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专题04 二次函数背景下的线段最值问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数背景下的单线段最值问题
题型2、二次函数背景下的双线段和最值问题
题型3、二次函数背景下的双线段差最值问题
题型4、二次函数背景下的线段定值问题
题型5、二次函数背景下的双线段距离最值问题
题型6、二次函数背景下的单线段最值问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限TOC
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
解决二次函数背景下的线段最值问题，核心在于用坐标法把几何线段长度表示为关于动点坐标的函数；
要紧紧抓住设点、表距离、化函数、求最值四个步骤，充分利用二次函数顶点、开口方向、对称轴及区间
端点；涉及两条线段和差最值时，常借助轴对称、将军饮马、三角形三边关系等几何模型进行转化；解题
中必须注意动点的取值范围与临界状态，所有结果均需回代检验．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数背景下的单线段最值问题
典例1 （24-25 九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B
的左边），与y 轴交于点C，连接BC ．
目 录
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(1)求A、B、C 三点的坐标；
(2)若点P 为线段BC 上的一点（不与B、C 重合），PM
y
∥
轴，且PM 交抛物线于点M，交x 轴于点N，当
线段PM 的长度最大时，求点M 的坐标；
(3)在（2）的条件下，当线段PM 的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得CNQ
为直角三角形，
直接写出点Q 的坐标．
题型模版
1.特征：在二次函数图象上给定一点或动点，求该点到某定点、定直线或坐标轴的线段长度最值．
2.方法：设出动点坐标，用两点间距离公式或点到直线距离公式表示目标线段长度的平方；转化为关于动点
横坐标（或纵坐标）的二次函数，利用顶点或区间端点求最值；注意动点坐标范围．
变式1-1 （25-26 九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，已知抛物线
(
)
2
4
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴相交于
点
(
)
1,0
A
和B ，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线
5
2
x =
．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图甲所示，若P 是线段BC 上的一个动点（不与点
,
B C 重合），过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点
Q ，连结OQ ，当线段PQ 的长最大时，判断四边形OCPQ 的形状，并说明理由；
(3)如图乙所示，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线相交于点E ，且
2
DQE
ODQ
=
，
连结BE．在y 轴上是否存在一点F ，使得BE
BF
=
？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1-2 如图，已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过A，B 两点，BC
x
⊥
轴于点C，且点
(
)
1 0
A −，，
(
)
4 0
C
，，
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AC
BC
=
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E 是线段AB 上一动点（不与A，B 重合），过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF 的长度
最大时，求点E 的坐标．
(3)点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P 点，使ABP
成为直角三角形？若存在，求出所
有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1-3 （25-26 九年级上·浙江湖州·期末）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函
数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数
2
y
x
=
+
与
2
y
x
=
，可以通过
消去y ，得到
2
2
x
x
=
+
，移项得
2
2
0
x
x
−
−
=
，因为
(
)
(
)
2
Δ
1
4 1
2
9
0
= −
−−
=
，所以它们有两个交点，我
们认为函数
2
y
x
=
与
2
y
x
=
+
是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点
(
)
,
P m n 作y 轴平行线，分别交函数图象于A
B
、两点，当线段AB 长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，
若此时n 为整数，则称点P 为“最优关联点”．
根据以上信息，完成下列问题：
(1)证明：函数
2
1
y
x
=
+ 与
2
5
5
y
x
x
= −
+
+ 是“关联函数”；
(2)求“关联函数”
2
1
y
x
=
+ 与
2
5
5
y
x
x
= −
+
+ 的“最优关联距离”；
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(3)若“关联函数”
2
1
y
x
=
+ 与
2
5
y
x
x
c
= −
+
+ （c 为整数）恰有三个“最优关联点”，求c 的值．
题型2、二次函数背景下的双线段和最值问题
典例2 （25-26 九年级上·河南信阳·期末）如图，抛物线
2
2
4
y
ax
ax
= −
+
+
与x 轴交于
( 2,0)
A −
、B 两点，与
y 轴交于点C，P 是抛物线上的任意一点（不与点C 重合），设点P 的坐标为( , )
m n ，过点P 作PM
y
⊥
轴于
点M，作PN
x
⊥
轴于点N．
(1)此抛物线的解析式为___________；
(2)当0
4
m
，
①则n 的取值范围是___________．
②是否存在一点P，使得PM
PN
+
的长度最大，若存在求出m 为何值时PM
PN
+
的长度最大，并求出最大
值，若不存在请说明理由；
(3)设点
(1, )
D
t ，点
(1,1
)
E
t
−
，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90后得到线段DF ，以DE ，DF 为边构造正方
形DEGF ，当正方形DEGF 的边与二次函数在1
4
x
范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出t
的值或取值范围．
题型模版
1.特征：要求两条线段长度之和的最小值或最大值，常与对称、将军饮马模型结合．
2.方法：利用轴对称或中心对称将其中一条线段转化，把“折线”拉直；找到共线时取最值的位置；用二次函
数表示剩余变量并求最值，回代检验．
变式2-1 如图，抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，与y 轴交于点C ．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点．
①当P 为抛物线的顶点时，求证：
PBC
△
直角三角形；
②求出
PBC
△
的最大面积及此时点P 的坐标；
③过点P 作PN
x
⊥
轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E ．当
2
PE
CE
+
的值最大时，求点P 的坐标．
变式2-2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
4
6
y
x
x
= −
+
+ 与y 轴交于点A，与x 轴交于点E，B（E
在B 的左侧）．
(1)如图2，抛物线的顶点为点Q，求BEQ
的面积；
(2)如图3，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD
平行于y 轴交AB 于点D、交AC 于点F，当点P 在何位置时，PD
CF
+
最大？求出最大值；
(3)在（2）条件下，当PD
CF
+
最大时，将抛物线
2
2
4
6
y
x
x
= −
+
+ 沿着射线AB 平移，使得抛物线经过点C，
此时得到新抛物y，点N 是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y上是否存在一点M，使以点A，D，M，
N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M 的所有坐标，若不存在，请说明理由．
变式2-3 如图，二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象过( 1,0)
A −
，
(3,0)
B
，
(0, 3)
C
−
三点，点D 是二次函数
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图象上一点，点D 的横坐标是m ，直线
1
2
x
m
=
与x 轴交于点E ，且0
3
m
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点D ，作DG ⊥直线
1
2
x
m
=
于点G ，作DF
x
⊥
轴于点F ，并交BC 于点H ．
①当
3
2
m =
时，求DH 的长；
②是否存在点D ，使DG
DH
+
最大？若存在，求出D 点坐标，若不存在，请说明理由．
题型3、二次函数背景下的双线段差最值问题
典例3 如图，已知抛物线过点
(
)
(
)
0,0 ,
5, 5
O
A
−
，且它的对称轴为直线
2
x =
．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第四象限, 当OAB
的面积为10 时．
①求B 的坐标；
②点P 足抛物线上的动点，当PA PB
−
的值最大时，求P 的坐标以及PA PB
−
的最大值．
题型模版
1.特征：要求两条线段长度之差的最大值或最小值，常涉及三角形两边之差小于第三边．
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2.方法：利用三点共线或对称转化，把差值转化为某条定长线段；结合动点所在二次函数解析式，确定取到
最值时的位置，注意等号成立条件．
变式3-1 （25-26 九年级上·浙江·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴
交于
(
)
1,0
A −
，B 两点，与y 轴交于点C，其对称轴为直线
1
x = ．
(1)求a，b 的值，并根据图象写出
0
y
时x 的取值范围；
(2)把点A 向上平移m 个单位得点
1A ．若点
1A 向右平移n 个单位，将与抛物线上的点
2
A 重合；若点
1A 向右平
移(
)
3
n +
个单位，将与抛物线上的点
3A 重合，其中
0
m
，
0
n
，求m，n 的值；
(3)抛物线上是否存在点P，使得PB
PC
−
最小，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
变式3-2 （25-26 九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
过点
(
)
0,0
O
，(
)
5,5
A
，
且它的对称轴为直线
2
x =
．解答下列问题．
(1)抛物线的解析式是______．
(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB
的面积为15时，求点B 的坐标．
(3)在（2）的条件下，若动点P 在抛物线上，当PA PB
−
的值最大时，求点P 的坐标和PA PB
−
的最大值．
变式3-3 （25-26 九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，已知抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称轴为
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直线
1
x = −，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
C
．
(1)求直线BC 和抛物线的解析式；
(2)在直线BC 上方抛物线上找一点 Q，使三角形BQC 面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积；
(3)在抛物线的对称轴
1
x = −上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上
找一点 N，使AN
CN
−
最大．写出点 M、点 N 的坐标；
题型4、二次函数背景下的线段定值问题
典例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于
( 3,0)
A −
、
(1,0)
B
两点，与y 轴交
于点
(0, 3)
C
−
．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D 是直线AC 下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD 面积的最大值及此时点D 的坐标；
(3)如图2，点N 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，直线
1
y
kx
k −
=
+
（k 为常数）交
抛物线于E 、F 两点（点E 、F 分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF 交x 轴于点P ，直线NE 交x
轴于点Q ．试探究MP MQ
是否为定值？若为定值，求出MP MQ
的值；若不是定值，请说明理由．
题型模版
1.特征：在二次函数背景下，某条线段长度或与线段相关的代数式为定值，要求证明或求值．
2.方法：用参数表示动点坐标，把目标线段长度或代数式化简；通过配方、因式分解或利用韦达定理消去参
数，证明结果与参数无关；注意取特殊值验证．
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变式4-1 已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （
0
a
）与x 轴有且只有一个交点
(
)
2,0
A
，且与y 轴于交于点B ．
(1)求a 与c 的关系式；
(2)若
1
a = 时，点
1
2,
P
c
在抛物线的对称轴上；
①若过B 点的直线l ：y
kx
m
=
+
（
0
k
）与抛物线只有一个交点；证明：直线l 平分
OBP
；
②设过P 点的直线与抛物线交于M ，N 点，则1
1
PM
PN
+
是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值
请说明理由．
变式4-2 如图，边长为4 的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A，点P 是抛物
线上点A，C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF
BC
⊥
于点F ，点D 、E 的坐标分别为(
)
0,3 ，(
)
2,0 ，
连接PD PE
．
、DE ．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)探究点P 的位置时发现：当点P 与点A或点C 重合时，PD与PF 的差均为定值，进而猜想：对于任意一
点P ，PD与PF 的差均为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；
(3)进一步探究发现：若将“使PDE
的面积为整数”的点P 记作“理想点”，则存在多个“理想点”．请你继续探
究：
①使PDE
的周长最小的点P 是不是一个“理想点”？如果是，求出该“理想点”坐标，如果不是，请说明理由；
②直接写出所有“理想点”个数．
变式4-3 （2025 九年级·全国·专题练习）如图，已知在以O 为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为
(
)
1, 4
A
−
−
，
且经过点
(
)
2, 3
B
−
−
，与x 轴分别交于C，D 两点．
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(1)该抛物线的表达式为________________．
(2)如图①，M 是抛物线上的一个动点，且在直线OB 的下方，过点M 作x 轴的平行线与直线OB 交于点N．求
MN 的最大值．
(3)如图②，过点A 的直线交x 轴于点E，且AE
y
∥
轴，点P 是抛物线上A，D 之间的一个动点，直线PC，
PD 与AE 分别交于F，G 两点．当点P 运动时，EF
EG
+
是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请
说明理由．
题型5、二次函数背景下的双线段距离最值问题
典例5 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,正方形OABC 的边长为2cm,点A、C 分别在y 轴的负半轴和x
轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、B 和D（4，
2
3
−
）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点B 运动,同时点Q 由点B 出发,沿BC 边以1cm/s 的
速度向点C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．
①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式,并写出t 的取值范围;
②当S 取5
4 时，在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,
求出R 点的坐标;如果不存在,请说明理由．
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（3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M 到D、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标．
题型模版
1.特征：两条动线段或一条定线段与一条动线段之间距离的最值，常与平行线间距离、垂线段最短相关．
2.方法：将距离转化为点到直线的距离或平行线间距离；建立关于动点坐标的函数关系；利用二次函数最值
或几何性质求解，注意临界位置．
变式5-1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D 坐标为(
)
1 4
，，与x 轴交于A、B 两点（A 在B 的左侧），
且B 坐标为(
)
3 0
，，与y 轴交于点C．
(1)求抛物线和直线AC 的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点M，使M 到B、C 两点的距离之差的绝对值最大，求出点M 的坐标及最大绝对
值；
(3)点P 是x 轴上的一个动点，过P 作直线l
AC
∥
交抛物线于点Q．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上
是否存在点Q，使以点A，P ，Q ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q 的坐标；若
不存在，请说明理由．
变式5-2 如图，已知直线
3
y
x
= −−
与x 轴交于点B，与y 轴交于点C；抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称
轴为直线= 1
x −，且抛物线经过B，C 两点．
(1)求B、C 两点的坐标和抛物线的解析式；
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(2)抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
与x 轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴= 1
x −上找一点M，使点M
到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
(3)在直线BC 的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NBC
的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若
不存在，请说明理由；
(4)设点P 为抛物线的对称轴= 1
x −上的一个动点，直接写出当BPC
为直角三角形时点P 的坐标．
变式5-3 如图，已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称轴为直线
1
x = −，且抛物线与x 轴交于A、B 两点，
与y 轴交于C 点，其中
(1,0)
A
，
(0,3)
C
.
（1）若直线y
mx
n
=
+
经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴
1
x = −上找一点M ，使点M 到点A的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的
坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴
1
x = −上的一个动点，求使BPC
为直角三角形的点P 的坐标.
题型6、二次函数背景下的单线段最值问题
典例6 如图1，抛物线
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴交于
(
)
3,0
A −
和
(
)
1,0
B
两点，与y 轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)P 是抛物线上，位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作PD
AC
⊥
于点D，求P 坐标为何值时PD最大，
并求出最大值；
(3)如图②，将原抛物线向左平移2 个单位长度得到抛物线y，y与原抛物线相交于点M，点N 为原抛物线
对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H 为顶点的四边形为矩形，若存
在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．
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题型模版
1.特征：在含参数的二次函数背景下，单线段最值随参数变化，要求确定参数值或最值范围．
2.方法：先用参数表示动点坐标及目标线段长度；把长度表达式化为关于动点坐标的二次函数，其最值往往
与参数有关；根据题意列关于参数的不等式或方程求解，回代验证．
变式6-1 如图1，已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的顶点坐标为（1，9
2 ），其图象与x 轴交于A、B 两点，其中
点
(
)
4 0
B
，，与y 轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P 为线段BC 上方抛物线上的一点，当点P 到线段BC 的距离最大时，求点P 的坐标；
(3)如图2，已知点M 为对称轴上一点，点N 为抛物线上一点，若以点B、C、M、N 为顶点的四边形为平行
四边形，求点N 的坐标．
变式6-2 如图1，抛物线
2
3
16
y
x
= −
平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与x 轴相交于点C，
与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；
（2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P，点M 为线段OA 上一动点，
PMN
为直角，边MN 与AP 相交于
点N，设OM
t
= ，试探求：
①t 为何值时MAN
为等腰三角形；
②为何值时线段PN 的长度最小，最小长度是多少．
变式6-3 在平面直角坐标系中，二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象与x 轴交于
(
)
1,0
A
，(
)
3,0
B
两点，与y 轴交
于点C．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q，
当线段PQ 的长度最大时，求点Q 的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q 的直线与抛物线交于点D，且
2
CQD
OCQ
=
．在y 轴上是否存在
点E，使得BDE
为等腰三角形？若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
y
ax
bx
=
+
+
与x 轴交于两点
1 ,0
2
A
−
，B（点A 在B 左边），
交y 轴于C，点
7
3, 2
P
是抛物线上一点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)在对称轴上找一点M，使MA
MC
+
的值最小，求点M 的坐标；
(3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使
45
QCP
=
？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图1，抛物线
²
y
x
bx
c
−
=
+
+
过点
(
)
(
)
1,0 ,
3,0
A
B
−
．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，
①当P 为抛物线的顶点时，求证：
PBC
△
是直角三角形；
②求出
PBC
△
的最大面积及此时P 点的坐标；
③如图2，过点P 作PN
x
⊥
轴，垂足为N，PN 与BC 交于点E．当
2
PE
CE
+
的值最大时，求点P 的坐标．
27．（25-26 九年级上·天津武清·阶段检测）如图，已知抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与一条直线相交于
(
)
(
)
1,0
2,3
A
C
−
，
两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．
(1)求抛物线及直线AC 的函数表达式；
(2)点P 为对称轴上一动点，求当PA
PN
+
最小时点P 坐标，并求出最小值．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点M ，使以A
N
M
，，
为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写
出M 点的坐标．若不存在，请说明理由．
28．如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 经过
(
3 0
3
(
)
)
0
B
C
，、
，两点，与x 轴负半轴相交于点A．
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(1)求抛物线的解析式：
(2) D 为抛物线的顶点．P 为对称轴右侧抛物线上一点，连接PC
BD
、
交于点E ，若BE
CE
=
，求点P 的坐
标：
(3)点Q 为x 轴上方抛物线上一动点，点G 是抛物线对称轴与x 轴的交点．直线AQ
BQ
、
分别交抛物线的对称
轴于点M
N
、
． 以下两个结论：
①GM
GN
+
为定值：②GM
GN
−
为定值．
请找出正确的结论，并求出该定值．
29．（2025·湖南岳阳·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴交于点
(
)
(
)
1,0 ,
3,0
A
B
−
，与y 轴交于点C ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD
BC
⊥
交BC 于点D ，求线段PD的最大值及
此时点P 的坐标；
(3)如图2，过平面上一点(
)
3,2
T
作任意一条直线KQ 交抛物线于K
Q
，
两点，过点A作直线AK
AQ
，
，分别
交y 轴于M
N
，
两点，试探究OM 与ON 的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
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30．（24-25 九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
−的图
象与x 轴相交于点
(
)
1,0
A −
、B，与y 轴相交于点C，其对称轴是直线
1
x = ．
(1)a =______，b = ______；
(2)连接BC ，P 是抛物线上一动点，记点P 横坐标为p，满足1
3
p
，过点p 分别作PD
x
轴，交抛物线
于点D，作PE
BC
⊥
，垂足为E，求
2
PD
PE
+
的最大值；
(3)将原抛物线向右平移一定距离，使得平移后的抛物线经过点B，M 是第二象限原抛物线上的一点，过点
M 作直线MB ，交平移后抛物线于点N．记点M、N 的横坐标分别为m、n，判断n
m
−
的值是否为定值，若
是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
31．（25-26 九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称轴为直线
1
x = −，且
经过
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
C
两点，与x 轴的另一个交点为B ．
(1)若直线y
mx
n
=
+
经过B，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴
1
x = −上找一点M ，使点M 到点A的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；
(3)若点D 是抛物线的顶点，
BCD
是否为直角？若是，请说明理由．
32．已知抛物线
1
C ：
2
2
y
x
x
k
= −
−
+
与抛物线
2
C 关于原点对称，
1
C 和
2
C 的顶点分别是E．
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(1)若
3
k = ，直接写出抛物线
2
C 的解析式： ；
(2)如图1，若
0
k
，点P 是x 轴上一个动点，过P 作x 轴的垂线交
1
C 于A 点，交
2
C 于B 点，求AB 的最小
长度（用含k 的式子表示）．
(3)如图2，若两条抛物线
1
C 和
2
C 相交于G，H，当四边形EGFH 是矩形时，求k 的值．
33．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线L 的顶点坐标为(
)
4,36 ，与y 轴交于点
(
)
0,20
C
，与x 轴交于点A，
B（点A在点B 左侧）．
(1)求抛物线L 的解析式和A，B 两点坐标；
(2)线段OB 上的两个点
(
)
(
)
,0 ,
1,0
D m
E m +
，分别过点D，E 作x 轴的垂线交抛物线L 于点N，M，连接MN ．
①线段ME 的长度能否为线段DN 长度的2 倍，若能，求出m 的值，若不能，请说明理由；
②当m 为何值时MN 的值最小，最小值是多少？
③当2
5
MN
时，直接写出m 的取值范围．
34．如图，函数
2
1
y
x
=
−的图象
1
C 与函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象
2
C 相交于( 1,0)
A −
，
(2,3)
B
两点．直线
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( 1
2)
x
t
t
=
−
与图象
1
C ，
2
C 分别交于E，F 两点．
(1)求b，c 的值．
(2)设直线
( 1
2)
x
t
t
=
−
与线段AB 交于点D，记BDF
和ADE
的面积分别为
1S ，
2
S ，当
1
2
S
S
=
时，求t
的值．
(3)若t 满足
1
a
t
a
+ ，且1
1
a
−
，试问t 取何值时，线段EF 的长度最大？并求出这个最大长度．
35．已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a，b，c 为常数，
0
a
）的顶点
(
)
1,4
D
，抛物线与x 交于点
(
)
1,0
A −
和B，
与y 轴交于点C．平面直角坐标系内有点
(
)
2,0
G
和点
17
0, 4
H
．
(1)求抛物线的解析式及点B 坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点E，使HE
AE
+
的值最小，求点E 的坐标；
(3)若F 为抛物线对称轴上的一个定点，
①过点H 作y 轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点
(
)
,
P m n 都满足P 到直线l 的距离与它到定点F 的距离
相等，求点F 的坐标；
②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使FP
GP
+
最小，若存在，求出点P 的坐标及FP
GP
+
的最
小值；若不存在，请说明理由．
36．（25-26 九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线
2
2
3
=
−
−
y
ax
ax
（a 为常数）经过点(
)
3, 6
−
，过点
(
)
2 ,0
A
t
与x 轴垂直的直线交抛物线于点B ，点O为平面直角坐标系的原点．
(1)求a 的值．
(2)连结OB ，线段OB 交抛物线于点C ，
①若点C 为线段OB 的中点，求t 的值．
②若点B ，C 满足1
1
3
2
BC
OB
，请直接写出t 的取值范围：_________．
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37．如图，已知抛物线
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ 与x 轴相交于A，B 两点（点B 在点A的左侧），与y 轴交于点C ．
(1)求点A，B ，C 的坐标．
(2)在抛物线的对称轴l 上是否存在点M ，使得
AMC
△
的周长最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，
请说明理由．
(3)若点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，求点P 到直线BC 距离的最大值．
38．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A B
，在x 轴上，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点
( 4,5)
B
D −
，
两点，且与直线DC 交于另一点E ．
(1)求抛物线的解析式；
(2) F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q
F
E
B
，，，为顶点的四边形
是以BE
BF
、
或EB
EF
、
边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME
BP
，
，探究EM
MP
PB
+
+
是否存
在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（2025·吉林·二模）在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线
2
y
x
ax
=
+
（a 是常数）的对称轴是
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直线
2
x =
，点P、Q 均在抛物线上，它们的横坐标分别为m 和4
m
−
，其中
2
m
．当点P 不在x 轴上时，
作点P 关于点O的对称点M ，作点Q 关于点(2,0) 的对称点N ，连接MN．
(1)求该拋物线对应的函数表达式；
(2)证明：点M 与点N 始终关于y 轴对称；
(3)当直线MN 与抛物线
2
y
x
ax
=
+
（a 是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为E、F（点E 在点F 左
侧）．
①当点E、F 在线段MN 上时，求m 的取值范围；
②当
3
ME
NF
=
时，直接写出m 的值．
40．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数
2
1
1
4
2
y
x
bx
= −
+
+
与一次函数
2
4
y
kx
=
+
交于点
(
)
4,0
A
，与y 轴交
于点B．
(1)求b，k 的值；
(2)若点
(
)
1,
P x m ，
(
)
2,
Q x m 在二次函数
1y 上，且
1
2
x
x
，
(
)
3,
M x m 在一次函数
2y 上．
①若
2
2
PQ
AB
=
，求m 的值；
②若
3
PM
QM
=
，求点M 的坐标．
