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专题04 利用勾股定理求最短路径问题
常考题型·精准突破
题型1 圆柱中的最短路径模型（高频）
题型2 长方体中的最短路径模型（难）
题型3 阶梯中的最短路径模型
题型4 将军饮马与最短路径模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 圆柱中的最短路径模型
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高AB 为4，BC 是上底的直径，
一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到C ，则爬行的最短距离是________．
【答案】5
【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题．
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【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点A出发，沿着线段AC 爬行时，距离最短；
由题意知，
4
AB =
，BC 为圆柱体底面周长的一半，即
1
6
3
2
BC =
=
，
∴
2
2
2
2
4
3
5
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
即爬行的最短距离是5．
2．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径
24
π
AB =
，高
10
BC =
，P 为BC
的中点．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱的表面爬到P 点的最短距离为_________．
【答案】13
【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵P 为BC 的中点，高
10
BC =
，
∴
1
5
2
PB
BC
=
= ，
将圆柱侧面展开，如图所示：
∵这个圆柱的底面圆的直径为24
π ，
∴在侧面展开图中，
1 π
2
π
2
24
1
AB
=
=
，PB
AB
⊥
，
∴在Rt ABP
中，
2
2
13
PA
AB
PB
=
+
=
，
即一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P 点的最短距离为13．
3．（25-26 八年级下·河南安阳·阶段检测）如图①，一个圆柱的底面周长为12cm，高为16cm，用一根绳子
从点A 出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？
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解：圆柱①的侧面沿AB 剪开，展开图如图②所示．
在ABC
中，C
= ______，AC =______cm，BC = _______cm，则运用“________”可求AB =_______cm．
由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________cm．
【答案】90；12；16；勾股定理；20；两点之间，线段最短；AB ；20
【分析】根据题干图结合勾股定理和“两点之间，线段最短”作答即可．
【详解】解：圆柱①的侧面沿AB 剪开，展开图如图②所示．
在ABC
中，
90
C
=
，
12
AC =
cm，
16
BC =
cm，则运用“勾股定理”可求
(
)
2
2
12
16
20 cm
AB =
+
=
．
由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段AB 的长，即绳长至少为20cm．
◆题型2 长方体中的最短路径模型
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理
进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
4．（25-26 八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4 的长方体，现有一只蚂
蚁在长方体的表面上从N 点向M 点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______．
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【答案】74
【分析】分为从上表面爬到和从右侧面爬行两种情况讨论，画出对应的展开图，再利用勾股定理进行计算，
对比后得出结论．
【详解】解：①当蚂蚁从上表面爬到点M 时，长方体表面展开如下：
∴
2
2
2
5
7
74
MN =
+
=
；
②当蚂蚁从右侧面爬到点M 时，长方体表面展开如下：
∴
2
2
2
4
8
80
MN =
+
=
，
∵80
74
，
∴蚂蚁爬行的最短距离的平方为74 ．
5．（25-26 八年级上·全国·单元复习）如图，长方体的长
5
AB =
，宽
4
BC =
，高
6
AE =
，三只蚂蚁沿长方体
的表面同时以相同的速度从点A出发到点G 处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱EH 后到达点G 处（即
A
P
G
→
→
），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱EF 后到达点G 处（即A
M
G
→
→
），蚂蚁丙的行走路径为翻过
棱BF 后到达点G 处（即A
N
C
→
→
）．
(1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？
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(2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？
【答案】(1)137 ，125，117
(2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达
【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论；
（2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的大小，即可得出结论．
【详解】（1）解：将长方体表面展开，
如图1，连接AG ，
在Rt AFG
中，
90
AFG
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
4
6
5
4
11
137
S
AG
GF
AE
EF
=
=
+
+
=
+
+
=
+
=
甲
，
如图2 ，连接AG ，
在Rt ABG
中，
90
ABG
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
5
6
4
5
10
125
S
AG
AB
BF
FG
=
=
+
+
=
+
+
=
+
=
乙
，
如图3，连接AG ，
在Rt ACG
中，
90
ACG
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
5
4
6
9
6
117
S
AG
AB
BC
CG
=
=
+
+
=
+
+
=
+
=
丙
，
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甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是137 ，125，117 ；
（2）解：137
125
117
，即
2
2
2
S
S
S
甲
乙
丙，
S
S
S
甲
乙
丙，
又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发，
行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达，
即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．
6．（2026 八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A B
，两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A B
，对
应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________cm ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A 开
始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B 停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A 到顶点B 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高AB 为7cm ，底面边长为4cm ，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径AC 为4cm ，点A 处有一只蚂蚁沿
如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B 处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）
【答案】（1）15，（2）26cm （3）25cm （4）10cm
【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间
线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长
度，进而构建直角三角形求解．
【详解】解：（1）展开后A、B 、C 构成直角三角形，两直角边分别为9cm和12cm．
根据勾股定理，最短路径为：
2
2
9
12
81 144
225
15cm
+
=
+
=
=
（2）底面是正方形，周长为3 4
12cm
=
，垂直方向为直四棱柱的高10cm，绕一周高为
(
)
10
2
5 cm
=
，
根据勾股定理，
2
2
12
5
144
25
169
13cm
+
=
+
=
=
，
绕两周彩条最短长度为：13 2
26cm
=
；
（3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为4 6
24cm
=
，绕一周垂直长度为7cm ；
根据勾股定理，金属丝最短长度为：
2
2
24
7
576
49
625
25cm
+
=
+
=
=
（4）底面是半圆长加一个半径，
3 2
2
8
r
r
+ = +
= ，高为6cm ，
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根据勾股定理，爬行最短长度为
2
2
m
8
0
6
1
0
0
1 c
+
=
=
．
◆题型3 阶梯中的最短路径模型
【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：
注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
7．（2026·山东潍坊·一模）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5dm、3dm、1dm，A
和B 是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从A点沿着台阶面爬到B 点，其爬行的最短距离是________dm．
【答案】13
【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到B 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定
理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
3 3 1 3 12
AC
dm
= + =
，
5
BC
dm
=
，
2
2
2
2
12
5
13
AB
AC
BC
dm
=
+
=
+
=
，
即蚂蚁爬行的最短线路为13dm．
8．（25-26 八年级下·吉林松原·期中）2026 年2 月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子U
型池场地金牌的运动员，如图，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的
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部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘
18m
AB
CD
=
=
，点E 在CD上，
2m
CE =
．从A点滑到E 点，滑行
的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，π 取3）
【答案】20
【分析】将半圆面展开成矩形，连接AE ．则AE 是最短距离，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接AE ．
根据题意，得
18m
AB
CD
=
=
，
(
)
18
2
16 m
DE
CD
CE
=
−
=
−
=
．
2
4
4
12m
2
π
π
AD
=
=
，
在Rt
ADE
△
中，由勾股定理，得
(
)
2
2
2
2
12
16
20 m
AE
AD
DE
=
+
=
+
=
，
从A点滑到E 点，滑行的最短路程是20m．
9．（25-26 八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长AB 为7m ，宽AD为4m 的长方形草地上放着一根长
方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过
木块到达点C 处需要走的最短路程是多少？
【答案】97 米
【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解
题的关键．
先画出展开图，再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是
2
AB+ 个正方形的宽，
长为7
2 1
9
+ = 米；宽为4 米．
∴最短路径为：
2
2
9
4
97
+
=
（米）．
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◆题型4 将军饮马与最短路径模型
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
10．（25-26 八年级上·四川成都·期中）有一个圆柱形玻璃杯高9cm，底面周长为30cm，有一只蚂蚁在一侧
距下底3cm 的外侧A 点，与点A 正对的容器内侧距下底7cm 的B 点处有一饭粒，蚂蚁想吃B 处的饭粒，要
从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬________cm．
【答案】17
【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再
确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
从点A 处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC 为圆柱体的底面周长的一半，再由勾股定理
进行解答即可．
【详解】解：如图：作沿上沿B 点的对称点B，作
⊥
AC
BB 于C，
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∵高9cm，底面周长为30cm，有一只蚂蚁在一侧距下底3cm 的外侧A 点，与点A 正对的容器内侧距下底7cm
的B 点处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿9
7
2cm
−
=
与饭粒相对的点B 处，
∴依题意得：
1
30
15cm
2
AC =
=
，
(
)
7
3
2 2
8cm
B C
BC
BB
=
+
=
−
+
=
，
连接AB，则AB即为最短距离，
2
2
15
8
17
AB =
+
=
故答案为：17．
11．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，点A、B 是位于笔直河道CD两侧的两个工厂，工厂A到河道
的距离AC 为6km，工厂B 到河道的距离BD为3km ，BF 是垂直于AC 的地下管道，且BF 交AC 的延长线
于点F ，经测量，
12km
BF =
，现准备在河边某处修一个污水处理厂E ，为使点E 到工厂A、B 之间的距离
之和最小，点E 需在线段AB 上，求此时点E 到工厂A和工厂B 的距离之和AE
BE
+
．（污水处理厂、工厂
的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计）
【答案】15km
【分析】连接AB 交CD于点E ，依题意，
6 3
9
AF
AC
CF
=
+
=
+ =
，
12
BF =
，在Rt ABF
中，根据勾股定
理即可求解．
【详解】解：如图，连接AB 交CD于点E ，
依题意，
6 3
9
AF
AC
CF
=
+
=
+ =
，
12
BF =
在Rt ABF
中，
2
2
2
2
9
12
15
AB
AF
FB
=
+
=
+
=
，即AE
BE
+
为15km ．
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12．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以
下素材并解决问题．
素
材
一
【提出问题】求代数式
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值．
素
材
二
【建立模型】如图1，
2
23
x +
可看作直角
边分别是x 和3 的直角三角形的斜边，
(
)
2
2
12
2
x
−
+
是直角边分别是12
x
−
和2
的直角三角形的斜边．构造两个直角三角
形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角
边在同一直线上，这时
12
12,
3,
2
CF
x
x
AC
DF
=
+
−
=
=
=
，
问题就转为“在CF 上求点B，使．AB
BD
+
最小”问题．
素
材
三
【解答过程】如图2，连接AD，交CF 于点
B，此时．AB
DB
+
的值最小，将AC 延长
至点H，使得
2
CH
DF
=
=
，连接HD ．∵
3
2
5,
12
AH
AC
CH
HD
CF
=
+
=
+
=
=
=
，∴
在Rt ADH
中，
2
2
5
12
13
AD =
+
=
，∴
min
13
AB
DB
AD
+
=
=
，∴
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值是13．
(1)任务一：【解决问题】代数式
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
+
+
−
+
的最小值为 ．
(2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽8km ，村庄A 点到河岸的垂直距离为3km ，村庄
B 点到河岸的垂直距离为5km，且点A，B 到河岸的垂足之间的水平距离为15km．现计划在河上建一座垂
直于河岸的桥PQ ，使得从A 到P，过桥PQ ，再从Q 到B 的路程最短，则最短路程为 km．
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(3)任务三：思维拓展：已知正数x 满足
2
2
81
144
15
x
x
−
+
−
=
，求x 的值．
【答案】(1)
41
(2)25
(3)x 的值为7.2
【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可；
（2）将点A 向上平移8km 得到
1A ，连接
1AQ ，1A B ，则
1AQ
AP
=
，
1
1
AP
QB
AQ
QB
A B
+
=
+
，得到当
1,
,
A Q B
三点共线时，此时
1AQ
BQ
+
的最小值为
1A B ，此时总路程最短，进行求解即可；
（3）构造ABC
，CD
AB
⊥
，垂足为D，
9,
12
AC
BC
=
=
，进而得到
15
AB =
，勾股定理逆定理结合等积法
求出CD的长即可．
【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，
3,
4
,
,
2
AC
BC
x BF
x DF
=
=
−
=
=
，则
(
)
2
2
2
2
4
3 ,
2
AB
x
BD
x
=
−
+
=
+
，
4
4
CF
x
x
=
−+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
BD
AB
AD
+
+
−
+
=
+
，
∴当
, ,
A B D 三点共线时，
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
AD
+
+
−
+
=
最小，
作DH
AC
⊥
，则
4,
2
DH
CF
CH
DF
=
=
=
=
，
∴
5
AH
AC
CH
=
+
= ，
∴
2
2
4
5
41
AD =
+
=
，
∴代数式
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
+
+
−
+
的最小值为
41 ；
（2）解：由题意，AP
PQ
QB
+
+
为总路程，
∵
8km
PQ =
，
∴要求AP
PQ
QB
+
+
的最小值，只需求得AP
QB
+
的最小值．
如图1，将点A 向上平移8km 得到
1A ，连接
1AQ ，
1A B ，则
1AQ
AP
=
，
∴
1
1
AP
QB
AQ
QB
A B
+
=
+
，
∴当
1,
,
A Q B 三点共线时，此时
1AQ
BQ
+
的最小值为
1A B ．
过点B 作射线垂直河岸，过点A 向右作水平线，两线交于点D．
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由题意，可得
1
15km
A D =
，
8km
BD =
，
∴
1AQ
BQ
+
的最小值为
1
17km
A B =
，
∴最短路程为17 8
25km
+ =
．
（3）如图2，构造ABC
，CD
AB
⊥
，垂足为D，
9,
12
AC
BC
=
=
．
设CD
x
=
，则
2
2
81
,
144
AD
x
BD
x
=
−
=
−
，
∴
2
2
81
144
15
AB
x
x
=
−
+
−
=
．
∵
2
2
2
9
12
15
+
=
，
∴
90
ACB
=
，
∴1
1
9 12
15
2
2
x
=
，解得
7.2
x =
，
∴x 的值为7.2．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·云南昆明·期中）攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如
图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A 攀爬到点B
的最短路径长为（ ）m ．
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A．14
B．12
C．10
D．6 2
【答案】C
【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，平面展开图如下所示，
则
(
)
(
)
2
2
6
2
6
10 m
AB =
+
+
=
，
即从点A 攀爬到点B 的最短路径长为10m．
2．（25-26 八年级上·广东茂名·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm ，底面周长
为12cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的容器外壁，且
距离容器顶部1cm的点B 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（ ）
A．10cm
B．8cm
C．12cm
D．13cm
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理−最短路径问题、轴对称的性质，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂
蚁走的最短路径，将圆柱的侧面展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出结果．
【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面展开，
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则有
1 12
6cm
2
EC =
=
，
13 6
7cm
AE =
−=
，
1cm
BC =
，
作点B 关于EC 的对称点B，作B D
CE
∥
交AE 的延长线于点D ，
则
1cm
DE
B C
BC
=
=
=
，
6cm
B D
EC
=
=
，
7 1 8cm
AD
AE
DE
=
+
=
+ =
，
2
2
2
2
6
10cm
8
AB
AD
B D
=
+
=
+
=
．
故选：A．
3．
（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，已知
90
B
C
D
E
=
=
=
=
，且
3
AB
CD
=
=
，
8
BC
DE
=
=
，
6
EF =
，则A，F 两点间的最短路径是（ ）
A．16 5
B．20
C．20 5
D．24
【答案】B
【分析】过F 作FG
AB
⊥
，交AB 的延长线于G ，分别求出Rt AGF
两直角边的长，再根据勾股定理解答
即可.
【详解】解：如图，过点F 作FG
AB
⊥
，交AB 的延长线于点G ，连接AF ．
在Rt
AGF
△
中，
12
AG
AB
BG
AB
CD
EF
=
+
=
+
+
=
，
16
GF
BC
DE
=
+
=
，
2
2
2
2
12
16
20
AF
AG
GF
=
+
=
+
=
．
故A，F 两点间的最短路径是20．
故选：B.
4．
（25-26 八年级上·山西运城·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形ABCD，现已知
30m
AB =
，
50m
AA=
，
欲从点A 开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1 圈，最后到达点A处，则最短距离为（ ）m．
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A．80
B．100
C．120
D．130
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，几何体的展开图认识，将长方体展开得出
30m
AB
BC
CD
DE
=
=
=
=
，
50m
EE=
，从而得出
120
AE
m
=
，再由勾股定理计算即可得解，正确将长方体展开是解此题的关键．
【详解】解：如图，将长方体展开：
∵底面ABCD是正方形，
30m
AB =
，
50m
AA=
，
∴
30m
AB
BC
CD
DE
=
=
=
=
，
50m
EE=
，
∴
120m
AE
AB
BC
CD
DE
=
+
+
+
=
，
∴从点A 开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1 圈，最后到达点A处，行走的最短距离相当于直角三角形
AEE的斜边AE的长，
∵
2
2
2
2
120
50
130m
AE
AE
EE
=
+
=
+
=
，
∴最短距离为130m，
故选：D．
5．（25-26 八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在底面周长约为6m的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A
处沿花柱表面均匀地盘绕2 圈到达柱顶点C，且B 为AC 的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约16m，则这串
装饰彩灯至少长为（ ）
A．20m
B．16m
C．24m
D．32m
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧
面展开，根据勾股定理求出每圈灯的长度，最后乘2 即可得到答案．
【详解】解：如图，根据题意把圆柱体的侧面展开，
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由条件可知
6
BF =
米，
1
8
2
BE
BD
DE
=
=
=
米，
2
2
2
2
6
8
10
EF
BF
BE
=
+
=
+
=
（米) ，
则这串装饰彩灯至少长为10 2
20
=
米．
故选：A．
二、填空题
6．（25-26 八年级上·贵州贵阳·期中）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中
2,
4,
5
AE
DE
BC
=
=
=
．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是__________________．
【答案】13
【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，画出展开图，然后利用勾股定理求出其对角线的长度，即
可求得最短路程．
【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为AB ，如图所示．
因为
2
4
2
4
12,
5
AC
BC
=
+
+
+
=
=
，
则
2
2
2
169
AB
AC
BC
=
+
=
，
所以
13
AB =
，即蚂蚁爬行的最短距离为13．
故答案为：13
7．（25-26 八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm ，点B 离点C
的距离是5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B ，需要爬行的最短路程是_______cm．
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【答案】25
【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【详解】解：由题意得：
①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示：
5 10
15
BD
= +
=
，
20
AD =
，
∴在Rt ADB
中，
2
2
2
2
15
20
25
AB
BD
AD
；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：
5
20
25
BD
= +
=
，
10
AD =
，
∴在Rt ADB
中，
2
2
2
2
25
10
5 29
AB
BD
AD
=
+
=
+
=
；
∵5 29
25
，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，
需要爬行的最短距离是25，
由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为：25．
8．（25-26 八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间而变形，
中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为8 m
π
，已知
11m
AE
BF
+
=
，
8m
BC =
，一只蚂蚁从A 点
爬到C 点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______m 的路程．
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【答案】17
【分析】本题考查平面展开最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
将半圆柱的凸起部分展平，则线段EF 的长度为半圆周长，根据勾股定理即可解得AC ．
【详解】解：如图，将半圆柱的凸起部分展平，得到线段EF 、HG ，连接AC ．
半圆柱的底面直径为8 m
π
，
半圆周长为
8
2=4m
π
．
11m
AE
BF
+
=
，
11 4
15m
AB
AE
BF
EF
=
+
+
=
+
=
．
8m
BC =
，
在ABC
中，
2
2
2
2
15
8
17m
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
．
蚂蚁从A 点爬到C 点，它至少要走17m的路程．
故答案为：17．
9．（25-26 八年级上·江西南昌·期末）如图，牧童在A处放牛，其家在B 处，,
A B 到河岸的距离分别为AC 和
BD，且
300m
AC
BD
=
=
，若河岸CD的长度为800m ，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离
_____．
【答案】1000m/1000 米
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理解三角形，作A 关于CD的对称点A，连接AM
与AM ，
BM ，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A B
的长．然后结合图形，利用勾股定理求解即
可．
【详解】解：作A 关于CD的对称点A，交CD于点M，连接AM ，AM
，BM ，如图所示：
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根据轴对称可知：AC
A C
=
，
90
A CM
=
，AM
AM
=
，
∴AM
BM
A M
BM
+
=
+
，
∴当A M
BM
+
最小时，AM
BM
+
最小，
∵两点之间线段最短，
∴A、M 、B 三点共线时，A M
BM
+
最小，即AM
BM
+
最小，
∴此时AM
BM
+
最小，
根据题意得：四边形ABDC 为矩形，
∴AB
CD
=
，
∵
300m
AC
BD
=
=
，河岸CD的长度为800m ，
∴
600m
A A
=
，
800m
AB
CD
=
=
，
∴
2
2
1000
A B
A A
AB
=
+
=
（米），
∴牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家的最短距离是1000m．
故答案为：1000m．
10．（25-26 八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个直六棱柱，底面边长均为4cm ，侧棱
7
AB
cm
=
，有一只
蚂蚁从底面的顶点A 处绕六棱柱侧面爬行一圈到达上底面的顶点B 处，则蚂蚁爬行的最短路线长为
___________cm ．
【答案】25
【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，运用转化思想是解题关键．
将直六棱柱的侧面展开为平面图形，使用勾股定理计算即可．
【详解】解：直六棱柱的侧面展开图如图所示，
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由题意可知，
6 4
24
AA
cm
= =
，
7
A B
cm
=
，
由勾股定理得，
2
2
2
2
24
7
25
AB
AA
AB
cm
=
+
=
+
=
，
根据“两点之间，线段最短”可知，蚂蚁沿着AB爬行时，路径最短，
∴蚂蚁爬行的最短路线长为25cm ．
故答案为：25 ．
三、解答题
11．（25-26 八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天
吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6 米
且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2 圈到达柱顶正上方（从点A
到点C，B 为AC 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16 米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？
【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20 米．
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是
长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2
即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，
如图，雕龙把大长方形均分为2 个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2 个小长方形的对角线
的和，
∵底面周长约为6 米，柱身高约16 米，
∴
6
AB =
，
1
1 16
8
2
2
AE
AD
=
=
=
，
在Rt BAE
中
2
2
2
2
6
8
10
BE
AB
AE
=
+
=
+
=
，
∴雕刻在石柱上的巨龙至少为10 2
20
=
米．
12．（25-26 八年级下·全国·单元测试）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），
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有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角
1
C 处．
(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当
1
4
5
AB
BC
CC
=
=
=
，
时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方．
【答案】(1)见解析
(2)89
【分析】（1）蚂蚁可从柜角A 处沿着木柜的前面和右侧面爬到柜角
1
C 处；也可从柜角A 处沿着木柜的前面
和上面爬到柜角
1
C 处；
（2）分别计算
2
1
AC 和
2
1
AC 即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的
1
AC 和
1
AC
（2）解：∵
1
4
5
AB
BC
CC
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
2
1
1
8
5
89
AC
AC
CC
=
+
=
+
=
2
2
2
2
2
1
1
4
9
97
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
∵89
97
∴蚂蚁爬过的最短路径长的平方为89
13．（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员
上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两
段，该平台的长度约为1m．若油罐高约18m，油罐底面圆直径约为50 m
3
，且顶处的扶手位置处于底面扶手
正对面上．
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(1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为9m，求旋梯的扶手长度l 的最小值．
(2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的l 最小值．（本题（1）（2）中π
3
）
【答案】(1)31m
(2)31m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）由题意得，将平台BC 平移至EF 线段上，再向右平移使点C 与点E 重合，此时旋梯的扶手长度l ，即
AB 最小，进而通过勾股定理即可求解；
（2）由题意得，将平台BC 平移至EF 线段上，再向右平移使点C 与点E 重合，此时旋梯的扶手长度l ，即
AB 最小，进而通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A 处为顶部扶手，E 处为底部扶手，如下，
将平台BC 平移至EF 线段上，再向右平移使点C 与点E 重合，此时旋梯的扶手长度l 最小，如下图，
∵油罐底面圆直径约为50 m
3
，
∴
1
1
50
π
3
25m
2
2
3
AD
EF
d
=
=
=
，
∵
1m
=
BE
，
∴
25 1
24m
BF =
−=
，
∴旋梯的扶手长度l
AB
BE
=
+
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2
2
AF
BF
BE
=
+
+
2
2
18
24
1
=
+
+
31m
=
；
（2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A 处为顶部扶手，E 处为底部扶手，如下，
将平台BC 平移至EF 线段上，再向右平移使点C 与点E 重合，此时旋梯的扶手长度l 最小，如下图，
∵油罐底面圆直径约为50 m
3
，
∴
1
1
50
π
3
25m
2
2
3
AD
EF
d
=
=
=
，
∵
1m
=
BE
，
∴
25 1
24m
BF =
−=
，
∴旋梯的扶手长度l
AB
BE
=
+
2
2
AF
BF
BE
=
+
+
2
2
18
24
1
=
+
+
31m
=
．
14．（25-26 八年级上·河南郑州·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1 是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，
3dm ，2dm，A和B 是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则
蚂蚁沿着台阶面爬行到B 点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过计算得到AB
长度即为最短路程，则AB = dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 厘米，高是7 厘米，一只蚂蚁从点A出发沿
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着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B 处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程是
多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25 厘米；（3）蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短路程为20cm ．
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ，A点与对称点C 的连线，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2
3)
3dm
+
，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为dm
x
，
由勾股定理得：
2
2
2
2
20
[(2
3) 3]
25
=
+
+
=
x
，
解得：
25
x =
．
答：蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是25dm．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：
1
48
24(cm)
2
AC =
=
，
7cm
BC =
，
2
2
24
7
25(cm)
AB
=
+
=
，
该蚂蚁爬行的最短路程25 厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ，
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连接AC ，AC 即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程，
3cm
EF
AG
=
=
，
(14
5)cm
9cm
CF
FB
=
=
−
=
，
1
32cm
16cm
2
AE =
=
，
12cm
CE
EF
CF
=
+
=
，
根据勾股定理有：
2
2
2
2
12
16
20(cm)
AC
AE
CE
=
+
=
+
=
，
蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程为20cm ．
15．（25-26 八年级上·江苏扬州·期中）如图，C 为线段BD上一动点，分别过点B、D 作
,
AB
BD ED
BD
⊥
⊥
，
连接AC
EC
、
，已知
5,
1,
8
AB
DE
BD
=
=
= ，设CD
x
=
．
(1)则AC 的长为_______（用含x 的代数式表示），CE 的长为_______（用含x 的代数式表示）；
(2)当点C 在BD上运动时，求AC
CE
+
的最小值；
(3)根据（2）中的规律和结论，则代数式
(
)
2
2
4
12
9
x
x
+
+
−
+
的最小值为_______；
(4)仿照上面的方法，则代数式(
)
2
2
4
9
4
x
x
−
+
−
+
（x 是任意实数）的最大值为_______．
【答案】(1)
2
(8
)
25
x
−
+
；
2
1
x +
(2)10
(3)13
(4) 17
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形
结合的思想．
（1）对Rt
,Rt
ABC
CDE
运用勾股定理求解；
（2）当 A、C、E 三点共线时，AC
CE
+
的值最小，即为AE ，过点E 作EH
AB
⊥
交AB 的延长线于点H ，
然后对Rt AHE
运用勾股定理求解;
（3）可作
12
BD =
，过点B 作AB
BD
⊥
，过点D 作ED
BD
⊥
，使
2
AB =
，
3
ED =
，当点
,
,
A C E 共线时，则
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AE 的长即为代数式
2
2
4
(12
)
9
x
x
+
+
−
+
的最小值，然后构造Rt AFE
，根据勾股定理即可求得AE 的值；
（4）构造数轴，设点A表示的数为4 ，点O表示的数为0 ，点D 表示的数为x ，过点A 作AB
OA
⊥
，且
3
AB =
，
过点O作OC
OA
⊥
，且
2
OC =
， 则
4,
4
AO
AD
x
=
=
−
，OD
x
=
，过点C 作CE
AB
⊥
于点E ，则同上可得
2,
4
OC
AE
AO
CE
=
=
=
=
，则
1
BE
AB
AE
=
−
= ，那么由勾股定理得，
(
)
2
4
9
BD
x
=
−
+
，
17
BC =
，
2
4
CD
x
=
+
，由BC
BD
CD
−
，得当点,
,
B C D 共线时，BC 的长即为代数式(
)
2
2
4
9
4
x
x
−
+
−
+
的最大
值，即可求解．
【详解】（1）解：CD
x
=
，则
8
BC
BD CD
x
=
−
= −
，
∵AB
BD
⊥
，
∴由勾股定理得：
(
)
(
)
2
2
2
2
2
8
5
8
25
AC
BC
AB
x
x
=
+
=
−
+
=
−
+
，
2
2
2
2
2
+
+1
+1
CE
CD
DE
x
x
=
=
=
，
故答案为：
2
(8
)
25
x
−
+
；
2
1
x + ；
（2）解：当 A、C、E 三点共线时，AC
CE
+
的值最小，即为AE ，如图：
过点E 作EH
AB
⊥
交AB 的延长线于点H ，
∵AB
BD
⊥
，
∴BD EH
∥
，
∵
,
BH
HE ED
BD
⊥
⊥
，
∴
1
BH
DE
=
= ，同理
8
BD
EH
=
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
5 1
8
10
AE
AH
HE
=
+
=
+
+
=
，
∴AC
CE
+
的最小值为10；
（3）解：如图所示，作线段
12
BD =
，C 为线段BD上一动点，过点B 作AB
BD
⊥
，过点D 作ED
BD
⊥
，
使
2
AB =
，
3
ED =
，
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设BC
x
=
，则
12
CD
BD
BC
x
=
−
=
−
，
∴由勾股定理得：
2
2
2
4
AC
AB
BC
x
=
+
=
+
，
(
)
2
2
2
12
9
CE
DE
CD
x
=
+
=
−
+
，
∴
(
)
2
2
4
12
9
AC
CE
x
x
+
=
+
+
−
+
，
∴当点
,
,
A C E 共线时，AC
CE
+
取得最小值即
(
)
2
2
4
12
9
x
x
+
+
−
+
，即为AE 的长，
过点A作AF
ED
⊥
交ED的延长线于点F ，
则同上可得
2
AB
DF
=
=
，
12
AF
BD
=
=
，
3
2
5
EF
ED
DF
=
+
= +
= ，
2
2
2
2
12
5
13
AE
AF
EF
=
+
=
+
=
，
即
2
2
4
(12
)
9
x
x
+
+
−
+
的最小值为13．
（4）解：如图，构造数轴，设点A表示的数为4 ，点O表示的数为0 ，点D 表示的数为x ，过点A 作AB
OA
⊥
，
且
3
AB =
，过点O作OC
OA
⊥
，且
2
OC =
，
∴
4,
4
AO
AD
x
=
=
−
，OD
x
=
，
过点C 作CE
AB
⊥
于点E ，则同上可得
2,
4
OC
AE
AO
CE
=
=
=
=
，
∴
1
BE
AB
AE
=
−
= ，
∴由勾股定理得，
(
)
2
2
2
4
9
BD
AB
AD
x
=
+
=
−
+
，
2
2
2
2
4
1
17
BC
CE
BE
=
+
=
+
=
，
2
2
2
4
CD
CO
DO
x
=
+
=
+
，
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∵三角形任意两边之差小于第三边，
∴BC
BD
CD
−
，
∴(
)
2
2
4
9
4
17
x
x
−
+
−
+
∴当点,
,
B C D 共线时，BC 的长即为代数式(
)
2
2
4
9
4
x
x
−
+
−
+
的最大值，
∴(
)
2
2
4
9
4
x
x
−
+
−
+
的最大值为17 ．
