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1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 与勾股定理相关的两个模型 （题型突破·举一反三） 题型01 勾股树模型 题型02 弦图模型 ▌题型01 勾股树模型 背景介绍：勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复 的树形图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 毕达哥拉斯树是一个分形，通过迭代地从一个直角三角形构造而成，该三角形的每条边上都竖立着正方 形。随后的迭代在先前迭代的正方形外向边上添加额外的相似直角三角形和竖立的正方形。使用等腰直角三 角形会得到一个有吸引力的对称形状，类似于树，而使用一般的直角三角形会得到一个弯曲的树，有点让人 想起柳树。下面展示了两种形式的例子。 【典例1】如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D 的边长分别是3、 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A．12 B．16 C．25 D．38 【变式1-1】如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中𝑆1，𝑆2…𝑆7分别表示对 应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（ ） A．𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆5 B．𝑆3 + 𝑆4 + 𝑆5 = 𝑆7 C．𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆3 + 𝑆4 D．𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 = 𝑆7 【变式1-2】（25-26 八年级上·江西南昌·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，分别以四 边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，下列结论正确的是（ ） A．𝑆3 + 𝑆4 = 4(𝑆1 + 𝑆2) B．𝑆1 −𝑆2 = 𝑆3 −𝑆4 C．𝑆4 −𝑆1 = 𝑆3 −𝑆2 D．𝑆4 −3𝑆1 = 𝑆3 −3𝑆2 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（25-26 八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐴= 90°，分别以 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为𝑆1,𝑆2,𝑆3和𝑆4．若𝑆1 = 2, 𝑆2 = 8, 𝑆4 = 3，则𝑆3 的值是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-4】如图，分别以Rt ABC △ 的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 1S ， 2 S ， 3 S ，若 3 2 1 48 S S S + − = ，则图中阴影部分的面积为（ ） A．24 B．16 C．12 D．6 【变式1-5】（25-26 八年级上·广东梅州·期中）如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从 小到大依次为𝑆1、𝑆2、𝑆3，则𝑆1、𝑆2、𝑆3之间的关系正确的是（ ） A．𝑆1 + 𝑆2 > 𝑆3或𝑆1 + 𝑆2 < 𝑆3 B．√𝑆1 + √𝑆2 = √𝑆3 C．𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆3 D．𝑆1 2 + 𝑆2 2 = 𝑆3 2 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-6】有一个边长为1 的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角 形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶 茂”，请你算出“生长”了2026 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【变式1-7】如图，在水平直线上依次摆着7 个正方形，已知倾斜放置的3 个正方形的面积分别为1，2，3， 水平放置的4 个正方形的面积分别为𝑆1, 𝑆2,𝑆3, 𝑆4，则𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 = ． 【变式1-8】如下图所示，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2.面积标记为𝑆1．以𝐶𝐷为斜边作等腰直角三角形，以该等 腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为𝑆2，……，按照此规律继续下去，则𝑆2的值 为 ；𝑆3的值为 ；𝑆2026的值为 ． 【变式1-9】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，𝑆1，𝑆2，𝑆3，S4 分别表示其对 应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则𝑆1 −𝑆2 + 𝑆3 −𝑆4的值为 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-10】（25-26 八年级上·吉林奉化·期中）如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，分别以𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐵𝐶为边 在𝐴𝐵的同侧作正方形𝐴𝐵𝐸𝐹、𝐴𝐶𝑃𝑄、𝐵𝐶𝑀𝑁，四块阴影部分的面积分别为𝑆1、𝑆2、𝑆3、𝑆4.若已知𝐴𝐶× 𝐵𝐶= 12， 则𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4的值为（ ） A．18 B．24 C．25 D．36 【变式1-11】勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦 五”的记载.如图1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2 是由图 1 放入矩形内得到的， ∠𝐵𝐴𝐶= 90° ， 𝐴𝐵= 6 ， 𝐴𝐶= 8 .点D，E，F，G，H，I 都在矩形 𝐾𝐿𝑀𝐽 的边上， 则矩形 𝐾𝐿𝑀𝐽 的面积为（ ）． A．288 B．400 C．432 D．440 【变式1-12】（25-26 八年级上·浙江金华·期中）如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，以该三角形的三条边 为边向外作正方形𝐴𝐵𝐸𝐹，正方形𝐵𝐶𝐺𝐻和正方形𝐴𝐶𝑀𝑁，给出下列结论：①𝐴𝐵= 𝑀𝐺. ②𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐹𝑁. ③ 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 过点𝐵作𝐵𝐼⊥𝐸𝐻于点𝐼，延长𝐼𝐵交𝐴𝐶于点𝐽，则𝐴𝐽= 𝐶𝐽. ④若𝐴𝐵= 2，则𝐸𝐻2 + 𝐹𝑁2 = 20.其中正确的结论个 数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-13】如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长 为7cm． (1)求A，B，C，D 四个正方形的面积之和． (2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D 的面积． ▌题型02 弦图模型 1.模型背景 《周髀算经》中写道：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄”。翻译为：把勾和股分别相乘，然后把 他们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。“赵爽弦图”最早是我国数学家赵爽对勾股定理的证明，并创制了 一幅 “勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。 赵爽的证明是极具有创新意识。既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一树立了一个典范。 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2.模型特点 (1)内弦图模型： 如图，在正方形ABCD 中，AE⊥BF 于点E，BF⊥CG 于点F，CG⊥DH 于点G，DH⊥AE 于点H，则有结论：△ ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. (2)外弦图模型： 如图，在正方形ABCD 中，E，F，G，H 分别是正方形ABCD 各边上的点，且四边形EFGH 是正方形，则有结 论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH. 【典例2】（25-26 八年级上·山西忻州·期中）如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵 爽弦图”．他通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明的重要数学定理是（ ） 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．勾股定理的逆定理 D．斜边、直角边定理 【变式2-1】在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据 图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、 图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（ ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 【变式2-2】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图是“赵爽弦图”，由4 个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形 的面积是4，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则𝑎+ 𝑏的值是（ ） 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2-4】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①）， 图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻，正方 形𝑀𝑁𝐾𝑇的面积分别为𝑆1，𝑆2，𝑆3，若𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 12，则𝑆2的值是（ ） A．10 3 B．4 C．5 D．25 4 【变式2-5】用如图1 所示的4 个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2 所示 的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． （1）图2 中大正方形的边长是 ，里面小正方形的边长为 ； （2）大正方形面积可以表示为 ，也可以表示为 ； （3）对比这两种表示方法，可得出 ，整理得 ． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式2-6】如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和小正方形𝐸𝐹𝐺𝐻．则： （1）由𝑆 正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆 正方形𝐸𝐹𝐺𝐻+ 4𝑆△𝐴𝐸𝐻可列等式：(𝑎+ 𝑏)2 = + ； （2）若𝑆 正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 2𝑆 正方形𝐸𝐹𝐺𝐻，那么𝑎与𝑏之间的数量关系是 ． 【变式2-7】如图， 𝑙1，𝑙2，𝑙3，𝑙4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为ℎ， 面积是25 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的四个顶点分别在这四条直线上，那么ℎ 2的值是 ． 【变式2-8】（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形𝐸𝐹𝐺𝐻拼成 了一个大正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，连结𝐴𝐶，交𝐷𝐻于点P，若𝐴𝐻= 𝐻𝐸，且△𝐶𝑃𝐺的面积为4，则正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积 为（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式2-9】如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已 知𝐵𝐸: 𝐴𝐸= 3: 1，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为80．连接𝐴𝐶，交𝐵𝐸于点𝑃，交𝐷𝐺于点𝑄，连接𝐹𝑄．则图中阴影部 分的面积之和为（ ）． A．8 B．12 C．16 D．20 【变式2-10】（25-26 八年级上·甘肃白银·期中）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理 的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦 图”，．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正 方形的面积为（ ） A．44 B．40 C．36 D．24 【变式2-11】（25-26 八年级上·浙江金华·期末）图1 是由5 个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延 长𝐷𝐾交𝐴𝐵、𝐴𝐶分别于点𝑀、𝑁，延长𝐸𝐻交𝐵𝐷于点𝑃（如图2）． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）若Rt △𝐴𝐵𝐹的面积为5，小正方形𝐹𝐺𝐻𝐾的面积为9，则𝐴𝐵＝ ； （2）如图2，若 𝑆 四边形𝐴𝐸𝐻𝑁 𝑆 四边形𝐵𝑀𝐻𝑃 = 𝑘，则 𝑆 四边形𝐹𝐺𝐻𝐾 𝑆 四边形𝐵𝐶𝑁𝐾 ＝ （用含𝑘的代数式表示）．
