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课时作业(十) 用空间向量研究夹角问题
[练基础]
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面夹角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l
与α所成的角为( )
A． B．
C． D．
3.
如图，在正方体ABCD ABC D 中，点E是上底面ABC D 的中心，则异面直线AE
1 1 1 1 1 1 1 1
与BD 所成角的余弦值为( )
1
A． B．
C． D．
4．正方体ABCD ABC D 中，BB 与平面ACD 所成角的余弦值为( )
1 1 1 1 1 1
A． B．
C． D．
5．(多选)若直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为
真命题的是( )
A．若a⊥n，则直线a∥平面α
B．若a∥n，则直线a⊥平面α
C．若cos 〈a，n〉＝，则直线a与平面α所成角的大小为
D．若cos 〈m，n〉＝，则平面α，β的夹角为6.
如图，在正方体ABCD ABC D 中，M是C C的中点，O是底面ABCD的中心，P是
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AB 上的任意点，则直线BM与OP夹角的大小为________．
1 1
7．已知二面角α l β为锐角，平面α的法向量为n ＝(，0，－1)，平面β的法向量
1
为n＝(－，1，)，则cos 〈n，n〉＝________，二面角α l β的大小为________．
2 1 28．如图，三棱锥PABC中，底面△ABC为直角三角形，AB＝BC＝2，D为AC的中点，
PD＝DB，PD⊥DB，PB⊥CD.
(1)求证：PD⊥平面BCD；
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值．
[提能力]
9．在长方体ABCD ABC D 中，AB＝AD＝2，AA ＝1，O是AC的中点，点P在线
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段AC 上，若直线OP与平面ACD 所成的角为θ，则cos θ的取值范围是( )
1 1 1
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
10．(多选)如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，点E
为PA的中点，AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝，则( )
A．BE·CP＝3
B．异面直线BE与CD所成角的余弦值为
C．点B到平面PCD的距离为
D．BC与平面PCD所成的角为
11.
如图，在正方体ABCD ABC D 中，E，F分别为棱BB ，C D 的中点，则异面直线
1 1 1 1 1 1 1
EF与BD 所成角的余弦值为________；直线AE与平面ABC所成角的正弦值为________．
1 1
12．如图，在三棱柱 ABC ABC 中，侧面ACC A 为矩形，且侧面 ACC A⊥侧面
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ABBA，AB＝AC＝2，AA＝BC＝2.
1 1 1 1(1)证明：AB⊥平面ABC；
1 1 1
(2)若点D为棱BC 的中点，求平面ABC与平面AAD所成的锐二面角的余弦值．
1 1 1 1
[培优生]
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，将△ABD沿BD所在的直线进行翻折，
得到空间四边形ABCD.
1
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得AC⊥BD；
1
②在翻折过程中，三棱锥ABCD的体积不大于；
1
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线AD与BC所成角为45°.
1
其中所有正确结论的序号是________．
