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第五章 三角函数 综合培优提升卷
一、单选题
1．已知函数 ，给出下列四个结论：①函数 的值域是 ；②函数
为奇函数；③函数 在区间 单调递减；④若对任意 ，都有
成立，则 的最小值为 ；其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，给出下列命题：
① ，都有 成立；
②存在常数 恒有 成立；
③ 的最大值为 ；
④ 在 上是增函数.
以上命题中正确的为（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①②④
3．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中
得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比 的近似值，黄金分割比还可以表示成 ，则
（ ）
A．4 B． C．2 D．
4．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其
大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积 （弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和
以圆弧的端点为端点的线段（简称 （弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田，其弦长 等于 ，其弧
所在圆为圆 ，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．对于函数 ，给出下列四个命题：
①该函数的值域为 ；
②当且仅当 时，该函数取得最大值；
③该函数是以 为最小正周期的周期函数；
④当且仅当 时， .
上述命题中正确命题的个数为
A． B． C． D．
6．若将函数 图象上的每一个点都向左平移 个单位长度，得到 的图象，则函数
的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 同时满足下列三个条件：① ；② 是奇函数；③
.若 在 上没有最小值，则实数 的取值范围是
A． B．C． D．
8．已知函数 .若存在 满足 ，且
，则 的最小值为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数 （其中 ）的图象关于点 成中心对称，且
与点 相邻的一个最低点为 ，则下列判断正确的是（ ）
A．函数 中
B．直线 是函数 图象的一条对称轴
C．点 是函数 的一个对称中心
D．函数 与 的图象的所有交点的横坐标之和为
10．如图，摩天轮的半径为 ，其中心 点距离地面的高度为 ，摩天轮按逆时针方向匀速转动，
且 转一圈，若摩天轮上点 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）
A．转动 后点 距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的C．第 和第 点 距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点 距离地面的高度不低于 的时间为
11．对于函数 ，下列四个结论正确的是（ ）
A． 是以 为周期的函数
B．当且仅当 时， 取得最小值-1
C． 图象的对称轴为直线
D．当且仅当 时，
12．已知 的最小正周期为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数 在 上为增函数
C．直线 是函数 图象的一条对称轴
D． 是函数 图象的一个对称中心
三、填空题
13．函数f(x)＝3sin 的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝ 对称；
②图象C关于点 对称；
③函数f(x)在区间 内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C．
14．已知函数 ， ，若 ， ， ，
则 的取值范围是__________.
15．现有下列命题：①存在 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③对于任意的 ，都有 ；
④ .
其中，假命题是___________.（选填序号）
16．已知函数 的最大值为 ，其相邻两个零点之间的距离为 ，
且 的图象关于直线 对称，则当 时，函数 的最小值为______.
四、解答题
17．已知函数
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上的最大最小值及相应的 值.
18．已知函数 .
（1）求满足 的实数 的取值集合；
（2）当 时，若函数 在 的最大值为 ，求
实数 的值.19．已知函数 .
(1) 求 的最小正周期和单调递增区间；
(2) 若关于 的方程 在 上有解,求实数 的取值范围.
20．若 的最小值为 .
（1）求 的表达式；
（2）求能使 的 值，并求当 取此值时， 的最大值.
21．设函数 ，其中 .已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平
移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.22．设函数 =Asin （A>0， >0， < ≤ ）在 处取得最大值2，其图象与x轴的相
邻两个交点的距离为 ．
（1）求 的解析式；
（2）求函数 的值域．
参考答案
1．C
【解析】由题意， ，所以 ，故①正确；
为偶函数，故②错误；当
时， ， 单调递减，故③正确；若对任意 ，都有
成立，则 为最小值点， 为最大值点，则 的最小值为
，故④正确.
故选：C.
2．D
【解析】① ，为奇函数，正确；
② ，为周期函数，正确；
③ ，令 ，则 ，令
，得 ，且 为最大值，错误；
④当 时， ，所以 在 上为增函数，正确.
故选：D.
3．D【解析】解：把 代入
故选：
4．D
【解析】解：由题意，作出示意图得
点 为弦 的中点，则 ，设 ，设该圆的半径为 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
由题意，“弦”指 ，“矢”指 ，
∵该弧田的面积为 ，
∴ ，
即 ，解得 ，或 （舍去），
∴ ，解得 ，
∴ ，∴ ，
故选：D．
5．A【解析】由题意可知 ，
对于命题③， ， ，则 ，
所以，函数 不是以 为周期的周期函数，命题③错误；
由于 ，
所以，函数 是以 为周期的周期函数.
作出函数 在区间 上的图象如下图（实线部分）所示：
由图象可知，该函数的值域为 ，命题①错误；
当 或 时，该函数取得最大值，命题②错误；
当且仅当 时， ，命题④正确.
故选：A.
6．B
【解析】将函数 图像上的每一个点都向左平移 个单位，
得到 的图像，
故本题即求 的减区间，令 ，
解得 ，故函数 的单调递增区间为 ，
故选：B.
7．A
【解析】 的周期 ，
， ，
，
是奇函数，
关于 对称，
，
解得： ，
，
，
即 ，
，
，
，
当 时， ，由图象可知若满足条件， ，
解得： .
故选：A
8．B
【解析】由正弦函数的值域，可知 ，
因为 ，所以等号不可能同时成立，
所以 ，
解得 ，又因为 ，所以 ，
故选B.
9．ACD
【解析】解：函数 （其中 ， ， 的图象关于点 成中心对称，
且与点 相邻的一个最低点为 ，
则 ，
，
进一步解得 ， ，故A正确．
由于函数 （其中 ， ， 的图象关于点 成中心对称，
，
解得 ，由于 ，
当 时， ．
．
对于B：当 时， ，故B不正确；
对于C：由 ， ，解得 ， ，
当 时，对称中心为： ，故C正确；
对于D：由于： ，
则： ，
函数 的图象与 有6个交点．
根据函数的交点设横坐标从左到右分别为 、 、 、 、 、 ，
由 ， ，解得 ， ，
所以 ， ， ，
所以
所以函数的图象的所有交点的横坐标之和为 ，故D正确．
正确的判断是ACD．故选：ACD．
10．AC
【解析】解： 摩天轮 转一圈，
在 内转过的角度为 ，
建立平面直角坐标系，如图，
设 是以 轴正半轴为始边， 表示点 的起始位置 为终边的角，
以 轴正半轴为始边， 为终边的角为 ，
即点 的纵坐标为 ，
又由题知， 点起始位置在最高点处，
点距地面高度 关于旋转时间 的函数关系式为：
即
当 时， ，故A正确；
若摩天轮转速减半， ，则其周期变为原来的2倍，故B错误；
第 点距安地面的高度为
第 点距离地面的高度为
第 和第 时 点距离地面的高度相同，故C正确；
摩天轮转动一圈， 点距离地面的高度不低于 ，
即 ，
即 ， ，
得 ，
或 ，
解得 或 ，共 ，故D错误．
故选：AC．
11．CD
【解析】解：函数 的最小正周期为 ，
画出 在一个周期内的图象，
可得当 ， 时，
，
当 ， 时，
，
可得 的对称轴方程为 ， ，
当 或 ， 时， 取得最小值 ；
当且仅当 时， ，
的最大值为 ，可得 ，
综上可得，正确的有 ．
故选： ．12．BD
【解析】 ，
，
，故A不正确；
当 时， 是函数 的单调递增区间，故B正确；
当 时， ， ，所以不是函数的对称轴，故C不正确；、
当 时， ， ，所以 是函数 的一个对称中心，故D正确.
故选：BD
13．②③
【解析】因为f(x)＝3sin
对于①：由 得： ，
所以f(x)＝3sin 的对称轴方程为： ，
令 ，解得： ，故①错误；
对于②：因为 ，所以图象C关于点 对称；故②正确；
对于③：令 ，
解得： ，
所以f(x)的递增区间为 ，
当k=0时， 是f(x)的一个递增区间，故③正确；
对于④：y＝3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到
，故④错误.
故答案为：②③
14．
【解析】解：记 在区间 上的最小值为 ， 在区间 的最大值为 ，由题意
可知 .
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
由 ，得 解之，得 或 ，
所以， 的取值范围是 .
故答案为： .
15．①④
【解析】①对任意 ， ，故错误；②取 ，则 ，
所以此时 成立，故正确；
③任意的 ， ，所以 ，故正确；
④取 ， ， ，故错误；
故答案为：①④.
16．
【解析】由题意可得 ，设函数 的最小正周期为 ，则 ，得 ，
，此时， .
因为函数 的图象关于直线 对称，则 ，
， ， ， ，则 .
， ，
因此，函数 在区间 上的最小值为 .
故答案为： .
17．(1) ；(2)当 时， ；当 时， ．
【解析】（1）
所以 的最小正周期是
（2）因为 ，
所以 ，所以
当 时，
当 时，
18．（1） ， （2） 或 .
【解析】（1） ，
由 ,得 ， .
（2） ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，由 得 ，
∴ .
①当 ，即 时， ，由 ，得
解得 或 （舍）
②当 ，即 时，在 处 ，由 得 .
因此 或 .
19．(1) ，单调递增区间为 .(2) .
【解析】(1)，
最小正周期 ，
函数的单调递增区间满足： ，
解得 的单调递增区间为 .
(2) ，所以 ，
，
所以 的值域为 .
而 ，所以 ，即 .
点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．
第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．
第三步：求出所求函数的值域(或最值)．
20．（1） ；（2） 的最大值为
【解析】（1）
若 ，即 ，则当 时， 有最小值， ；
若 ，即 ，则当 时， 有最小值，若 ，即 ，则当 时， 有最小值，
所以 ；
（2）若 ，由所求 的解析式知 或
由 或 （舍）；由 （舍）
此时 ，得 ，所以 时， ，此时 的最大值为 .
21．(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【解析】（Ⅰ）因为 ，
所以
由题设知 ，
所以 ， .
故 ， ，又 ，
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以 .
因为 ，
所以 ，
当 ，
即 时， 取得最小值 .
22．（1） =2 sin（2x+ ）；（2） （ ， ]
【解析】解：（1）由题意可得：f（x） ＝A＝2， ，
max
于是 ，
故f（x）＝2sin（2x+φ），
由f（x）在 处取得最大值2可得： （k∈Z），
又﹣π＜φ＜π，故 ，
因此f（x）的解析式为 ．
（2）由（1）可得： ，
故
， ，令t＝cos2x，可知0≤t≤1且 ，
即 ，
从而 ，
因此，函数g（x）的值域为 ．
