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第四章 指数函数与对数函数 尖子生培优卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知函数 ， ，设 为实数，若存在实数 ，使 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数 ， 有四个实数根 ， ， ， ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4． ，若存在互不相等的实数 ， ， ， 使得 ，
则下列结论中正确的为（ ）
① ；
② ，其中 为自然对数的底数；
③函数 恰有三个零点.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．若不等式 恒成立，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D． .
6．已知 ，设函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，若 ， ， ， 互不相等，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若函数 有三个不同的零点 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．C． D．
10．已知函数 ， ，若 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足 ，则a，b，c的大小关系可能
是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，则（ ）
A．对任意的 ，函数 都有零点.
B．当 时，对 ，都有 成立.
C．当 时，方程 有4个不同的实数根.
D．当 时，方程 有2个不同的实数根.
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是___________．
14．已知函数 对任意两个不相等的实数 ， ，都满足不等式
，则实数 的取值范围是________.15．设函数 ，若存在实数 ､ ，使 在 上的值域为 ，则实数 的取值
范围是___________.
16．已知函数 ，若对任意的 ，都存在唯一的 ，满足
，则实数 的取值范围是______．
四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，
药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小
时内，药物在白鼠血液内的浓度 （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式 （
，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度 （单位：毫克/升）与时间t
（单位：小时）满足关系式 现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和
口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使
用每种方式给药的浓度之和．
（1）若 ，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．
18．设非空实数集 中存在最大元素 和最小元素 ，记 .
（1）已知 ， ，且 ，求实数 .
（2）设 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出所有满足条
件的实数 ，若不存在说明理由.（3）设 ，函数 在区间 上值域记为 ，若对任意 ，函数都满足
，求 的取值范围.
19．对于定义在D上的函数 ，若对任意 ，不等式 对一切 恒成立，则称
函数 是“A控制函数”．
（1）当 ，判断 、 是否是“A控制函数"；
（2）当 ， ， ，若函数 是“A控制函数”，求正数m的取值
范围；
（3）当 ， ，D为整数集，若函数 是“A控制函数”且均为常值函数，求所有符
合条件的t的值．
20．已知函数 ．
（1）在 内，求 函数的值域；
（2）不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围；（3）若方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围．
21．已知二次函数 满足对任意 ，都有 ； ； 的图象与
轴的两个交点之间的距离为 .
（1）求 的解析式；
（2）记 ，
（i）若 为单调函数，求 的取值范围；
（ii）记 的最小值为 ，若方程 有两个不等的根，求 的取值范围.
22．如果函数 满足在集合 上的值域仍是集合 ，则把函数 称为 函数．例如： 就是
函数．
（1）下列函数：① ，② ，③ 中，哪些是 函数（只需写出判断结果）？
（2）判断函数 是否为 函数，并证明你的结论．
（3）证明：对于任意实数a，b，函数 都不是 函数．
（注：“ ”表示不超过x的最大整数）参考答案
1．C
【解析】当 时， 的值域为
当 时， 的值域为
所以 的值域记为
若存在实数 ，使 ，即 ，即 ,
解得 的取值范围为
故答案为：C
2．B
【解析】令 ， ，所以 为奇
函数，不等式 ，等价于 ，即 ，因为 为
奇函数，所以 ，因为 均为减函数，根据单调性的性质可知， 为减函数，
则 ，解得：
故选：B
3．A
【解析】由分段函数知： 时 且递减； 时 且递增；时， 且递减； 时， 且递增；
∴ 的图象如下： 有四个实数根 ， ， ， 且 ，
由图知： 时 有四个实数根，且 ，又 ，
由对数函数的性质： ，可得 ，
∴令 ，且 ，
由 在 上单增，可知 ，
所以
故选：A
4．D
【解析】解：函数 的图像如图：
，
即直线 与函数 图像有4个交点，故 ，①正确；，
不妨设 ，
则必有 ， ，
，则 ，且
，由对勾函数的性质可得函数 在 上单调递增，
，
，②正确；
函数 的零点个数，即为函数 与 的图像交点个数，如图
当 时，函数 与 的图像有3个交点，
当 时，研究 与 是否相切即可，
，令 ，则 ，则切点为 ，此时切线方程为 ，即 ，
所以 与 图像相切，此时函数 与 的图像有3个交点，
因为 ，故函数 与 的图像恒有3个交点，
即函数 恰有三个零点，③正确.
故选：D.
5．D
【解析】题设不等式化为 ，即 ，， ，
易知 是减函数， 时， ，
所以由不等式 上恒成立得 .
故选：D.
6．D
【解析】解：当 时，令 ，则 ，
因为 在 为增函数，
所以当该方程在 时无实数根时， ，解得 ，
①当 时， 时， 有一个解，
所以 时， 有一个解，
即二次函数 在 时有1个解，且设为 ，则 ，
而对称轴为 ，
由于 ，所以 ，即 在对称轴左侧，且二次函数开口向上，
所以当 时，函数 是递减的，
所以当 时， ，解得： ，
又因为 ，所以当 时有一个解，所以 成立；
②当 时， 在 时无解，
而 在 时有两个解，所以 时成立；③当 时， 在 时无解，
当 时， ，
所以方程 要在 时有两个解，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
设方程 的两个解分别为 ，则 ，
所以当 时， ，所以 ，所以 ，
综上得： 或 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：D.
7．C
【解析】由 图象知： 在 、 上是减函数，在 、 上是增函数，且 ，
.
， ， ， 互不相等，且 ，
不妨设 ，则 ，由 ，得 ，
，即 ，又 ，得 ，
，令 ，
由对勾函数的单调性可知： 在 上单调递增，
∴ ，
故选： .
8．A
【解析】由题设，当 时 ，
当 时 ，当且仅当 时等号成立，故 ，且 上递增，
上递减，
当 时 单调递增，且 ，
综上可得，如下函数图象：
∴要使 有三个不同的零点 ，则 ，
由图知： 有 ，当 时令 ，则 ，有 ， ，
∴ 且 ，而 在 上递减，∴ .
故选：A
9．AC
【解析】A选项： 成立，A选项正确；
B选项： ， ，B选项错误；
C选项：由 ，故 在 上单调递增，假设 ，则
，故
，即 ，C选项正确；
D选项：
，又 ，由基本不等式可知 ，且当
时 ，当 时 ，故当 时，原式 ，即
成立，当 时，原式 ，即 ，故D选项错
误；
故选：AC.
10．AC
【解析】解：对选项A：因为 ，所以 ，故选项A正确；对选项B：因为 ，所以 ，故选项B错误；
对选项C：由题意，因为 ，所以 在R上单调递增，
不妨设 ，则 ，所以 ，即
，故选项C正确；
对选项D：因为 ，且 ，所以由凹凸性有 ，
又 ，所以由凹凸性有 ，
所以有 ，
即 ，
即 ，故选项D错误；
故选：AC.
11．AB
【解析】由已知， ，
即 ．
则关于x的方程 有正实根，
所以 ．
因为 ，则 ，所以 ．
设 ，
则二次函数 的关于直线 对称，且 ，．
若 是 的一个较小零点，则 ，即 ；
若 是 的一个较大零点，则 ，即 .
故选：AB．
12．AC
【解析】当 时， ；当 时， ；
所以当 时，函数 只有 个零点，当 时，函数 只有 个零点，
时，函数 只有 个零点，故A正确；
当 时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数 为单调递增函数，故B错；
当 时，令 ，由 得 或 ，作出函数 的图象
如图所示，当 时，方程 有两个解； 方程 有两个解；
所以方程 有4个不同的实数根，故C正确；
当 时，方程 ，则 ，如图所示，有1个不同的交点，
则故D错误．
故选：AC
13． 或
【解析】解：由题知， 有解①当 时，即
化简得 有解
即
整理得： 无解
②当 时，即
化简得 解得
即
解得： 或者
③当 时，即
化简得： 有解
即
化简得： 无解
综上，实数 的取值范围为： 或
故答案为： 或 .
14．
【解析】由不等式 可知， 在 上单调递增，
又因为 在 上单调递减，
则 在 上单调递减，且 在 上恒成立，
所以 ，解得 ．故答案为：
15．
【解析】由题设， 为增函数且定义域为 ，要使 在 上的值域为 ，
∴ ，易知： ，
∴ 与 在 上有两个交点，即 在 上有两个根且
恒成立即 ，
∴对于 ，有 ，可得 ，
∴综上， .
故答案为：
16．
【解析】解：设函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，
因为对任意的 ，都存在唯一的 ，满足 ，
则 ，且 中若有元素与 中元素对应，则只有一个.
当 时， ，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
当 时，①当 时， ，此时 ，
，解得 ，
②当 时， ，
此时 在 上是减函数，取值范围是 ，
在 上是增函数，取值范围是 ，
，解得 ，
综合得 .
故答案为：
17．
（1）当 时血液中药物的浓度最高，最大值为6
（2）
18．
（1） .
（2）存在， .
（3） .
19．
（1） 是， 不是
（2）
（3）1,3,5
20．
（1）
（2）
（3）
解： ，由对勾函数的单调性可知，在 上， 单调递减，在上， 单调递增． 最小值为0， 最大值为 ，则函数的值域为 ．
（2）
解：设 ，不等式 可化为：
问题等价于 在 时恒成立；即： ＝ 在 时恒成立，
而此时 ，则 的最小值为0，所以 .
（3）
解：令 ，作出函数 的图象，如图，由图象知 时， 有两解，
时， 有一解．
方程 有三个不同的实数解
关于 的方程 有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于
1；
可化为：
化简得： ，
若方程有一根为1，则 ，此时方程为 ，方程有两个相等实根1，不合题意，因此它的
两根分别介于 和 ，只要 ，
∴ ．
21．（1） ；（2）（i） ；（ii） 或 .【解析】（1）设 由题意知：对称轴 ，
，又 ，则 ，
，
设 的两根为 ， ，则 ， ，
由已知： ，解得
.
（2）（i） ，其对称轴为
为单调函数，
或 ，解得 或 .
的取值范围是 .
（ii） ， ，对称轴 .
①当 ，即 时， 在区间 单调递增，
.
②当 ，即 时， 在区间 单调递减，
③当 ，即 时， ，
函数 零点即为方程 的根令 ，即 ，作出 的简图如图所示
①当 时， ， 或 ，解得 或 ，有 个零点；
②当 时， 有唯一解 ，解得 ，有 个零点；
③当 时， 有两个不同解 ， ，解得 或 ，
有4个零点；
④当 时， ， ，解得 ，有 个零点；
⑤当 时， 无解，无零点
综上：当 或 时，有 个零点.
22．（1）只有 是 函数；（2）函数 是 函数；证明见解析 ；（3） 证明见解析．
【解析】（1）解：只有 是 函数
（2）解：函数 是 函数．
证明如下：显然， ， ．
不妨设 ， ，由 ，可得 ，即 ，
因为 ，恒有 成立，所以一定存在 ，满足 ，所以设 ，
总存在 ，满足 ，所以函数 是 函数．
（3）证明：当 时，有 ，
所以函数 都不是 函数．
当 时，①若 ，有 ，所以函数 都不是 函数．
②若 ，得 ，所以 ，都有 ，
所以函数 都不是 函数．
③若 ，令 ，则 ，
所以一定存在正整数k，使得 ，所以 ， ，
使得 ，所以 ．
又因为当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以 ，都有 ，
所以函数 都不是 函数．
综上所述，对于任意实数a，b，函数 都不是 函数．
