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第五章 三角函数 尖子生必刷卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．设函数 ，在区间 上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，现给出如下结论：① 是奇函数；② 是周期函数；③ 在区
间 上有三个零点；④ 的最大值为 .其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
3．已知函数 在区间 上单调递增，且 在区间 上有且仅有一个
解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在 中，已知 ，其中 （其中 ），若
为定值，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．6．若不等式 ．对x∈ 恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 的图象关于点 及直线 对称，且 在
不存在最值，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，若 在区间 上单调时， 的取值集合为 ，对
不等式 恒成立时， 的取值集合为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．点 是 的对称中心
B．直线 是 的对称轴
C． 在区间 上单调减D． 的图象向右平移 个单位得 的图象
10．如图，已知函数 （其中 ， ， ）的图象与 轴交于点 ，与
轴交于点 ， ， ， .则下列说法正确的有（ ）
A． 的最小正周期为12 B．
C． 的最大值为 D． 在区间 上单调递增
11．已知函数 （其中， ， ）， ， 恒成立，且
在区间 上单调，则下列说法正确的是（ ）
A．存在 ，使得 是偶函数 B．
C． 是奇数 D． 的最大值为3
12．已知集合 ，若对于 ，使得 成立则称集
合 是“互垂点集”．给出下列四个集合
．其中是“互
垂点集”集合的为（ ）
A． B． C． D．三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数 对任意 都有 ，若
在 上的取值范围是 ，则实数 的取值范围是__________．
14．已知函数 ，若 在区间 内没有零点，则 的取
值范围是_____．
15．已知函数 ， 既有最小值也有最大值，则实数 的取值范围是_______.
16．已知 是定义域为 的单调函数，且对任意实数 ，都有 ，则
______.
四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数 ， ．
(1)若 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个单位，得到的图象在 上单
调递增 ，求 的最大值；
(2)若函数 在 内恰有3个零点，求 的取值范围．
18．已知函数 ．（1）当 时，求函数 的最大值与最小值；
（2）求 的取值范围，使 在区间 上是单调函数．
19．已知函数 在 内取得一个最大值和一个最小值,且当
时, 有最大值3,当 时, 有最小值
(1)求函数 的解析式;
(2)是否存在实数m满足 若存在,求出实数m的取值范围;
若不存在,说明理由．
20．函数 在 内只取到一个最大值和一个最小值，且当
时， ；当 时， .
（1）求函数的解析式.
（2）求函数的单调递增区间.
（3）是否存在实数 ，满足不等式 ？若存在，求出
的范围（或值）；若不存在，请说明理由.
21．设函数 为偶函数.（1） 求 的值；
（2）若 的最小值为 ，求 的最大值及此时 的取值；
（3）在（2）的条件下，设函数 ，其中 .已知 在 处取
得最小值并且点 是其图象的一个对称中心，试求 的最小值.
22．已知函数 .
（1）证明函数 在 上为减函数；
（2）求函数 的定义域，并求其奇偶性；
（3）若存在 ，使得不等式 能成立，试求实数a的取值范围.参考答案
1．A
【解析】解：函数 ，在区间 上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的
零点，
即 在区间 上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．
， ，
当 ，则 ，求得 ；
当 ， ，方程 在区间 上有1个根，不满足题意；
当 ， ，求得 ；
当 ，则 ，方程 在区间 上有3个不同的根，满足条件，此时， ，
当 ， ，方程 在区间 上有5个不同的根，不满足题意；
当 时，方程 在区间 上至少有5个不同的根，不满足题意．
综上，可得 ，
故选：A．
2．A【解析】对于①中，函数 的定义域为 关于原点对称，
由 ，
所以 是奇函数，所以①正确.
对于②中，假设存在周期 ，则 ，
，
所以 ①，
存在 ，使得 ，而 ，
， ，
由于 ，故 ，
所以
所以 ， ，
可得 ， ， ，所以 ，矛盾，
所以函数 ，没有周期，所以②错误.
对于③中，函数 ，
函数的零点为方程 ，可得 或 ，
即 ，所以 在区间 上有三个零点，故③正确.
对于④中，函数 ，
若 ，则 ， ，
若 ，则 ， ，
所以 ， 和 ， 两者不会同时成立，
即 和 不可能同时成立，故 的最大值不是 ，所以④错误；
则四个命题中正确的为①③；
故选：A.3．D
【解析】令 ，解得 ， ，
而函数 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，
当 时， ，
因为 在区间 上有且仅有一个解，
所以 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
故选：D.
4．A
【解析】由 ，可得 ， ，
因为 ，得 ，
即 ，
又由
（定值），即 ，
即 恒成立，
可得 ，解得 ， .
故选：A．
5．A
【解析】 且 ， ， .
又 ， ， .
当 时，
，
， ， 不合题意，舍去；
当 ，同理可求得 ，符合题意.
综上所述： .
故选： .
6．D
【解析】由 ，则 ，
当 或 时，即 或 时， ，
当 时，即 时， ，所以当 或 时， ，
当 时， ，
设函数 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
且函数 的图象关于直线 对称，所以 ，
所以 ，解得 ，
又由 ，解得 ，
所以 ， .
故选：D.
7．C
【解析】函数 的图象关于点 及直线 对称.
则 .
在 不存在最值，则 ，故 时满足条件， ， .
，则 .
当 时满足条件，故 .
故选： .
8．A
【解析】
，可知函数周期 ，由题可知函数在区间 上单调，故该区间长度需
小于等于半个周期，及 ，∴ ，对于不等式 ， ；设 ， ， ；
∴不等式等价于 恒成立，及 ，
对于 ， ，
∴ ，及集合 ，
∴ ，
“ ”是“ ”的充分非必要条件，
故选：A
9．CD
【解析】由图知： 且 ，则 ，
∴ ，可得 ，
又 过 ，
∴ ，得 ，又 ，
∴当 时， .
综上， .
A： 代入得： ，故错误；
B： 代入得： ，故错误；
C：由 ，故在 上 单调递减，则 上递减，
而 ，故正确；
D： ，故正确；
故选：CD10．ACD
【解析】由题意可得： ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，把 代入上式可得： ，
.解得 ， ，可得周期 ， ， ，解得 .可知： 不对，
， ，解得 ， 函数 ，可知 正确.
时， ，可得：函数 在 单调递增.
综上可得：ACD正确.
故选：ACD
11．BCD
【解析】 ， ，则 ， ，
故 ， ， ，
，则 ，故 ， ， ，
当 时， ， ，
在区间 上单调，故 ，故 ，即 ，
，故 ，故 ，
综上所述： 或 ，故CD正确；
或 ，故 或 ， ， 不可能为偶函数，A错误；当 时， ， ，故 ；
当 时， ，
，故 ，
综上所述： ，B正确；
故选：BCD.
12．BD
【解析】由题意，对于 ， ， ， ，使得 成立
即对于任意点 ， ，在 中存在另一个点 ，使得 ．
中，当 点坐标为 时，不存在对应的点 ．
所以所以 不是“互垂点集”集合，
的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以在 中的任意点 ， ，在 中存在另一个点 ，使得 ．
所以 是“互垂点集”集合，
中，当 点坐标为 时，不存在对应的点 ．
所以 不是“互垂点集”集合，
的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以所以 是“互垂点集”集合，
故选：BD．
13．【解析】解： ，其中 ，
因为函数 对任意 ， 都有 ，
所以 的最大值为 ，所以 ，即 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
若 在 ， 上的值域为 ，
所以
结合正弦函数的性质可知， ，
解得 ，
即实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
14．
【解析】
．
由 ，可得 ，解得 ， ．
因为 在区间 内没有零点，
所以 ，且 ，
即 且 ，
因为 ，
分别取 ，1,2,3 ，，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ．
15． 或
【解析】解: 令 .则由 可得
则 .要使其既有最小值又有最大值
若最大值为 则 ,解得
若最大值为 ,则 ,解得 .综上所述: 或 .
故答案为: 或 .
16．
【解析】对任意实数 ,都有
令
则
因为 是定义域为 的单调函数
所当 时,函数值唯一,即代入
可得 ,即
化简可得 ,经检验可知 为方程的解而 为单调递减函数, 为单调递增函数
所以两个函数只有一个交点,即 只有一个根为
所以
而
所以
故答案为:
17．(1)5π/6 ；(2)（2,3√2/2）．
【解析】(1) 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个单位得到函数
，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为得到的图象在 上单调递增，所以 ，解 ，
所以 的最大值为 .
(2) ，
令 ，因为 ，所以 ， ，
所以 ， ，
令 ，显然 不是其方程的解，所以得 ， ，
画出函数 和函数 的图象，如下图，
则当 时，对应的 ，而当 时，对应的 只有一个解，不满足题意；
当 时，此时没有 的值对应，所以此时无解，不满足题意；
当 时，对应的 ，而当 时，对应的 有两个解，不满足题意；
当 时，对应的 ， ，而此时对应的 只有两个解，不满足题意；
当 时，令 ，得 或 ，此时对应的 ， ，而当对应
的 时，对应一个 的值，而当 时对应两个 的值，所以此时有三个解，满足题意；
当 时，对应的 ，而此时 对应的 只有一个解，不满足题意；
故 的取值范围为 .18．（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
，当 时， 取最小值为 ，
当 时， 取最大值为 ；
（2） 的图像的对称轴为 ，
要使 在区间 上单调，
那么 ，或 ，即 或 ，
又 ，所以 .
19．（1） ；（2） .
【解析】(1)由题意可知: ,
,
,
则 ,
,
因为点 在此函数图象上,
,,
;
(2) ,ϕ ,
ϕ ,
ϕ ,
而 在 上是增函数
,
,
且 且 ,,解得:
的取值范围是 ,
解得:
的取值范围是
20．（1） ；（2） .（3）存在，
【解析】（1）由题意，可得 ， ，所以 ，
所以 ，所以 .
由点 在函数图象上，得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）当 时，
即 时，函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为 .
（3）由题意，实数 满足 ，解得 .
因为 ，所以 ，同理 ，
由（2）知函数在 上单调递增，若 ，
只需 ，即 成立即可，
所以存在 ，使 成立.
21．（1） ；（2）最大值为 ， 此时 的取值为 ；（3）
【解析】（1）因为 ， 是偶函数，
所以 对一切 恒成立，
所以 .
（2）由（1）知 ，
因为其最小值为 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取得最大值 ， 此时 ；
（3）由（2）知： ，
，
，
因为 在 处取最小值，且点 是其图象的一个对称中心,
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，则 ，即 ，
又因为 ，
所以 ， ，
当 时， ，
， 在 处取得最大值，不符合题意；
当 时， ，
， 在 取不到最小值，，不符合题意；
当 时， ，
， 在 处取得最小值，
， 的图象关于点 中心对称，
所以 的最小值为 .
22．（1）证明见解析；（2） ，奇函数；（3） .
【解析】（1） ， ， ，
又 ，
因为 ， ， ，故 ， ， ，
故 即 ，所以函数 在 上为减函数.（2） 的 满足的不等关系有： 即 ，
故 ，解得 ，
故函数的定义域为 ， ，该定义域关于原点对称.
令
又
，
故 为奇函数.
（3）令 ，因为 ，故 .
故在 上不等式 能成立即为
存在 ，使得 ，所以 在 上能成立，
令 ，则 且 ，
由基本不等式有 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 ，所以a的取值范围为 .
