，B的面积相等，则n= ．
8.如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草．
要使绿化面积为126平方米，则修建的路宽应是多少米？
9.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成
一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2, 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑
树的粗细），求花园面积S的最大值.10.某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形ABCD空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修
两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的
地方种植花草．
(1)如图1，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，△AEQ、△BGF、△CMH、△DPN均
为全等的直角三角形，其中AE＝BF＝CM＝DN，设EF＝HG＝MN＝PQ＝a米，竖向道路出
口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于MN和EF之间，横向弯折道路出口位于PQ
和HG之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
题型三：传染病与枝干问题
1.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染
的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数
是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（ ）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数
为73，则每个支干长出（ ）支小分支．
A．7 B．8 C．9 D．10
4.自2023年1月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有1位住户不小心感染了甲流，
由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有121人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流？5.新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大
影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患
新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
题型四：单双循环问题
1.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排
15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2.中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参
赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有
（ ）
A．80个 B．120个 C．15个 D．16个
3.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参
加活动，可列方程为（ ）
1 1
A． x(x−1)=10 B．x(x−1)=10 C．x(x+1)=10 D． x(x+1)=10
2 2
4.某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是 ．
题型五：涨价降价销售利润问题
1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了
降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降 1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场
销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
2.端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的
价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可
多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽
子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．(16−x−10)(200+80x)=1440 B．(16−x)(200+80x)=1440
C．(16−x−10)(200−80x)=1440 D．(16−x)(200−80x)=1440
3.某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表
明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少
库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．144.某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调
查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价
降低x元，则可列方程为（ ）
A．(60−x)(200+8x)=8450B．(20−x)(200+x)=8450
C．(20−x)(200+40x)=8450 D．(20−x)(200+8x)=8450
5.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；
若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
6.建设美丽城市，改造老旧小区．某市2023年投入资金1000万元，2025年投入资金1440万元，现假定
每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2025年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2026年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增
加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2026年最多可以改造多少个老旧小区？
7.小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为 6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．
市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，
设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出
最大利润．
8.为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，
使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为 元时，每天可售出
个；若销售单价每降低 元，每天可多售出 个．已知每个电子产品的固定成本为 元，问这种电
子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利 元？9.某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售
A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措
施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70
万元，则每套A产品需降价多少？
10.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，
每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件） 60 65 70
销售量 （件） 1400 1300 1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），
那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
题型六：工程问题
1.某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路
面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率
不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m
米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
2.“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批 3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两
组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划
加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
3.某公司主营铁路建设施工．
(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，
隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季
度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施
工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道
1
施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加 a亿元，若二季度总成本与一季度相
2
同，求a的值．
题型七：行程问题
1.《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，
问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直
向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲
走的步数是________．
2.甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前
1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度
行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
题型八：动点问题
1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，
点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．2.已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、
BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间
为t(s)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
2
(2)是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ？如果存在，求出相应的t值；如果
3
不存在，说明理由．
3.如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．
（1）当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；
（2）若∠APC＝90°时，点P有两个符合要求即P1，P2，且P P ＝2，求a的值；
1 2
（3）若∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值．
题型九：探究拓展问题
1.材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这
三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 ， ，则有 ，
．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， 是关于x的方程
bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x ，x，x 可以构成“和谐三数组”；
1 2 3（3）若A(m，y) ，B(m + 1，y) ，C(m+3，y)三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐
1 2 3
标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．2.新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九
年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉
励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次
电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点 分表示第1名同学、第2名同学、第
3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为_____，当 时，对应的
______．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
3.阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ，则x ＋x ＝ ，x x ＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x ，x ，则x ＋x ＝ ；x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．4.阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程 的根就是相应的二次函数 的图象（称
为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．
与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数
根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（ ， ）和一元二次方程根的判别式 ，分别分 和
两种情况进行分析：
（1） 时，抛物线开口向上．
①当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程 有两个相等的实数根．
③当 时，……
（2） 时，抛物线开口向下．……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论． D．转化思想
(2)请参照小论文中当 时①②的分析过程，写出③中当 时，一元二次方程根的情况的分析
过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点
来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
