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专题01 函数及其表示方法
题型一：函数关系的判断
题型二：同一函数
题型三：根据函数值求自变量或参数
题型四：函数的定义域（具体函数的定义域）
题型五：函数的定义域（抽象函数的定义域）
题型六：函数的定义域（复合函数的定义域）
题型七：函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域）
题型八：函数的值域（根式型函数的值域）
题型九：函数的值域（分式型函数的值域）
题型十：函数的三种表示法的应用
题型十一：待定系数法求函数的解析式
题型十二：换元法求函数的解析式
题型十三：配凑法求函数的解析式
题型十四：程组（消去）法求函数的解析式
题型十五：求分段函数的值
题型十六：根据分段函数的值求参数
题型十七：分段函数的值域或最值问题
题型十八：解分段不等式
题型一：函数关系的判断
1．下列所示的图形中，可以作为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，结合图象判断自变量
对应函数值
的个数，即可得.
【详解】由函数的定义，对于任意自变量
只能有唯一函数值
与之对应，
结合各图知，A、B、C 不符合，D 符合.
故选：D
2．设集合
，集合
，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M 到
N 的函数关系的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果.
【详解】图（1）定义域
中的
部分在值域
中没有和它对应的数，不符合函数的定义；
图（2）中定义域，值域以及对应关系都是符合的；
图（3）中值域范围不是
；
图（4）中在定义域给一个元素，值域中有两个元素与之对应，不符合函数的定义；
故选：B
3．中国清朝数学家李谱兰在1859 年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”沿用至今，已知集
合
，
， 给出下列四个对应关系， 请由函数定义判断， 其中能构成从
到
的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义一一判断即可.
【详解】对于A：因为
，
，当
时
，
所以不能构成从
到
的函数，故A 错误；
对于B：因为
，
，当
时
，
所以不能构成从
到
的函数，故B 错误；
对于C：因为
，
，当
时
，
所以不能构成从
到
的函数，故C 错误；
对于D：因为
，当
时
，当
时
，
当
时
，当
时
，
所以能构成从
到
的函数，故D 正确.
故选：D
4．在下面四个图中，可表示函数
的图象的可能是（ ）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
【答案】D
【分析】根据函数的定义，即可判断选项.
【详解】根据函数的定义可知，任何一个
值只能对应唯一的
值，（1）（2）（3）不满足,
故选：D
题型二：同一函数
5．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对于选项B，C，D 中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A 选项，
两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数.
【详解】对于A 选项，两个函数的定义域相同，
，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数；
对于B，
，两个函数的定义域和对应法则相同，
故得到两个函数是同一函数；
对于C，两个函数的定义域相同为
，
且
对应法则相同，故得到两个函数是同一函数；
对于D，两个函数定义域相同，
，
对应法则相同，故两个函数是同一函数.
故选：A.
6．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相
同，从而得到结果.
【详解】对A，
的定义域为
，
的定义域为
，故A 错误；
对B，
和
的定义域均为
，且
，故B 正确；
对C，
的定义域为
，
的定义域为
，故C 错误；
对D，
和
的定义域均为
，但
，对应关系明显不同，故D 错误.
故选：B.
7．（多选）下列四组函数中，表示不同函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】ACD
【分析】根据同一函数的定义分别判断即可.
【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数，
对于A，显然
的定义域为
，与
的定义域为
，定义域不同，即A 选项两函数不同；
对于B，显然
与
的定义域相同，对应关系也相同，即B 选项两函数相同；
对于C，显然
的定义域为
，与
的定义域为
，定义域不同，即C 选项两函数不同；
对于D，显然
，即
的定义域为
，
而
，即
或
，即
的定义域为
，两函数的定义域不同，即D 选项两函
数不同；
故选：ACD.
8．下列函数相等的是（ ）
A．函数
与函数
B．函数
与函数
C．函数
与函数
D．函数
与函数
【答案】AB
【分析】逐项求两函数的定义域，化简函数解析式，结合函数相等的定义判断结论.
【详解】对于A，函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，又
，
所以函数
与函数
相等，A 正确；
对于B，函数
的定义域为
，且
，
函数
的定义域为
，
所以函数
与函数
相等，B 正确；
对于C，函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
函数
与函数
的定义域不相同，
所以函数
与函数
不相等，C 错误；
对于D，函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
函数
与函数
的定义域不相同，
所以函数
与函数
不相等，D 错误；
故选：AB.
题型三：根据函数值求自变量或参数
9．已知函数
，且
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可.
【详解】令
，解得
，
所以
，
因为
，所以
，
故选：B.
10．已知
．
(1)求
，
；
(2)若
，求a 的值；
(3)求不等式
的解集．
【答案】(1)
，
(2)
或
(3)
【分析】（1）代入求解即可；
（2）得到方程，求出
或
；
（3）解一元二次不等式，得到解集.
【详解】（1）
，
，
；
（2）由题意得
，解得
或
；
（3）
，解得
或
，
故解集为
11．已知数
.
(1)求函数
的定义域
(2)求
；
(3)已知
，求
的值.
【答案】(1)
或
(2)
，
(3)
【分析】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案.
（2）根据函数的解析式求得正确答案.
（3）根据已知条件解方程来求得
.
【详解】（1）由解析式知：
，可得
且
，
故定义域为
或
，
（2）
，
.
（3）由
，
，
所以
，显然
在
定义域内，
所以
.
题型四：函数的定义域（具体函数的定义域）
12．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式、根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果.
【详解】由
得：
且
，
的定义域为
.
故选：D.
13．函数
的定义域是 .
【答案】
且
【分析】根据根式、分式的性质求函数的定义域.
【详解】由题设
，可得
且
，
所以定义域为
且
.
故答案为：
且
.
14．设函数
的定义域为
，求实数
的取值范围．
【答案】
【分析】由题意知
的解集为
，进而对
分类讨论求解即可.
【详解】由题意知
的解集为
，
（ⅰ）当
时，若
，则
，符合题意；
若
，则
，
的解集不为
，舍去．
（ⅱ）当
时，必须有
，解得
．
综上所述，实数
的取值范围为
．
题型五：函数的定义域（抽象函数的定义域）
15．已知
的定义域为
，则
的定义域为 ．
【答案】
【分析】由抽象函数的定义域求法，可得出关于
的不等式组，由此可解得所求函数的定义域.
【详解】因为函数
的定义域为
，
所以对于函数
，有
，
解得
，
故函数
的定义域为
．
故答案为：
16．（1）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ；
（2）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】（1）由
的定义域可得到
，进而求解即可得到
的定义域；
（2）设
，先根据
的定义域求得
的定义域，进而即可求出
的定义域．
【详解】（1）设
．
因为
的定义域为
，
所以要使
有意义，必须
，解得
，
所以
的定义域为
，即
的定义域为
．
（2）设
，考察函数
．
因为
的定义域为
，
所以
，得
，
所以
的定义域为
．
设
，要使
有意义，
必须
，解得
．
故
的定义域为
．
故答案为：
；
．
17．已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可.
【详解】由题意知
.
故答案为：
.
题型六：函数的定义域（复合函数的定义域）
18．已知函数
，则
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据根式的性质求
的定义域，再由复合函数定义域的求法求
的定义域.
【详解】由题设
，即
的定义域为
，
对于
，有
，则
，即定义域为
.
故选：D
19．已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得．
【详解】若函数
的定义域是
，则函数
需要满足：
则
，解得
，
所以
的定义域是
．
故答案为：
20．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域是 .
【答案】
【分析】由函数
有意义的条件，求定义域.
【详解】函数
的定义域为
，函数
有意义，
则有
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
故答案为：
题型七：函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域）
21．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域.
【详解】因为
，
所以
，
故函数
的值域为
，
故选：
22．函数
的值域 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
【详解】函数
的对称轴为
，开口向下，
且
时，
；
时，
；
时，
，
则函数
的最小值为0，最大值为4，
所以
的值域为
.
故答案为：
.
23．求下列函数的值域：
(1)
，
；
(2)
；
(3)
；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的解析式以及x 的取值，即可求得答案；
（2）根据函数解析式结合根式的性质，即可得答案；
（3）利用二次函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）由于
，且
，则
．
所以函数的值域为
.
（2）函数
的定义域为
，由
，得
，
所以
的值域为
.
（3）函数
图象的对称轴为
，当
时，
，
所以函数的值域为
．
题型八：函数的值域（根式型函数的值域）
24．已知函数
，则函数
的值域为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数以及根式可得
，进而可得结果.
【详解】令
，可得
，
所以函数
的定义域为
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
，则
，
所以函数
的值域为
.
故答案为：
.
25．已知
，若函数
的值域为
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数
值域包含
的
范围即可.
【详解】由函数
的值域为
，得函数
值域包含
，
则
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
26．求函数
的最值.
【答案】最大值
,无最小值
【分析】利用换元法转化为二次函数，求得答案.
【详解】可令
，即
，
，
可得
，
当
时，即
时，函数
取得最大值
,无最小值
题型九：函数的值域（分式型函数的值域）
27．函数
的值域是 ．
【答案】
【分析】分离常数后，即可求解.
【详解】因为
，所以
，
故所求值域为
．
故答案为：
.
28．求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对于“一次除一次型”分式函数的值域问题，通常可以选用变量分离法和反表示法；
（2）对于“二次除二次型”分式函数的值域问题，还可以转化为一元二次方程，用判别式法加以解决．
【详解】（1）解法1：
，因为
，所以
．
解法2：由于
，则
，故
．
（2）解法1：
，因为
，所以
，故
．
解法2：由于
，则
，因为
，所以
，解得
，即
．
29．求解下列问题：
(1)函数
在
上的最大值；
(2)
的值域；
(3)
的最小值；
(4)
的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可；
（2）利用基本不等式配凑，注意取等条件；
（3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节；
（4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果.
【详解】（1）
．
其图象可由反比例函数
的图象先向左平移2 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到，如图所
示．
当
时
，当
时
，所以
在
上的最大值是
．
（2）因为
，所以
，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故函数的值域为
．
（3）因为
，所以
，
令
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，则
，故函数在
上的最小值为
.
（4）
，
设
，则
，
即
，故所求函数的值域为
．
题型十：函数的三种表示法的应用
30．如图所示的容器中装有燃料，假设燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于
时间的函数的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据容器特征可分析燃料燃烧时剩余燃料高度的变化规律，根据所给图象的变化情况可得高度变
化的规律.
【详解】图中容器中间细，上下渐粗，且上长下短。燃料燃烧时以均匀的速度消耗，但燃料高度下降不是
匀速变化，所以C、D 错误.
因为容器上半部分先粗后细，所以开始燃烧后，剩余燃料高度下降得越来越快，当燃料液面到达容器最细
处时，剩余燃料高度下降速度达到最快，然后又因为容器逐渐变粗，且高度较上部短，所以燃料高度下降
速度又越来越慢，且高度变化到零用时较上部短.A 选项图象随时间的增大而减小的速度先由慢到快，再
由快到慢，且第二段用时较第一段短.所以A 选项较为合适．
B 选项显示的变化规律正好与A 选项变化规律相反.所以B 选项错误.
故选：A.
31．如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯
后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.
【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.
故选：D
32．已知函数
，
分别由下表给出
x
1
2
3
2
3
1
3
2
1
（1）则当
时，
．
（2）则
．
【答案】 1 3
【分析】根据函数
和
表格中的数据中的对应关系，即可求解.
【详解】根据函数
和
表格中的数据，可得：
由
和
，可得
，所以
；
又由
，所以
.
故答案为：；.
题型十一：待定系数法求函数的解析式
33．已知
是一次函数．且
．求函数
的解析式．
【答案】
【分析】设函数解析式为
，应用待定系数法计算求参即可求解.
【详解】设
，
由
，得
，
即
，所以
且
．
解得
或
，
当
时，
，故
，所以
，
当
是，
，无解，
综上，
．
34．已知二次函数
满足
，且
的图象经过点
.
(1)求
的解析式；
(2)若对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定
的
值，即得函数的解析式；
（2）等价转化原不等式为
在
上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数
的不等式，解之即得.
【详解】（1）设
，由
可得：
，
即得
，解得
，故得
，
又
的图象经过点
，则
，
故
；
（2）由
可得
，
依题意，对
，不等式
恒成立，
故
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
35．（1）已知
是一次函数，且
，求
的解析式；
（2）已知函数
，求
的解析式；
【答案】（1）
或
；（2）
【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设
，则
.
，解得
，或
，
或
.
（2）令
，则
，
，
即
.
题型十二：换元法求函数的解析式
36．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，得
，表示出
即可得到
的解析式．
【详解】令
，则
，
，
由
，
∴
，
∴
．
故选：B．
37．已知
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换元法令
，则
，将函数化成关于的函数，再将自变量改为
即得.
【详解】令
，则
，且
，
代入原式得
，
故
的解析式为
.
故选：C.
38．若函数
，则
．
【答案】
【分析】由换元法，即可求解.
【详解】利用换元法即可得到答案．
令
，则
，
，
∴函数
的解析式为
．
故答案为：
．
39．已知
，求
的解析式．
【答案】
【分析】先利用换元法求得函数的解析式
，进而求得
的解析式，注意定义域.
【详解】令
，则
，
，
因为
，则
，
所以
，
其中
，并令
，解得
，
所以
．
题型十三：配凑法求函数的解析式
40．若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】利用配凑法分析可得出函数
的解析式，需要注意定义域.
【分析】因为
，且
，
所以
．
故选：D.
41．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．7
【答案】B
【分析】利用配凑法求函数解析式，再代入求解即可.
【详解】由题意，得
，则
，故
.
故选：B.
42．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用给定的函数关系，利用配凑法求出解析式即可判断.
【详解】函数
，所以
.
故选：B.
题型十四：方程组（消去）法求函数的解析式
43．已知方程
（
且
），且
，则
的解为
．
【答案】
【分析】利用构造方程组的方法求得
，从而得
，即可得解.
【详解】∵
（
且
）………①，
易知①中的x 与
取值范围相同，
于是将①中的x 代
得
，
整理得：
（
且
）………②，
再将①中的x 代替
得
,
整理得
（
且
）………③
可消去
项得到：
则
（
且
），
由此
，解得
.
故答案为：
．
44．已知函数
满足
，求
的解析式．
【答案】
【分析】用
代替原方程中的
，构造方程，解方程组，再由换元法得解析式.
【详解】用
代替原方程中的
，得到
，
即
．
联立方程组
消去
，得
．
再用换元法，设
，则
，
∴
且
．
即
．
45．（1）已知
，求
；
（2）已知
，求
.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）
，换元即得函数的解析式；（2）由题得
，解方程组即得解析式.
【详解】（1）
，
所以
.
因为函数
的增区间为
，减区间为
，
所以
，
所以
（2）由题得
①，所以
②，
解①②得
.
【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
题型十五：求分段函数的值
46．设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用分段函数的性质代入求解即可.
【详解】因为
，所以
，
则
，故B 正确.
故选：B
47．已知函数
，则
=（ ）
A．
B．2
C．5
D．9
【答案】B
【分析】根据题中分段函数解析式运算求解即可.
【详解】因为
，
所以
.
故选：B.
48．已知函数
则
（ ）
A．1
B．6
C．8
D．9
【答案】D
【分析】根据分段函数的定义域代入求解.
【详解】因为已知函数
，
所以
，则
，
故选：D
题型十六：根据分段函数的值求参数
49．已知函数
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出
的等价条件为
或
，从而可判断两条件之间的条件关系.
【详解】当
时，由
得
，解得
.
当
时，由
得
，得
.
所以由
得
或
，
故“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A.
50．已知函数
，若
，则x 的可能取值为 .
【答案】1 或
【分析】根据分段函数，进行分类讨论即可.
【详解】当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
；
综上，
或
．
故答案为：1 或
．
51．设
，已知
，若
，则t 的取值范围为 .
【答案】
【分析】分段求解不等式即可；
【详解】当
时，
，解得：
，
所以
，
当
时，
，解得
，所以
，
综上t 的取值范围为
，
故答案为：
题型十七：分段函数的值域或最值问题
52．若函数
的最小值为
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
是函数
的最小值可得
，再由
求解即可.
【详解】当
时，
，因为
的最小值为
，
所以
在
单调递减，故
，且
，在
上恒成立.
又
，当且仅当
时等号成立，所以
，解得
.
综上，
的取值范围是
.
故选：A.
53．设
，若
是
的最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分段函数分段求其最小值，再根据
是
的最小值可得答案.
【详解】当
时，
，当且仅当
即
时等号成立，
当
时，
为单调递减函数，所以
，
若
是
的最小值，则
，
解得
.
故选：B.
54．已知函数
若
存在最小值，则实数
的最大值为 .
【答案】2
【分析】根据题意，分
，
以及
讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】当
时，
单调递减，当
时，
，
当
时，由
可得
，
由
可得
，此时函数取不到最小值，
当
时，由
可得
，
由
可得
，此时函数存在最小值，
当
时，若
存在最小值，则
，解得
，
综上所述，
，所以
的最大值为2.
故答案为：
题型十八：解分段不等式
55．已知函数
若当
时，
，则
的最大值是（ ）
A．4
B．3
C．7
D．5
【答案】C
【分析】画出
的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题.
【详解】根据题意，作出
的图象如下所示：
数形结合可知，要使
的值域为
，且
取得最大值，
则只需
，
即可，故
的最大值为
.
故选：C.
56．已知函数
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分
和
两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】由题意可得
或
，
解得
或
，
所以
的取值范围是
.
故选：D.
57．设函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出
，然后分类讨论求解不等式
的解集即可.
【详解】由题意可得：
，
当
时，
，解得
或
，所以
.
当
时，
，解得
，所以
.
综上所述：不等式
的解集为：
.
故选：A
58．设函数
则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】把不等式化为
这种形式，再利用函数单调性求解.
【详解】由函数解析式知
在
上单调递增，
且
，
则
，
由单调性知
，解得
.
故答案为：
