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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 二次函数的图象和性质问题的六类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的图象和性质 题型二、利用二次函数的增减性比较大小 题型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 题型四、求二次函数在某区域的最值问题 题型五、画二次函数的图象 题型六、二次函数的图象和性质综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：围绕开口、顶点、对称轴、增减性、最值及图象平移设问，常与方程、不等式综合。 - 解题方法：配方化为顶点式y=a(x-h)2+k；利用对称轴x=− 𝑏 2𝑎判断增减分界；平移规律“左加右减、上加 下减”。 - 易错提醒：忽视a≠0 及开口方向；平移时括号内符号处理错误；顶点式中h 符号易混淆；最值未考虑自 变量取值范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的图象和性质 典例1 （25-26 九年级上·山西忻州·期末）关于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ） A．当 时，y 随x 的增大而增大 B．当 时，y 随x 的增大而增大 C．当 时，y 随x 的增大而减小 D．当 时，y 随x 的增大而减小 题型模版 1.特征：图象是抛物线，顶点、对称轴决定增减性，开口方向由a 决定，与y 轴交于c。 2.方法：配方化为顶点式，确定顶点、对称轴；列表描点作图，结合a、b、c 符号判断性质。 目 录 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式1-1（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线 ，以下说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而减小 变式1-2（25-26 九年级上·重庆合川·期中）关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ） A．函数图像的开口向下； B．拋物线的对称轴是直线 ； C．函数有最大值为 ； D．函数图像与y 轴的交点是 ． 变式1-3（25-26 九年级上·江西上饶·阶段检测）对二次函数 的性质描述正确的是（ ） A．函数图象开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小 C．该函数图象与 轴的交点位于 轴负半轴 D．该函数图象的对称轴在 轴右侧 题型二、利用二次函数的增减性比较大小 典例2 （25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）若点 ， ， 在二次函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是__________．（按从小到大表示） 题型模版 1.特征：给定二次函数及多个点的横坐标，比较对应纵坐标大小，需考虑对称轴与开口方向。 2.方法：先求对称轴，判断各点与对称轴距离；开口向上时，距对称轴越远函数值越大；开口向下则相反。 变式2-1（25-26 八年级下·重庆渝中·期末）已知点 ， ， 都在函数 的图象上，则 、 、 的大小关系是___________． 变式2-2（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．若 ，则 ________ （填“ ”“ ”或“ ”）． 变式2-3（25-26 九年级上·陕西榆林·期末）已知点 ， ， 在抛物线 的图像上，则 ， ， 的大小关系是________．（用“ ”连接） 题型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 典例3 （25-26 九年级上·上海虹口·阶段检测）如果一条抛物线经过 、 两点，那么这条抛物 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 线的对称轴是______． 题型模版 1.特征：已知抛物线上两点的纵坐标相同（对称点），求对称轴方程，常结合中点公式。 2.方法：对称轴为这两点横坐标的平均值，即 x = 𝑥1+𝑥2 2 ，利用中点横坐标即为对称轴位置。 变式3-1（25-26 九年级上·福建福州·期中）若二次函数 的图像经过点 ， ，则 _____． 变式3-2（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数 的图象经过点 和点 ，当 时函数取得最小值，则 的值为_______ 变式3-3（25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线 的图象经过点 ，若 ，则k 的值为_________． 题型四、求二次函数在某区域的最值问题 典例4 （2025·四川资阳·三模）已知函数 ，若函数在 上的最大值是 ， 则 的值为_____． 题型模版 1.特征：在自变量给定范围内（如m≤x≤n），求二次函数的最大值或最小值。 2.方法：先求对称轴，判断其是否在区间内；在区间内则顶点为最值，否则在区间端点处取得最值。 变式4-1（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y 的取值范 围为________． 变式4-2（25-26 九年级上·江苏宿迁·期末）当 时，二次函数 的最大值是5， 则 的值为______． 变式4-3（25-26 九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数 ，当 时， 的 最小值为 ，则 的值为_____． 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型五、画二次函数的图象 典例5 （25-26 八年级下·北京·期末）已知：二次函数 ，y 与x 的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数 的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方 程为 ； (4)当 时， ，则t 的取值范围为 ． 题型模版 1.特征：根据解析式在坐标系中描点画出抛物线，需确定顶点、对称轴和开口方向。 2.方法：配方求顶点和对称轴；列表取点（至少5 个），描点连线，注意抛物线平滑且对称。 变式5-1（25-26 八年级下·北京·期末）已知二次函数 的图象经过点 ， ． 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当 时，直接写出该二次函数的函数值y 的取值范围． 变式5-2（25-26 八年级下·北京·期末）已知二次函数 ． (1)先补全表格，则 ______．然后在平面直角坐标系 中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次 函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当 时，y 的取值范围是______． (3)点 和 都在此函数的图象上，且点A 与点B 不重合，若 ，结合函数图象，直接写出 n 的取值范围． 变式5-3（25-26 八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系 中，二次函数 的 对称轴为直线 ，且经过点 ． (1)当 ， 时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②在平面直角坐标系 中画出抛物线； ③当 时，直接写出 的取值范围． (2)点 ， 是抛物线上两点，当 时，对于 ，总有 ，求的取值范围． x 0 1 2 3 4 y 题型六、二次函数的图象和性质综合问题 典例6 （2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数 ，其中 为常数． (1)若 ，求此函数图象的顶点坐标； (2)当 时，y 随x 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，求 的取值范围． 题型模版 1.特征：综合考查二次函数图象的开口、对称轴、顶点、增减性及与坐标轴交点等性质。 2.方法：通过配方或公式确定顶点、对称轴，列表描点作图，结合图象性质分析交点、最值等问题。 变式6-1（25-26 九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，二次函数 的图象经过坐标原点，且 与 轴交于点 ． (1)求此二次函数的表达式； (2)在抛物线上是否存在点 ，使 的面积为1？若存在，请求出点 的坐标；如果不存在．请说明理由． 变式6-2（25-26 九年级上·重庆忠县·期末）在如图所示平面直角坐标系 中，直线 与抛物线交 于 ，B 两点，过A，B 两点分别作x 轴的垂线，垂足分别为点C、D，已知线段 的中点P 为抛物线 的顶点， ． 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求该抛物线的解析式； (2)求 的面积． 变式6-3（25-26 九年级上·湖北·期末）如图①，抛物线 与 轴交于 ，两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ． (1)求 ， 两点的坐标． (2)当 时． ①当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的最小值． ②点 是直线 上一动点，过点 作线段 轴（点 在直线 下方），已知 ，若线段 与 抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 九年级上·广东韶关·期末）抛物线 的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 九年级上·福建福州·期中）对于抛物线 ，下列说法错误 ．．的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C．当 时， 的最大值为2 D．当 时， 随 的增大而减小 3．（25-26 九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数 （ 为常数），当 时，该二 次函数的最大值与最小值的差为（ ） A．9 B． C．1 D．4 4．（25-26 九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数 的图象，下列结论正确的是（ ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当 时， 随 的增大而减小 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且 当 时， 随 的增大而增大，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26 九年级上·宁夏固原·期中）二次函数 ，当 _______时，y 有最值，最_______ 值为_______． 7．（25-26 九年级上·江西宜春·期末）抛物线 ，当 时， 随 增大而增大，则 的 取值范围是___________． 8．（25-26 九年级上·河南平顶山·期末）抛物线 经过 ， ， 三点，则 ， ， 的大小关系是______． 9．（25-26 九年级上·四川凉山·期末）关于x 的函数 图象经过原点，则m 的 值为_____． 10．（25-26 九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数 ，当自变量x 的值满足 时，与 其对应的函数y 的最大值为 ，则常数h 的值为_______． 三、解答题 11．（25-26 九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数 的图象经过坐标原点，与 轴交于 点 ． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点 ，满足 ，请直接写出点 的坐标． 12．（25-26 九年级上·河北·阶段检测）已知抛物线 的图象经过坐标原点O，并与x 轴交于 点 ． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且 ，求点B 的坐标 13．（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数 中，x 与y 的几组对应值如下表所示． x … 0 1 4 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数向左平移 个单位长度，若当 时，函数最大值为8，请直接写出m 的值． 14．（25-26 九年级上·广东广州·期末）已知关于 的二次函数 的图象如图所示． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)方程 的两个根为______； (2)观察图象，当 时， 的取值范围为______； (3)将该二次函数图象向上平移 个单位长度后恰好经过点 ，记此时二次函数图象与 轴的交 点为 ， (点 在点 左侧)，顶点为 ，请写出 的值，并求 的面积． 15．（25-26 九年级上·湖北·期末）如图①，抛物线 与 轴交于 ，两点（点 在 点 的左侧），与 轴交于点 ． (1)求 ， 两点的坐标． (2)当 时． ①当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的最小值． ②点 是直线 上一动点，过点 作线段 轴（点 在直线 下方），已知 ，若线段 与 抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围．
