文档内容
专题 2.1 一元二次方程全章十一类必考点
【人教版】
【考点1 已知一元二次方程的解求代数式的值】.................................................................................................1
【考点2 利用根与系数的关系求代数式的值】.....................................................................................................4
【考点3 两个一元二次方程之间根的关系】.........................................................................................................8
【考点4 构造一元二次方程求解】........................................................................................................................13
【考点5 由根的判别式判断一元二次方程根的情况】.......................................................................................16
【考点6 利用配方法求值】....................................................................................................................................21
【考点7 一元二次方程的应用—传播与循环问题】...........................................................................................23
【考点8 一元二次方程的应用—增长率问题】...................................................................................................26
【考点9 一元二次方程的应用—图形面积问题】...............................................................................................28
【考点10 一元二次方程的应用—销售问题】.....................................................................................................35
【考点11 一元二次方程的应用—动点问题】......................................................................................................40
【考点1 已知一元二次方程的解求代数式的值】
1．（2024•雨花台区模拟）已知m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n为常数）的一个根，代数式2m2﹣6m+2024
的值是 ．
【分析】由方程的解的定义可求得m2﹣3m＝2024+n，代入所求代数式求值即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n为常数）的一个根，
∴m2﹣3m﹣2024＝n．
∴m2﹣3m＝2024+n．
∴2m2﹣6m+2024
＝2（m2﹣3m）+2024
＝2（2024+n）+2024
＝6072+2n．
故答案为：6072+2n．
2．（2024春•长兴县月考）若a是关于x的方程3x2﹣x+1＝0的一个根，则2022﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【分析】把x＝a代入3x2﹣x+1＝0，得3a2﹣a＝﹣1，然后把所求式子化为2022﹣2（3a2﹣a）代入计算即可作答．
【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x+1＝0的一个根，
∴3a2﹣a＝﹣1，
∴2022﹣6a2+2a＝2022﹣2（3a2﹣a）＝2022﹣2×（﹣1）＝2024，
故选：A．
1
3．（2023秋•玉山县期末）已知x＝a是一元二次方程x2−2x− =0的一个解，则代数式3a2﹣6a+3的值
3
为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．6
1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将
x＝a代入已知方程，即可求得a2−2a=
，然后将其代入
3
所求的代数式并求值即可．
1
【解答】解：∵x＝a是一元二次方程x2−2x− =0的一个解，
3
1
∴a2−2a=
，
3
1
∴3a2−6a+3=3(a2−2a)+3=3× +3=4，
3
故选：B．
1
4．（2024•顺庆区二模）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，则m2（m﹣3）+2m− +1的值为（
m
）
A．2 B．±❑√6 C．2❑√2 D．±2❑√2
【分析】先根据一元二次解的定义得到m2＝2m+1，然后利用降次的方法化简计算即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
即m2＝2m+1，
1
∴m2（m﹣3）+2m− +1
m
1
＝（2m+1）（m﹣3）+2m− +1
m
1
＝2m2﹣5m− +4
m1
＝2（2m+1）﹣3m− −2
m
1
＝m−
m
m2−1
=
m
2m+1−1
=
m
＝2．
故选：A．
5．（2023 秋•高阳县期末）如果 a 是一元二次方程 2x2＝6x﹣4 的根，则代数式 a2﹣3a+2024 的值为
（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【分析】根据一元二次方程的解的意义可得 2a2＝6a﹣4，从而可得a2﹣3a＝﹣2，然后代入式子中进行
计算，即可解答．
【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，
∴2a2＝6a﹣4，
∴2a2﹣6a＝﹣4，
∴a2﹣3a＝﹣2，
∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022，
故选：B．
2024
6．（2024•莘县二模）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则a2−2023a+ =
（ ）
a2+1
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】根据方程的解的定义得出 a2﹣2024a+1＝0，然后变形为 a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，
1
a+ =2024，代入要求的式子计算即可．
a
【解答】解：∵a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2024a+1＝0，
∴a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a≠0，
1
∴a−2024+ =0，
a1
即a+ =2024，
a
2024
∴a2−2023a+
a2+1
2024
＝2024a﹣1﹣2023a+
2024a
1
＝a﹣1+
a
＝2024﹣1
＝2023，
故选：B．
7．（2024•南山区校级一模）m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2009的值为（ ）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
【分析】因为 m 是方程 x2+x﹣1＝0 的根，得到 m2+m﹣＝0，求出 m2+m＝1，把 m3+2m2+2009＝m
（m2+m）+m2+2009，代入得到m+m2+2009求出即可．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴m3+2m2+2009＝m（m2+m）+m2+2009，
＝m+m2+2009，
＝1+2009＝2010，
故选：C．
【考点2 利用根与系数的关系求代数式的值】
1．（2024•孝感模拟）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x ，x ，则x x2+x2x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后直接代入所求代数式进
行计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣2，x x ＝﹣1，
1 2 1 2
∴x x2+x2x =xx （x +x ）＝﹣1×（﹣2）＝2．
1 2 1 2 2 1 2
故选：A．2．（2024春•海曙区期末）已知x ，x 是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则x3x +x x3的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
21 259 63 133
A． B．− C．− D．−
4 8 8 8
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x +x 和x x ，再利用整体思想即可解决问题．
1 2 1 2
【解答】解：∵x ，x 是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，
1 2
3 7
∴x +x =− ，x x =− ，
1 2 2 1 2 2
7 3 7 259
∴x3x +x x3=x x (x2+x2 )=x x [(x +x ) 2−2x x ]=− ×[(− ) 2−2×(− )]=− ．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 8
故选：B．
1
3．（2024春•霍邱县月考）若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为 ， ，则√β √α 的
❑ +❑
α β
α β
值为（ ）
1 1
A． B．2024 C．− D．±2024
2024 2024
【分析】判断出 + ＝2024， ＝1，再利用整体代入的思想解决问题．
【解答】解：∵一α元β二次方程α﹣βx2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为 ， ，
∴ + ＝2024， ＝1， α β
α β 1 αβ 1 αβ ❑√αβ 1
= = = =
∴√β √α ❑√αβ ❑√αβ ❑√αβ(β+α) α+β 2024．
❑ +❑ +
α β α β
故选：A．
4．（2024•金乡县三模）已知关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x 和x ，若6x +x ＝0，则k的值为
1 2 1 2
（ ）
2 1 11
A．﹣2 B．− C．− D．−
3 2 12
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，再由6x +x ＝0可求出x ，进而得出x ，最后用k表示出
1 2 1 2
两根之积即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x 和x ，
1 2
−5 5 k
所以x +x =− = ，x x = ；
1 2 3 3 1 2 3
又因为6x +x ＝0，
1 25
所以5x + =0，
1 3
1
解得x =− ，
1 3
5 1
所以x = −(− )=2，
2 3 3
k 1
所以 =− ×2，
3 3
解得k＝﹣2．
故选：A．
5．（2024•内江校级二模）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x3−2024x +x2的值
1 2 1 1 2
为 ．
【分析】先利用一元二次方程的根的意义和根与系数的关系得出x2−x
﹣2024＝0，x +x ＝1，x x ＝﹣
1 1 1 2 1 2
2024，即x3−2024x =x2，最后代入即可得出结论．
1 1 1
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣x﹣2024＝0两个实数根，
1 2
∴x2−x
﹣2024＝0，x +x ＝1，x x ＝﹣2024，
1 1 1 2 1 2
∴x3−x2−2024x
＝0，
1 1 1
∴x3−2024x =x2，
1 1 1
∴x3−2024x +x2
1 1 2
=x2+x
1 22
＝（x +x ）2﹣2x x
1 2 1 2
＝12+4048
＝4049．
故答案为：4049．
6．（2024•盐城二模）已知： ， 是方程x2+2x﹣4＝0有两个实数根．求出下列代数式的值．
（1） + （ +1）； α β
α β α（2） 2+4 +2 ．
【分析α】根α据β根与系数的关系可得出“ + ＝﹣2， • ＝﹣4”．将（1）（2）转化成只含 + 与 •
的算式，代入数据即可求出结论． α β α β α β α β
【解答】解：∵ ， 是方程x2+2x﹣4＝0有两个实数根，
∴ + ＝﹣2， •α＝β﹣4， 2+2 ＝4，
（α1）β + （ +α1）β α α
＝ + α+β α
＝α﹣2α+β（β﹣4）
＝﹣6；
（2） 2+4 +2
＝ 2+2α +2α+2β
＝α2+2α+2α（ +β ）
＝α4+2×α（﹣2α）β
＝4﹣4
＝0．
7．（2024•高坪区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（1﹣2k）x+k2﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围，
（2）当k＝2时，设方程的两个实数根分别为x ，x ，求x3−x x2+4x2+x2+3的值．
1 2 1 1 2 1 2
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝[﹣（1﹣2k）]2﹣4（k2﹣3）＞0，然后解不等式即可；
（2）k＝2 时，方程变为 x2+3x+1＝0，利用根与系数的关系得到 x +x ＝﹣3，x x ＝1，再将
1 2 1 2
x3−x x2+4x2+x2+3变形代入求解即可．
1 1 2 1 2
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝[﹣（1﹣2k）]2﹣4（k2﹣3）＞0，
13
解得k＜ ；
4
（2）k＝2时，方程变为x2+3x+1＝0，
∵设方程的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣3，x x ＝1，
1 2 1 2
∴x3−x x2+4x2+x2+3
1 1 2 1 2＝x （x2−x2）+4x2+x2+3
1 1 2 1 2
＝x [（x +x ）（x ﹣x ）]+4x2+x2+3
1 1 2 1 2 1 2
＝﹣3x （x ﹣x ）+4x2+x2+3
1 1 2 1 2
＝﹣3x2+3x
x
+4x2+x2+3
1 1 2 1 2
＝3x x +x2+x2+3
1 2 1 2
＝（x +x ）2+x x +3
1 2 1 2
＝9+1+3
＝13．
【考点3 两个一元二次方程之间根的关系】
1．（2024•南充模拟）已知关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根为x＝2024，则关于x的方
程a（x﹣1）2+bx＝b的两个根分别为 ．
【分析】将a（x﹣1）2+bx＝b变形得a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝0，因为一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）
的一个根为x＝2024，可得x﹣1＝0或x﹣1＝2024，解得x的值．
【解答】解：a（x﹣1）2+bx＝b，
a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝0，
∵一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根为x＝2024，
∴x﹣1＝0或x﹣1＝2024，
解得：x＝1或x＝2025，
故答案为：1或2025．
2．（2024春•庐阳区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元
二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【分析】先将方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2，整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，然后设x﹣2＝
m，则am2+bm+2＝0，再根据题意可得x﹣2＝2024，从而进行计算即可解答．
【解答】解：a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2，
整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，
设x﹣2＝m，∴am2+bm+2＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，
∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024，
∴x﹣2＝2024，
解得：x＝2026，
∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为2026，
故选：C．
3．（2024•常德模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）的一个实数根为2024，则方程cx2+bx
＝a（ac≠0）一定有实数根（ ）
1 1
A．2024 B．− C．﹣2024 D．
2024 2024
【分析】根据一元二次方程根的定义：将x＝2024代入方程ax2+bx＝c中，再两边同时除以20242，可得
结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）一个实数根为2024，
∴20242a﹣2024b＝c，
b c
∴a− = ，
2024 20242
c b
+ =
∴ a，
20242 2024
1
∴x= 是方程cx2+bx＝a的实数根．
2024
故选：D．
4．（2024春•凤阳县月考）已知关于x的一元二次方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，
3，则方程a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为（ ）
A．﹣2，3 B．﹣1，3 C．﹣3，2 D．﹣1，﹣2
【分析】根据方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，得到x+1＝﹣2，或x+1＝3，即
可求解．
【解答】解：∵a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，
∴a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）中，x+1＝﹣2，或x+1＝3，
解得：x＝﹣3或x＝2，
故选：C．
5．（2024春•滨江区校级期末）已知关于x的一元二次方程3（x﹣x ）（x﹣x ）＝0与一元一次方程3x﹣
1 23＝0有一个公共解x＝x ，若一元二次方程3（x﹣x ）（x﹣x ）+（3x﹣3）＝0有两个相等的实根，则
1 1 2
x ＝（ ）
2
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【分析】求出一元一次方程的解确定出已知两方程的公共解，即为 x 的值，代入方程3（x﹣x ）（x﹣
1 1
x ）+（3x﹣3）＝0整理后，根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出x 的值即
2 2
可．
【解答】解：一元一次方程3x﹣3＝0，
移项得：3x＝3，
解得：x＝1，
∵关于x的一元二次方程3（x﹣x ）（x﹣x ）＝0与一元一次方程3x﹣3＝0有一个公共解x＝x ，
1 2 1
∴公共解为x＝x ＝1，
1
把x ＝1代入方程3（x﹣x ）（x﹣x ）+（3x﹣3）＝0得：3（x﹣1）（x﹣x ）+（3x﹣3）＝0，
1 1 2 2
整理得：3x2﹣3x x+3x ﹣3＝0，
2 2
∵此方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3x ）2﹣12（3x ﹣3）＝0，即9x2−36x +36＝0，
2 2 2 2
解得：x ＝2．
2
故选：C．
1
6．（2024 春•下城区校级月考）方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是﹣2 和 ，则方程
3
1
a(x−2) 2+bx=2b−3c的两根为（ ）
3
7 2 1
A．0， B．﹣6，1 C．− ， D．﹣4，3
3 3 9
b 5 c 2 1
【分析】根据根与系数的关系，得到− =− ， =− ，将方程 a(x−2) 2+bx=2b−3c整理为：
a 3 a 3 3
3b 9c
(x−2) 2+ (x−2)+ =0，再将（x﹣2）看作一个整体，解方程即可．
a a
1
【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是﹣2和 ，
3
b 5 c 2
∴− =− ， =− ，
a 3 a 31
∵ a(x−2) 2+bx=2b−3c，
3
3b 9c
∴(x−2) 2+ (x−2)+ =0，
a a
∴（x﹣2）2+5（x﹣2）﹣6＝0，
∴（x﹣2+6）（x﹣2﹣1）＝0，
∴（x+4）（x﹣3）＝0，
解得x ＝﹣4，x ＝3，
1 2
故选：D．
7．（2024春•拱墅区期末）已知一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个
正根相等，若ax2+bx+1＝0的另一个根为4，则x2+bx+a＝0的两个根分别为（ ）
1 1
A．﹣4，4 B．﹣4，1 C． ，4 D． ，1
4 4
【分析】根据根与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等，
∴ax2+bx+1＝x2+bx+a，
解得x2＝1，
∴正根为1，
∵ax2+bx+1＝0的另一个根为4，
1
∴ = 4，
a
1
∴a= ，
4
∵方程x2+bx+a＝0有一个正根为1，设另一个根为m，
1
∴则1×m＝a= ，
4
1
∴m= ，
4
1
∴另一个根为 ，
4
1
∴x2+bx+a＝0的两个根分别为1， ，
4
故选：D．
8．（2024•建邺区二模）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的两根之积是（ ）
A．p+q+1 B．p﹣q+1 C．q﹣p+1 D．q﹣p﹣1
【分析】把方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于y﹣1的一元二次方程，则利用关于 x的方程
ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x ，x 得到y ＝x +1，y ＝x +1，然后利用根与系数的关系得到结论．
1 2 1 1 2 2
【解答】解：把方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于y+1的一元二次方程，
设关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x ，x ，
1 2
则方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的两根为y ＝x +1，y ＝x +1，
1 1 2 2
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，
∴x +x ＝p，x x ＝q，
1 2 1 2
∴y y ＝（x +1）（x +1）＝x x +（x +x ）+1＝p+q+1．
1 2 1 2 1 2 1 2
故选：A．
9．（2024春•合肥期中）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，则关于t
的方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根之积是（ ）
A．n+m﹣1 B．n+m+1 C．n﹣m+1 D．n﹣m﹣1
【分析】把方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0看作关于t+1的一元二次方程，则利用关于x的方程ax2+bx+c
＝0（a≠0）的两根为x ，x 得到t ＝x ﹣1，t ＝x ﹣1，然后利用根与系数的关系得到结论．
1 2 1 1 2 2
【解答】解：把方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0看作关于t+1的一元二次方程，
设关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x ，x ，则方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根为t ＝x
1 2 1 1
﹣1，t ＝x ﹣1，
2 2
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，
∴x +x ＝m，x x ＝n，
1 2 1 2
∴t t ＝（x ﹣1）（x ﹣1）＝x x ﹣（x +x ）+1＝n﹣m+1．
12 1 2 1 2 1 2
故选：C．
10．（2024春•杭州期末）已知方程x2+bx+c＝0的两个根是± ，x2+dx+e＝0的两个根是± ．当x＝ 时，
x2+bx+c的值记作y ；当x＝ 时，x2+dx+e的值记作y ．则下α列结论一定成立的是（ β） β
1 2
A．y +y ＝0 B．y ﹣α y ＝0 C．y •y ＝1 D．y ﹣y ＝1
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据题意，用含有 ， 和c，e的代数式表示y 和y ，再将方程的根代入相应得方程得出 与
1 2
c， 与e之间的关系即可解决α问β题． α
【解β答】解：因为方程x2+bx+c＝0的两个根是± ，
b α
所以α+(−α)=− ，
1则b＝0，
所以此方程为x2+c＝0，
将x＝ 代入方程得，
2＝﹣αc．
α同理可得，
2＝﹣e．
β因为当x＝ 时，x2+bx+c的值记作y ，
1
所以y ＝ 2β+c，
1
同理可得β，
y ＝ 2+e．
2
所以αy +y ＝ 2+c+ 2+e＝﹣e+c﹣c+e＝0．
1 2
故选：A． β α
11．（2024春•上城区校级期中）已知一元二次方程 a（x﹣x ）（x﹣x ）＝0（a≠0，x ≠x ）与一元一次
1 2 1 2
方程dx+e＝0有一个公共解x＝x ，若一元二次方程a（x﹣x ）（x﹣x ）+（dx+e）＝0有两个相等的实
1 1 2
数根，则（ ）
A．a（x ﹣x ）＝d B．a（x ﹣x ）＝d
1 2 2 1
C．a(x −x ) 2=d D．a(x −x ) 2=d
1 2 2 1
【分析】由x＝x 是方程a（x﹣x ）（x﹣x ）＝0与dx+e＝0的一个公共解，可得x＝x 是方程a（x﹣
1 1 2 1
−(ax +ax −d)
x ）（x﹣x ）+（dx+e）＝0的一个解．根据根与系数的关系得出x +x =− 1 2 ，整理后即
1 2 1 1
a
可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程a（x﹣x ）（x﹣x ）＝0与关于x的一元一次方程dx+e＝0有一
1 2
个公共解x＝x ，
1
∴x＝x 是方程a（x﹣x ）（x﹣x ）+（dx+e）＝0的一个解．
1 1 2
∵一元二次方程a（x﹣x ）（x﹣x ）+（dx+e）＝0，
1 2
∴ax2﹣（ax +ax ﹣d）x+ax x +e＝0，
1 2 1 2
∵有两个相等的实数根，
−(ax +ax −d)
∴x +x =− 1 2 ，
1 1
a
整理得：d＝a（x ﹣x ）．
2 1故选：B．
【考点4 构造一元二次方程求解】
1．（2024•石门县模拟）若实数a，b满足a2+3a＝2，b2+3b＝2，且a≠b，则（1+a2）（1+b2）＝（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
【分析】先利用已知等式可把a、b看作方程x2+3x﹣2＝0的两个不同实根，则根据根与系数的关系得到
a+b＝﹣3，ab＝﹣2，然后利用完全平方公式把（1+a2）（1+b2）变形为1+（a+b）2﹣2ab+a2b2，再利
用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a2+3a﹣2＝0，b2+3b﹣2＝0，
∴a，b为方程x2+3x﹣2＝0的两个不同实根．
∴a+b＝﹣3，ab＝﹣2，
∴（1+a2）（1+b2）＝1+a2+b2+a2b2＝1+（a+b）2﹣2ab+a2b2＝1+9+4+4＝18．
故选：A．
n m
2．（2024春•迎江区校级期末）已知不相等的两实数m，n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，则 +
m n
的值为（ ）
13 13 13
A．− B．2 C．2或− D．
6 6 6
【分析】由已知得m、n是方程3x2﹣x﹣2＝0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系即可得出
1 2 1 2
m+n= ，mn=− ，把要求的式子化简再代入m+n= ，mn=− ，即可求出答案．
3 3 3 3
【解答】解：∵不相等的两实数m，n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，
∴m、n是方程3x2﹣x﹣2＝0的两个不相等的实数根，
1 2
∴m+n= ，mn=− ，
3 3
1 4
+
n m m2+n2 (m+n) 2−2mn 9 3 13
∴ + = = = =− ．
m n mn mn 2 6
−
3
故选：A．
a
3．（2024•赛罕区二模）若ab≠1，且有5a2+2024a+9＝0，及9b2+2024b+5＝0，则 的值是（ ）
b
9 5 2012 2012
A． B． C．− D．−
5 9 5 91
【分析】方程9b2+2024b+5＝0两边同时除以b2，等式仍成立，a和 可看作方程5x2+2024x+9＝0的两
b
根，由此可解答．
【解答】解：∵9b2+2024b+5＝0，
1 1
∴5×（ ）2+2024× +9＝0．
b b
1
∵ab≠1，即a≠ ，
b
1
∴a和 可看作方程5x2+2024x+9＝0的两根，
b
1 9 a 9
∴a• = ，即 = ．
b 5 b 5
故选：A．
a−b
4．（2024•南充模拟）已知实数a，b满足a2+11a﹣13＝0，13b2+11b﹣1＝0，且ab≠﹣1，则
ab+3b−1
的值为（ ）
6 3 7
A．﹣1 B．− C．− D．
7 2 6
1 1 1
【分析】将13b2+11b﹣1＝0变形为(− ) 2+11(− )−13=0据此可知a，− 为方程 x2+11x﹣13＝0
b b b
的两个实数根，根据根与系数的关系得到ab＝1﹣11b，a＝13b，代入所求代数式化简即可．
【解答】解：13b2+11b﹣1＝0，易得b≠0，方程两侧同除﹣b2得：
1 1
(− ) 2+11(− )−13=0，
b b
又∵a2+11a﹣13＝0，且ab≠﹣1，
1
∴a，− 为方程 x2+11x﹣13＝0 的两个不相等的实数根，
b
1 a
∴a− =−11，− =−13，
b b
整理得：ab＝1﹣11b，a＝13b，
a−b 13b−b 12b 3
∴ = = =− ，
ab+3b−1 1−11b+3b−1 −8b 2
故选：C．
1 5 1 1
5．（2023秋•德城区期末）已知2m2﹣5m﹣1＝0， + −2=0，且m≠n，则 + 的值为（ ）
n2 n m n5 5
A． B．− C．5 D．﹣5
4 4
1 5
【分析】根据等式的性质可将
+ −2=0化为2n2﹣5n﹣1＝0，可发现m、n是一元二次方程2x2﹣5x
n2 n
5 1
﹣1＝0的解；再根据根与系数的关系可得m+n= ，mn=− ；然后再运算并整体代入即可解答．
2 2
1 5
【解答】解：∵
+ −2=0，
n2 n
∴2n2﹣5n﹣1＝0，
∴m、n是一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的解，
5 1
∴m+n= ，mn=− ，
2 2
5
1 1 n+m 2
∴ + = = =−5．
m n mn 1
−
2
故选：D．
6．（2024春•启东市校级月考）如果x、y是两个实数（x•y≠1）且3x2﹣2023x+2＝0，2y2﹣2023y+3＝0，
x2 x
则 + = ．
y y2
1
【分析】将 2y2﹣2023y+3＝0 两边同时除以 y2，然后设 =z，则可得 x，z 为一元二次方程 3m2﹣
y
2023m+2＝0的两个不相等的实数根；由根与系数的关系可得x+z和zx的值，然后代入原式计算即可．
【解答】解：∵2y2﹣2023y+3＝0，
∴y≠0，
2023 3
∴2− + = 0，
y y2
1
设 = z，则3z2﹣2023z+2＝0，
y
∵xy≠1，
1
∴x≠ ，
y
∴z，x是方程3m2﹣2023m+2＝0的两个不相等的实数根，2023 2
∴x+z= ，zx= ，
3 3
x2 x
∴ +
y y2
＝x2z+xz2
＝xz（x+z）
2 2023
= ×
3 3
4046
= ．
9
4046
故答案为： ．
9
【考点5 由根的判别式判断一元二次方程根的情况】
1．（2024春•嘉兴期末）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有下列两种说法：①若a﹣b+c＝0，则此
方程一定有实数根；②若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①，②都正确 D．①，②都错误
【分析】①由a﹣b+c＝0，可得b＝a+c，再根据Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，由此即
可判定说法错误；
②由a、c异号，a≠0，可得Δ＝b2﹣4ac＞0，由此即可判定说法正确．
【解答】解：①∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴方程有两个实数根，故结论①正确；
②∵a、c异号，a≠0，
∴ac＜0，﹣4ac＞0
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论②正确；
故选：C．
2．（2024春•萧山区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x ，x 且满足x ≠x ≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实
1 2 1 2
1 1
根 ， ；
x x
1 2
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2−4ac=(2ax +b) 2．
0 0
其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；
②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣
4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；
b c b x +x 1 1 a 1 1 1
③由根与系数的关系，可得x +x =− ，x x = ，变形得出− = 1 2= + ， = = •
1 2 a 1 2 a c x x x x c x x x x
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
，即可得出方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根 ， ；
x x
1 2
−b±❑√b2−4ac
④利用求根公式，可得出x = ，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax +b）2．
0 0
2a
【解答】解：①∵a+b+c＝0，
∴当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＝0，
∴x＝1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故说法①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故说法②错误；
③∵若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x ，x 且满足x ≠x ≠0，
1 2 1 2
b c
∴x +x =− ，x x = ，
1 2 a 1 2 a
b x +x 1 1 a 1 1 1
∴− = 1 2= + ， = = • ，
c x x x x c x x x x
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根 ， ，故说法③正确；
x x
1 2
④∵x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0−b±❑√b2−4ac
∴x = ，
0
2a
∴±❑√b2−4ac=2ax +b，
0
∴b2﹣4ac＝（2ax +b）2，故说法④正确．
0
∴正确的结论有①③④．
故选：D．
3．（2024春•蜀山区期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0
B．若c是方程ax2+bx+c＝0的一个实数根，则一定有ac+b+1＝0成立
C．若方程ax2＝c没有实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根
D．若m是方程ax2+bx+c＝0的一个实数根，则b2﹣4ac＝（2am+b）2
【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断即可．
【解答】解：若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故A正确，不符合题意；
方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故C正确，不符合题意；
∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
因c＝0，等式仍然成立，故ac+b+1＝0不一定成立，故B不正确，符合题意；
若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
−b±❑√b2−4ac
由求根公式可得：x = ，
0
2a
∴2ax +b＝±❑√b2−4ac，
0
∴b2﹣4ac＝（2ax +b）2，故D正确，不符合题意；
0
故选：B．
4．（2024春•玉环市期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法不正确的是（ ）A．若x＝﹣1是方程的解，则a﹣b+c＝0
B．若c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根
C．若ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根
D．若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根
【分析】根据方程解的定义，根的判别式一一判断即可．
【解答】解：A、若x＝﹣1是方程的解，则a﹣b+c＝0，正确，本选项不符合题意；
B、若c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，错误，b＝0时，两个根相等，都是0，本
选项不符合题意；
C、若ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，正确，本选项不符合题意；
D、若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，正确，本选项符合题意．
故选：B．
5．（2024春•庐阳区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），则下列说法错误的是（
）
A．若a﹣b+c＝0，则方程没有实数根
B．若b＝0且方程存在实数根时，两根一定互为相反数
C．若ac＜0，则方程必有两个不相等的实数根
D．若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式逐一求解即可．
【解答】解：A、将x＝﹣1代入原方程，得a﹣b+c＝0，则x＝﹣1是原方程的根，故符合题意；
√ c
B、若b＝0且方程存在实数根时，x＝±❑− ，两根一定互为相反数，故不符合题意；
a
C、若ac＜0，则﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程必有两个不相等的实数根；故不符合题意；
D、若b＝2a+c，则b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2，
∵a≠0，
∴4a2+c2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故不符合题意．
故选：A．
6．（2024•湖州一模）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方
程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实
数根，据此逐一判断即可．
【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0，
此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②∵b+c＞0，b﹣c＜0，
∴c＞0，
∵a＜0，
∴﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0，
此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝4a，
∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故选：B．
7．（2024春•同安区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣5x+c＝0，当c＝t 时，方程有两个相等的实数
0
根；若将c的值在t 的基础上增大，则此时方程根的情况是（ ）
0
A．没有实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．一个实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：
Δ＝（﹣5）2﹣4c，
当c＝t 时，Δ＝（﹣5）2﹣4t ＝25﹣4t ＝0，
0 0 0
当c＞t 时，﹣c＜﹣t ，
0 0
∴Δ＝25﹣4c＜25﹣4t ＝0，
0
∴此时方程没有实数根，
故选：A．
【考点6 利用配方法求值】
1．（2024春•蒙城县期末）已知x2+y2+2x﹣6y+10＝0，则yx＝（ ）
1 1
A．3 B．﹣3 C． D．−
3 3
【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，代入计算即可．
【解答】解：∵x2+y2+2x﹣6y+10＝0，
∴（x+1）2+（y﹣3）2＝0，
x+1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣1，y＝3，
1
∴yx=3−1=
．
3
故选：C．
2．（2024•江北区校级开学）已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是
（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
【分析】利用作差法判断即可．
【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b4﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2，
∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0，
∴x≥y．
故选：D．
y+1 21
3．（2024春•灞桥区校级月考）已知x−1= ，则代数式x2+x+(y−1) 2+ 有（ ）
2 4
85
A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值
421 3 2
【分析】先根据题意得到y＝2x﹣3，进而推出x2+x+(y−1) 2+ =5(x− ) +10，再根据偶次方的
4 2
3 2 3 21
非负性得到5(x− ) +10≥10，则当x= 时，代数式x2+x+(y−1) 2+ 有最小值10，据此可得答
2 2 4
案．
y+1
【解答】解：∵x−1= ，
2
∴y＝2x﹣3，
21
∴x2+x+(y−1) 2+
4
21
=x2+x+(2x−3−1) 2+
4
21
=x2+x+4x2−16x+16+
4
85
=5x2−15x+
4
9 85 45
=5(x2−3x+ )+ −
4 4 4
3 2
=5(x− ) +10，
2
3 2
∵(x− ) ≥0，
2
3 2
∴5(x− ) +10≥10，
2
3 21
∴当x= 时，代数式x2+x+(y−1) 2+ 有最小值10，
2 4
故选：C．
4．（2024春•双流区校级月考）如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 ．
【分析】先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解．
【解答】解：∵p＝a2+4b2+2a+4b+2024＝（a+1）2+（2b+0.5）2+2022.75≥2022.75，
故答案为：2022.75．
5．（2024春•江干区校级期末）配方法是中学数学中非常重要的内容．如，若 m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
求m、n的值时，可以用配方法：
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，c2﹣6c+ab+13＝0，求a+b+c的值．
【分析】（1）先配方，再根据非负数的性质求解；
（2）先把a﹣b＝4变形代入，再配方，根据非负数的性质求解．
【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝（x+y）2+（y+1）2＝0，
∴x＝1，y＝﹣1．
∴2x+y＝2﹣1＝1；
（2）∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∵c2﹣6c+ab+13＝c2﹣6c+b（b+4）+13＝c2﹣6c+b2+4b+13＝（c﹣3）2+（b+2）2＝0，
∴c＝3，b＝﹣2，
∴a＝2，
∴a+b+c＝2+（﹣2）+3＝3．
【考点7 一元二次方程的应用—传播与循环问题】
1．（2024•西乡塘区模拟）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，
所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比
赛．已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
1 1
A． n(n+1)=6 B． n(n−1)=6
2 2
C．n（n+1）＝6 D．n（n﹣1）＝6
【分析】利用比赛场次数＝参赛队伍的数量×（参赛队伍的数量）÷2，即可得出关于x的一元二次方
程，变形后即可得出结论．
1
【解答】解：根据题意，得 n(n−1)=6．
2
故选：B．
2．（2024•莫旗一模）毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为
780，则这次参加聚会的同学有（ ）
A．38人 B．40人 C．41人 D．42人
【分析】设这次参加聚会的同学有x人，利用握手的总次数＝这次参加聚会的同学人数×（这次参加聚会的同学人数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人，
1
根据题意得： x（x﹣1）＝780，
2
整理得：x2﹣x﹣1560＝0，
解得：x ＝40，x ＝﹣39（不符合题意，舍去），
1 2
∴这次参加聚会的同学有40人．
故选：B．
3．（2024•北碚区校级开学）今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送
给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（ ）
x(x−1)
A．x（x+1）＝1980 B． =1980
2
x(x+1)
C．x（x﹣1）＝1980 D． =1980
2
【分析】由全班的人数，可得出每位同学需发送（x﹣1）条拜年短信，再利用全班发送拜年短信的总条
数＝全班人数×（全班人数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全
班有x名同学，
∴每位同学需发送（x﹣1）条拜年短信．
根据题意得：x（x﹣1）＝1980．
故选：C．
4．（2023秋•大足区期末）班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小
礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2
C．2x（x+1）＝1560 D．x（x﹣1）＝1560
【分析】利用赠送小礼物的总数量＝参会人数×（参会人数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此
题得解．
【解答】解：∵参加这次聚会的人数为x，且同学们互送一件不同的小礼物，
∴每人需送出（x﹣1）件小礼物．
根据题意得：x（x﹣1）＝1560．
故选：D．
5．（2023秋•曲靖期末）初三毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片，设晚会上有x人，则可列方程为（ ）
1
A．x（x+1）＝110 B． x(x−1)=110
2
1
C．x（x﹣1）＝110 D． x(x+1)=110
2
【分析】利用赠送照片的总张数＝参会人数×（参会人数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题
得解．
【解答】解：∵晚会上有x人，且每人给其他同学送一张照片，
∴每人需送出（x﹣1）张照片．
根据题意得：x（x﹣1）＝110．
故选：C．
6．（2023秋•集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一
个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传
染的人数是 人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有
x（1+x）人被传染，根据“现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被
感染”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染
中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝169，
整理得：（1+x）2＝169，
解得：x ＝12，x ＝﹣14（不符合题意，舍去），
1 2
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人．
故答案为：12．
7．（2023秋•建湖县期中）某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目
的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 57，则这种植物每个支干
长出的小分支个数是 ．
【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是57，可列出关于x的
一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，
根据题意得：1+x+x2＝57，整理得：x2+x﹣56＝0，
解得：x ＝﹣8（不符合题意，舍去），x ＝7，
1 2
∴这种植物每个支干长出7个小分支．
故答案为：7．
【考点8 一元二次方程的应用—增长率问题】
1．（2024•潍坊一模）某厂生产一种产品起初的成本为225元/件，经过两次技术改进，现生产一件这种产
品的成本比起初下降了29元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，根据以上信息列关于x的一元
二次方程为 ．
【分析】利用该种产品经过两次技术改进产品的成本＝该种产品起初的成本×（1﹣每次技术改进产品的
成本下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：225（1﹣x）2＝225﹣29．
故答案为：225（1﹣x）2＝225﹣29．
2．（2024•夏津县二模）某商场在“五•一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经
过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的
百分率为 ．
【分析】设每次降价的百分率为x，利用该玩具经过两次降价后的价格＝该玩具的定价×（1﹣每次降价
的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝1.9（不符合题意，舍去），
1 2
∴每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%．
3．（2024•霍邱县二模）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增
加了15%，若这两个月的平均增长率为x，则x满足的关系是（ ）
A．（a﹣10%）（a+15%）＝2（1+x）a
B．a（1﹣10%）（1+15%）＝a（1+x2）
C．a（1﹣10%+15%）＝a（1+x）2
D．a（1﹣10%）（1+15%）＝a（1+x）2
【分析】根据3、4、5月份产值间的关系，可得出该企业今年5月份产值为a（1﹣10%）（1+15%）万
元，利用该企业今年5月份产值＝该企业今年3月份产值×（1+这两个月的平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了
15%，
∴该企业今年4月份产值为a（1﹣10%）万元，5月份产值为a（1﹣10%）（1+15%）万元．
根据题意得：a（1﹣10%）（1+15%）＝a（1+x）2．
故选：D．
4．（2024•安徽三模）随着“二胎政策”出生的孩子越来越多，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比
2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这
两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．2x＝8.5%+9.6%
B．2（1+x）＝（1+8.5%）（1+9.6%）
C．2（1+x）2＝（1+8.5%+9.6%）
D．（1+x）2＝（1+8.5%）（1+9.6%）
【分析】设该校2020年学生数为1，则该校2021年学生数为（1+8.5%），2022年学生数为（1+8.5%）
（1+9.6%），利用该校2022年学生数＝该校2020年学生数×（1+2021、2022这两年该校学生数平均增
长率）2，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该校 2020 年学生数为 1，则该校 2021 年学生数为（1+8.5%），2022 年学生数为
（1+8.5%）（1+9.6%），
根据题意得：（1+x）2＝（1+8.5%）（1+9.6%）．
故选：D．
5．（2024春•瑶海区期中）某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降10%，改进经营管理后
月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3、4月份销售额的月平均增长率．
【分析】设3、4月份平均每月销售额增长的百分率是x．由题意得2月份的销售额是54万元，在此基
础上连续两年增长，达到了121.5万元，列方程求解．
【解答】解：由题意得：2月份的销售额60（1﹣10%）＝54（万元），
设3、4月份平均每月销售额增长的百分率是x，
54（1+x）2＝121.5，
∴1+x＝±1.5，
∴x ＝50%或x ＝﹣2.5（负值舍去）．
1 2
答：3、4月份销售额的月平均增长率为50%．6．（2023秋•阳城县期末）某图书馆阅览室一直在鼓励市民借阅，近几年该图书馆统计每年借阅人数及图
书馆借阅量（单位：本），发现2021年图书馆借阅量为6000本，2023年为8640本．
（1）请计算该图书馆借阅量从2021年至2023年的年平均增长率．
（2）图书馆还统计出2023年借阅人数有1080人，预计2024年将达到1152人．若2023年至2024年图
书馆借阅量增长率不低于2021年至2023年的年平均增长率，那2024年的人均借阅量比2024年增长
m%，则m至少是多少？
【分析】（1）设该社区图书馆借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为x，利用该图书馆阅览室
在2023年图书馆借阅总量＝该图书馆阅览室在2021年图书馆借阅总量×（1+该社区图书馆借阅总量从
2021年至2023年的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得
出结论；
（2）利用预计2024年阅览室人均借阅量＝预计该图书馆阅览室在 2024年图书馆借阅总量÷预计2024
年该图书馆居民借阅图书人数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设该图书馆借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为x，
则6000（1+x）2＝8640，
∴x ＝0.2，x ＝﹣2.2（舍去），
1 2
答：该图书馆借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为20%．
（2）8640（1+0.2）＝10368本，8640÷1080＝8本，
10368÷1152＝9本，
10368 8640 8640
( − )÷ =0.125=12.5%，
1150 1080 1080
∴m的值至少为12.5．
【考点9 一元二次方程的应用—图形面积问题】
1．（2024春•越城区期末）如图，某校旁边有一块长为40m，宽为30m的矩形荒地，地方政府准备在此对
该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空
白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为a（m））．
（1）设通道的宽度为x（m），则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为850m2，请问通道的宽度为多少？矩形荒地的宽−3×通道的宽度
【分析】（1）利用a= ，即可用含x的代数式表示出a的值；
2
40−3x
（2）根据各边的长，可得出三块空白区域可合成长为（60﹣5x）m，宽为 m的矩形，结合建造
2
教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为850m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意
的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵矩形荒地的长为40m，宽为30m，且通道的宽度为x m，
40−3x
∴a= （m）．
2
40−3x
故答案为： （m）；
2
40−3x
（2）三块空白区域可合成长为30﹣2x+30﹣3x＝（60﹣5x）m，宽为 m的矩形．
2
40−3x
根据题意得：（60﹣5x） =850，
2
整理得：3x2﹣76x+140＝0，
70
解得：x ＝2，x = （不符合题意，舍去）．
1 2 3
答：通道的宽度为2m．
2．（2024春•兴隆台区期末）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃
ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开
分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米．
（1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长；
（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（30﹣3x）m，根据矩形ABCD的面积为72m2，列出一元二次方
程，解之取其符合题意的值即可；
（2）假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（30﹣3y）m，根据矩形ABCD的面积为
80m2，列出一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣60＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不
成立即可．
【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（30﹣3x）m，
由题意得：x（30﹣3x）＝72，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x ＝4，x ＝6，
1 2
当x＝4时，30﹣3x＝30﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去，
当x＝6时，30﹣3x＝30﹣3×6＝12＜15，符合题意，
答：AB的长为6m；
（2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下：
假设矩形ABCD的面积能为80m2，
设AB＝y m，则BC＝（30﹣3y）m，
由题意得：y（30﹣3y）＝80，
整理得：3y2﹣30y+80＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2．
3．（2024春•两江新区期末）新高考采用“3+1+2”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物
组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水
果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是
21．
（1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？
（2）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长
度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如下图所示）．设种植田的宽AB为m米．若该种植田的面积为36
平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m．
【分析】（1）设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是 21，可列
出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）根据栅栏的总长及AB的长，可得出AD＝（22+1×2﹣3m）米，根据该种植田的面积为36平方
米，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合墙的最大可用长度为10米，即可确定
结论．
【解答】解：（1）设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支，
根据题意得：1+x+x2＝21，
整理得：x2+x﹣20＝0，
解得：x ＝4，x ＝﹣5（不符合题意，舍去）．
1 2
答：这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支；
（2）∵栅栏的总长为22米，且种植田的宽AB为m米，
∴种植田的长AD为（22+1×2﹣3m）米．
根据题意得：（22+1×2﹣3m）•m＝36，
整理得：m2﹣8m+12＝0，
解得：m ＝2，m ＝6，
1 2
当m＝2时，22+1×2﹣3m＝22+1×2﹣3×2＝18＞10，不符合题意；
当m＝6时，22+1×2﹣3m＝22+1×2﹣3×6＝6＜10，符合题意．
答：该种植田的宽AB为6米．
4．（2024春•开化县期中）三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用图形的方法
来求一元二次方程的正根．以方程x（x+4）＝12为例，如图1，用四个边长分别为x和x+4的长方形
（每个长方形面积为12）围成一个大正方形，则大正方形的面积等于四个长方形的面积加上中间小正
方形的面积，从而求出方程的正根．
根据上述材料，回答问题：
（1）求出图1中AB的长和正方形MNOP的面积．
（2）根据赵爽记载的方法，结合图1求出方程x（x+4）＝12的正根．（3）小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形（图2），已知大正方形的面积
为15，小正方形的面积为5，求m，n的值．
【分析】（1）根据图1得AB＝x+4﹣x＝4，即可求出中间小正方形的面积，由大正方形的面积等于四
个长方形的面积加上中间小正方形的面积即可求解；
（2）图中的大正方形的面积可表示为（x+x+4）2＝64，据此易得x＝2；
（3）根据题意得x2+mx＝n，变形为x（x+m）＝n，根据大正方形的面积为15，小正方形的面积为5，
即可得到答案．
【解答】解：（1）根据图1得，AB＝x+4﹣x＝4，
∴中间小正方形的面积为42＝16，
∴正方形MNOP的面积为12×4+16＝64；
（2）由题意，长方形的面积为x（x+4）＝12，小正方形的面积为4×4＝16，
又大正方形的面积等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，
∴大正方形的面积为12×4+16＝64，
∵图中的大正方形的面积可表示为（x+x+4）2＝64，
∴（x+2）2＝16，
∴x+2＝4或x+2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴x＝2；
（3）∵x2+mx﹣n＝0，
∴x2+mx＝n，
∴x（x+m）＝n，
∵大正方形的面积为15，小正方形的面积为5，
∴大正方形的面积是（x+x+m）2＝15，四个矩形的面积为（15﹣5）÷4＝2.5，
∵图2是由4个面积为2.5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为5，
∴n＝2.5，m2＝5，
∴m=❑√5（负值舍去）．5．（2024•深圳模拟）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝
52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的
面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车
位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收
入为10125元？
【分析】（1）根据题意列出方程（52﹣2x）（28﹣2x）＝640解答即可；
a
（2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，列出方程（200+a）（50− ）＝10125解答
5
即可．
【解答】解；（1）根据道路的宽为x米，根据题意得，
（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x ＝34（舍去），x ＝6，
1 2
答：道路的宽为6米．
（2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，
a
根据题意得：（200+a）（50− ）＝10125，
5
整理得：a2﹣50a+625＝0，
解得a＝25，
答：每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元．
6．（2023秋•济阳区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门
独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长
度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边CD靠院墙，AD和BC与院
墙垂直，设AB的长为x m．（1）当围成的矩形养殖园面积为100m2时，求BC的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离
网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到 100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理
由．
【分析】（1）设AB的长为x m，根据篱笆的总长及AB的长，可得出BC的长，利用矩形的面积公
式，可列出关于x的一元二次方程，解之即可求出结论；
30−y
（2）假设养殖园的面积能达到100m2，设AB的长为y m，则BC的长为 m，利用矩形的面积公
4
式，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣700＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得
出假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m2．
1
【解答】解：（1）设AB的长为x m，则矩形的宽BC= （30﹣x）m，
2
1
由题意得：x+ （30﹣x）＝100，
2
解得 x ＝10．x ＝20，
1 2
∵墙的最大可用长度为15米，
∴0＜x≤15，
∴x＝10，
即BC的长为10m；
（2）养殖园的面积不能达到100m2，理由如下：
30−y
假设养殖园的面积能达到100m2，设AB的长为y m，则BC的长为 m，
4
30−y
根据题意得：y• =100，
4
整理得：y2﹣30y+400＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m2．【考点10 一元二次方程的应用—销售问题】
1．（2024春•合肥期中）某超市将进货价为20元的玻璃杯以25元售出，平均每月能售出600个．调查表
明：这种玻璃杯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月5500元的销售利润，
超市决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种玻璃杯的售价应定为多少元？
【分析】玻璃杯的售价应定为x元，由题意得：（x﹣20）[600﹣10（x﹣25]＝5500，即可求解．
【解答】解：设：这种玻璃杯的售价应定为x元，
由题意得：（x﹣20）[600﹣10（x﹣25]＝5500，
解得：x＝30或x＝75，
当x＝30时，600﹣10（30﹣25）＝550，
当x＝75时，600﹣10（75﹣25）＝100，
∵550＞100，故x＝75应舍去，
答：这种玻璃杯的售价应定为30元．
2．（2024•深圳模拟）随着重庆动物园的熊猫新馆建成和使用，熊猫相应的文创物品类型更加丰富．某店
6
有A、B两种熊猫玩偶，已知每个A款熊猫玩偶的售价是每个B款熊猫玩偶售价的 倍，顾客用150元
5
购买A款熊猫玩偶的数量比用150元购买B款熊猫玩偶的数量少1个．
（1）求每个B款熊猫玩偶的售价为多少元？
（2）经统计，该店每月卖出A款熊猫玩偶100个，每个A款熊猫玩偶的利润为16元．为了尽快减少库
存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款熊猫玩偶的售价每降低2元，那么平均每月可
多售出20个．该店想每月销售A款熊猫玩偶的利润达到1200元，每个A款熊猫玩偶应降价多少元？
【分析】（1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为x元，根据顾客用1500元购买
A款电器的数量比用1500元购买B款电器的数量少1台．列出分式方程，解方程即可；
（2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到11700元，列出一元二次方程，
解之取满足题意的值即可．
6
【解答】解：（1）设每个B款熊猫玩偶的售价x元，则每个A款熊猫玩偶的售价为 x元，
5
150 150
= −
由题意得 6 x 1，
x
5
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，答：每台B款电器的售价为25元；
（2）每个A款熊猫玩偶应降价m元，
6
×25＝30，
5
m
由题意得（16﹣m）（100+ ×20）＝1200，
2
整理得：m2﹣6m﹣40＝0，
解得：m ＝10，m ＝﹣4，
1 2
∵为了尽快减少库存，
∴m＝10，
答：每个A款熊猫玩偶应降价10元．
3．（2023秋•铜梁区期末）杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩
偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利
10500元．
（1）求玩偶套装的进价是多少元？
（2）该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着
亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量
基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，这批玩偶已卖出的部分获利 4400元．求
第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？
【分析】（1）设玩偶套装的进价是x元，利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，可列出关于x的一
元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设应降价y元，则第二天的销量为（80+2y）套，售价为（90﹣y）元，根据销售结束时，这批玩
偶已卖出的部分获利4400元，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要在第四天内全
部卖出，即可确定结论．
【解答】（1）设玩偶套装的进价是x元，
根据题意有：100（108﹣x）+150（98﹣x）＝10500，
解得：x＝60，
即玩偶套装的进价是60元；
（2）设第二天降价y元，则第二天的销量为（80+2y）套，售价为（90﹣y）元，
根据题意有：（90﹣60）×80+（90﹣60﹣y）（80+2y）＝4400，
解得：y＝10 或 y＝﹣20不符合题意舍去，则第二天销量为80+20＝100（套），
∴第二天销售后，剩余的数量为：200﹣80﹣100＝20 （套），
答：第二天销售结束后还剩余20套玩偶套装．
4．（2023秋•武侯区校级期末）面向世界的年度文化盛会、四川建设文化强省的闪亮名片﹣﹣﹣2023天府
书展于10月13日至16日在四川成都开幕．本次盛会以“共享书香互鉴文明”为年度主题，定位“书
香天府盛典，出版发行盛会”，值得一提的是，成都将为市民举办一场“巴适的购书节”，为庆祝活动
的顺利召开，某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B
书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍．
（1）求商家购买A书籍和B书籍的进价．
（2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本34元时，平均每天可
卖出50本A书籍，25本B书籍，据统计，B书籍的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5本．商家在保
证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了尽快促进B的销量，要使A书籍和B书籍
平均每天的总获利为825元，则每本B书籍的售价定为多少元？
【分析】（1）设商家购买A书籍的进价是x元/本，则商家购买B书籍的进价是（40﹣x）元/本，利用
数量＝总价÷单价，结合用1600元购买A书籍的数量是用1200元购买B书籍的2倍，可列出关于x的分
式方程，解之经检验后，可得出商家购买A书籍的进价，再将其代入（40﹣x）中，即可求出商家购买
B书籍的进价；
（2）设每本B书籍的售价为y元，则每本B书籍的销售利润为（y﹣24）元，平均每天可卖出（355﹣
10y）本，利用总利润＝每本的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的
值，再结合要促进B的销量，即可确定结论．
【解答】解：（1）设商家购买A书籍的进价是x元/本，则商家购买B书籍的进价是（40﹣x）元/本，
1600 1200
根据题意得： = 2× ，
x 40−x
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意，
∴40﹣x＝40﹣16＝24．
答：商家购买A书籍的进价是16元/本，购买B书籍的进价是24元/本；
（2）设每本B书籍的售价为y元，则每本B书籍的销售利润为（y﹣24）元，平均每天可卖出25
33−y
+ ×5＝（355﹣10y）本，
0.5
根据题意得：（25﹣16）×50+（y﹣24）（355﹣10y）＝825，整理得：2y2﹣119y+1769＝0，
解得：y ＝29，y ＝30.5，
1 2
又∵要促进B的销量，
∴y＝29．
答：每本B书籍的售价为29元．
5．（2023秋•达州期末）某服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚 T恤衫，甲种款型共用了13500元，乙
种款型共用了10000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍少10件，甲种款型每件的进价比乙种
款型每件的进价少50元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）该服装店第一个月甲种款型的 T恤衫以200元/件的价格售出20件，乙种款型的T恤衫以280
元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的 T恤衫都进行降价a元销售，其
中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售量增加a件．结果第二个月的销售
总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．
【分析】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进（2x﹣10）件，根据甲种款型
每件的进价比乙种款型每件的进价少50元．列出分式方程，解方程即可；
（2）根据第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了 1000a元，列出一元二次方程，解方程，
即可解决问题．
【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进（2x﹣10）件，
13500 10000
依题意得： +50= ，
2x−10 x
解得：x＝20或50，
经检验，x＝20和x＝50都是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣10＝30或90，
答：甲种款型的T恤衫购进30件，乙种款型的T恤衫购进20件，或者甲种款型的T恤衫购进90件，乙
种款型的T恤衫购进50件；
（2）乙款的进价为：1000÷20＝500，
甲款的进价为：500﹣50＝450，
450＞200．不合题意，舍去，
当乙购进50件，甲购进90件时，
甲的进价为200元，甲的进价为200﹣50＝250元，
由题意可得：（200﹣a）×（20+4a）+（280﹣a）×（10+a）＝200×20﹣280×10+1000a，解得a＝10或0（舍去），
第二个月的销售利润＝（200﹣10﹣150）×（20+4×10）+（280﹣200﹣10）×（10+10）＝3800（元），
答：第二个月的销售利润为3800元．
6．（2023秋•江北区期末）某鲜花店出售甲、乙两种艺术花篮，八月份时，每个乙花篮的单价比甲花篮单
价低20元，一个甲花篮与两个乙花篮的售价之和为260元．
（1）八月份，甲、乙两种艺术花篮的销售单价分别是多少元？
（2）据统计八月份甲、乙两种艺术花篮分别销售了40个和50个；九月份，随着国庆节的即将到来，
顾客对艺术花篮的需求量增大，店主决定对甲种花篮进行降价促销，经市场调研，甲种花篮单价每降低
1元，预计销量比八月份增加3个；乙种花篮销售单价不变，但其销量相比八月份也有所增加，预计增
1
加的销量是甲种花篮增加销量的 ．若预计九月份甲、乙两种花篮的销售总额是11100元，求甲花篮应
3
降价多少元？
【分析】（1）设八月份，甲种艺术花篮的销售单价是x元，乙种艺术花篮的销售单价是y元，根据
“每个乙花篮的单价比甲花篮单价低20元，一个甲花篮与两个乙花篮的售价之和为260元”，可列出
关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种花篮应降价 y元，则甲种花篮的销售单价是（100﹣y）元，九月份甲种花篮的销量是
1
（40+3y）个，乙种花篮的销量是（50+ ×3y）个，利用销售总额＝销售单价×销售数量，可列出关于y
3
的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设八月份，甲种艺术花篮的销售单价是x元，乙种艺术花篮的销售单价是y元，
{ x−y=20 )
根据题意得： ，
x+2y=260
{x=100)
解得： ．
y=80
答：八月份，甲种艺术花篮的销售单价是100元，乙种艺术花篮的销售单价是80元；
（2）设甲种花篮应降价 y元，则甲种花篮的销售单价是（100﹣y）元，九月份甲种花篮的销量是
1
（40+3y）个，乙种花篮的销量是（50+ ×3y）个，
3
1
根据题意得：（100﹣y）（40+3y）+80（50+ ×3y）＝11100，
3
整理得：3y2﹣340y+3100＝0，310
解得：y ＝10，y = （不符合题意，舍去）．
1 2 3
答：甲花篮应降价10元．
【考点11 一元二次方程的应用—动点问题】
1．（2023秋•郑州月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24cm，AC＝16cm，现有动点P从点B出
发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的
速度是2cm/s，它们同时出发，经过 秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？
【分析】设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，根据点P的速度是4cm/s，点Q的速度是
2cm/s表示出BP＝4xcm，CQ＝2xcm，进而表示出AP＝（24﹣4x）cm，AQ＝（16﹣2x）cm，利用面积
表示出方程求解即可．
【解答】解：设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，
∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，
∴BP＝4xcm，CQ＝2xcm，
（1）当AP＝（24﹣4x）cm，AQ＝（16﹣2x）cm，
1 1 1
根据题意得： （24﹣4x）（16﹣2x）= × ×24×16，
2 2 2
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得：x＝2或x＝12（舍去）．
（2）当AP＝（4x﹣24）cm，AQ＝（2x﹣16）cm，
1 1 1
根据题意得： （4x﹣24）（2x﹣16）= × ×24×16，
2 2 2
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得：x＝2（舍去）或x＝12．
故答案为2或12．
2．（2024春•栾城区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边
AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果
点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
（1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理
由．
1
【分析】（1）△PBQ的面积等于 BP⋅BQ，设运动时间为t，则可用含t的式子表示PB，BQ，根据
2
数量关系，列方程即可求解；
（2）计算出△ABC面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解．
【解答】解：（1）点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点
Q运动到点C时，两点停止运动，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴点P从点A到点B的时间为6÷1＝6秒，点Q从点B到点C的时间为8÷2＝4秒，设点P，Q运动的时
间为t（0＜t≤4），
∴AP＝t，BQ＝2t，则BP＝6﹣t，
1 1
∴S = BP⋅BQ= (6−t)×2t=8，即t2﹣6t+8＝0，解方程得，t ＝2，t ＝4，
△PBQ 2 2 1 2
∴经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
1
∴S = ×6×8=24，
△ABC 2
1 1
设运动时间为a秒，根据题意得，S = (6−a)×2a= S =12，
△PBQ 2 2 △ABC
∴a2﹣6a+12＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×12＝36﹣48＝﹣12＜0，关于a的一元二次方程无解，
∴不存在△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半．
3．（2024•江阴市校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，
2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间
的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【分析】（1）过点P作PE⊥CD于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；
（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出△PBQ的底和高，代入面积公式即可求得．
【解答】解：（1）过点P作PE⊥CD于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，
8 24
∴x = ，x = ；
1 5 2 5
8 24
∴经过 s或 s，P、Q两点之间的距离是10cm；
5 5
（2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
16
①当0≤ y≤ 时，PB＝16﹣3y，
3
1 1
∴ PB⋅BC=12，即 ×(16−3 y)×6=12，
2 2
解得y＝4；
16 22
②当 ≤ y≤ 时，BP＝3y﹣16，QC＝2y，
3 3
1 1
则 BP⋅CQ= (3 y−16)×2y=12，
2 2
2
解得y =6，y =− （舍去）；
1 2 3
22
③ ＜y≤8时，QP＝CQ﹣PC＝22﹣y，
3
1 1
则 QP⋅CB= (22−y)×6=12，
2 2
解得y＝18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm2．
4．（2024•城关区校级模拟）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分
别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向
D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出
各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解
之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝3t cm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（16﹣
2t）cm．
故答案为：3t cm；（16﹣3t）cm；2t cm；（16﹣2t）cm．
1
（2）依题意得： [（16﹣3t）+2t]×6＝33，
2
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
8 24
解得：t = ，t = ．
1 5 2 5
8 24
答：当t为 或 时，点P和点Q的距离为10cm．
5 55．（2023秋•贵阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，
沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．
（1）运动几秒时，点P，Q相距6cm？
（2）△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？
【分析】（1）当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm，利用勾股定理，可列出
关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）假设△PCQ的面积能等于10cm2，当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）
cm，利用三角形的面积公式，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，可得出原方
程没有实数根，进而可得出假设不成立，即△PCQ的面积不能等于10cm2．
【解答】解：（1）6÷1＝6（秒）．
当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm，
根据题意得：t2+（8﹣t）2＝62，
整理得：t2﹣8t+14＝0，
解得：t ＝4−❑√2，t ＝4+❑√2．
1 2
答：运动（4−❑√2）秒或（4+❑√2）秒时，点P，Q相距6cm；
（2）△PCQ的面积不能等于10cm2，理由如下：
假设△PCQ的面积能等于10cm2，当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm，
1
根据题意得： t（8﹣t）＝10，
2
整理得：t2﹣8t+20＝0，∵Δ＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即△PCQ的面积不能等于10cm2．
6．（2023秋•绵阳期末）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB
边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于4❑√2cm？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积1：2的两部分？若能，求出运
动时间；若不能说明理由．
【分析】（1）设运动时间为t s（0≤t≤4），则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，根据△PBQ的面积等
于8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出使△PBQ的面积等于4❑√2cm2的运动时间；
（2）设运动时间为x s（0≤x≤4），则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，根据△PBQ的面积等于△ABC
的面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣12＜0，即可得出该方程无实数
根，即线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．
【解答】解：（1）当 PQ=4❑√2 时，
在Rt△PBQ 中，
∵BP2+BQ2＝PQ2
∴(6−t) 2+(2t) 2=(4❑√2) 2，
2 2
5t2﹣12t+4＝0，（5t﹣2）（t﹣2）＝0，t = t = ，t =2
1 5 1 5 2
2
∴当 t = t ＝2 时，PQ的长度等于 4❑√2．
1 5 2
（2）线段PQ能将△ABC分成面积1：2的两部分，理由如下：
设运动时间为x s（0≤x≤4），则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，1 1 1
依题意得： ×2x（6﹣x）= × ×6×8，
2 3 2
整理得：x2﹣6x+8＝0．
解得x ＝2，x ＝4，
1 2
即线段PQ能将△ABC分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4．
7．（2023秋•顺德区校级月考）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘
米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向
点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：
（1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ；
5
（2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的 ；
12
（3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）．
【分析】（1）等量关系为：AB﹣AP＝CQ，即16﹣2t＝t；
（2）四边形PBCQ为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间；
（3）需要分类讨论：BP＝QP，BP＝BQ和QP＝BQ三种情况．
【解答】解：（1）设两动点经过t秒时，使得BP＝CQ．
则16﹣2t＝t，
16
解得 t= ．
3
16
答：两动点经过 秒时，使得BP＝CQ；
3
5
（2）设两动点经过x秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的 ．则
12
1 5 1 5
（CQ+BP）•BC= AB•AD，即 ×（x+16﹣2x）×6= ×16×6，
2 12 2 12
8
解得 x= ．
38 5
答：两动点经过 秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的 ；
3 12
（3）两动点经过k（0≤k≤8）秒，使得△BQP是等腰三角形
①当BP＝QP时，过点Q作QH⊥BP于点H．
则PQ=❑√(BP−CQ) 2+HQ2，
所以 16﹣2k=❑√(16−2k−k) 2+62，
整理 得5k2﹣32k+36＝0，
16+2❑√19 16−2❑√19
解得 k = ，k = ；
1 5 2 5
②当BP＝BQ时，BQ=❑√BC2+CQ2．
则16﹣2k=❑√62+k2，
整理 得3k2﹣64k+220＝0．
32±2❑√91
解得k=
3
③当QP＝BQ时，❑√(BP−CQ) 2+HQ2=❑√BC2+CQ2，即❑√(16−2k−k) 2+62=❑√62+k2，
整理 得，（16﹣3k）2＝k2，
解得 k ＝4，k ＝8（与点B重合，舍去）．
3 4
16+2❑√19 16−2❑√19 32±2❑√91
综上所述，当两动点经过 秒或 秒或4秒或 秒时，使得△BQP是等腰三
5 5 3
角形
