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专题 07 一元二次方程
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：一元二次方程的定义........................................................................................................................3
考点二：一元二次方程的定义解法................................................................................................................3
考点三：根与系数的关系................................................................................................................................3
考点四：一元二次方程实际应用....................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................5
考点一：一元二次方程的相关概念................................................................................................................5
题型一：识别一元二次方程..........................................................5
题型二：利用一元二次方程的概念求参数值............................................7
题型三：一元二次方程的一般式......................................................8
题型四：由一元二次方程的解求参数的值..............................................9
题型五：由一元二次方程的解求代数式的值............................................9
题型六：已知一元二次方程的一个根，求另一个根.....................................10
考点二：解一元二次方程..............................................................................................................................12
题型一：用直接开平方法解一元二次方程.............................................12
题型二：利用配方法解一元二次方程.................................................13
题型三：因式分解法解一元二次方程.................................................15
题型四：公式法解一元二次方程.....................................................17
题型五：利用换元法解一元二次方程.................................................19
题型六：选用合适的方法解一元二次方程.............................................20
题型七：错看或错解一元二次方程问题...............................................22
题型八：配方法的应用.............................................................26
题型九：判断不含字母的一元二次方程的根的情况.....................................28
题型十：根的判别式求字母的值或取值范围...........................................31
题型十一：应用根的判别式证明方程根的情况.........................................35
考点三：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）..............................................................................42
题型一：韦达定理求代数式的值.....................................................42
题型二：韦达定理求代数式的值.....................................................47
题型三：韦达定理方程的解通过降次求代数式的值.....................................50
题型四：由方程两根满足关系求字母或代数式的值.....................................53
题型五：不解方程由根与系数的关系判断根的正负.....................................57
题型六：由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围...............................59
题型七：与根与系数有关的新定义问题...............................................61
题型八：构造一元二次方程求代数式的值.............................................63
题型九：根与系数的关系和根的判别式的综合应用.....................................64
考点四：一元二次方程的应用......................................................................................................................67
题型一：增长率问题...............................................................67
题型二：几何问题.................................................................70
题型三：传染病与枝干问题.........................................................78
题型四：单双循环问题.............................................................80
题型五：涨价降价销售利润问题.....................................................81
题型六：工程问题.................................................................87
题型七：行程问题.................................................................90题型八：动点问题.................................................................92
题型九：探究拓展问题.............................................................96专题 07 一元二次方程
模块一：基础知识
考点一：一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b
是一次项系数；c是常数项。
考点二：一元二次方程的定义解法
(1)直接开方法。适用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形
式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为： 的形式，这个式子叫
做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
(4)因式分解法。主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法。
考点三：根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x 和x ，则x ，x 与方程的系数a，b，c之间有如下关
1 2 1 2
b c
系：x +x ＝− ； x •x ＝
1 2 a 1 2 a
【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x ,x
1 2
1）平方和 x2+x2= (x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
1 2
2）倒数和 + =
x1 x2 x x
1 23）差的绝对值 | x - x |=√(x −x ) 2=√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x
4) 1+ 2 = 1 2 = 1 2 1 2
x x x x x x
2 1 1 2 1 2
5） (x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
【注意】
1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为 x 1 ,x 2， 那么x 1+ x 2 ＝−p， x 1 •x 2 ＝q .
2. 以两个数x1 , x2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2 -（x 1+ x 2 ）x+ x 1 •x 2 ＝0.
3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c
的值.
4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
考点四：一元二次方程实际应用
1.用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
2.与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第
二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长
(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.
即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等
量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售
价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形
面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为
(a−2x)(b−2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)．
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还
是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为 1，每一个传染源传
染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为 1，每一个细胞分裂为
x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．
1
∴m = n（n－1）
2
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．
∴m = n（n－1）
模块二：题型分类
考点一：一元二次方程的相关概念
题型一：识别一元二次方程
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x−y=0 B．ax2+2x−3=0
C．x2+2x+5=x(x−1) D．x2−1=0
【答案】D【提示】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一
元二次方程，逐项提示判断即可．
【详解】解：A、x2+x−y=0，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、ax2+2x−3=0，当a=0时，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C、x2+2x+5=x(x−1)整理后得3x+5=0，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、x2−1=0，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整
式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：
(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．
【解析】
(1)经整理，得它的一般形式
(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，
其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：
对任何实数a，它都是一个一元二次方程．
(2)经整理，得它的一般形式
(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，
其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，
当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．
3.下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2−1=0 B．2x+ y=1 C．x+ =3 D．4x+5=6x
x
【答案】A
【提示】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程
叫一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所
含未知数的项的最高次数是2．题型二：利用一元二次方程的概念求参数值
1.已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】首先把x=1代入 ，解方程可得m=2，m=-1，再结合一元二次方程定义
1 2
可得m的值
【解析】解：把x=1代入 得： =0，解得：m=2，m=﹣1
1 2
∵ 是一元二次方程，∴ ，∴ ，∴ ，故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
2.方程(m−2)xm2−2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
【答案】−2
【提示】根据一元二次方程的定义知，m2−2=2，且m−2≠0，据此可以求得m的值．
【详解】解：∵方程(m−2)xm2−2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴m2−2=2，且m−2≠0，
解得m=−2；
故答案是：−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是
2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的
关键．
3.关于x的方程(m+1)x|m|+1−mx+6=0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．−1 B．3 C．1 D．1或−1
【答案】C
【提示】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程(m+1)x|m|+1−mx+6=0是一元二次方程，
∴|m|+1=2且m+1≠0，
解得：m=1．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的
整式方程是一元二次方程是解题的关键．题型三：一元二次方程的一般式
1.将一元二次方程3x2=5x−1写成一般形式，下列等式正确的是（ ）
A．3x2−5x−1=0 B．3x2+5x−1=0
C．3x2−5x+1=0 D．3x2+5x+1=0
【答案】C
【提示】把等号右边的式子移到等号左边即可解题．
【详解】解：3x2=5x−1
移项得：3x2−5x+1=0
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握移项变号的基本步骤．
2.将方程4x2+8x=25化成ax2+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2，−25 C．4，8，−25 D．1，2，25
【答案】C
【提示】将4x2+8x=25移项化为一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：将原方程化为一般形式得：4x2+8x−25=0，
∴a=4，b=8，c=−25，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键．
3.若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ．
【答案】x2−2x=0/-2x+x2=0
【提示】直接利用已知要求得出符合题意的方程．
【详解】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2-2x=0．
故答案为：x2-2x=0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
4.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的常数项是0，则a的值为（ ）
1
A．1 B．−1 C．1或−1 D．
2
【答案】B
【提示】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可．
【详解】解：由题意，¿，
解得：a=−1，
故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键．
题型四：由一元二次方程的解求参数的值
1.若x=1是方程x2−2x+a=0的根，则a= ．
【答案】1
【提示】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程x2−2x+a=0，得1−2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，
就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
2.若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为 ．
【答案】−1
【提示】将x=3代入方程可得一个关于k的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将x=3代入方程x2−kx−12=0得：32−3k−12=0，
解得k=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
题型五：由一元二次方程的解求代数式的值
1.关于x的一元二次方程2xa−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【提示】根据一元二次方程的概念可求出a的值，根据解为x=1可求出m的值，由此即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程2xa−2+m=4，
∴a−2=2，解得，a=4，
∴一元二次方程2x2+m=4，
∵解为x=1，
∴2×12+m=4，解得，m=2，
∴a+m=4+2=6，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求
值的方法是解题的关键．
2.如果x=−1是方程x2+mx+n=0的一个根，那么m、n的大小关系是（ ）
A．m>n B．m=n C．m0
∴m>n．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到m，n的关系式，是解题的关键．
3.若关于x的方程ax2+bx−1=0的一个解为x=1，则2025−a−b= ．
【答案】2022
【分析】先把方程的解代入方程，得到a+b=1，再求代数式的值．
【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx−1=0得a+b−1=0，
即a+b=1，
所以2025−a−b=2025−(a+b)=2025−1=2024．
故答案为：2024．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，“知解必代”是解题的关键．
4.已知a是方程2x2−5x−7=0的一个根，则代数式4a2−10a的值是 ．
【答案】14
【分析】根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出2a2−5a−7=0即可解答；
【详解】解：∵a是方程2x2−5x−7=0的一个根，
∴2a2−5a−7=0，
整理得，2a2−5a=7，
∴4a2−10a=2(2a2−5a)=14，
故答案是：14．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的
概念是解题的关键．
题型六：已知一元二次方程的一个根，求另一个根
1.若x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，−2 B．0，0 C．−2，−2 D．−2，0
【答案】B
【提示】直接把x=−2代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，
把x=−2代入x2+2x+m=0，则(−2) 2+2×(−2)+m=0，
解得：m=0；
∴x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x =−2，x=0，
1
∴方程的另一个根是x=0；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
2.关于x的一元二次方程x2−2kx−5=0的一个根是1，则这个方程的另一个根是 ．
【答案】−5
【提示】根据方程的一个根1代入方程求出k，得到一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∴关于x的一元二次方程x2−2kx−5=0的一个根是1，
∴1−2k−5=0，
∴k=−2，
∴x2+4x−5=0，
解得x =1，x =−5，
1 2
∴方程的另一个根是-5．
故答案为：-5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键．
3.若关于x的一元二次方程x2−kx−2=0的一个根为x=1，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
【答案】-2
【提示】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
【详解】解：将x=1代入一元二次方程x2−kx−2=0有：1−k−2=0，k=-1，
方程x2+x−2=0
(x+2)(x−1)=0
即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，
其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．
考点二：解一元二次方程
题型一：用直接开平方法解一元二次方程
1.方程(x+6) 2−9=0的两个根是（ ）A．x =3，x =9 B．x =−3，x =9
1 2 1 2
C．x =3，x =−9 D．x =−3，x =−9
1 2 1 2
【答案】D
【提示】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：(x+6) 2−9=0，
(x+6) 2=9，
∴x+6=±3，
∴x =−3,x =−9，
1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键．
2.已知一元二次方程(x−2) 2=3的两根为a、b，且a>b，则2a+b的值为 ．
【答案】6+√3/√3+6
【提示】先利用直接开平方法解方程得到a=2+√3，b=2−√3，然后把它们代入2a+b中计算即可．
【详解】解：(x−2) 2=3，
x−2=±√3，
解得x =2+√3．x =2−√3，
1 2
∵方程(x−2) 2=3的两根为a、b，且a>b，
∴a=2+√3，b=2−√3，
∴2a+b=2(2+√3)+2−√3=6+√3．
故答案为：6+√3．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
3.解关于x的方程： 4(2x−5) 2=9(3x−1) 2．
7
【答案】x =− ，x =1
1 5 2
【提示】变形后利用直接开方法解方程即可．
2 2
【详解】整理得：[2(2x−5)] =[3(3x−1)] ，
∴2(2x−5)=±3(3x−1)，
∴2(2x−5)=3(3x−1)或2(2x−5)=−3(3x−1)，7
∴x =− ，x =1．
1 5 2
【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解题关键是熟记直接开平方法的解方程的步骤，准确
进行计算即可．
题型二：利用配方法解一元二次方程
1.用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．(x+1) 2=3 B．(x+1) 2=6 C．(x−1) 2=3 D．(x−1) 2=6
【答案】C
【提示】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关
键．
2.用配方法解一元二次方程3x2+6x−1=0时，将它化为(x+a) 2=b的形式，则a+b的值为（ ）
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
【答案】B
【提示】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答
案．
【详解】解：∵3x2+6x−1=0，
1
∴3x2+6x=1，x2+2x=
，
3
1 4
则x2+2x+1= +1，即(x+1) 2= ，
3 3
4
∴a=1，b= ，
3
7
∴a+b= ．
3
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
3.将方程2x2−12x+1=0配方成(x−m) 2=n的形式，下列配方结果正确的是（ ）17 17
A．(x+3) 2=17 B．(x+3) 2= C．(x−3) 2=17 D．(x−3) 2=
2 2
【答案】D
【提示】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即
可求解．
【详解】解：2x2−12x+1=0，
1
二次项化系数为1得：x2−6x+ =0，
2
1
移项得：x2−6x=−
，
2
1
配方得：x2−6x+9=9−
，
2
17
整理得：(x−3) 2= ，
2
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
4.用配方法解方程x2−4x−3=0，配方得(x+m) 2=7，常数m的值是 ．
【答案】−2
【提示】根据配方法的一般步骤先把常数项−3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−4的一半
的平方，即可得出答案．
【详解】解：x2−4x−3=0，
x2−4x=3，
x2−4x+4=3+4，
(x−2) 2=7，
则m=−2．
故答案为：−2．
【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把
常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5.根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x＝1，x＝n．
1 2
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①x ＝1，x ＝1；②x ＝1，x ＝2；③x ＝1，x =3．（2）①x ＝1，x ＝8，
1 2 1 2 1 2 1 2
②x2 －(1＋n)x＋n＝0；（3）x ＝1，x ＝8．
1 2
【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、
－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案
即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
【详解】（1）①x ＝1，x ＝1；
1 2
②x ＝1，x ＝2；
1 2
③x ＝1，x =3．
1 2
（2）①x ＝1，x ＝8；
1 2
②x2 －(1＋n)x＋n＝0．
（3）x2 －9x＋8＝0
x2 －9x＝－8
81 81
x2－9x＋ ＝－8＋
4 4
9 49
(x－ )2＝
2 4
9 7
∴x－ ＝± ．
2 2
∴x ＝1，x ＝8．
1 2
【点睛】本题考查解一元二次方程.根据系数和解的特征找出规律是解题的关键.
题型三：因式分解法解一元二次方程
1.解方程：(2x+3) 2=(3x+2) 2
【答案】x =−1，x =1
1 2
【分析】直接开方可得2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2，然后计算求解即可．
【详解】解：∵(2x+3) 2=(3x+2) 2∴2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2
解得x =−1，x =1．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
2.解方程：x(x−2)=x−2．
【答案】x =2，x =1
1 2
【分析】先移项得到x(x−2)−(x−2)=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：x(x−2)=x−2
移项得：x(x−2)−(x−2)=0，
分解因式得：(x−2)(x−1)=0，
∴x−2=0或x−1=0，
解得：x =2，x =1．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3.一元二次方程(x−2)(x+7)=0的根是 ．
【答案】x =2，x =−7
1 2
【提示】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】解：由题意可知：x−2=0或x+7=0，
∴x =2或x =−7，
1 2
故答案为：x =2或x =−7．
1 2
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
4.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为 ．
【答案】13
【提示】利用因式分解法解方程，得到x =4，x =9，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三
1 2
角形的周长即可.
【详解】解：∵x2−13x+36=0，
∴(x−4)(x−9)=0，
∴x =4，x =9，
1 2
∵3+6=9，
∴x =9不符合题意，舍去；
2
∴三角形的周长为：3+6+4=13；
故答案为：13.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系.
5.解方程：x2−6x+9=(5−2x) 2
8
【答案】x＝2，x＝ ．
1 2 3
【分析】先根据完全平方公式因式分解，再运用平方差公式因式分解解答即可．
【详解】解：x2−6x+9=(5−2x) 2
(x−3) 2=(5−2x) 2
(x−3) 2−(5−2x) 2=0
[(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0
（2-x）（3x-8）=0
2-x=0或3x-8=0
8
则x＝2，x＝ ．
1 2 3
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确进行因式分解成为解答本题的关键．
6.解方程：x(x−6)=−4(x−6)．
【答案】x =6,x =−4
1 2
【提示】先移项，然后利用因式分解法可进行求解．
【详解】解：x(x−6)=−4(x−6)
x(x−6)+4(x−6)=0
(x−6)(x+4)=0
解得：x =6,x =−4．
1 2
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
题型四：公式法解一元二次方程
1.用公式法解方程x2−4x−11=0时，Δ＝（ ）
A．−43 B．−28 C．45 D．60
【答案】D
【提示】Δ＝b2−4ac，给a、b、c赋值并代入求值即可．
【详解】解：x2−4x−11=0，
∵a=1，b=−4，c=−11，∴Δ＝(−4) 2−4×1×(−11)=60．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键．
2.方程x2−3x=1的解是 ．
3+√13 3−√13
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【提示】利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵x2−3x=1，
∴x2−3x−1=0，
∴a=1，b=−3，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−3) 2−4×1×(−1)=13>0，
−b±√b2−4ac 3±√13
∴x= = ，
2a 2
3+√13 3−√13
解得x = ，x = ，
1 2 2 2
3+√13 3−√13
故答案为：x = ，x = ．
1 2 2 2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
3.方程x2+2x−2=0的解是 .
【答案】x =−1+√3,x =−1−√3
1 2
【提示】利用公式法计算即可．
【详解】∵x2+2x−2=0，
a=1,b=2,c=−2,Δ=b2−4ac=22−4×1×(−2)=12＞0
−2±√12
∴x= ，
2
∴x =−1+√3,x =−1−√3
1 2
故答案为：x =−1+√3,x =−1−√3．
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是解题的关键．
4.一元二次方程x2−3x+2=0根的判别式的值为 ．
【答案】1【提示】首先找出一元二次方程x2−3x+2=0中a=1，b=−3，c=2，然后根据根的判别式Δ=b2−4ac
计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2−3x+2=0中a=1，b=−3，c=2，
∴ Δ=b2−4ac=(−3) 2−4×1×2=1，
故答案是：1．
【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式Δ=b2−4ac．
题型五：利用换元法解一元二次方程
1.已知(a2+b2) 2 −a2−b2−6=0，求a2+b2的值为 ．
【答案】3
【提示】把a2+b2看作一个整体，设a2+b2= y，利用换元法得到新方程y2−y−6=0，求解即可．
【详解】解：设a2+b2= y，
据题意，得y2−y−6=0，
解得y =3，y =−2，
1 2
∵a2+b2≥0，
∴y =−2不符合题意舍去，
2
∴a2+b2= y=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是将a2+b2看作一个整体，熟练应用换元法．
2.若(x2+ y2+3)(x2+ y2−3)=16，则x2+ y2= ．
【答案】5
【提示】设x2+ y2=m，把原方程化为关于m的一元二次方程，解方程求出m，根据非负数的性质即可获
得答案．
【详解】解：设x2+ y2=m，则原方程变形为(m+3)(m−3)=16，
即m2−9=16，
解得m =5，m =−5，
1 2
∵x2+ y2≥0，
∴x2+ y2=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法以及非负数的性质，熟练掌握解一元二次方程的一般方法
和步骤是解题的关键．3.我们知道方程x2+2x−3=0的解是x =1，x =−3，现给出另一个方程(2x+3) 2+2(2x+3)−3=0，
1 2
它的解是（ ）
A．x =1，x =3 B．x =1，x =−3
1 2 1 2
C．x =−1，x =3 D．x =−1，x =−3
1 2 1 2
【答案】D
【提示】把方程(2x+3) 2+2(2x+3)−3=0看作关于2x+3的一元二次方程，用换元法解题即可得到结
果．
【详解】把方程(2x+3) 2+2(2x+3)−3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
∴2x+3=1或2x+3=−3，
∴x =−1，x =−3．
1 2
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键．
4.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如列表所示：则一元二次方程a(2x−1) 2+b(2x−1)+c=7的解
为 ．
x … −3 0 1 3 5 …
y … 7 −8 −9 −5 7 …
【答案】x =−1，x =3
1 2
【提示】利用抛物线与x轴的交点问题得到一元二次方程ax2+bx+c=7的解为x =−3，x =5，再把方
1 2
程a(2x−1) 2+b(2x−1)+c=7看作关于(2x−1)的一元二次方程，则2x−1=−3或2x−1=5，然后解
两个一次方程即可．
【详解】解：由表值值数据得x=−3或x=5时，y=7，
∴一元二次方程ax2+bx+c=7的解为x =−3，x =5，
1 2
把方程a(2x−1) 2+b(2x−1)+c=7看作关于(2x−1)的一元二次方程，
∴2x−1=−3或2x−1=5，
解得x =−1，x =3，
1 2
即一元二次方程a(2x−1) 2+b(2x−1)+c=7的解为x =−1，x =3．
1 2
故答案为：x =−1，x =3．
1 2【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的
交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数的性
质．
题型六：选用合适的方法解一元二次方程
1.解方程：x2−4x−5=0．
【答案】x =−1,x =5．
1 2
【提示】利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得
x2−4x=5，
∴x2−4x+4=5+4，
∴(x−2) 2=9，
两边开平方，得
x−2=±3，
∴x =−1,x =5．
1 2
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程．
2.解方程(x−2) 2=4．
【答案】x =4，x =0；
1 2
【提示】直接开平方求解即可得到答案；
【详解】解：两边开平方可得，
x−2=±2，
即x=±2+2，
∴x =2+2=4，x =−2+2=0，
1 2
∴方程的解为：x =4，x =0；
1 2
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及选择适
当的解法求解．
3.解下列方程
(1)9x2−(x−1) 2=0
(2)x2−4x−1=0
(3)2x2−x−3=0
【详解】（1）解：9x2−(x−1) 2=0，(3x) 2−(x−1) 2=0，
(3x+x−1)(3x−x+1)=0，
(4x−1)(2x+1)=0，
2x+1=0或4x−1=0，
1 1
∴x =− ，x = ；
1 2 2 4
（2）x2−4x−1=0，
x2−4x+4=4+1，
(x−2) 2=5，
x−2=±√5，
∴x =2+√5，x =2−√5；
1 2
（3）2x2−x−3=0，
(2x−3)(x+1)=0，
2x−3=0或x+1=0，
3
∴x = ，x =−1．
1 2 2
题型七：错看或错解一元二次方程问题
1.关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A B C D
整理得，x2﹣4x＝﹣3 整理得，x2﹣4x＝﹣3
移项得，（x﹣3）（x﹣1）
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， 配方得，x2﹣4x+2＝﹣1
两边同时除以
＝0
b2﹣4ac＝28 ∴（x﹣2）2＝﹣1
（x﹣1）得，x＝3 ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0
4±√28 ∴x﹣2＝±1
∴x＝ ＝2±√7 ∴x 1 ＝1，x 2 ＝3
2 ∴x ＝1，x ＝3
1 2
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【提示】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；
B.化为一般式，利用公式法解答；
C.利用配方法解答；
D.利用因式分解法解答
【详解】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；
B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误；
D.利用因式分解法解答，完全正确，
故选：D
【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关
知识是解题关键．
2.下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整．
解方程： (x−3) 2=4x2
解： x−3=2x …第一步
x−2x=3⋯ 第二步
x=−3⋯ 第三步
(1)提示：第 步开始出现错误；
(2)改正：
【答案】(1)一；
(2)改正见解析
【提示】（1）开方时忽略一种情况，第一步出现错误；
（2）先开方，分两种情况再移项，合并同类项，求出解即可．
【详解】（1）两边同时开方，得x−3=2x或x−3=−2x，所以第一步错误．
故答案为：一；
（2）(x−3) 2=4x2 ，
开方，得x−3=2x 或 x−3=−2x ，
x−2x=3或x+2x=3
−x=3或3x=3
所以x =−3 ， x =1 .
1 2
【点睛】本题主要考查了用直接开方法求一元二次方程的解，掌握直接开方法解一元二次方程的步骤时
解题的关键．
3.小敏与小霞两位同学解方程3(x−3)=(x−3) 2的过程如下框：
小敏： 小霞：
两边同除以(x−3) 移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0
，得
，
3=x−3，
提取公因式，得
则x=6．
(x−3)(3−x−3)=0．则x−3=0或3−x−3=0，
解得x =3，x =0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析
【提示】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
小霞：
小敏：
移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
两边同除以(x−3)
提取公因式，得
，得
(x−3)(3−x−3)=0．
3=x−3，
则x−3=0或3−x−3=0，
则x=6．
解得x =3，x =0．
（×） 1 2
（×）
正确解答：3(x−3)=(x−3) 2
移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
提取公因式，得(x−3)[3−(x−3)]=0，
去括号，得(x−3)(3−x+3)=0，
则x−3=0或6−x=0，
解得x =3，x =6．
1 2
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
4.（1）计算：sin45°+tan45°−2cos60°．
（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
x2−2x=1 第一步
x2−2x+1=1，即(x−1) 2=1第
二步
x−1=±1 第三步
x =0，x =2 第四步
1 2
任务一：
①填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是 ，依据的一个数学公式是 ；第
步开始出现错误；
任务二：②请你直接写出该方程的正确解．
√2
【答案】（1） ；（2）①配方法，完全平方公式，二；②x =1+√2,x =1−√2
2 1 2
【提示】（1）代入特殊角的三角函数值，再按实数的运算顺序计算；
（2）根据小明同学的解答步骤提示即可．
√2 1
【详解】解：（1）原式= +1−2×
2 2
√2
= +1−1
2
√2
= ；
2
（2）任务一：
上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式；第二
步开始出现错误；
任务二：正确的解法为：
x2−2x=1，
x2−2x+1=2，即(x−1) 2=2，
x−1=±√2，
所以x =1+√2,x =1−√2．
1 2
故答案为：配方法，完全平方公式，二，x =1+√2,x =1−√2．
1 2
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关
键．
5.下面是小聪同学用配方法解方程：2x2−4x−p=0 (p>0)的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
2x2−4x−p=0
解：移项，得：2x2−4x=p．①
p
二次项系数化为1，得：x2−2x=
．②
2
p
配方，得x2−2x+1=
．③
2
p
即(x−1) 2= .
2
∵p>0，√ p
∴x−1=± ．④
2
√2p √2p
∴x =1+ ，x =1− ．⑤
1 2 1 2
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？
(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】(1)等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
2+√2p+4 2−√2p+4
(2)不正确，解答从第③步开始出错，x = ，x =
1 2 2 2
【提示】（1）根据等式的性质2即可写出依据；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．
【详解】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
（2）不正确，解答从第③步开始出错，
正确的步骤为：
p
配方，得x2−2x+1= +1．③
2
p+2
即(x−1) 2=
2
∵p>0，
√ p+2
∴x−1=± ．④
2
2+√2p+4 2−√2p+4
∴x = ，x = ．⑤
1 2 2 2
2+√2p+4 2−√2p+4
此方程的解为x = ，x = ．
1 2 2 2
【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．
题型八：配方法的应用
1.【课本再现】
材料一：解方程：x2+8x−9=0．
解：把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9．
两边都加42，得x2+8x+42=9+42，即(x+4) 2=25．
两边开方，得x+4=±5，即x+4=5或x+4=−5，
所以x =1，x =−9．
1 2
在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为
配方法．
材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题．例如：x2−6x+10=(x2−6x+9)−9+10=(x−3) 2+1．
∵(x−3) 2≥0，
∴(x−3) 2+1≥1，即x2−6x+10有最小值1．
【尝试运用】
（1）解一元二次方程x2−4x−2=0，配方后可变形为（ ）
A．(x−4) 2=8 B．(x−4) 2=6 C．(x−2) 2=2 D．(x−2) 2=6
（2）利用配方法求−x2−6x+5的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程x2+ y2+2x−4 y+5=0，求(x−2) y的值．
【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9
【提示】（1）利用解一元二次方程−配方法进行计算，即可解答；
（2）利用材料二的思路进行计算，即可解答；
（3）利用配方法进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）x2−4x−2=0，
x2−4x=2，
x2−4x+4=2+4，
(x−2) 2=6，
故答案为：D；
（2）−x2−6x+5
=−(x2+6x)+5
=−(x2+6x+9−9)+5
=−(x+3) 2+9+5
=−(x+3) 2+14，
∵−(x+3) 2≤0，
∴−(x+3) 2+14≤14，即−x2−6x+5有最大值14；
（3）∵x2+ y2+2x−4 y+5=0，∴x2+2x+1+ y2−4 y+4=0，
∴(x+1) 2+(y−2) 2=0，
∴x+1=0，y−2=0，
∴x=−1，y=2，
∴(x−2) y=(−1−2) 2=9．
【点睛】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程−配方法，偶次方的非负性，准确熟练地
进行计算是解题的关键．
2.配方法在代数式求值、解方程、求最值问题……中都有着广泛的应用．
例如：若代数式M=a2−2ab+2b2−2b+2，
利用配方法求M的最小值：M=a2−2ab+2b2−2b+2
=a2−2ab+b2+b2−2b+1
=(a−b) 2+(b−1) 2+1
∵(a−b) 2≥0，(b−1) 2≥0，
∴当a=b=1时，代数式M有最小值为1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+_________；
(2)若代数式M=a2+4a+6，求M的最小值；
(3)已知a2+2b2+c2−2ab−2b−4c+5=0，求代数式a+b+c的值．
【答案】(1)9
(2)2
(3)4
【提示】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）利用配方法将M配成完全平方的形式，即可得答案；
（3）将等式左边进行配方，利用平方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．
【详解】（1）解：∵(a+3) 2=a2+6a+9，
∴横线上可添加常数“9”；
（2）M=a2+4a+6=(a+2) 2+2，
∴当a=−2时，M有最小值为2；
（3）∵a2+2b2+c2−2ab−2b−4c+5=0，∴a2−2ab+b2+b2−2b+1+c2−4c+4=0
∴(a−b) 2+(b−1) 2+(c−2) 2=0，
∴a=b=1，c=2，
∴a+b+c=1+1+2=4
【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．
题型九：判断不含字母的一元二次方程的根的情况
1.一元二次方程2x2−5x+6=0的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【答案】A
【提示】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2−4ac：当Δ＞0，方程有两个
不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
2.下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x−2=0 B．x2−2x=0
C．x2+x+5=0 D．x2−2x+1=0
【答案】C
【提示】利用一元二次方程根的判别式判断即可；
【详解】解：A．Δ=1+8=9>0，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B．Δ=4>0，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C．Δ=1−20=−19<0，方程没有实数根，符合题意；
D．Δ=4−4=0，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实
数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根．
3.下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1=2x B．x2+1=0
C．x2−2x=3 D．x2−2x=0
【答案】A【提示】根据根的判别式逐一判断即可．
【详解】A.x2+1=2x变形为x2−2x+1=0，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B.x2+1=0中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C.x2−2x=3整理为x2−2x−3=0，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D.x2−2x=0中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.
故选：A.
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．
4.请填写一个常数，使得关于x的方程x2−2x+ =0有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【提示】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴Δ=(−2) 2−4a>0，
∴a<1，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况
1.关于x的方程x2−3kx−2=0实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【答案】B
【提示】根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】解：对于关于x的方程x2−3kx−2=0，
∵Δ=(−3k) 2−4×1×(−2)=9k2+8>0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个
不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．⇔
⇔ ⇔
2.关于x的一元二次方程x2+(k−3)x+1−k=0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【提示】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别
式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【详解】△=(k-3)2-4(1-k)
=k2-6k+9-4+4k
=k2-2k+5
=(k-1)2+4，
∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当
△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无
实数根．上面的结论反过来也成立．
题型十：根的判别式求字母的值或取值范围
1.已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，那么a的取值范围是 ．
【答案】a>9
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，
∴Δ=b2−4ac=36−4a<0，
解得：a>9；
故答案为：a>9．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.
2.已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
2
【答案】(1)k>− 且k≠0
5
(2)x =3+√14，x =3−√14
1 2【分析】（1）根据题意，可得(2k+4) 2−4k(k−6)>0，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将k=1代入kx2−(2k+4)x+k−6=0，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：¿，
2
解得k>− 且k≠0；
5
（2）解：当k=1时，原方程变为：x2−6x−5=0，
则有：x2−6x+9=5+9，
∴(x−3) 2=14，
∴x−3=±√14，
∴方程的根为x =3+√14，x =3−√14．
1 2
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方
程是解题的关键．
3.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2−2(1+2c)=（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的情况可得b2−4c=0，再代入式子即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根
∴Δ=b2−4c=0
∴b2−2(1+2c)=b2−4c−2=0−2=−2，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
4.若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
1 1
A．−4 B．− C． D．4
4 4
【答案】C
【提示】利用方程有两个相等的实数根，得到Δ=0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴12−4m=0，1
解得m= ，故C正确．
4
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的
实数根时Δ>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ<0，正确掌握此
三种情况是正确解题的关键．
5.对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程
(k−3) ⊗x=k−1的根的情⊗况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为x2−(k−3)x+1−k=0，再利用一元二次方程根的判别式求
解即可．
【详解】解：∵(k−3)⊗x=k−1，
∴x2−(k−3)x=k−1，
∴x2−(k−3)x+1−k=0，
∴Δ=b2−4ac=(k−3) 2−4(1−k)=k2−6k+9−4+4k=(k−1) 2+4>0，
∴方程x2−(k−3)x+1−k=0有两个不相等的实数根，
故选A．
6.若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．k< B．k≤ C．k< 且k≠0 D．k≤ 且k≠0
3 3 3 3
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵kx2−2x+3=0为一元二次方程，
∴k≠0，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴Δ=(−2) 2−4k×3≥0，1
解得k≤ ，
3
1
∴k≤ 且k≠0，
3
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方
程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
7.若关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a>−1且a≠0 C．a≥−1且a≠0 D．a>−1
【答案】B
【提示】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方
程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
8.已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况为
（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【答案】B
【分析】根据点P(a,c)在第四象限得a>0,c<0，可得ac<0，则方程ax2+bx+c=0的判别式
Δ=b2−4ac>0，即可得．
【详解】解：∵点P(a,c)在第四象限，
∴a>0,c<0，
∴ac<0，
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2−4ac>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点．9.若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．1
【答案】A
【提示】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2−2x−k=0没有实数根，
∴Δ=(−2) 2−4×1×(−k)=4+4k<0，
∴k<−1，
故选：A.
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键．
10.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞−1且k≠0．
【提示】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=22−4k×(−1)=4+4k>0，
解得k>−1．
又∵该方程为一元二次方程，
∴k≠0，
∴k>−1且k≠0．
故答案为：k>−1且k≠0．
【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方
程的定义是解题的关键．
题型十一：应用根的判别式证明方程根的情况
1.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)m<1
【提示】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论；
（2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解．
【详解】（1）证明：Δ=m2−4(m−1)=(m−2) 2∵无论m取何值，(m−2) 2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：由原方程得：(x+1)(x+m−1)=0，
解得x =−1，x =1−m，
1 2
∵方程有一个根为正数，−1<0，
∴1−m>0，
∴m<1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握
和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键．
2.已知关于x的一元二次方程x2−2x−3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m=±1
【提示】（1）根据根的判别式Δ=b2−4ac，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出α+β=2，由α+2β=5即可解出α，β，再根据α⋅β=−3m2，即可得到m的
值．
【详解】（1）Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×1⋅(−3m2 )=4+12m2，
∵12m2≥0，
∴4+12m2≥4>0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两个实数根α，β，
由根与系数关系可知，α+β=2，α⋅β=−3m2，
∵α+2β=5，
∴α=5−2β，
∴5−2β+β=2，
解得：β=3，α=−1，
∴−3m2=−1×3=−3，即m=±1．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关
系．
3.已知关于x的一元二次方程x2−ax+a−1=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)a的值为3
【提示】（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，根的判别式为△=△=b2−4ac，进行化简即可
证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【详解】（1）证明：∆=(−a) 2−4(a−1)=a2−4a+4=(a−2) 2，
∵(a−2) 2≥0，
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：设该方程的一个根为x ，则另外一个根为2 x ，
1 1
则¿，
a
由①得x = ，
1 3
代入②可得：2a2−9a+9=0，
3
解之得a =3，a = ，
1 2 2
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以a=3．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的
关键．
4.已知关于x的方程x2+(3k−2)x−6k=0．
(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【提示】（1）计算方程的根的判别式，若Δ=b2−4ac≥0，则方程总是有实数根；
（2）已知a=6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b、c的值后，再求出△ABC的周长，注
意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【详解】（1）证明：∵ Δ=b2−4ac
=(3k−2) 2−4⋅(−6k)=9k2−12k+4+24k
=9k2+12k+4
=(3k+2) 2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，b=c，Δ=0，
∴(3k+2) 2=0，
2
解得：k=− ，
3
此时原方程化为x2−4x+4=0，
∴x =x =2，即b=c=2，
1 2
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a=6为腰，则b，c中一边为腰，
把x=6代入方程，62+6(3k−2)−6k=0，
∴k=−5，
则原方程化为x2−8x+12=0，
(x−2)(x−6)=0，
∴x =2，x =6，
1 2
此时△ABC三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：△ABC三边为6，6，2，
∴周长为6+6+2=14．
【点睛】本题主要考查了根的判别式及三角形的三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关
系定理检验．
题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围
1.关于x的一元二次方程(m−3)x2−2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m<4且m≠3 B．m>4 C． m≥4 D．m≤4且m≠3
【答案】D
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的定义得出−4m+16≥0，m−3≠0，然后
求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵一元二次方程(m−3)x2−2x+1=0有实数根，∴Δ=(−2) 2−4(m−3)×1=−4m+16≥0，
∴m≤4，
又∵m−3≠0，
∴m≠3．
∴m≤4且m≠3．
故选：D．
【点睛】本题主要考在一元二次方程根的情况，同时考查二次项系数不为零这一隐含条件，解题的关键
是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个
不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9
2.若关于x的方程kx2−3x− =0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
4
A．k=0 B．k≥−1且k≠0 C．k≥−1 D．k>−1
【答案】C
【提示】根据题意分两种情况：当k≠0时，根据一元二次方程的根的判别式Δ≥0求解；当k=0，原方程
9
即为−3x− =0，即可求解．
4
9
【详解】解：当k≠0时，∵关于x的方程kx2−3x− =0有实数根，
4
∴Δ≥0，
即(−3) 2−4k⋅ ( − 9) ≥0且k≠0，
4
解得：k≥−1且k≠0；
9 3
当k=0时，原方程即为−3x− =0，有实数根x=− ；
4 4
综上，实数k的取值范围是k≥−1
故答案为：k≥−1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，属于常考题型，熟知Δ≥0时，一元二次方程有两
个实数根是解题的关键．
3.已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x ，x 两实数根．
1 2
(1)求m的取值范围；6
(2)是否存在实数m，满足(x −1)(x −1)=− ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
1 2 m−7
【答案】(1)m≤5
(2)存在，4
【提示】（1）根据一元二次方程根的情况即可求解；
b c
（2）根据一元二次方程根与系数的关系：x +x =− ,x ·x = 即可求解．
1 2 a 1 2 a
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x ，x 两实数根，
1 2
∴Δ=(−6) 2−4×1×(2m−1)=40−8m≥0，
解得m≤5；
（2）解：存在．理由如下：
由根与系数的关系得x +x =6,x ·x =2m−1
1 2 1 2
6
∵(x −1)(x −1)=−
1 2 m−7
6
即x ·x −(x +x )+1=−
1 2 1 2 m−7
6
即2m−1−6+1=− ，化简m2−10m+24=0，
m−7
解得m =4，m =6，
1 2
经检验m =4，m =6都是原方程的解，
1 2
∵m≤5，
∴m=4．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求解参数的范围以及根与系数的关系．熟记相关结论是
解题关键．
4.已知关于x的一元二次方程x2+3x+2k−1=0有两个实数根x ，x
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)若x2−x2=3√5，求k的值．
1 2
13
【答案】(1)k≤
8
(2)1
【提示】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得
出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x +x =−3、x x =2k−1，将其代入x2−x2=3√5中，即可得出关
1 2 1 2 1 2于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+2k−1=0有两个实数根x ，x ．
1 2
∴Δ=32−4(2k−1)≥0，
13
解得：k≤ ．
8
（2）∵x 、x 是方程x2+3x+2k−1=0的解，
1 2
∴x +x =−3，x x =2k−1．
1 2 1 2
∵x2−x2=3√5，
1 2
∴x −x =−√5，
1 2
∴(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =5，
1 2 1 2 1 2
∴(−3) 2−4(2k−1)=5，
即8−8k=0，
解得：k=1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）牢记
“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x −x =√5，找出关于k
1 2
的一元一次方程．
5.已知三个关于x的方程x2−x+m=0,(m−1)x2+2x+1=0和(m−2)x2+2x−1=0．若其中至少有两个
方程有实根，求实数m的取值范围．
1
【答案】m≤ 或1≤m≤2
4
【提示】分类讨论：①当m=1时，②当m=2时，③当m≠1，m≠2时，分别求出m的取值范围即可．
【详解】解：①当m=1时，方程(m−1)x2+2x+1=0和(m−2)x2+2x−1=0有解；
②当m=2时，方程(m−1)x2+2x+1=0和(m−2)x2+2x−1=0有解；
1
③当m≠1，m≠2时，第一个方程有根则：Δ=(−1) 2−4m≥0，解得：m≤ ；
4
第二个方程有根则：Δ=22−4(m−1)≥0，解得：m≤2，第三个方程有根则：Δ=4+4(m−2)≥0，解得：m≥1，
当每两个方程都有解时，有¿或¿或¿，
1
解得：m≤ 或1≤m≤2．
4
【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关
系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无
实数根．
题型14 与根的判别式有关的新定义问题
1.定义新运算a∗b，对于任意实数a，b满足a∗b=(a+b)(a−b)−1，其中等式右边是通常的加法、减
法、乘法运算，例如4∗3=(4+3)(4−3)−1=7−1=6，若x∗k=x（k为实数） 是关于x的方程，则
它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【提示】将x∗k按照题中的新运算方法展开，可得x∗k=(x+k)(x−k)−1，所以x∗k=x可得
(x+k)(x−k)−1=x，化简得：x2−x−k2−1=0，Δ=(−1) 2−4×1⋅(−k2−1)=4k2+5，可得Δ>0，
即可得出答案.
【详解】解：根据新运算法则可得：x∗k=(x+k)(x−k)−1=x2−k2−1，
则x∗k=x即为x2−k2−1=x，
整理得：x2−x−k2−1=0，
则a=1,b=−1,c=−k2−1，
可得：Δ=(−1) 2−4×1⋅(−k2−1)=4k2+5
∵k2≥0，
∴4k2+5≥5；
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不
能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
2.对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程
⊗(k−3) ⊗x=k−1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【提示】先根据新定义得到关于x的方程为x2−(k−3)x+1−k=0，再利用一元二次方程根的判别式求
解即可．
【详解】解：∵(k−3)⊗x=k−1，
∴x2−(k−3)x=k−1，
∴x2−(k−3)x+1−k=0，
∴Δ=b2−4ac=(k−3) 2−4(1−k)=k2−6k+9−4+4k=(k−1) 2+4>0，
∴方程x2−(k−3)x+1−k=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为
x2−(k−3)x+1−k=0是解题的关键．
3.定义运算：m☆n=mn2−mn−1．例如:4☆2=4×22−4×2−1=7．则方程1☆x=0的根的情况为
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【提示】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】解：根据定义得：1☆x=x2−x−1=0,
∵a=1,b=−1,c=−1,
∴Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×1×(−1)=5＞0,
∴ 原方程有两个不相等的实数根，
故选A.
【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌
握以上知识是解题的关键．
考点三：一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理）题型一：韦达定理求代数式的值
1.已知实数x ,x 是方程x2+x−1=0的两根，则x x = ．
1 2 1 2
【答案】−1
【提示】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．
【详解】解：∵ 实数x ,x 是方程x2+x−1=0的两根，
1 2
−1
∴x x = =−1,
1 2 1
故答案为：−1
c
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“x x = ”是解本题的关键．
1 2 a
2.若 是方程 的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程 中的 ，
是方程 的两个根，
， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题
关键．
3.已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x 、x ，则 的值为（ ）
1 2
A．﹣3 B． C．1 D．
【答案】D
【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系得，
x +x ＝3，x x ＝2，
1 2 1 2
∴＝
＝
＝ ，
故选：D．
4.已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x ，x ，则x ＋x ﹣x x 的值等于 ．
1 2 1 2 1 2
【答案】2
【提示】先根据根与系数的关系得x +x ＝3，x x ＝1，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2
【详解】解：根据根与系数的关系得：
x +x ＝3，x x ＝1，
1 2 1 2
∴x +x ﹣x x ＝3﹣1＝2．
1 2 1 2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x
1 2 1 2
b c
=− ，x x = ．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
a 1 2 a
5.一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】先求得 ， ，再将 变形，代入 与 的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根为 ，
∴ ，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记 ， 是解决本题的关键．
6.已知方程x2−4x−1=0的两根为x ,x ，则(1−x )(1−x )= ．
1 2 1 2
【答案】−4
【提示】根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可．
【详解】解：方程x2−4x−1=0的两根为x ,x ，
1 2
所以，x +x =4，x ⋅x =−1，
1 2 1 2
(1−x )(1−x )=1−(x +x )+x x ，
1 2 1 2 1 2
把x +x =4，x ⋅x =−1代入得，
1 2 1 2
原式=1−4−1=−4，
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程根与系数关系，求出两
根之和、两根之积，把所求式子变形，整体代入求值．
7.已知 、 是方程 的两根，则代数式 的值为_________．
【答案】
【分析】根据 、 是一元二次方程 的两个根，则有 ，求解即可．
【详解】解：由题意得
，原式 ．
故答案： ．
【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
8.已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x ，x ，若x =−1，则a−x2−x2的值为
1 2 1 1 2
（ ）
A．7 B．−7 C．6 D．−6
【答案】B
【提示】根据根与系数关系求出x =3，a=3，再求代数式的值即．
2
【详解】解：∵一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x ，x ，
1 2
∴x +x =2，
1 2
∵x =−1，
1
∴x =3，
2
∴x ·x =-a=-3，
1 2
∴a=3，
∴a−x2−x2=3−9−1=−7．
1 2
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代
数式的值是解题关键．
2 m+3n
9.已知m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，则 − 的值是（ ）
m−n m2−n2
1 1
A．−3 B．−2 C．− D．−
3 2
【答案】C
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=−3，然后将分式化简，代入m+n=−3即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，
∴m+n=−3，
2 m+3n
∴ −
m−n m2−n2
2(m+n)−(m+3n)
=
(m+n)(m−n)2m+2n−m−3n
=
(m+n)(m−n)
m−n
=
(m+n)(m−n)
1
=
m+n
1
=− ，
3
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
√b √a
10.已知a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的两个根，则a +b 的值是（ ）
a b
A．−2√3 B．−3√2 C．3√2 D．2√3
【答案】A
√b √a
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系得到a+b=−5，ab=3，可知a<0，b<0，将a +b 化
a b
简为−2√ab，代入ab=3即可得出结论．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的两个根，
∴a+b=−5，ab=3，
∴a<0，b<0，
√b √a √ab √ab
∵a +b =a +b =−2√ab
a b |a| |b|
√b √a
∴a +b =−2√3，
a b
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，根据根与系数的关系得到
a+b=−5，ab=3是解答本题的关键．
题型二：韦达定理求代数式的值
1.若m，n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 ．
【答案】-3．
【提示】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m−1=0，则m2+2m=1，根据根与系数的关系得出
m+n=−2，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，
∴m2+2m−1=0，m+n=−2
∴m2+2m=1，∴m2+4m+2n
=m2+2m+2m+2n
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若x ,x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
1 2
b c
的两根时，x +x =− ,x x = ，也考查了一元二次方程的解．
1 2 a 1 2 a
2.若a、b是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为_________．
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系得到 ，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，若
是该方程的两个实数根，则 ．
3.已知a、b是方程 的两根，则 ___________．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得 ，从而得到
，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程 的两根，
∴ ，
∴ ，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定
义和根与系数的关系是解题的关键．
4.已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若 ，求m的值．
【答案】(1)见解析；(2) 的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ 的两个实数根为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
即 ．
解得 或 ．
∴ 的值为1或 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式
及根与系数的关系是解题的关键．
5.若α、β为方程2x2−5x−1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ ）
A．−13 B．12 C．14 D．15【答案】B
【提示】根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则
5 1
2α2+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β= ，α⋅β=− ，然后利用整体
2 2
代入的方法计算即可．
【详解】解：∵α为2x2−5x−1=0的实数根，
∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2−5x−1=0的两个实数根，
5 1
∴ α+β= ，α⋅β=− ，
2 2
∴ 2α2+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1=5× 5 +3× ( − 1) +1= 25 − 3 +1=12，
2 2 2 2
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系：若x 、x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
m3+m2n
6.若m，n是一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根，则 的值为 ．
3m−1
【答案】3
【提示】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出
m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
m3+m2n m2 (m+n)
∴ = =−(m+n)=3，
3m−1 −m2
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，
1 2b c
x +x =− ，x x = ．也考查了一元二次方程的解．
1 2 a 1 2 a
题型三：韦达定理方程的解通过降次求代数式的值
1.已知x ，x 是方程x2−x−2022=0的两个实数根，则代数式x3−2022x +x2的值是（ ）
1 2 1 1 2
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【提示】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵x ，x 是方程x2−x−2022=0的两个实数根，
1 2
∴x 2−2022=x ，x x =−2022，x +x =1
1 1 1 2 1 2
x3−2022x +x2 =x (x 2−2022)+x 2=x 2+x 2=(x +x ) 2−2x x =1−2×(−2022) =4045
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系
数的关系是解题的关键．
2.已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【答案】D
【详解】解：∵α方程x2-2x-4=0的实根,
∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,
∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,
∴原式=8α+8+8β+6
=8（α+β）+14,
∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,
∴α+β=2,
∴原式=8×2+14
=30,
故选D.
3.已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
【答案】D
【提示】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用
降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程x2−x−1=0的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵a3=a2·a=(a+1)a=a2+a=a+1+a=2a+1，同理：b3=2b+1
∴2a3+5a+3b3+3b+1
=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1
=9a+9b+6
=9(a+b)+6
=9×1+6
=15
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进
行整式的运算是解题的关键．
4.已知a，b是方程x2−3x−5=0的两根，则代数式2a3−6a2+b2+7b+1的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【答案】D
【提示】先根据已知可得a2−3a−5=0，b2−3b=5，a+b=3，然后再对2a3−6a2+b2+7b+1变形，最
后代入求解即可．
【详解】解：∵已知a，b是方程x2−3x−5=0的两根
∴a2−3a−5=0，b2−3b=5，a+b=3
∴2a3−6a2+b2+7b+1=2a(a2−3a−5)+(b2−3b)+10(a+b)+1=0+5+30+1=36．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变
形成为解答本题的关键．
5.已知α、β是方程x2+x−1=0的两根，则α4β−β3+5的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【提示】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出α+β=−1，αβ=−1，α2=1−α，β2=1−β，
再对所求式子变形整理，求出答案即可．
【详解】解：∵α、β是方程x2+x−1=0的两根，
∴α+β=−1，αβ=−1，α2=1−α，β2=1−β，∴α4β−β3+5
=α3×(−1)−β3+5
=−α(1−α)−β(1−β)+5
=−α+α2−β+β2+5
=−α+1−α−β+1−β+5
=−2(α+β)+7
=−2×(−1)+7
=9，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、
b c
c为常数，a≠0）的两根为x ，x ，则x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
6.已知α，β是方程x2+2x−1=0的两根，则α3+5β+10的值为 ．
【答案】-2
【提示】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系可得α2+2α−1=0，α＋β=-2，然后将原代数式
“降次”，并利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵α，β是方程x2+2x−1=0的两根，
∴α2+2α−1=0，α＋β=-2
∴α2=1−2α
∴α3+5β+10
=α2 ⋅α+5β+10
=(1−2α)⋅α+5β+10
=α−2α2+5β+10
=α−2(1−2α)+5β+10
=α−2+4α+5β+10
=5(α+β)+8
=5×（-2）＋8
=-2
故答案为：-2．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程解的定义
和一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键．
题型四：由方程两根满足关系求字母或代数式的值1.若关于x的一元二次方程 两根为 ，且 ，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系
求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 两根为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
2.已知关于x的方程x2−(2m−1)x+m2=0的两实数根为x ，x ，若(x +1)(x +1)=3，则m的值为
1 2 1 2
（ ）
A．−3 B．−1 C．−3或3 D．−1或3
【答案】A
【提示】利用根与系数的关系以及Δ=(2m−1) 2−4m2≥0求解即可．
【详解】解：由题意可知：¿，且Δ=(2m−1) 2−4m2≥0
∵(x +1)(x +1)=x ⋅x +x +x +1=3，
1 2 1 2 1 2
∴m2+(2m−1)+1=3，解得：m=−3或m=1，
1
∵Δ=(2m−1) 2−4m2≥0，即m≤ ，
4
∴m=−3，
故选：A1
【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出m≤ ，再利
4
用根与系数的关系求出m=−3或m=1（舍去）．
3.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x ,x ，且满足x x =2，则x +x 的值为
1 2 1 2 1 2
（ ）
A．4 B．-4 C．4或-2 D．-4或2
【答案】B
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x ,x ，
1 2
∴x +x =−2m,x ⋅x =m2−m，Δ=(2m) 2−4(m2−m)=4m>0
1 2 1 2
∴m>0，
∵ x x =2，即m2−m=2，
1 2
解得m=2或−1，
∴m=2，
∴x +x =−2×2=−4，
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，如果方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x ,x ，那么x +x =− ，x x = ；也就是说，对于任何一个有
1 2 1 2 a 1 2 a
实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积
等于常数项除以二次项系数所得的商．
4.若a、b是关于x的一元二次方程x2−2kx＋4k=0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（ ）
A．−1 B．3 C．−1或3 D．−3或1
【答案】A
【提示】先根据a、b是关于x的一元二次方程x2−2kx＋4k=0的两个实数根，求出Δ =4k2−16k≥0，
由一元二次方程根与系数关系得到a＋b＝2k，ab＝4k，利用a2＋b2＝12，求出k的值，再代入Δ
=4k2−16k验证即可．
【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2−2kx＋4k=0的两个实数根，
∴Δ=(−2k) 2−4×1×4k
=4k2−16k≥0
a＋b＝2k，ab＝4ka2+b2
=(a+b) 2−2ab
=(2k) 2−2×4k
=4k2−8k
∴4k2−8k＝12
解得k =−1，k =3
1 2
当k =−1时，
1
Δ =4k2−16k
=4×(−1) 2−16×(−1)
=20>0
∴k =−1符合题意，
1
当k =3时，
2
Δ =4k2−16k
=4×32−16×3
=−12<0
∴k =3不符合题意，应舍去，
2
综上，k的值是﹣1．
故选：A
【点睛】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c
1 2
b c
＝0（a≠0）的两根时，x +x ＝− ，x x ＝ ．
1 2 a 1 2 a
5.关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x ,x ，(x −x +2)(x −x −2)+2x x
1 2 1 2 1 2 1 2
=−3，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【答案】D
【详解】解：由根与系数的关系，得：
x +x ＝k－1，x x ＝－k+2，
1 2 1 2
由(x −x +2)(x −x −2)+2x x =−3，得：
1 2 1 2 1 2(x −x ) 2−4+2x x =−3，
1 2 1 2
即(x +x ) 2 －4x x −4+2x x =−3，
1 2 1 2 1 2
所以，(k−1) 2−4−2(−k+2)=−3，
化简，得：k2=4，
解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根，
所以，△＝(k−1) 2−4(−k+2)＝k2+2k−7>0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
x x
6.已知x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且
2+ 1
＝x 2+2x ﹣1，则k的值为 ．
1 2 x x 1 2
1 2
【答案】2
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，x 2﹣2x +k﹣1＝
1 2 1 2 1 1
x x 22−2(k−1)
0，再根据
2+ 1
＝x 2+2x ﹣1，推出 ＝4﹣k，据此求解即可．
x x 1 2 k−1
1 2
【详解】解：∵x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，x 2﹣2x +k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x 2＝2x ﹣k+1，
1 1
x x
∵
2+ 1
＝x 2+2x ﹣1，
x x 1 2
1 2
(x +x ) 2−2x x
∴ 1 2 1 2＝2（x +x ）﹣k，
x x 1 2
1 2
22−2(k−1)
∴ ＝4﹣k，
k−1
解得k＝2或k＝5，当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根
与系数的关系是解题的关键．
7.α、β是关于x的方程x2−x+k−1=0的两个实数根，且α2−2α−β=4，则k的值为 ．
【答案】−4
【提示】α2−2α−β=α2−α−(α+β)=4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，
得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵α、β是方程x2−x+k−1=0的根
∴α2−α+k−1=0，α+β=1
∴α2−2α−β=α2−α−(α+β)=−k+1−1=−k=4
∴k=-4
故答案是-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题
中需注意的问题是本题的解题关键．
题型五：不解方程由根与系数的关系判断根的正负
1.关于x的方程(x−1)(x+2)=ρ2（ρ为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【提示】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数
的关系判断根的正负即可．
【详解】解：(x−1)(x+2)=ρ2，
整理得：x2+x−3−ρ2=0，
∴Δ=12−4(−3−ρ2)=4ρ2+13>0，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为x 、x ，
1 2∵x +x =−1，x x =−3−p2
1 2 1 2
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相
等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与
b c
系数的关系：x +x =− ，x x =
1 2 a 1 2 a
2.已知x 、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
1 2
A．x ≠x B．x +x ＞0 C．x •x ＞0 D．x ＜0，x ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【提示】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x ≠x ，结论A正确；B、根据
1 2
根与系数的关系可得出x +x =a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系
1 2
可得出x •x =﹣2，结论C错误；D、由x •x =﹣2，可得出x ＜0，x ＞0，结论D错误．综上即可得出结论．
1 2 1 2 1 2
【详解】A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x ≠x ，结论A符合题意；
1 2
B、∵x 、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
1 2
∴x +x =a，
1 2
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确，不符合题意；
C、∵x 、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
1 2
∴x •x =﹣2，结论C错误，不符合题意；
1 2
D、∵x •x =﹣2，
1 2
∴x ＜0，x ＞0，结论D错误，不符合题意．
1 2
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”
是解题的关键．
3.关于x的方程3x2−7x+4=0的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】A
【提示】根据根的判别式，根与系数的关系进行判断即可．
【详解】3x2−7x+4=0a=3,b=−7,c=4
∴Δ=b2−4ac=49−48=1>0
∴原方程有两个不相等的实数根，设两根分别为x ,x
1 2
c 4
∵x x = = >0
1 2 a 3
∴x ,x 同号
1 2
b 7
∵x +x =− = >0
1 2 a 3
∴x >0,x >0
1 2
即原方程有两个正根．
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
4.关于x的方程(x−2)(x+1)=p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
【答案】C
【提示】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：方程可化为x2−x−2−p2=0，
∴Δ=(−1) 2−4(−2−p2)=1+8+4 p2=4 p2+9>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为x ,x ，则根据根与系数的关系可知：x ⋅x =−2−p2<0，
1 2 1 2
∴该方程的两个根为一正一负，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式
及根与系数的关系是解题的关键．
题型六：由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围
1.已知关于x的一元二次方程x2−6x+(2m+1)=0的两个实数根为x 、x ，且2x x +x +x ≥20，则m
1 2 1 2 1 2
的取值范围是（ ）
A．m≥3 B．m≤−4 C．3≤m≤4 D．−3≤m≤4
【答案】C
【提示】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：Δ=36−4(2m+1)≥0，∴m≤4，
∵x +x =6，x x =2m+1，
1 2 1 2
∴2(2m+1)+6≥20，
∴m≥3，
∴3≤m≤4，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式
以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
2.已知关于x的方程4x2−(k+5)x−k−9=0有两个不相等的实数根x ，x ，且x =−1，00，
解得：k≠−13，
−k−9
∵x x = ，x =−1，
1 2 4 1
k+9
∴x =
2 4
又∵0x +x −4，则m的取值范围
1 2 1 2 1 2
是 ；
5 1
【答案】− x +x −4，
1 2 1 2
3m−1
∴ >1−4，
2
5
解得：m>− ，
3
5 1
∴− 20（不合题意，舍去），
∴x=1；
答：小道进出口的宽度应为1米；
（2）解：①剩余的种植花草区域的面积为：
1 1 1
(30−4)(20−2)−4× × (30−a)× (20−a)
2 2 2
1
=− a2+25a+168
2
②由100 ( − 1 a2+25a+168 ) =42000，得：
2
a2−50a+504=0，
解得：a =14,a =36（舍去）．
1 2
故a=14．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，
注意根据实际意义舍根．
题型三：传染病与枝干问题1.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染
的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【提示】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得1+x+x(1+x)=144，然后求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
1+x+x(1+x)=144，
解得：x =11,x =−13（舍去），
1 2
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数
是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（ ）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
【答案】C
【提示】如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量
为x个，小分支的数量为x⋅x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．
【详解】解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为x⋅x=x2个，
根据题意可列出方程为：1+x+x2=91，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决
问题的关键．
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数
为73，则每个支干长出（ ）支小分支．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：由题意得：
1+x+x2＝73，
即x2+x﹣72＝0，
∴（x+9）（x﹣8）＝0，
解得x ＝8，x ＝﹣9（舍去）
1 2答：每个支干长出8个小分支．
故选：B．
4.自2023年1月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有1位住户不小心感染了甲流，
由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有121人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流？
【答案】(1)10人
(2)不超过
【提示】（1）设每轮感染中平均一个人传染x人，根据题意列方程解方程即可；
（2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染10人，进而得到三轮后患病总人数为1331即可解答．
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染x人．
根据题意得1+x+x(1+x)=121，
解得x=10，或x=−12，
∵x>0，
∴x=10，
答：每轮感染中平均一个人传染10人；
（2）解：根据题意可得：
第三轮的患病人数为(10+1) 3=1331，
∵1331<1500，
∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过1500人，
答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过1500人；
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键．
5.截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考
验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两
轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
【答案】每轮传染中平均每个人传染了13个人
【提示】根据题意设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】根据题意设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意可得：
(1+x) 2=196，
解得x =13,x =−15（舍去），
1 2
答：每轮传染中平均每个人传染了13个人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
题型四：单双循环问题
1.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排
15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
1
【提示】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了 x(x−1)场比赛，即可列出
2
方程，求解即可．
【详解】解：设有x个班级参加比赛，
1
x(x−1)=15，
2
x2−x−30=0，
解得：x =6,x =−5（舍），
1 2
则共有6个班级参加比赛，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．
2.中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参
赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有
（ ）
A．80个 B．120个 C．15个 D．16个
【答案】D
【提示】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，可列出方程．
【详解】解：设参加比赛的队共有x，
根据题意可得：x(x−1)=240，
解得：x =16，x =−15（舍去），
1 1
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
3.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参
加活动，可列方程为（ ）
1 1
A． x(x−1)=10 B．x(x−1)=10 C．x(x+1)=10 D． x(x+1)=10
2 2
【答案】A
【提示】设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可．
【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，并且每个人与其他人握手
均重复一次，由此可得：
x(x−1)
=10，
2
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
4.某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是 ．
【答案】10
【提示】设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出(x−1)张贺卡，由该小组互赠新年贺卡共
90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出(x−1)张贺卡，
根据题意得：x(x−1)=90，
解得：x =10，x =−9（不合题意，舍去），
1 2
即该学习小组有10名成员．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型五：涨价降价销售利润问题
1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了
降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降 1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场
销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得：x ＝x ＝15，
1 2
答：衬衫的单价降了15元．
2.端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的
价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可
多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽
子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．(16−x−10)(200+80x)=1440 B．(16−x)(200+80x)=1440
C．(16−x−10)(200−80x)=1440 D．(16−x)(200−80x)=1440
【答案】A【提示】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为(16−x−10)元，每天可售出(200+80x)
袋，利用总利润=每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为(16−x−10)元，每天可售出
(200+80x)袋，
依题意得：(16−x−10)(200+80x)=1440．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
3.某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表
明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少
库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【提示】根据“总利润=每瓶利润×日均销售量”列方程求解可得．
【详解】解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的，
(x−6)[160−20×(x−10)]=700 ，
解得x =11， x =13，
1 2
当x =11时，160−20×(x−10)=160−20×(11−10)=140 ，当x =13时，
1 2
160−20×(x−10)=160−20×(13−10)=100 ，且140＞100，
∵尽快减少库存，
∴每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此
列出方程．
4.某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调
查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价
降低x元，则可列方程为（ ）
A．(60−x)(200+8x)=8450 B．(20−x)(200+x)=8450
C．(20−x)(200+40x)=8450 D．(20−x)(200+8x)=8450
【答案】D
【提示】利润=售价−进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x元，每星期可多
卖出8x件，从而列出方程即可．【详解】解：原来售价为每件60元，进价为每件40元，利润为每件20元，又每件售价降价x元后，利
润为每件(20−x)元．
每降价1元，每星期可多卖出8件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，现在的销量为
(200+8x)．
根据题意得：(20−x)(200+8x)=8450，
故选：D．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程
是解决问题的关键．
5.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；
若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为
多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元 时，每千克水果售价为 元或 元；（3）当该
优质水果每千克售价为 元时，获得的月利润最大
【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；（2）设每千克水果售价为 元，
根据题意列方程解答即可；（3）设月销售利润为 元，每千克水果售价为 元，根据题意列函数关系式，
再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【解析】解： 当售价为 元/千克时，每月销售量为 千克.
设每千克水果售价为 元，由题意，得
即 整理，得
配方，得 解得
当月销售利润为元 时，每千克水果售价为 元或 元
设月销售利润为 元，每千克水果售价为 元，由题意，得
即 配方，得
， 当 时， 有最大值 当该优质水果每千克售价为 元时，获得的月利润最大．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的
列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．
6.建设美丽城市，改造老旧小区．某市2023年投入资金1000万元，2025年投入资金1440万元，现假定
每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2025年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2026年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增
加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2026年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】(1)20%
(2)18个
【提示】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据2023年投入资金×(1+x) 2=
2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2026年的投入资金，然后2026年改造老旧小区的总费用要小于等
于2026年投入资金，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
根据题意得：1000(1+x) 2=1440，
解这个方程得，x =0.2，x =−2.2，
1 2
经检验，x=0.2=20%符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2026年可以改造y个老旧小区，
由题意得：80×(1+15%)y≤1440×(1+20%)，
18
解得y≤18 ．
23
∵y为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2026年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相
应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
7.小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．
市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，
设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售
利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1） ；（2）10元；（3）x为12时，日销售利润最大，最大利润960元
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到 ，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）根据题意得， ，
故y与x的函数关系式为 ；
（2）根据题意得， ，解得： ， （不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得， ，
，∴当 时，w随x的增大而增大，当 时， ，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，
进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
8.为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，
使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为 元时，每天可售出
个；若销售单价每降低 元，每天可多售出 个．已知每个电子产品的固定成本为 元，问这种电
子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利 元？
【答案】销售单价为 元时，公司每天可获利 元
【分析】根据题意设降价后的销售单价为 元，由题意得到 ，则可
得到答案.
【解析】解：设降价后的销售单价为 元，则降价后每天可售出 个，
依题意，得： ，整理，得： ，解得： ． ，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为 元时，公司每天可获利 元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的实际应用.
9.某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售
A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措
施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70
万元，则每套A产品需降价多少？
【答案】(1)50%
(2)1万元
【提示】（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可
得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
y
（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+ ×20)套，根据总利润=每套的利润×销售
0.5
数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得：20(1+x) 2=45，
解得：x =0.5=50%，x =−2.5（不合题意，舍去）．
1 2
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．
y
（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+ ×20)套，
0.5
y
依题意，得：(2−y)(30+ ×20)=70，
0.5
整理，得：4 y2−5 y+1=0，
1
解得：y = ，y =1．
1 4 2
答∵尽量减少库存，
∴y=1．
答：每套A产品需降价1万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件） 60 65 70
销售量 （件） 1400 1300 1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），
那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1） 与 之间的函数表达式为 ；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价
定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间
的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户
实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，
即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得， ， 解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，（x-50）(-20x+2600)=24000解得， ， ，
∵批发商场想尽量给客户实惠，∴ ，故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：
=
∵ ∴
∵k=-20＜0，∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函
数的性质和二次函数的顶点式解答．
题型六：工程问题
1.某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率
不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m
米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)m的值为10
【提示】（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，根据题意列出方
程求解即可；
（2）根据“A型设备铺设的路面长度+B型设备铺设的路面长度=3600+750”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，
根据题意得，
30x+30(2x+30)=3600，
解得：x=30，
则2x+30=90，
答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
30(30+m+25)+(90−3m)(30+m)=3600+750，
整理得，m2−10m=0，
解得：m =10，m =0（舍去），
1 2
∴m的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列
出方程．
2.“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两
组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划
加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400【提示】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工x袋、y袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一
次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑
设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作
量之和，列出方程．
【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工x袋、y袋粽子
由题意得：¿解得： ¿
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽子
由题意得：2×(200+150)+(200+100a)(8−a)+150(6−a)=3200+500
整理得：2a2−9a+10=0
解得：a =2，a =2.5，
1 2
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴ a=2
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的
关键．
3.某公司主营铁路建设施工．
(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，
隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？
(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季
度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施
工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道
1
施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加 a亿元，若二季度总成本与一季度相
2
同，求a的值．
【答案】(1)4；
(2)2．
【提示】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为(146−106−m)千米，利用隧道施工至少是桥梁
施工的9倍，列不等式求解即可；
（2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工
和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为(146−106−m)千米，
∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍，
∴146−106−m≥9m，
解之得：m≤4，
∴桥梁施工最多是4千米．
（2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米，
设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，
∵总成本为254亿元，
∴106x+36×3x+40x=254，
解之得：x=1，
由题意可知：二季度平地施工里程为106−7a千米，隧道施工里程为36−2a千米，桥梁施工里程为4+a
1
千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3，10+ a
2
∵二季度总成本与一季度相同，
( 1 )
∴106−7a+(36−2a)×3+(4+a) 10+ a =254，
2
即a(a−2)=0，
解之得：a=0（舍去）或a=2，
故a=2．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是
根据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次
方程求解．
题型七：行程问题
1.《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，
问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直
向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲
走的步数是 ．
49
【答案】
2
【提示】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，利用勾股定
理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其正值代入3t中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，则
依题意得：102+(3t) 2=(7t−10) 2，
整理得：40t2−140t=0，
7
解得：t = ，t =0（不合题意，舍去），
1 2 2
7 49 49
∴7t=7× = ，即甲走的步数是 ，
2 2 2
49
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
2.甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前
1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度
行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【提示】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可
得甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后
多少分钟．
n(n+3)
【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有 +5n＝70，
2
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
n(n+3)
（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 +5n＝3×70，
2
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的
关键．
题型八：动点问题
1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，
点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．
【答案】（1）2或3秒；（2）不能.
【解析】（1）设经过x秒以后△PBQ的面积为6 cm2，
则 ×（5﹣x）×2x=6，
整理得：x2﹣5x+6=0，
解得：x=2或x=3．
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6 cm2 ．
（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8 cm2，则
×（5﹣x）×2x=8，
整理得：x2﹣5x+8=0，
因为△=25﹣32=﹣7＜0，
所以此方程无解，
故△PQB的面积不能等于8 cm2．
2.已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、
BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间
为t(s)，解答下列问题：(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
2
(2)是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ？如果存在，求出相应的t值；如果
3
不存在，说明理由．
【答案】(1)t=1或t=2时，△PBQ是直角三角形
(2)不存在，理由见解析
【提示】（1）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和
∠B的度数进行求解即可；
（2）先用△ABC的面积−△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，然后根据题意四边形APQC的
2
面积等于三角形ABC面积的 ，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果
3
方程有解，那么求出的t值即可．
【详解】（1）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
在△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=(3−t)cm，
在△PBQ中，BP=(3−t)cm，BQ=tcm，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
1
当∠BQP=90°时，BQ= BP，
2
1
即t= (3−t)，t=1(秒)，
2
1
当∠BPQ=90°时，BP= BQ，
2
1
3−t= t，t=2(秒)，
2
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
（2）过P作PM⊥BC于M，PM
在△BPM中，sin∠B= ，
PB
√3
∴PM=PB⋅sin∠B= (3−t)，
2
1 1 √3
∴S = BQ⋅PM= ⋅t⋅ (3−t)，
△PBQ 2 2 2
1 √3 1 √3
∴S =S −S = ×32× − ×t× (3−t)
四边形APQC △ABC △PBQ 2 2 2 2
√3 3√3 9√3
= t2− t+ ，
4 4 4
2
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ，
3
2
则S = S ，
四边形APQC 3 △ABC
√3 3√3 9√3 2 1 √3
∴ t2− t+ = × ×32× ，
4 4 4 3 2 2
∴t2−3t+3=0，
∵(−3) 2−4×1×3<0，
∴方程无解，
2
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的 ．
3
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、解一元二次方程，解直角三角形与三角形面积公式，根据题
意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
3.如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．
（1）当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；
（2）若∠APC＝90°时，点P有两个符合要求即P ，P ，且P P ＝2，求a的值；
1 2 1 2
（3）若∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值．10√3
【答案】（1）BP＝2或12；（2）a＝10；（3）a＝ +8√2．
3
【提示】（1）证得△ABP∽△PDC，根据相似三角形的性质即可求得；
（2）设BP＝x，则PD＝a﹣x，根据相似三角形的性质得到x2﹣ax+24＝0，设方程的两个根为x ，x ，根
1 2
据根与系数的关系可知x +x ＝a，x •x ＝24，根据题意即可得到＝（x +x ）2﹣4x x ＝4，即可得到a2﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
4×24＝4，解之即可；
4√3 8√3
（3）作∠AEP＝∠CFP＝120°，解直角三角形求得BE＝2√3，DF＝ ，AE＝4√3，CF＝ ，根据相
3 3
10√3 10√3
似三角形的性质得到x2﹣（a﹣ ）x+32＝0，根据题意△＝（a﹣ ）2﹣4×1×32＝0，即可求解．
3 3
【详解】解：（1）∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°，
∴∠A+∠APB＝∠CPD+∠APB＝90°，
∴∠A＝∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
BP AB BP 6
∴ ＝ ，即 ＝ ，
CD PD 4 14−BP
解得BP＝2或12；
（2）设BP＝x，则PD＝a﹣x，
由（1）可知△ABP∽△PDC，
AB BP 6 x
∴ ＝ ，即 ＝ ，
PD DC a−x 4
∴x2﹣ax+24＝0，
设方程的两个根为x ，x ，根据根与系数的关系可知x +x ＝a，x •x ＝24，
1 2 1 2 1 2
∵P P ＝2，
1 2
∴|x ﹣x |＝2，
1 2
∴（x ﹣x ）2＝（x +x ）2﹣4x x ＝4，
1 2 1 2 1 2
∴a2﹣4×24＝4，
解得a＝±10（负数舍去），
∴a＝10；
（3）作∠AEP＝∠CFP＝120°，
∴∠AEB＝∠CFD＝60°，
∵AB＝6，CD＝4，
√3 √3 4√3
∴BE＝ AB＝2√3，DF＝ CD＝ ，
3 3 3
8√3
∴AE＝2BE＝4√3，CF＝2DF＝
3
∵∠AEP＝∠CFP＝∠APC＝120°，
∴∠EAP＝∠CPF，
∴△EPA∽△FCP，
AE EP
∴ ＝ ，
PF FC
10√3
设EP＝x，则PF＝a﹣ ﹣x，
3
4√3 x
=
∴ 10√3 8√3 ，
a− −x
3 3
10√3
∴x2﹣（a﹣ ）x+32＝0，
3
∵△＝0，
10√3
∴（a﹣ ）2﹣4×1×32＝0，
3
∵a＞0，
10√3
∴a＝ +8√2．
3
【点睛】本题为三角形动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程与几何知识的结合，
一元二次方程跟与系数的关系，一元二次方程根的判别式等，解决问题的关键是充分利用已知条件，通
过相似三角形对应边成比例列等式，成立方程．
题型九：探究拓展问题
1.材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 ， ，则有 ，
．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， 是关于x的方程
bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x ，x，x 可以构成“和谐三数组”；
1 2 3
（3）若A(m，y) ，B(m + 1，y) ，C(m+3，y)三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐
1 2 3
标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】（1） ，2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而
可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 =
即可；（3）先求出三点的纵坐标y，y，y，然后由“和谐三数组”可得y，y，y 之间的关系，进
1 2 3 1 2 3
而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【解析】解：（1）∵ ，∴ ，2，3是“和谐三数组”；故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴ ， ，∴ ，∵ 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，∴ ，∴ ，∴ = ，
∴x ，x，x 可以构成“和谐三数组”；
1 2 3
（3）∵A(m，y) ，B(m + 1，y) ，C(m+3，y)三个点均在反比例函数 的图象上，
1 2 3
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y，y，y 恰好构成“和谐三数组”，
1 2 3
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，解得：m=﹣4或﹣2或2．
【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特
征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反
比例函数的图象与性质是解题的关键．
2.新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九
年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉
励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次
电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点 分表示第1名同学、第2名同学、第
3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为_____，当 时，对应的
______．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【答案】（1）10，15；（2） ，1128；（3）20
【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出 ，再代入 可求出当 时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，
解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．故答案为：10；
15．
（2）∵ ，∴ ，
当 时， ．故答案为： ；1128．
（3）依题意，得： ，化简，得： ，
解得： （不合题意，舍去）．答：该班共有20名女生．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键．
3.阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ，则x ＋x ＝ ，x x ＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x ，x ，则x ＋x ＝ ；x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
【答案】(1) ； (2) (3) 或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出
， ，然后将 进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出 ，
，然后求出s-t的值，然后将 进行变形求解即可．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x ，x ，
1 2
∴ ， ．故答案为： ； ．
(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴ ， ，
∵
∴ 或 ，当 时， ，
当 时， ，综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出 或 ，是解答本题的关键．
4.阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程 的根就是相应的二次函数 的图象（称
为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．
与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数
根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（ ， ）和一元二次方程根的判别式 ，分别分 和
两种情况进行分析：
（1） 时，抛物线开口向上．
①当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程 有两个相等的实数根．
③当 时，
……
（2） 时，抛物线开口向下．
……任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当 时①②的分析过程，写出③中当 时，一元二次方程根的情况的分析
过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点
来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
【答案】(1)AC（或AD或CD）
(2)分析见解析；作图见解析
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；
（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；
（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
(1)
解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，
故答案为：AC（或AD或CD）；
(2)
解：a>0时，抛物线开口向上．
当 =b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒
∵a△>0，
∴顶点纵坐标 ﹒
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
(3)
解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式
的解集，等）
【点睛】
本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x
轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
是本题的关键．
