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2027 届高一年级 9 月月考数学试卷
2024.9.18
一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法表示出集合A，再利用补集、并集的定义求解即得.
【详解】依题意， ，而 ，则 ，又 ，
所以 .
故选：B
2. 已知全集 ，集合 或 ， ，那么阴影部分表示的集合为（
）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】阴影部分表示的集合为 ，根据补集定义求出 ，再根据交集定义即可求解.
【详解】因为全集 ，集合 或 ，
所以 ，
阴影部分表示的集合为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选： .
3. 已知命题 ，总有 ，则 为（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ，总有 D. ，总有
【答案】B
【解析】
【分析】直接写出命题的否定即可.
【详解】因为 ，总有 ，则 为 ，使得
故选:B
4. 若 ，则 的一个充分不必要条件为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】选项是 的充分不必要条件，则选项的范围是 的子集，以此判断选项是否满足条件.
【详解】依题意可知选项是 的充分不必要条件，则选项的范围是 的子集，
对于选项A， 不是 的子集，故A不满足；
对于选项B， 不是 的子集，故B不满足；
对于选项C， 不是 的子集，故C不满足；
对于选项D， 不是 的子集，故D满足.
故选：D
5. 设 且 ，则 的最大值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 400 B. 100
C. 40 D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】直接用基本不等式求解即可.
【详解】因为
所以
即
所以
当且仅当 且 ，即 时等号成立.
故选：A
6. 已知条件 ，条件 ，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得由 可以推出 ，但由 推不出 ，从而列式算出实数 的取值范围.
【详解】因为 是 的充分不必要条件，
所以由“ ”可推出“ ”，且由“ ”不能推出“ ”，
所以 ，可得 .
故选：C.
7. 下列命题中，p是q的充分条件的是（ ）
A. ， B. ， 且
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】
利用充分性的概念逐一判断即可.
【详解】解：A： ，故p是q的充分条件；
B： 且 ，故p不是q的充分条件；
C： 或 ，故p不是q的充分条件；
D：当 时，若 ，则不能推出 ，故p不是q的充分条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分性的判断，是基础题.
8. 若 ， ， ，则ab的取值范围是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式可得 ，以 为整体，解一元二次不等式即可.
【详解】因为 ， ，由基本不等式可得 ，
即 ，解得 或 （舍去），即 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故ab的取值范围是 ．
故选：D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得
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学科网（北京）股份有限公司0分.
9. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由不等式的性质逐个判断即可.
【详解】对于A，由 ，得 ，所以 ，所以 ，则A正确；
对于B，当 时， ，则B错误；
对于C，由 ，得 ，所以 ，则C正确；
对于D，当 时， ，此时 ，则D错误.
故选：AC
10. 下列说法正确的是（ ）．
A. 的一个必要条件是
B. 若集合 中只有一个元素，则
C. “ ”是“一元二次方程 有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合 ，则满足条件 的集合N的个数为4
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，举例 时 不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得 不是
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学科网（北京）股份有限公司的充分条件， 也不是 的必要条件；对于B，按 和 两种情况去探究方程
的解即可；对于C，先由一元二次方程 有一正一负根得 ，
该不等式组的解即为方程 有一正一负根的充要条件；对于D，先由 得
，再由 结合子集个数公式即可得解.
【详解】对于A，当 时满足 ，但 不成立，
所以 不是 的充分条件， 不是 的必要条件，故A错误；
对于B，当 时，方程 的解为 ，
此时集合 中只有一个元素，满足题意，
当 时， 为一元二次方程，
则由集合 中只有一个元素得 ，故 ，
所以符合题意的 有两个， 或 ，故B错误；
对于C，一元二次方程 有一正一负根，则 ，
所以“ ”是“一元二次方程 有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
又 ，故集合N的个数为 个，故D正确.
故选：CD.
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学科网（北京）股份有限公司11. 已知 为正实数， ，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值
C. 的最小值为2 D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】运用 可判断A项；由 结合基本不等式可判断B项；运用
可判断C项；由 ，结合二次函数在区间上的最小值可
判断D.
【详解】 ，当且仅当 时取“=”，故A正确；
，当且仅当 时取“=”，故B正确；
由 ，当且仅当 时取“=”，故C正确；
，
当且仅当 时取“=”，故D错误；
故选：ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 一元二次不等式 的解集为______________________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由 得 ，
所以 的解集为 .
故答案为： .
的
13. 已知 ， ，则 范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出 的范围，然后可求出答案.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
14. 设正实数 ， ， 满足 ，则当 取得最小值时， 的最大值为
__________．
【答案】4.
【解析】
【详解】分析：由题意结合均值不等式的结论即可求得最大值，注意等号成立的条件.
详解：由已知 得
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 ，即 时等号成立，则
， ，
当 时，取最大值 ．
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定
——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ．
（1）求 ；
（2）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义结合已知条件求解即可；
（2）由 ，得 ，从而可列出关于 的不等式，进而可求得结果.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ．
所以实数a的取值范围是 ．
16. （1）设a、b为实数，比较 与 的值的大小.
（2）已知 ，求 的取值范围；
（3）写出集合 的所有子集.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）利用作差法得到 ，即可比较.
（2）利用待定系数法求出 ，再由不等式性质得解即可；
（3）化简集合写出子集即可.
【详解】由 ，
又a、b为实数， ， ，则 ，
.
所以
（2）设 ，
故 ，解得 ，即 ，
因为 ， ，则 ，
则 ，即 ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）因为 ，
所以 的子集为： .
17. （1）求函数 的最大值；
（2）求函数 的最小值；
（3）已知 ， 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）9；（3）
【解析】
【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值；
（3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值；
【详解】（1）由 ，得 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以原函数的最大值为 .
（2）由 ，得 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以原函数的最小值为9.
（3）由 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ．
当且仅当 ，即 时取到最小值16．
若 恒成立，则 ．
18. 2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”
变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，
故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司
一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为 万元.一年
的总费用y（万元）包含运费与存储费用.
（1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围.
（2）要使总费用最小，求x的值.
【答案】（1）
（2）30
【解析】
【分析】（1）由题得购买货物的次数为 ，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用 y，再由
即可求解 的取值范围.
（2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出 最小时x的值.
【小问1详解】
因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，
所以购买货物的次数为 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司化简得 ，解得 ，
所以x的取值范围为 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，
因为 ，当且仅当 即 时等号成立，
所以当 时，一年的总费用最小，
故x的值为30.
19. 已知集合 为非空数集，对于集合 ，定义对 中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝
对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合 的1次自
相加集合”，再次进行 次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合 的 次自相加集合”，若集合 的任
意 次自相加集合都不相等，则称集合 为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“ 的1次自相减
集合”，集合 的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：
.
（1）已知有两个集合，集合 ，集合 ，判断集合 和集合 是否是
完美自相加集合并说明理由；
（2）对（1）中的集合 进行11次自相加操作后，求：集合 的11次自相加集合的元素个数；
（3）若 且 ，集合 ，求： 的最小值.
【答案】（1） 是完美自相加集合, 不是完美自相加集合，理由见解析
（2）2051 （3）675
【解析】
【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可；
（2）连续的的正整数，自相加后，形成的新的集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然
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学科网（北京）股份有限公司是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进
行十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，计算元素个数；
（ 2 ） 由 第 二 问 的 结 论 ， 我 们 很 容 易 得 到
然后利用集合计算公式计算参数范围即可.
【
小问1详解】
是完美自相加集合, 不是完美自相加集合理由如下：
集合 ,由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素为自相加
之前的集合中的最小两个元素之和，
所以显然集合 的最小两个元素为 ，所以 的最小元素为
对集合 进行任意次自相加操作后，最小值在变大，
故不可能有相等集合，
所以 是完美自相加集合；
集合 表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数，
所以 ，为所有偶数构成集合；
所以对 再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，
故后面集合不管进行多少次相加都是与 相同；
故 不是完美自相加集合
【小问2详解】
由自相加性质可知，对于集合 ，进行一次自相加，得到集合的最小值必然是原来集合的两个
最小元素值之和，
得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；
所以对集合 进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
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学科网（北京）股份有限公司进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
的
进行第七次自相加，得到 集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为 ，最大的两个元素为 ；
因为集合元素都是连续的整数，所以集合 进行11次自相加操作后的元素个数为 .
【小问3详解】
因为 且 ，集合
所以
要使
则 ，又因为
故 的最小值为 .
【点睛】此题为新概念题，只需理解概念，解决问题即可，不是特别理解的，可以多列举一些例子，可找
到规律.
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学科网（北京）股份有限公司
