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第三章 函数概念与性质单元检测
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.函数f(x)=❑√4-x2的定义域为( )
x-1
A.[-2,2] B.(-2,3) C.[-2,1)∪(1,2] D.(-2,1)∪(1,2)
2+x
2.函数y= 的值域是 ( )
4-3x
A.(-∞,+∞)
B.( 1)∪(1 )
-∞,- ,+∞
2 2
C.( 1)∪(1 )
-∞,- ,+∞
3 3
D.( 1)∪( 1 )
-∞,- - ,+∞
3 3
3.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如表:
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为54元,则此户居民本月用水量为 ( )
A.20 m3 B.18 m3 C.15 m3 D.14 m3
4.函数y=x4-2x2的大致图象是 ( )
5.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x,x∈(-∞,0),都有(x-x)[f(x)-f(x)]<0,f(-1)=0,
1 2 1 2 1 2
则不等式xf(x)<0的解集是 ( )
A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
6.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(-5)+f(5)= ( )
A.4 B.0 C.2m D.-m+4
a
7.若f(x)=-x2+2ax与g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是 ( )
x+1
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1) D.(0,1]
8.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f(1)=1,如果对于0f(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为( )
A.[-4,0) B.[-1,0)
C.(-∞,0] D.[-1,4]
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选
错的得0分)
9.下列函数与y=x2-2x+3的值域相同的是 ( )
A.y=4x( 1) B.y= 1 +2
x≥
2 |x|
C.y=x4+1 D.y=2x-
❑√x-1
x2
10.若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任
意x,x,当x≠x时,恒有 f (x )-f (x )<0,则称函数f(x)为理想函数.下列四个函数中,是理
1 2 1 2 1 2
x -x
1 2
想函数的有( )
1
A.f(x)=
x
B.f(x)=-x3
C.f(x)=|x|D.f(x)={-x2(x≥0)
x2(x<0)
ax+b
11.某校学习兴趣小组通过研究发现形如y= (ac≠0,b,d不同时为0)的函数图象可以通过
cx+d
x+2
反比例函数的图象通过平移变换而得到,则对于函数y= 的图象及性质,下列表述正确的(
x-1
)
A.图象上点的纵坐标不可能为1
B.图象关于点(1,1)成中心对称
C.图象与x轴无交点
D.函数在区间(1,+∞)上是减函数
12.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间
[a,b] D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则把y=f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是
( )
⊆
A.函数y=x2+1是闭函数
B.函数y=-x3是闭函数
x
C.函数y= 是闭函数
x+1
D.若函数y=k+ 是闭函数,则k∈( 9 ]
❑√x+2 - ,-2
4
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则f(1)的值为 .
2
14.已知偶函数f(x)的部分图象如图所示,且f(3)=0,则不等式f(x)<0的解集为 .
15.已知函数f(x)={-x2+kx,x≤1,若存在a,b∈R,且a≠b,使得f(a)=f(b)成立,则实数k的取
2x2,x>1,
值范围是 .
16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x2-2ax+a+2,其中a∈R.(1)当a=1时, f(-1)= ;
(2)若f(x)的值域是R,则a的取值范围为 .(本小题第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
{ x+5,x≤1,
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=
-2x+8,x>1.
(1)求f(2)及f(f(-1))的值;
(2)解关于x的不等式f(x)>4.
18.(本小题满分12分)根据所给条件,分别求下列函数的解析式:
(1)已知函数f(x+1)=x2-2x,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时, f(x)=-x2+2x-2,求函数f(x)的解析式.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+x.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)已知λ≤-1,若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
20.(本小题满分12分)随着科技的发展,智能手机已经开始逐步取代传统PC渗透在人们娱乐生
活的各个方面,我们的生活已经步入移动互联网时代.2020年,某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去,为了研究市场的反应,计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析,生产
此款手机全年需投入固定成本280万元,每生产x千部手机,需另投入成本C(x)万元,且C(x)=
{
10x2+200x,01时,求函数f(x)在[1,3]上的最大值.22.(本小题满分12分)设a,b∈R,若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,
则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)定
5x+3
义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)= .
x+1
(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的
x∈[0,2],总存在x∈[ 2 ]使得h(x)=g(x)成立,求实数m的取值范围.
1 2 - ,1 1 2
3参考答案
一、单项选择题
1.C 要使函数有意义,须满足{4-x2≥0,解得-2≤x≤2,且x≠1,
x-1≠0,
故函数f(x)的定义域为[-2,1)∪(1,2].故选C.
1 10
2+x - (4-3x)+ 1 10 1
2.D ∵y= = 3 3 =- + ,∴y≠- ,
4-3x 3 3(4-3x) 3
4-3x
∴该函数的值域为( 1)∪( 1 ).故选D.
-∞,- - ,+∞
3 3
3.C 设用水量为x m3,水费为y元,
(1)当0≤x≤12时,y=3x,令3x=54,可得x=18(舍去);
(2)当1218时,y=12×3+6×6+9(x-18)=9x-90,令9x-90=54,可得x=16(舍去).故选C.
4.B f(x)=x4-2x2的定义域为R,
f(-x)=(-x)4-2(-x)2=x4-2x2=f(x),
所以函数为偶函数,故排除C、D,
当x=1时, f(1)=1-2=-1,故选B.
5.D 由于对任意的x,x∈(-∞,0),都有(x-x)[f(x)-f(x)]<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上为
1 2 1 2 1 2
减函数,由于f(x)是R上的偶函数,故f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=f(-1)=0,由此画出
f(x)的大致图象如图所示:
由图可知,不等式xf(x)<0的解集是(-∞,-1)∪(0,1).故选D.
6.A 令g(x)=ax7-bx5+cx3,易知g(x)为奇函数,则f(x)=g(x)
+2,∴f(-5)=g(-5)+2=m,g(-5)=m-2,
∴g(5)=-g(-5)=-m+2,∴f(5)=g(5)+2=4-m,∴f(-5)+f(5)=4.
7.D 函数f(x)=-x2+2ax的图象开口朝下,且以直线x=a为对称轴,
若在区间[1,2]上是减函数,则a≤1,a a
g(x)= 的图象由y= 的图象向左平移一个单位长度得到,
x+1 x
若在区间[1,2]上是减函数,则a>0,
综上可得a的取值范围是(0,1].故选D.
8.B 令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=1,y=2,得f(1)=f(2)+f(1),即f(2)=-1;令
2 2
x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.由f(-x)+f(3-x)≥-2,可得f(x2-3x)≥f(4),又因为函数f(x)的定义
{ -x>0, { x<0,
域是(0,+∞),且对于0f(y),所以 即 解得-1≤x<0,即不
3-x>0, x<3,
x2-3x≤4, -1≤x≤4,
等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为[-1,0).
二、多项选择题
9.AC y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,∴该函数的值域是[2,+∞).
y=4x( 1)的值域是[2,+∞);y= 1 +2的值域是(2,+∞);y=x4+1=x2+ 1 ≥2,该函数的值域为
x≥
2 |x| x2 x2
[2,+∞);对于y=2x-❑√x-1,设❑√x-1=t(t≥0),则x=t2+1,
∴y=2t2-t+2=2( 1) 2+15≥15,∴该函数的值域为[15 ).故选AC.
t- ,+∞
4 8 8 8
1
10.BD 由题中①知, f(x)为奇函数,由②知, f(x)为减函数.在A中,函数f(x)= 为定义域上
x
的奇函数,但不是定义域上的减函数,所以不是理想函数;在B中,函数f(x)=-x3为定义域上的奇
函数,且在定义域上为减函数,所以是理想函数;在C中,函数f(x)=|x|为定义域上的偶函数,且
在定义域上不单调,所以不是理想函数;在D中,函数f(x)={-x2(x≥0),的大致图象如图所示,
x2(x<0)
显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,所以是理想函数.故选BD.x+2 x-1+3 3 x+2 3
11.ABD y= = =1+ ,则函数y= 的图象可由y= 的图象先向右平移一个单位长
x-1 x-1 x-1 x-1 x
度,再向上平移一个单位长度得到,∴图象上点的纵坐标不可能为1,图象关于点(1,1)成中心对
称,图象与x轴交点为(-2,0),函数y在区间(1,+∞)上是减函数,故选ABD.
12.BD 因为y=x2+1在定义域R上不是单调函数,所以函数y=x2+1不是闭函数,A错误.y=-x3在
{b=-a3,
定义域上是减函数,若y=-x3是闭函数,则存在区间[a,b],使得函数的值域为[a,b],即
a=-b3,
b>a,
{a=-1, x 1
解得 因此存在区间[-1,1],使y=-x3在[-1,1]上的值域为[-1,1],B正确.y= =1-
b=1. x+1 x+1
在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增,函数在定义域上不单调,从而该函数不是闭函
数,C错误.y=k+❑√x+2在定义域[-2,+∞)上单调递增,若y=k+❑√x+2是闭函数,则存在区间[a,b],
使函数的值域为[a,b],即{a=k+❑√a+2,所以a,b为方程x=k+ 的两个实数根,即方程
❑√x+2
b=k+❑√b+2,
Δ>0,
{
g(x)=x2-(2k+1)x+k2-2=0(x≥-2,x≥k)有两个不等的实数根.当k≤-2时,有 g(-2)≥0,解得-9
2k+1 4
>-2,
2
Δ>0,
{
-2时,有 g(k)≥0,此不等式组无解.综上所述,k∈( 9 ],D正确.故选BD.
- ,-2
2k+1 4
>k,
2
三、填空题
❑√2
13.答案
2
解析 设f(x)=xα,则2=4α=22α,
1
∴2α=1,解得α= .
2因此, f(x)= 1,
x2
从而f(1)=(1) 1=❑√2.
2
2 2 2
14.答案 (-3,3)
解析 由题中函数f(x)在[0,+∞)上的图象可知,在区间[0,3)上, f(x)<0,在区间[3,+∞)上,
f(x)≥0,
又f(x)为偶函数,所以在区间(-3,0]上, f(x)<0,在区间(-∞,-3]上, f(x)≥0.
综上可得,不等式f(x)<0的解集为(-3,3).
15.答案 k<2或k>3
解析 依题意,在定义域内, f(x)不是单调函数.
易知f(x)=2x2,x>1为增函数,且x=1时,2x2=2.
k
则 <1或-1+k>2,
2
解得k<2或k>3.
16.答案 (1)-2 (2)(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析 (1)∵a=1,∴当x>0时, f(x)=x2-2x+3.又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-1)=-
f(1)=-(1-2+3)=-2.
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0,当x>0时,函数f(x)的图象的对称轴方程
为x=a,
若f(x)的值域是R,
则当x>0时,f(x)=x2-2ax+a+2必须满足:
{ a>0, 或{ a≤0,
Δ=4a2-4(a+2)≥0 f (0)=a+2≤0,
解得a≥2或a≤-2,即a的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
四、解答题
17.解析 (1)f(2)=-2×2+8=4; (2分)
f(f(-1))=f(-1+5)=f(4)=-2×4+8=0. (4分)
(2)当x≤1时, f(x)=x+5,若f(x)>4,则x+5>4,解得x>-1,则-11时,f(x)=-2x+8,若f(x)>4,则-2x+8>4,解得x<2,则10,则-x<0, (8分)
f(-x)=-(-x)2+2(-x)-2=-x2-2x-2=-f(x), (10分)
∴x>0时, f(x)=x2+2x+2, (11分)
{
x2+2x+2,x>0,
∴f(x)= (12分)
0,x=0,
-x2+2x-2,x<0.
19.解析 (1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x,y)关于原点的对称点为P(x,y),
0 0
x +x
{ 0 =0,
则 2 即{x 0 =-x, (3分)
y + y y =- y,
0 =0, 0
2
∵点Q(x,y)在y=f(x)的图象上,
0 0
∴-y=(-x)2+(-x),即y=-x2+x,
故g(x)=-x2+x.(6分)
(2)由(1)知h(x)=-(1+λ)x2+(1-λ)x+1,
当λ=-1时,h(x)=2x+1满足条件; (8分)
1-λ 1-λ
当λ<-1时,h(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x= ,则 ≤-1,解
2(1+λ) 2(1+λ)
得-3≤λ<-1. (11分)
综上,实数λ的取值范围为-3≤λ≤-1.(12分)
20.解析 (1)当08 720,
所以2020年产量为100千部时,企业所获利润最大,最大利润是8 970万元. (12分)
21.解析 (1)当a=2时, f(x)=-x|x-2|+1={ x2-2x+1(x<2),
-x2+2x+1(x≥2),
所以g(x)=f(x)-x={x2-3x+1(x<2),
(2分)
-x2+x+1(x≥2).
当x<2时,g(x)=x2-3x+1,其图象开口向上,对称轴方程为x=3,所以g(x)在( 3]上单调递减,
-∞,
2 2
在(3 )上单调递增; (4分)
,2
2
1
当x≥2时,g(x)=-x2+x+1,其图象开口向下,对称轴方程为x= ,所以g(x)在[2,+∞)上单调递减.
2
综上可知,g(x)的单调递减区间为( 3]和[2,+∞),单调递增区间为(3 ). (6分)
-∞, ,2
2 2
(2)由题知,f(x)={-x2+ax+1(x≥a),作出大致图象如图:
x2-ax+1(x3时, f(x)在[ a]上单调递减,在(a ]上单调递增,
1, ,3
2 2
又(a )-( a)=a-4,所以,
-1 3-
2 2
若3
