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课时作业(三) 空间向量基本定理
[练基础]
1．下列说法正确的是( )
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
2．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间
的另一个基底的向量是( )
A．a B．b
C．c D．a或b
3．如图，在三棱柱ABC ABC 中，M为AC 的中点，若AB＝a，BC＝b， ＝
1 1 1 1 1 ⃗A A
1
c，则BM可表示为( )
A．－a－b＋c B．a＋b＋c
C．－a＋b＋c D．a－b＋c
4.
如图，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中
点，则OE可用向量a，b，c表示为( )
A．a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a＋b＋c D．a＋b＋c
5．(多选)若向量{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A．a＋b，a－b，a＋2b
B．a－b，a＋c，b＋c
C．a－b，c，a＋b＋c
D．a－2b，b＋c，a＋c－b6．在平行六面体ABCD ABC D 中，设AB＝a，AD＝b， ＝c，用a、b、c作为
1 1 1 1 ⃗A A
1
基底向量表示 ＝________．
⃗D B
1
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝x a＋y b＋c，若m与n平行，
则x＝______，y＝________．
8.
如图，在单位正方体ABCD ABC D 中，点E，F分别是棱BC ，CC 的中点．设AB
1 1 1 1 1 1 1
＝i，AD＝j， ＝k，试用向量i，j，k表示AE和AF.
⃗A A
1
[提能力]
9．如图，平行六面体 ABCD A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝
90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为( )
A． B．
C． D．
10．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD ABC D ，其中，以顶点A
1 1 1 1
为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A．AC ＝6
1
B．AC ⊥DB
1
C．向量 与 的夹角是60°
⃗B C ⃗A A
1 1
D．BD 与AC所成角的余弦值为
1
11．如图所示，三棱柱ABC ABC 中，M，N分别是AB和BC 上的点，且BM＝
1 1 1 1 1 13AM，C N＝2BN.设MN＝xAA＋yAB＋zAC(x，y，z∈R)，则x＋y＋z的值为________．
1 1 1 1
12．如图，在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为
AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[培优生]
13．在四面体O ABC中，G是底面△ABC的重心，且OG＝xOA＋yOB＋zOC，则
log |xyz|等于( )
3
A．－3 B．－1
C．1 D．3
