7.6 实系数一元二次方程的解法
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：实系数一元二次方程....................................................... 2
考点二：求解复数集上的方程的方法...............................................2
考点三：实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）...............2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：解实系数一元二次方程.................................................... 3
模块三：综合巩固.........................................................................3
7.6 实系数一元二次方程的解法
模块一：基础知识
考点一：实系数一元二次方程
实系数一元二次方程
2
0( , ,
,
0)
ax
bx
c
a b c
a
R
中的
2
4
b
ac
为根的判别式，那么
（1）
0
方程有两个不相等的实根
2
4
2
b
b
ac
a
；
（2）
0
方程有两个相等的实根
2
b
a
；
（3）
0
方程有两个共轭虚根
2
4
2
b
ac
b i
a
，
考点二：求解复数集上的方程的方法
①设
( ,
)
z
x
yi x y
R 化归为实数方程来解决．
②把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．
③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
考点三：实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
（1）当
2
4
0
b
ac
时，方程的两个实根满足韦达定理
1
2
b
x
x
a
，
1
2
c
x x
a
。
（2）当
2
4
0
b
ac
时，方程的两个共轭虚数根
1x 、
2x ，则
1
2
1
1
1
2Re
b
x
x
x
x
x
a
，
2
2
2
2
1
2
1
1
1
4
2
2
b
ac
b
c
x x
x
x
x
a
a
a
。
综上所述，无论方程的判别式
2
4
b
ac
的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的
情况，即实系数一元二次方程
2
0
ax
bx
c
（a 、b 、c
R
且
0
a
）的两个根与系数满足关系
1
2
2
b
x
x
a
，
1
2 c
x x
a
模块二：题型分类
题型一：解实系数一元二次方程
1.已知复数z 满足方程
2
4
5
0
z
z
，则z
．
【答案】
5
【分析】先解方程求出z ，再计算z 即可.
【详解】由题意知：
4
16
20
2
i
2
z
，故
2
2
2
1
5
z
.
故答案为：
5 .
2.若1
i
是实系数方程
2
0
x
ax
b
的一个根，则另一个根是
，
a
，
b
.
【答案】1 i
2
2
【分析】实系数方程已知一根求解另一个根与参数，第一步将已知的根代入方程，复数等于0，实部虚部
等于0 即可解出参数.
【详解】将一根1
i
代入方程
2
0
x
ax
b
，
2
1
i
1
i
0, 2
i
0
a
b
a
a
b
，
2
0 ,
2,
2
0
a
a
b
a
b
得方程
2
2
2
0
x
x
，由根与系数的关系得两根之和为
2
1
，所以两一根为1 i
.
故答案为：1 i
；-2；2.
模块三：综合巩固
1.若复数z 满足方程
2
1
0
z
（i 是虚数单位），则z （
）
A．1
B．i
C．i
D．i
【答案】C
【分析】根据题意结合虚数单位的概念运算求解
【详解】因为
2
1
0
z
，即
2
1
z ，所以
1
i
z .
故选：C.
2.已知p 、q为实数，2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，则p
q
（
）
A．14
B．38
C．34
D．14
【答案】B
【分析】分析可知关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的两个虚根分别为3
2i
、3
2i
，利用韦达定理可求得p 、
q的值，即可得解.
【详解】因为p 、q为实数，2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，
所以，关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的两个虚根分别为3
2i
、3
2i
，
由韦达定理可得
3
2i
3
2i
6
2
p
，可得
12
p
，
3
2i
3
2i
13
2
q
，解得
26
q
，故
12
26
38
p
q
.
故选：B.
3.若复数z 是
2
2
0
x
x
的根，则z （
）
A．1
B．
2
C．2
D．3
【答案】B
【分析】结合一元二次方程的求根公式及复数的模的运算公式即可求得结果.
【详解】∵
2
2
1
7
2
0
2
4
x
x
x
，
∴由求根公式得：
1
7i
2
x
，
即：
1
7i
2
z
，
∴当
1
7 i
2
2
z
时，
2
2
1
7
|
|
(
)
(
)
2
2
2
z
，
当
1
7 i
2
2
z
时，
2
2
1
7
|
|
(
)
(
)
2
2
2
z
.
综述：|
2
|z
.
故选：B.
4.若复数3
i
为方程
2
0
x
mx
n
（m，nR ）的一个根，则该方程的另一个根是（
）
A．3 i
B．3 i
C．i
3
D．i
3
【答案】B
【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可.
【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为3 i
.
故选：B．
5．（多选）若1
2i
是关于x 的方程
2
0
,
x
ax
b
a b
R 的一个复数根，则（
）
A．
2
a
B．
5
b
C．
i
a
b
的共轭复数的模为
29
D．
i
a
b
，
i
b
a
在复平面内对应的两点之间的距离为7 2
【答案】BCD
【分析】根据条件求出a 和b，再根据复数的有关定义逐项分析.
【详解】由题意得
2
1
2i
1
2i
3
2
4 i
0
a
b
a
b
a
，得
3
0
2
4
0
a
b
a
，
解得
2
5
a
b
，A 选项错误，B 选项正确；
i
2 5i
a
b
的共轭复数为2
5i
，模长为
29 ，C 选项正确；
i
a
b
，
i
b
a
在复平面内对应的两点之间的距离为
2
2
7 2
a b
b a
，D 选项正确；
故选：BCD.
6．（多选）已知复数范围内关于x 的方程
2
3
0
x
x
的两根为
1
2
,
x x ，则下列结论正确的是（
）
A．
2
1
3
x x
B．
1
2
1
x
x
C．
1
x 与
2
x 互为共轭复数
D．
1
2
11
x
x
【答案】CD
【分析】根据题意求解
1
2
,
x x ，结合复数的相关概念和运算逐项分析判断.
【详解】因为
2
3
0
x
x
，即
2
1
11
2
4
x
，解得
1
11i
2
2
x
，
不妨令
1
2
1
11
1
11
i,
i
2
2
2
2
x
x
，
对于选项A：
1
2
1
11
1
11
1
11
i
i
3
2
2
2
2
4
4
x x
，故A 错误；
对于选项B：
1
2
1
11
1
11
i
i
1
2
2
2
2
x
x
，故B 错误；
对于选项C：
1
x 与
2
x 互为共轭复数，故C 正确；
对于选项D：
1
2
1
11
1
11
i
i
11i
11
2
2
2
2
x
x
，故D 正确；
故选：CD.
7．设方程
2
18
3
0
x
x
的两根为
1x ,
2x ，则
1
2
1
1
x
x
．
【答案】6
【分析】根据韦达定理即可求得答案.
【详解】解：由题意得：
由韦达定理，得
1
2
18
x
x
，
1
2
3
x
x
故
1
2
1
2
1
2
+
1
1
+
=
=6
x
x
x
x
x x
故答案为：6
8．方程
2
6
25
0
x
x
在复数范围内的根为
．
【答案】3
4i
【分析】将已知方程配方，结合虚数单位的定义
2i
1
即可求解.
【详解】由方程
2
6
25
0
x
x
可得
2
3
16
x
，
即
2
2
3
4i
x
，
所以
3
4i
x
所以方程
2
6
25
0
x
x
的根为
3
4i
x
.
故答案为：3
4i
.
9．如果
,p q 都是实数，关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
有一个根2
3i
，则p
q
【答案】18
【分析】根据实系数方程根的特征可知2
3i
为方程另一根，利用韦达定理可构造方程组求得
,p q ，进而
求解.
【详解】因为2
3i
为关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，
所以2
3i
为关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，
所以
2
3i
2
3i
2
2
3i
2
3i
2
p
q
，解得
8
p
，
26
q
，
所以
8
26
18
p
q
.
故答案为：18
.
10．若
1
3i
x
是关于x 的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是
.
【答案】
2
2
4
0
x
x
【分析】得到
1
3i
x
为方程的另外一个根，利用根与系数的关系求出,b c 的值，进而求出答案.
【详解】设实系数一元二次方程为
2
0
x
bx
c
∵
1
3i
x
是关于x 的实系数一元二次方程
2
0
x
bx
c
的一个根，
∴
2
1
3i
x
为方程的另外一个根，
∴
2
1
3i
1
3i
1
3i
4
c
，
1
3i
1
3i
2
b
，
∴
4
c
，
2
b ，
∴该方程可以是
2
2
4
0
x
x
故答案为：
2
2
4
0
x
x
11．设常数
R
p
，已知关于x 的方程
2
2
0
x
px
.
(1)若
2
p
，求该方程的复数根；
(2)若方程的两个复数根为、，且
1
，求p 的值.
【答案】(1)
1 i
x
(2)
7, 3
【分析】（1）利用配方法计算可得；
（2）根据判别式的正负分类讨论后可得p 的值.
【详解】（1）若
2
p
，则
2
2
2
0
x
x
，即
2
(
1)
1
0
x
，
即
2
2
(
1)
1
i
x
，解得
1 i
x ；
（2）因为方程
2
2
0
x
px
的两个复数根为、，
所以
p
，
2
，
若
2
8
0
p
，即
2 2
p
或
2 2
p
则
2
2
4
8
1
p
，
故
3
p .
若
2
8
0
p
，设
i
a
b
，
,
R
a b
，则
i
a
b
，
所以
i
i
2
a
b
a
b
a
，
i
i
2 i
a
b
a
b
b
，
2
2
i
i
2
a
b
a
b
a
b
，
又因为
1
，所以2
1
b ，解得
1
2
b
，所以
7
2
a
，
所以
2
7
p
a
．
综上，
3,
7
p
12．已知关于x 的实系数一元二次方程
2
2
2
4
1
1
0
x
m
x
m
(1)若
2
m
，求方程的两个根；
(2)若方程有两虚根
1
2
,
z z ，
1
2
4
z
z
，求m 的值；
(3)若方程的两根为
1
2
,
x x ，其在复平面上所对应的点分别为
,
A B ，点A 关于y 轴的对称点为C（不同于点A ），
如果
1
OB OC
，求m 的取值范围.
【答案】(1)
1
2
6i
2
x
、
2
2
6i
2
x
(2) 7
(3)
, 1
1,
【分析】（1）利用求根公式计算可得；
（2）由Δ
0
求出m 的取值范围，依题意可得
1z 、
2z 互为共轭复数，则
1
2
z
，即可求出m 的值；
（3）分
0
和Δ
0
两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可.
【详解】（1）当
2
m
时方程为
2
2
4
5
0
x
x
，则
2
4
4
2 5
24
，
所以方程的根为
1
4
24i
2
6i
4
2
x
、
2
4
24i
2
6i
4
2
x
（2）因为方程有两虚根
1
2
,
z z ，所以
2
2
2
16
1
4 2
8
4
1
0
1
m
m
m
m
，
解得2
3
2
3
m
，
此时方程有两个共轭复根
1z 、
2z ，故
1
2
z
z ，又
1
2
4
z
z
，所以
1
2
z
，
所以
1
2
1
2
2
4
2
1
z
m
z z
，解得
7
m
或
7
m
（舍去）.
（3）若
0
，即
2
3
m
或
2
3
m
时，
此时
1
4
1
4
m
x
，
2
4
1
4
m
x
，
则
4
1
,0
4
m
A
，
4
1
,0
4
m
B
，
4
1
,0
4
m
C
，
显然
1
4
1
0
4
m
x
，
所以
4
1
,0
4
m
OB
，
4
1
,0
4
m
OC
则
2
4
1
4
1
16
1
4
4
16
m
m
m
OB OC
2
2
8
4
1
16
1
1
16
m
m
m
，
即
2
1
0
m
，解得m
1
或
1
m ，
所以
2
3
m
或
1
m ；
若Δ
0
，即2
3
2
3
m
时，
设
1
i
x
a
b
，
2
i
x
a
b
（,
R
a b
），
则
,
A a b ，
,
B a
b
，
,
C
a b
，
所以
,
OB
a
b
，
,
OC
a b
，
所以
2
2
1
OB OC
a
b
，即
2
2
1
a
b
，又
1
2
2
2
1
x
x
a
m
，
2
2
2
1
2
1
i
i
2
m
x
x
a
b
a
b
a
b
，
所以
2
1
1
2
m ，解得m
1
或
1
m ，所以1
2
3
m
；
综上可得m 的取值范围为
, 1
1,
.
