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专题04 利用勾股定理求最短路径问题
常考题型·精准突破
题型1 圆柱中的最短路径模型（高频）
题型2 长方体中的最短路径模型（难）
题型3 阶梯中的最短路径模型
题型4 将军饮马与最短路径模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 圆柱中的最短路径模型
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高AB 为4，BC 是上底的直径，
一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到C ，则爬行的最短距离是________．
2．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径
24
π
AB =
，高
10
BC =
，P 为BC
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的中点．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱的表面爬到P 点的最短距离为_________．
3．（25-26 八年级下·河南安阳·阶段检测）如图①，一个圆柱的底面周长为12cm，高为16cm，用一根绳子
从点A 出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？
解：圆柱①的侧面沿AB 剪开，展开图如图②所示．
在ABC
中，C
= ______，AC =______cm，BC = _______cm，则运用“________”可求AB =_______cm．
由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________cm．
◆题型2 长方体中的最短路径模型
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理
进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
4．（25-26 八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4 的长方体，现有一只蚂
蚁在长方体的表面上从N 点向M 点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______．
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5．（25-26 八年级上·全国·单元复习）如图，长方体的长
5
AB =
，宽
4
BC =
，高
6
AE =
，三只蚂蚁沿长方体
的表面同时以相同的速度从点A出发到点G 处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱EH 后到达点G 处（即
A
P
G
→
→
），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱EF 后到达点G 处（即A
M
G
→
→
），蚂蚁丙的行走路径为翻过
棱BF 后到达点G 处（即A
N
C
→
→
）．
(1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？
(2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？
6．（2026 八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A B
，两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A B
，对
应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________cm ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A 开
始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B 停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A 到顶点B 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高AB 为7cm ，底面边长为4cm ，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径AC 为4cm ，点A 处有一只蚂蚁沿
如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B 处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）
◆题型3 阶梯中的最短路径模型
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【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：
注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
7．（2026·山东潍坊·一模）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5dm、3dm、1dm，A
和B 是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从A点沿着台阶面爬到B 点，其爬行的最短距离是________dm．
8．（25-26 八年级下·吉林松原·期中）2026 年2 月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子U
型池场地金牌的运动员，如图，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的
部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘
18m
AB
CD
=
=
，点E 在CD上，
2m
CE =
．从A点滑到E 点，滑行
的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，π 取3）
9．（25-26 八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长AB 为7m ，宽AD为4m 的长方形草地上放着一根长
方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过
木块到达点C 处需要走的最短路程是多少？
◆题型4 将军饮马与最短路径模型
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：
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解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
10．（25-26 八年级上·四川成都·期中）有一个圆柱形玻璃杯高9cm，底面周长为30cm，有一只蚂蚁在一侧
距下底3cm 的外侧A 点，与点A 正对的容器内侧距下底7cm 的B 点处有一饭粒，蚂蚁想吃B 处的饭粒，要
从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬________cm．
11．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，点A、B 是位于笔直河道CD两侧的两个工厂，工厂A到河道
的距离AC 为6km，工厂B 到河道的距离BD为3km ，BF 是垂直于AC 的地下管道，且BF 交AC 的延长线
于点F ，经测量，
12km
BF =
，现准备在河边某处修一个污水处理厂E ，为使点E 到工厂A、B 之间的距离
之和最小，点E 需在线段AB 上，求此时点E 到工厂A和工厂B 的距离之和AE
BE
+
．（污水处理厂、工厂
的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计）
12．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以
下素材并解决问题．
素
材
一
【提出问题】求代数式
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值．
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素
材
二
【建立模型】如图1，
2
23
x +
可看作直角
边分别是x 和3 的直角三角形的斜边，
(
)
2
2
12
2
x
−
+
是直角边分别是12
x
−
和2
的直角三角形的斜边．构造两个直角三角
形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角
边在同一直线上，这时
12
12,
3,
2
CF
x
x
AC
DF
=
+
−
=
=
=
，
问题就转为“在CF 上求点B，使．AB
BD
+
最小”问题．
素
材
三
【解答过程】如图2，连接AD，交CF 于点
B，此时．AB
DB
+
的值最小，将AC 延长
至点H，使得
2
CH
DF
=
=
，连接HD ．∵
3
2
5,
12
AH
AC
CH
HD
CF
=
+
=
+
=
=
=
，∴
在Rt ADH
中，
2
2
5
12
13
AD =
+
=
，∴
min
13
AB
DB
AD
+
=
=
，∴
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值是13．
(1)任务一：【解决问题】代数式
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
+
+
−
+
的最小值为 ．
(2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽8km ，村庄A 点到河岸的垂直距离为3km ，村庄
B 点到河岸的垂直距离为5km，且点A，B 到河岸的垂足之间的水平距离为15km．现计划在河上建一座垂
直于河岸的桥PQ ，使得从A 到P，过桥PQ ，再从Q 到B 的路程最短，则最短路程为 km．
(3)任务三：思维拓展：已知正数x 满足
2
2
81
144
15
x
x
−
+
−
=
，求x 的值．
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综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·云南昆明·期中）攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如
图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A 攀爬到点B
的最短路径长为（ ）m ．
A．14
B．12
C．10
D．6 2
2．（25-26 八年级上·广东茂名·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm ，底面周长
为12cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的容器外壁，且
距离容器顶部1cm的点B 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（ ）
A．10cm
B．8cm
C．12cm
D．13cm
3．
（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，已知
90
B
C
D
E
=
=
=
=
，且
3
AB
CD
=
=
，
8
BC
DE
=
=
，
6
EF =
，则A，F 两点间的最短路径是（ ）
A．16 5
B．20
C．20 5
D．24
4．
（25-26 八年级上·山西运城·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形ABCD，现已知
30m
AB =
，
50m
AA=
，
欲从点A 开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1 圈，最后到达点A处，则最短距离为（ ）m．
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A．80
B．100
C．120
D．130
5．（25-26 八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在底面周长约为6m的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A
处沿花柱表面均匀地盘绕2 圈到达柱顶点C，且B 为AC 的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约16m，则这串
装饰彩灯至少长为（ ）
A．20m
B．16m
C．24m
D．32m
二、填空题
6．（25-26 八年级上·贵州贵阳·期中）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中
2,
4,
5
AE
DE
BC
=
=
=
．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是__________________．
7．（25-26 八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm ，点B 离点C
的距离是5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B ，需要爬行的最短路程是_______cm．
8．（25-26 八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间而变形，
中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为8 m
π
，已知
11m
AE
BF
+
=
，
8m
BC =
，一只蚂蚁从A 点
爬到C 点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______m 的路程．
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9．（25-26 八年级上·江西南昌·期末）如图，牧童在A处放牛，其家在B 处，,
A B 到河岸的距离分别为AC 和
BD，且
300m
AC
BD
=
=
，若河岸CD的长度为800m ，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离
_____．
10．（25-26 八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个直六棱柱，底面边长均为4cm ，侧棱
7
AB
cm
=
，有一只
蚂蚁从底面的顶点A 处绕六棱柱侧面爬行一圈到达上底面的顶点B 处，则蚂蚁爬行的最短路线长为
___________cm ．
三、解答题
11．（25-26 八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天
吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6 米
且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2 圈到达柱顶正上方（从点A
到点C，B 为AC 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16 米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？
12．（25-26 八年级下·全国·单元测试）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），
有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角
1
C 处．
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(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当
1
4
5
AB
BC
CC
=
=
=
，
时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方．
13．（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员
上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两
段，该平台的长度约为1m．若油罐高约18m，油罐底面圆直径约为50 m
3
，且顶处的扶手位置处于底面扶手
正对面上．
(1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为9m，求旋梯的扶手长度l 的最小值．
(2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的l 最小值．（本题（1）（2）中π
3
）
14．（25-26 八年级上·河南郑州·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1 是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，
3dm ，2dm，A和B 是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则
蚂蚁沿着台阶面爬行到B 点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过计算得到AB
长度即为最短路程，则AB = dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 厘米，高是7 厘米，一只蚂蚁从点A出发沿
着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B 处有一滴蜂蜜，此
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时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程是
多少厘米？（杯壁厚度不计）
15．（25-26 八年级上·江苏扬州·期中）如图，C 为线段BD上一动点，分别过点B、D 作
,
AB
BD ED
BD
⊥
⊥
，
连接AC
EC
、
，已知
5,
1,
8
AB
DE
BD
=
=
= ，设CD
x
=
．
(1)则AC 的长为_______（用含x 的代数式表示），CE 的长为_______（用含x 的代数式表示）；
(2)当点C 在BD上运动时，求AC
CE
+
的最小值；
(3)根据（2）中的规律和结论，则代数式
(
)
2
2
4
12
9
x
x
+
+
−
+
的最小值为_______；
(4)仿照上面的方法，则代数式(
)
2
2
4
9
4
x
x
−
+
−
+
（x 是任意实数）的最大值为_______．
