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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 证明 （题型突破·举一反三） ▌题型01 写出一个命题的已知、求证以及证明过程 【典例1】 【解答】已知：如图，直线a⊥c，b⊥c． 求证：a∥b． 证明：∵a⊥c，b⊥c（已知）， ∴∠1＝90°，∠2＝90°（垂直的定义）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 【变式1-1】 证明：∵AD 平分∠EAC， ∴∠EAD= 1 2∠EAC， ∵∠EAC 是△ABC 的外角， ∴∠EAC=∠B+∠C， ∵∠B=∠C， ∴∠B= 1 2∠EAC， ∴∠EAD=∠B， ∴AD∥BC． 【变式1-2】 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：已知：△ABC， 求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°， 证明：过点A 作EF∥BC， ∵EF∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC＝180°， ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°． 即知三角形内角和等于180°． 【变式1-3】 【解答】解：已知：△ABC，∠ACD 是△ABC 的外角， 求证：∠ACD＝∠A+∠B， 证明：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝∠A+∠B， ∴三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． ▌题型02 已知证明过程，写理论依据 【典例1】 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∴EF∥GH（内错角相等，两直线平行）， ∴∠FAB+∠HBA＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB⊥GH（已知）， ∴∠HBA＝90° （垂直定义）． ∴∠FAB＝180°﹣∠HBA＝180°﹣90°＝90°， 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴AB⊥EF（垂直定义）． 【变式1-1】 【解答】证明：∵AE∥PQ（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠4（已知）， ∴∠4＝∠2（等量代换）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠5+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠B＝∠D（已知）， ∴∠B+∠5＝180°， ∴BP∥DQ（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠P＝∠Q（两直线平行，内错角相等）． 【变式1-2】 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠CGD（对顶角相等）， ∴∠2＝∠CGD（等式的基本事实）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠BFD＝∠B（等式的基本事实）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BFD；等式的基本事实； 内错角相等，两直线平行． （2）AB 与CD 平行，理由如下： ∵∠1＝58°，∠2＝32°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵PQ⊥HQ， ∴∠HPQ+∠2＝90°， ∴∠1＝∠HPQ， ∴AB∥CD． 【变式1-3】 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠2＝∠E，（两直线平行，同位角相等）， ∵AE 平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠1＝∠E， ∵∠B+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠1＝∠CFE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠CFE＝∠E． ▌题型03 选择信息作为条件、结论，并证明 【典例1】 【解答】解：条件：①②，结论：③，理由如下： ∵BC 平分∠DCH， ∴∠BCD＝∠BCH， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ACG+∠ACD+∠BCD+∠BCH＝180°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACD＝∠ACG， ∵EF∥GH， ∴∠ACG＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， 故答案为：①②，③． 【变式1-1】 【解答】解：选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD， ∵∠A＝∠B， ∴∠ECA＝∠ECD， ∴CE 平分∠DCA； 选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD， 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵CE 平分∠DCA， ∴∠ECA＝∠ECD， ∴∠A＝∠B； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵CE 平分∠DCA， ∴∠ECA＝∠ECD， ∵∠A＝∠B，∠A+∠B＝∠ACD＝∠ECD+∠ECA， ∴∠A＝∠ECA＝∠B＝∠ECD， ∴AB∥CE 【变式1-2】 【解答】解：（1）上述问题有三种正确命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：①③⇒②；命题3：②③⇒①． （2）解：选择命题2：①③⇒②． 证明：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B． ∵CE 平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE． ∴∠A＝∠B． 【变式1-3】 【解答】解：（1）有三个真命题，分别是：①②→③；①③→②；②③→①； （2）选择①②→③， 证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCF， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠DCF， ∴DE∥BF， ∴∠E＝∠F； 选择①③→②， 证明：∵AB∥CD， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∵∠E＝∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∴∠B＝∠D； 选择②③→①， 证明：∵∠E＝∠F， 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∴AB∥CD． ▌题型04 三角板中的外角 【典例1】D． 【变式1-1】59.6． 【变式1-2】C． 【变式1-3】 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠ACB＝45°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠DEF＝∠DAE+∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝15°， 则∠ADE 的大小为15°． ▌题型05 反证法 【典例1】D． 【变式1-1】 【解答】解：已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 为其三个内角． 求证：∠A、∠B、∠C 中至少有一个内角小于或等于60°． 证明：假设△ABC 的三个内角都大于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°， 则将三个不等式相加，得∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°＝180°， 此结论与“三角形内角和为180°”的定理相矛盾． 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）证法一：如图1，假设直线l1 与直线l2 不平行，且l1 与l2 相交于点P， 所以∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和等于180°）， 所以∠1+∠2＜180°，这与“∠1+∠2＝180°”矛盾， 故假设不成立， 所以l1∥l2， 故答案为：180°；三角形内角和等于180°；＜； （2）证法二：如图2，假设直线l1 与直线l2 不平行，那么可以过点M 作直线GH∥l2，则∠1≠∠HMN． 因为GH∥l2， 所以∠2+∠HMN＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 因为∠1+∠2＝180°， 所以∠1＝∠HMN（同角的补角相等）， 这与“∠1≠∠HMN”矛盾，故假设不成立， 所以l1∥l2， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠1＝∠HMN；同角的补角相等． 【变式1-3】 【解答】解：（1）上述证明过程采用的方法是B； 故答案为：B； （2）②若∠ACB＝∠ABC， ∴AB＝AC， 这与已知AC＜AB 相矛盾， ∴假设不成立； 综上，∠ACB＞∠ABC． ▌题型06 逻辑推理与论证 【典例1】B． 【变式1-1】D． 【变式1-2】C． 【变式1-3】B． 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型07 角平分线与外角 【典例1】 【解答】解：（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°， 由条件可知∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 25°，∠𝑃𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 35°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝120°． 若∠BAC＝70°， ∵BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵= 180° −1 2 (180° −∠𝐵𝐴𝐶) = 90° + 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶， ∵∠BAC＝70°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 90° + 1 2 × 70° = 125°， 故答案为：120°；125°； （2）∠𝐵𝑃𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐴；理由如下： ∵BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB ＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −1 2 (180° −∠𝐴) = 90° + 1 2 ∠𝐴； （3）∠A+∠D＝2∠BPC． 如图，延长BA，CD，交于点E，由（2）知，∠𝐵𝑃𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐸， 由条件可知∠BAD+∠CDA＝∠E+∠E+∠ADE+∠DAE＝180°+∠E， ∴∠E＝∠BAD+∠CDA﹣180°， 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐵𝑃𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐸 = 90° + 1 2 (∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐴−180°) = 90° + 1 2 (∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐴) −90° = 1 2 (∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐴)， 即∠BAD+∠CDA＝2∠BPC． 【变式1-1】 【解答】（1）证明：∵∠BFE 是△ABF 的外角， ∴∠BFE＝∠ABF+∠BAF， ∵∠BEF 是△AEC 的外角， ∴∠BEF＝∠C+∠CAE， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， 又∵∠ABF＝∠ABD，且∠ABD＝∠C， ∴∠ABF＝∠C， ∴∠BFE＝∠C+∠CAE， ∴∠BFE＝∠BEF； （2）解：∠HBC＝2∠H，理由如下： ∵∠GAC 是△ABC 的外角， ∴∠GAC＝∠ABC+∠C， ∵AH 平分∠GAC， ∴∠GAB= 1 2∠GAC= 1 2（∠ABC+∠C）， ∵∠GAB 是△ABH 的外角， ∴∠GAB＝∠H+∠ABH， ∴∠H＝∠GAB﹣∠ABH， ∵∠ABH＝∠ABD＝∠C， ∴∠H= 1 2（∠ABC+∠C）﹣∠C= 1 2（∠ABC﹣∠C）， ∵∠HBC＝∠ABC﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠C， ∴∠H= 1 2∠HBC， 即∠HBC＝2∠H． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵∠A＝62°， 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝118°， ∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P， ∴∠PBC= 1 2∠ABC，∠PCB= 1 2∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= 1 2（∠ABC+∠ACB）＝59°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝121°， 故答案为：121°． （2）∵∠ABD＝∠A+∠ACB，且∠A＝58°， ∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A＝58°， ∵△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E， ∴∠BCE= 1 2∠ACB，∠DBE= 1 2∠ABD， ∵∠DBE＝∠BEC+∠BCE， ∴∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE= 1 2（∠ABD﹣∠ACB）＝29°， ∴∠BEC 的度数为29°． （3）∵∠CBM、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM、∠BCN 的平分线交于点Q， ∴∠QBC= 1 2∠CBM= 1 2（180°﹣∠ABC），∠QCB= 1 2∠BCN= 1 2（180°﹣∠ACB）， ∴∠QBC+∠QCB= 1 2（180°﹣∠ABC）+ 1 2（180°﹣∠ACB）＝180°−1 2（∠ABC+∠ACB）， ∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣[180°−1 2（∠ABC+∠ACB）]= 1 2（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，且∠A＝α， ∴∠BQC= 1 2（180°﹣∠A）＝90°−1 2α， 故答案为：90°−1 2α． （4）∵点E 在BC 的延长线上， ∴∠BCQ+∠ECQ＝180°， ∵CP 平分∠BCQ，CR 平分∠ECQ， ∴∠PCQ= 1 2∠BCQ，∠RCQ= 1 2∠ECQ， ∴∠PCR＝∠PCQ+∠RCQ= 1 2（∠BCQ+∠ECQ）＝90°， ∴∠CPR＝90°﹣∠R， ∵点R 在BP 的延长线上， ∴∠BPC+∠CPR＝180°， ∴∠BPC+90°﹣∠R＝180°， ∴∠BPC﹣∠R＝90°， 故答案为：∠BPC﹣∠R＝90°． 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】 【解答】解：（1）如图1： 由题意可得：∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠O＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO = 180° −1 2 ∠𝐴𝐵𝐶−1 2 ∠𝐴𝐶𝐵 = 180° −(1 2 ∠𝐴𝐵𝐶+ 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −1 2 (180° −∠𝐴) = 180° −1 2 (180° −60°) ＝120°； 如图2： 由题意可得：∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐷𝐶𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷， ∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC＝60°+∠ABC， ∴∠𝑂= ∠𝐷𝐶𝑂−∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 (60° + ∠𝐴𝐵𝐶) −1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°； 如图3， ∵BO 平分∠CBE，CO 平分∠BCF， ∴∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐵𝐶𝑂= 1 2 ∠𝐵𝐶𝐹， ∵∠CBE＝180°﹣∠ABC，∠BCF＝180°﹣∠ACB， ∴∠BCF+∠BCO ＝180°﹣∠ACB+180°﹣∠ABC ＝360°﹣（∠ACB+∠ABC） ＝360°﹣（180°﹣∠BAC） ＝360°﹣（180°﹣60°） ＝240° ∴∠𝐶𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐶𝑂= 1 2 (∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹) = 120°， ∴∠O＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝60°． 故答案为：120°，30°，60°． （2）由题意可得： ∠𝐶𝐵𝑂2 = 2 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶𝐵𝑂1 = 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑂2 = 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝑂1𝐵𝑂2 = 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶， ∵∠2＝∠1+∠O1BO2，∠2＝135°，∠1＝115°， ∴∠O1BO2＝∠2﹣∠1＝20°， 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ABC＝3∠O1BO2＝60°， ∴∠𝐶𝐵𝑂1 = 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶= 20°， ∴∠BCO1＝180°﹣∠CBO1﹣∠2＝25°， ∴∠ACB＝2∠BCO1＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°． ▌题型08 三角形外角的实际应用 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】C． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∠ABC 与∠BCD 的数量关系是：∠ABC﹣∠BCD＝90°，证明如下： 延长AB 交CD 于点H，如图所示： ∴AB⊥CD， ∴∠BHC＝90°， ∵∠ABC 是△BCH 的外角， ∴∠ABC＝∠BHC+∠BCD， ∴∠ABC﹣∠BCD＝∠BHC＝90°； （2）∠ABC 与∠DFE 的数量关系是：∠ABC＝∠DFE，理由如下： ∵FE⊥BC 于点E， ∴∠FEC＝90°， ∵∠DFE 是△FEC 的外角， ∴∠DFE＝∠FEC+∠DCB， 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠DFE﹣∠DCB＝∠FEC＝90°， 由（1）的结论可知：∠ABC﹣∠BCD＝90°， ∴∠ABC﹣∠BCD＝∠DFE﹣∠DCB， ∴∠ABC＝∠DFE． ▌题型09 平行线与外角 【典例1】B． 【变式1-1】B． 【变式1-2】 【解答】证明：∵AD 平分∠BAC（已知）， ∴∠CAD= 1 2∠BAC（角平分线的定义）． ∵∠BAC 是△AFG 的外角（已知）， ∴∠BAC＝∠AGF+∠F（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∵∠AGF＝∠F（已知）， ∴∠BAC＝2∠F， 即∠F= 1 2∠BAC（等式的性质）． ∴∠CAD＝∠F（等量代换）． ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）不成立，理由如下： 过点P 作PE∥AB． ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD． ∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°， ∴原结论不成立； 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）∠BPD＝∠B+∠PDQ+∠BQD，证明如下： 连接QP 并延长到E． ∵∠BPE 是△BPQ 的外角，∠DPE 是△DPQ 的外角， ∴∠BPE＝∠B+∠BQE（三角形外角的性质），∠DPE＝∠PDQ+∠DQE． ∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠BQE+∠PDQ+∠DQE，即∠BPD＝∠B+∠PDQ+∠BQD； （3）根据（2）得∠EMF＝∠B+∠F+∠E， ∵∠A+∠C+∠D+∠AMD＝360°，∠EMF＝∠AMD， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故答案为：360．
