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专题04 一次函数与反比例函数
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 一次函数
2025 福建卷、
2022 福建卷
常结合生活实际情境命题，分为填空、解答题型；
依托弹簧弹力、采购方案等现实素材构建一次函数
模型；考查待定系数法求解析式、利用一次函数性
质结合不等式求解最值；易错点：读懂文字情境提
取等量关系、自变量取值范围约束，方案最值问题
需注意整数限制。
考点02 反比例函
数
2026 福建卷、
2025 福建卷、
2024 福建卷、
2023 福建卷、
2022 福建卷
每年必考，以选择、填空题为主；核心考点：点是
否在反比例图象上、求k 值、根据象限判断k 符
号、反比例与几何图形（正方形、圆）综合；常结
合中心对称性质命题；难度中等，侧重反比例xy=k
核心关系式运用，几何综合题注重数形结合。
考点01 一次函数
1．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在
弹性限度内，弹簧弹力F 的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x 成正比，即F
kx
，其中k 为常数，是弹
簧的劲度系数；质量为m 的物体重力为mg ，其中g 为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长
度为6 厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 千克时，弹簧长度为6.5 厘米，那么，当弹簧长度
为6.8 厘米时，所挂物体的质量为_______千克．
2．（2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角
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的设计．种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46 盆，且绿萝盆数不
少于吊兰盆数的2 倍．已知绿萝每盆9 元，吊兰每盆6 元．
(1)采购组计划将经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值．
考点02 反比例函数
1．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数
1
y
x
图象上的点是（
）
A．
1,1
B．
12,
C．
2,1
D．
2,2
2．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数
3
y
x
和
n
y
x
的图象的四个分
支上，则实数n 的值为（
）
A．3
B．
1
3
C．1
3
D．3
3．（2025·福建·中考真题）若反比例函数
k
y
x
的图象过点( 2,1)
，则常数k _______．
4．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数
k
y
x
的图象与
O 交于,
A B 两点，
且点,
A B 都在第一象限．若
1,2
A
，则点B 的坐标为______．
5．（2022·福建·中考真题）已知反比例函数
k
y
x
的图象分别位于第二、第四象限，则实数k 的值可以是
______．（只需写出一个符合条件的实数）
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1．（2026·福建泉州·一模）如图是围棋棋盘中的3 个棋子，若两个黑子的坐标分别是
1,1
A
，
0, 2
B
，则
白子C 的坐标为（
）
A．
3,0
B．
4,0
C．
2, 1
D．
3, 1
2．（2026·福建宁德·二模）已知一次函数
3
y
kx
（
0
k ）的图象经过点
,2
A m
，则m的值可以是（
）
A．3
B．0
C．1
D．3
3．（2026·福建福州·三模）下列y 关于x 的函数中，当
0
x
时，函数值y 随x 的值增大而增大的是（
）
A．
2
2
x
y
B．
2
y
x
x
=
-
C．
2
2
y
x
D．
3
y
x
4．（2026·福建泉州·模拟预测）
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
是直线
2
5
y
m
x
图象上相异的两点，若
1
2
1
2
0
x
x
y
y
，
则m 的取值范围（
）
A．
2
m
B．
2
m
C．
2
m
D．
2
m
5．（2026·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x y
满足如下性质：对
于任意非零实数k，存在位于y 轴同侧的A、B、C 三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列
函数不具备该性质的是（
）
A．
1
y
kx
B．
|
|
y
k x
C．
k
y
x
D．
2
y
kx
6．（2026·福建厦门·三模）平面直角坐标系
, (0, ), (6, )
xOy A
t B
t ，其中
0
t
．直线1 :
(
0)
l
y
kx
b k
与线段AB
交于点C（不与,
A B 重合）．点
,
D E 分别在线段
,
AC BC 上．直线2
)
:
0
(
l
y
mx
n m
过点D 交直线1l 于点
F，直线3 :
(
0)
l
y
mx
p m
过点E 交直线1l 于点G．若对于任意的点D，都存在点E，使得
4
CEG
CDF
S
S
．设
点C 的横坐标为q，则q 的取值范围为（
）
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A．
6
0
5
q
B．0
2
q
C．6
6
5
q
D．2
6
q
7．（2026·福建宁德·二模）已知一次函数
3
y
kx
的图象经过点
12, ，则该函数图象不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．（2026·福建泉州·三模）已知一次函数
2
2
1
y
k x
k
的图象经过
2
,
1
A a b
，
2,
B c
d 两点，则下列判
断正确的是（
）
A．可以找到一个实数b，使得
1
a
B．无论实数b 取什么值，都有
1
a
C．可以找到一个实数c，使得
1
d
D．无论实数c 取什么值，都有
1
d
9．（2026·福建泉州·三模）如图，用一根12m长的铝合金型材做成一个中间有一条横档的“日字形”窗框（缝
隙忽略不计），设
m
AB
x
，
m
AC
y
，则y 与x 之间的函数关系是（
）
A．正比例函数
B．反比例函数
C．一次函数
D．二次函数
10．（2026·福建厦门·二模）若一个函数的自变量x 每变化一个单位，函数值y 随之变化两个单位，其解析
式可以是（
）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
2
y
x
D．
2
2
y
x
11．（2026·福建三明·二模）若不等式
1
ax
b
的解集是
3
x
，则下列各点可能在一次函数y
ax
b
图象
上的是（
）
A．
2,2
B．
2,3
C．
4,0
D．
4,2
12．（2026·福建福州·三模）若一次函数y
bx
c
的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程
2
0
x
bx
c
的根的情况是（
）
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A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．根的情况无法确定
13．（2026·福建福州·三模）一个正比例函数的图像经过点
6,
A
a 和点
,9
B b
．若点A 与点B 关于原点对
称，则这个正比例函数的表达式为（）
A．
2
3
y
x
B．
2
3
y
x
C．
3
2
y
x
D．
3
2
y
x
14．（2026·福建福州·三模）某市出租车的计费标准如图（不足1km 按1km 计算），一天，张叔叔乘坐出
租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y 元．则下列说法错误的是（
）
A．当行驶里程为2.8km 时，所付的费用为10 元
B．当3
6
x
时，
2
4
y
x
C．若支付了25 元，则行驶的里程数可能是8.8km
D．当行驶里程为3.5km 时，所付的费用为11 元
15．（2026·福建福州·三模）如图，一次函数y
kx
b
与
2
y
x
的图象相交于点
,4
P m
，则关于x，y 的
二元一次方程组
2
kx
y
b
y
x
的解是（
）
A．
3
4
x
y
B．
2
4
x
y
C．
1.8
4
x
y
D．
2.4
4
x
y
16．（2026·福建厦门·三模）某款小型无人潜水器使用“可变体积气囊”控制沉浮，其工作原理是内部充入固
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定质量的空气，通过液压活塞压缩或释放气囊体积V（单位：
3
100m ），改变气囊内部空气密度ρ（单位：
kg/m³），从而控制沉浮．正常工作状态下，空气密度ρ与体积V 是反比例函数关系，它的图象如图所示，
图中点A 和点B 的坐标是潜水器记录的两个异常数据，下列对这两个异常数据的解释正确的是（
）
A．点A，B 均反映潜水器充入过高质量的空气
B．点A，B 均反映潜水器充入过低质量的空气
C．点A，B 分别反映潜水器充入过高质量的空气和过低质量的空气
D．点A，B 分别反映潜水器充入过低质量的空气和过高质量的空气
17．（2026·福建厦门·三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点M 是矩形OABC 边BC 上的点．若反比
例函数
(k
0,x
0)
k
y
x
的图象经过顶点
3,2
B
，其上另一点D 与点A 关于点M 成中心对称，则点D 的
坐标为（
）
A．
3
4, 2
B．
3,2
C．3 ,4
2
D．
2,3
18．（2026·福建三明·三模）如图，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
的图象经过平行四边形ABCO 的顶点A ，已知OC
在x 轴上，点B 的坐标是
1,4
，平行四边形ABCO 的周长是10，则实数k 的值为（
）
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A．4
B．8
C．
10
3
D．
20
3
19．（2026·福建福州·三模）如图，在Rt AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴
上，将AOB 绕点B 逆时针旋转90后得到A O B
．若反比例函数
k
y
x
的图象恰好经过斜边A B
的中点C ，
8
ABO
S
△
，tan
2
BAO
，则k 的值为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
20．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，点B 在反比例函数
4
0
y
x
x
的图象上，AB 平行于x 轴，连接OA
OB
，
，若4
6
k
，则AOB 的面积可以是（
）
A．7
2
B．4
C．9
2
D．5
21．（2026·福建泉州·三模）如图，已知直线l 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数
(
0)
k
y
x
x
的
图象交于C ，D 两点，连接OC ，OD ．若
AOC 和
COD
△
的面积都为6 ，则k 的值是（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
22．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A 是函数
4 (
0)
y
x
x
＞
的图象上的动点，过点A 作x 轴、y 轴的平
行线与函数
2 (
0)
y
x
x
＞
的图象分别交于点B，C，OA 与BC 交于点D．下列结
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论中正确的是（
）
A．AB 与AC 一定相等
B．△AOB 与△AOC 的面积一定相等
C．OB 与OC 一定相等
D．△BOC 与△ABC 的面积一定相等
23．（2026·福建漳州·模拟预测）方程
2
3
1
x
x
的根可视为函数
3
y
x
的图象与函数
1
y
x
的图象交点的
横坐标，那么用此方法可推断出方程
3
2
1
x
x
的实数根x 所在的范围是（
）
A．
1
0
4
x
B．1
1
4
3
x
C．1
1
3
2
x
D．1
1
2
x
24．（2026·福建漳州·模拟预测）已知点
1
2
3
1,
,
2,
,
4,
A
y
B
y
C
y
都在反比例函数
2
1
k
y
x
的图象上，
则
1
2
3
,
,
y y
y 的大小关系（
）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
3
2
1
y
y
y
C．
2
1
3
y
y
y
D．
1
3
2
y
y
y
25．（2026·福建漳州·模拟预测）如图1 为亮度可调节的台灯，在电
压一定的情况下，该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关
系如图2 所示，则下列说法正确的是（
）
A．I 随R 的增大而增大
B．当
0.2
I
时，
100
R
C．I 与R 的函数表达式是
50 (
0)
I
R
R
D．当10
20
R
时，I 的取值范围是0.25
0.5
I
26．（2026·福建宁德·一模）物理兴趣小组在实验室开展“加速度与质量关系”的验证实验．在力F 恒定的条
件下，物体的加速度a （单位：
2
m / s ）与质量m（单位：kg ）满足反比例函数
F
a
m
．为保证实验安全，
质量控制在40
60
m
范围内．若
120 N
F
，则a 的最大值是（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
27．（2026·福建泉州·一模）物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）
和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识P
UI
，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（
）
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A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
28．（2026·福建泉州·一模）如图，点P 在双曲线
3
0
y
x
x
上，PB
y
轴，垂足为B ，过点B 作AB
OP
∥
交双曲线
3
0
y
x
x
于点A ，连接OA ，交PB 于点Q ，则
OPQ
OBQ
S
S
的值为（
）
A．
5
1
2
B．
3
1
2
C．
7
1
2
D．
5
1
2
29．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，已知正比例函数
3
2
y
x
与反比例函数
6
y
x
交于A，B 两点，C 是
第三象限反比例函数图象上一点，且点C 在点A 的左侧，线段BC 交y 轴的正半轴于点P，若PAC 的面积
是12，则点C 的坐标是（
）
A．
3
8,
4
B．
3, 2
C．
3
4,
2
D．
6
1
（
，）
30．（2026·福建龙岩·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A
B
、两点在双曲线
(
0,
0)
k
y
k
x
x
上，
连结并延长AB 交x 轴于点C ，且
:
1: 2
AB BC
；点D 在直线
:
0
l y
mx m
，直线l
AB ．若
30
ACD
S
△
，
则k 的值为（
）
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A．12
B．18
C．24
D．30
31．（2026·福建厦门·模拟预测）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池
时，电流
1
2
，
I
I （单位：A ）与电阻R （单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵
轴的直线l 交
1I 的图象于点Q ，交
2I 的图象于点P ，过点P
Q
，
分别作纵轴的垂线，垂足为
，
N
M ，则矩形
MNPQ 的面积表示的实际意义是（
）
A．经过用电器的电流的差值
B．两款蓄电池的电压的差值
C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值
D．当用电器的电阻相同时的电流的差值
32．（2026·福建莆田·二模）如图，将反比例函数
2
y
x
的图象向右平移1 个单位，可以得到函数
2
1
y
x
的
图象．下列关于函数
2
1
y
x
的说法中，正确的是（
）
A．该函数图象交y 轴于点
0,2
B．该函数图象关于点
0,1 对称
C．该函数图象关于直线
1
y
x
对称
D．该函数图象上任取两点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
，若
1
2
x
x
，则
1
2
y
y
33．（2026·福建漳州·模拟预测）阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．兴趣小组通过实
验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板（长度足够长）上的运动速度v（cm / s ）与运动
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时间t（s）之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，当运动时间为6s时，
运动速度为_______cm / s ．
运动时间t（s）
1
2
3
……
运动速度v/
（cm / s ）
11
10
9
……
34．（2026·福建漳州·模拟预测）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，下表表示一定温度下声音
在空气中传播的速度v( m / s )与温度
t ℃部分对应数值：
温度t
0
10
20
声音传播的速度v
331
337
343
研究发现，v 是t 的一次函数，则当温度t 为5℃时，声音传播的速度v 为_______m / s ．
35．（2026·福建漳州·模拟预测）智能手环的压力传感器原理：当佩戴者手腕施加压力时，传感器的弹性膜
发生形变，带动内部可变电阻R 阻值变化，进而使电路中电流发生变化，最终转化为可显示的压力值．已
知该可变电阻R（单位：欧）与手腕施加的压力F（单位：牛）之间的关系为一次函数，当
0
F
牛时，
240
R
欧；当
120
F
牛时，
0
R
欧．当可变电阻R 为60 欧时，对应手腕施加的压力F 为______牛．
36．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青
睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量0% 开始快充时，累计充电时间
min
y
与汽车仪表盘显示的电量
%
x
的关系可用二次函数
2
1
1
300
6
y
x
x
近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程
s km 与电量
%
x
的关系如下表所示．
汽车仪表盘显示的电
量
%
x
0
10
20
30
40
…
汽车仪表盘显示的可
行驶里程
s km
0
70
140
210
280
…
若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时
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到目的地的路程还有490km ．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他
到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10% ，则充电时间为________ min ．
37．（2026·福建厦门·一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到100℃时自动停止加热，随后水温逐渐
下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：m）变化的大致图象（由线段AB 与双曲线
一部分BC 组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间为________分钟．
38．（2026·福建漳州·模拟预测）漳州某中学的生物社团为了探究室内盆栽虎皮兰的生长情况，记录了其叶
片数y（片）与生长周数x（周）的关系，得到如下数据：
试验周数x/
周
0
1
2
3
4
叶片数y/片
10
13
16
19
22
则y 与x 之间的函数关系式为_______．
39．（2026·福建福州·模拟预测）已知关于x 的一次函数
4
3
y
mx
m
，那么这个函数的图象一定经过第
________象限．
40．（2026·福建泉州·一模）在“测量小车运动的瞬时速度”物理实验中，小明通过打点计时器记录了小车在
恒定拉力作用下运动的速度与时间关系．测得当
1
t 秒时，小车的速度
0.8
v
米/ 秒；当
3
t
秒时，小车的
速度
1.4
v
米/ 秒．已知小车速度v 与时间t 满足一次函数关系，当
2
t
秒时，小车的速度
v
___________
米/ 秒．
41．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，反比例函数
0
k
y
x
x
的图象经过平行四边形ABCO 的顶点A ，
已知OC 在x 轴上，若点B 的坐标是
1,5
，平行四边形ABCO 的面积是4，则实数k 的值为______．
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42．（2026·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB 按如图位置摆放，直角顶点与原
点O 重合，点A 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图像上，
30
B
．若点B 坐标为
1, 3
，则k 的值是______．
43．（2026·福建三明·模拟预测）如图，点A ，B 分别在反比例函数
1
k
y
x
（
0
x
），
2
3
y
x
（
0
x
）的
图象上，点C 为y 轴正半轴上一点，若平行四边形ACOB的面积是6，则k 的值为_______．
44．（2026·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，直线y
x
m
与双曲线
5
y
x
交于
,5
A a
a ，
B 两点，在线段AB 上取一点M （M 不与A ，B 重合），点M 的横坐标为t ，作MH
x
轴于H ，交双曲
线
5
y
x
于N ，记d
MN OH
．若d 随t 的增大而减小，则t 的取值范围是______．
45．（2026·福建厦门·二模）已知点
,
P a b 是一次函数
3
y
x
与反比例函数
2
y
x
的交点，则代数式1
1
a
b
的值是_________．
46．（2026·福建三明·二模）如图，A 、B 是反比例函数
2
y
x
图象上两点，且
2
AB
OA
，过点A 、B 分别
作x 轴、y 轴的平行线，交于点C ，连接OC ，交AB 于点D ，若
45
AOC
，给出以下四个结论：①
2
AB
BC
；
②
22.5
ACO
；③AD
CD
；④
2
1
OC
OA
，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．
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47．
（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，若函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
1,4
x
和
2, 4
x
，
则
1
2
x
x
的值是______．
48．（2026·福建福州·模拟预测）用绘图软件绘制双曲线m：
60
y
x
与动直线l ：y
a
，且交于一点，图1
为
8
a
时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．例
如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1 中坐标系的单位长度变为原来的1
2 ，其可视范围就由15
15
x
及10
10
y
变成了30
30
x
及20
20
y
（如图2）．当
1.2
a
和
1.5
a
时，l 与m的交点分别是点A
和B ，为能看到m在A 和B 之间的一整段图象，需要将图1 中坐标系的单位长度至少变为原来的1
k ，则整
数k ________．
49．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B 分别为反比例函数
1
0
y
x
x
与
0
k
y
x
x
图象上的
点，连接OA ，OB ．若
2
OB
OA
，且满足
1
2
，则k 的值为________．
50．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系xOy 中，射线
1
0
y
k x x
与双曲线
1k
y
x
和
2k
y
x
依次交
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于点A，B，射线
2
0
y
k x x
与双曲线
1k
y
x
和
2k
y
x
依次交于点C，D．对于任意的
1
2
0
k
k
，给出下
列四个结论：
①AC
BD
∥
；②AB
CD
；③
1
2
k
OA
OB
k
；④
1
2
OAC
OBD
S
k
S
k
△
△
．
其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
51．（2026·福建南平·二模）如图，已知矩形ABCD 的顶点均在反比例函数
1
y
x
的图象上，其中顶点A，B
在第一象限（点B 在点A 右侧），顶点C，D 在第三象限（点C 在点D 右侧），若点A 的坐标为1 ,2
2
，
则点B 的坐标为______．
52．（2026·福建福州·三模）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关．
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两
个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A
B
，
的下方，从离桌面20cm 的高度，分别缓慢浸入到
甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不
计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积及液体的密度有关．物体浸在液体中的
体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F
G
拉力
重力；当小铝块浸入液面后，F
G
F
拉力
重力
浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A
B
，
各自的示数
N
F拉力
与小铝块各自下
降的高度
cm
x
之间的关系如图2 所示．
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【解决问题】
(1)当小铝块下降10cm 时，弹簧测力计A 的示数为________ N ，弹簧测力计B 的示数为________ N ；
(2)当6
10
x
时，求弹簧测力计A 的示数F拉力关于x 的函数解析式；
(3)当弹簧测力计A 悬挂的小铝块下降7cm 时，甲液体中的小铝块受到的浮力为
N
m
，若使乙液体中的小
铝块所受的浮力也为
N
m
，则乙液体中小铝块浸入的深度为
cm
n
．求m，n 的值．
53．（2026·福建漳州·模拟预测）某校数学建模兴趣小组在探究“圆柱体浸入液体过程中的力学变化”课题时，
设计了一个实验：将一个挂在弹簧测力计下的实心圆柱体金属块，缓慢匀速地浸入盛有足量水的容器中（在
金属块接触容器底之前）．实验过程中，记录了圆柱体下表面所处的深度h（单位：cm）与弹簧测力计相
应的示数F（单位：N）．
【数据记录】
实验次序
1
2
3
4
5
深度
h cm
0
2
4
6
8
示数
N
F
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
经观察分析，在金属块完全浸没于水中之前，弹簧测力计的示数F 与圆柱体下表面所处的深度h 之间满足
一次函数关系．请根据上述信息，解决下列问题：
(1)求出弹簧测力计示数F（N）与深度h（cm）之间的函数关系式；
(2)当弹簧测力计的示数5.0N 时，求圆柱体下表面浸入水中的深度．
54．（2026·福建厦门·二模）某合作社精品芒果成本为60 元/箱，每天的销售量y 箱与售价x 元/箱满足关系
式
20
2200
y
x
．
(1)若芒果的售价为80 元/箱，求合作社每天芒果的销售利润．
(2)若规定芒果的售价不低于86 元/箱，且每天的销售量不少于300 箱，求芒果的售价x 应定在什么范围．
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55．（2026·福建厦门·三模）【项目背景】
某学习小组在学习声现象时，知道了振动频率越高，音调就越高；振动频率越低，音调也越低．由此他们
联想到在敲击装有水的玻璃杯时，杯中水位不同，音调也会不同．于是他们计划探究水位高度与振动频率
之间的关系，并依此制作水杯琴．
【实验操作】
该学习小组设计了如下实验：先在圆柱形玻璃杯中加水，加到水位高度为5 cm 时，敲击玻璃杯口，同时利
用声学设备测量其振动频率；继续加水，并测量不同水位高度时的振动频率．为减小误差，同一水位高度
下，多次敲击、测量振动频率并计算它们的平均值，获得的数据如表一．
表一
水位高度h （cm）
5
10
15
20
25
频率f （Hz ）
500
420
340
259
180
【数据查询】
通过查阅资料得知，七个音阶对应的频率如表二．
表二
音阶
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
Si
频率f （Hz ）
261.6
293.6
329.6
349.2
392
440
493.8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求一个能近似描述频率f 与水位高度h 的关系的函数解析式；
(2)用实验中同种型号的玻璃杯制作水杯琴时，请估计发出音阶为Sol和La 的两个玻璃杯中水位高度差为多
少？
56．（2026·河南周口·模拟预测）某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、
乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10 元，且用300 元购买甲种工具的数量与用500
元购买乙种工具的数量相等．
(1)求甲、乙两种工具的单价．
(2)若该校计划购买甲、乙两种工具共80 件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3 倍．求购买这批劳
动工具所需的最低费用．
57．（2026·福建泉州·模拟预测）项目式学习
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在数学综合实践活动中，某小组开展反比例函数与几何角度项目探究学习，阅读下列材料并完成探究问题．
用固定双曲线三等分锐角
阅
读
材
料
古希腊有著名的三等分角难题，仅用圆规和直尺是不可能将任意锐角
三等分．数学家帕普斯借助反比例函数构图，给出了一种“三等分锐角”
的方法，作图步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角
AOB
的顶点与原点O 重合，角的一
边OB 与x 轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数
1
y
x
的图象，图象与已知角的另一边OA
交于点P；
③以P 为圆心、以2OP 的长为半径作弧，交函数
1
y
x
的图象于点R；
④分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接OM ，得到
MOB
．则
1
3
MOB
AOB
．
问题解决
(1)任务1：设
1
,
P a a
，
1
,
R b b
，求直线OM 的函数解析式（用含a，b 的代数式表示），并说明Q 点在
直线OM 上．
(2)任务2：证明：
1
3
MOB
AOB
(3)任务3：结合上面项目探究的构图方法、图形特征以及归纳得到的规律进行解答．如图2，若直线y
x
与
反比例函数
9
0
y
x
x
交于点C；D 为反比例函数
9
0
y
x
x
第一象限上的点，且
30
COD
，根据材
料中提供的构图方法求出D 点坐标．
58．（2026·福建厦门·三模）考古学家通过古人肱骨长度推测身高．某次考古发现商王朝南部“长”国的部落
男性的身高y（单位：cm）与肱骨长度x（单位：cm）一次函数关系．根据考古数据，部分肱骨长度对应身
高数据如表一：
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表一
肱骨长度
/ cm
x
28
30
32.5
35
36
身高
/ cm
y
153.4
159
166
173
175.8
(1)求身高y 关于肱骨长度x 的函数解析式；（不要求写出自变量取值范围）
(2)结合该部落古人骨骼数据，得到该部落成年男性肱骨长度的范围约为29
34
x
之间，试求该部落成年
男性身高y 的取值范围．
59．（2026·福建漳州·模拟预测）下面两图片分别标注A、B 两种食品的营养成分表．已知这两种食品每包
质量均为50g ，根据相关信息完成下列问题：
(1)要从这两种食品中摄入4100KJ 热量和65g 蛋白质，应选用A、B 两种食品各多少包？
(2)结合《中国居民膳食指南（2022）》及国家《学生餐营养指南》标准，初中生午餐的蛋白质摄入量不低
于70g ，若午餐选用这两种食品共6 包，且热量最低，应如何选用这两种食品？
60．（2026·福建泉州·二模）某研究小组为探究一种固态合金球的体积随温度变化的规律，测得不同温度下
合金球的体积数据如表（已知该合金的熔点为1000 C
）：
温度/ C
t
40
20
10
0
10
20
40
60
体积
3
/ cm
V
998.3
999.2
999.6
1000
1000.3
1000.7
1001.6
1002.3
(1)小明认为V 与t 之间近似地符合一次函数关系，他选取其中两组数据
10,1000.3 和
60,1002.3 ，请帮他
求出函数的表达式，并算出温度为200 C
时合金球的体积；
(2)小华选取其它数据算出温度为200 C
时，合金球的体积为
3
1006cm ．研究小组认为这批数据可能分布在某
条直线附近，于是他们利用某AI （人工智能）平台对全部数据进行分析，得到一次函数的最佳表达式为
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0.0397
999.95
V
t
．小明和小华计算200 C
时合金球的体积结果，哪位同学的结果更接近最佳表达式？请
说明理由．
61．（2026·福建福州·三模）如图，在菱形ABCD 中，
120
ABC
，
9,0
A
，
1,0
B
．反比例函数
0
k
y
k
x
的图像经过点C ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)菱形的对角线AC 与BD 相交于点E ，将菱形ABCD沿x 轴的正方向平移，当点D 恰好在反比例函数的图
像上时，试判断此时点E 是否也在反比例函数的图像上？请说明理由．
62．（2026·福建福州·模拟预测）小明用代数推理的方法发现了反比例函数
a
y
x
（
0
a
）一个有趣的结论：
如图，直线y
kx
b
（
0
k ）与双曲线
a
y
x
（
0
a
）交于A ，B 两点，与x ，y 轴分别交于点C ，D ，
可证明AC
BD
成立．他的思路是将直线和曲线联立，进而求得
A
B
x
x
与
C
D
x
x
的值，由
C
D
A
B
x
x
x
x
，
证得线段AB 的中点与线段CD 的中点重合，即可得到AC
BD
．请按小明的思路完成证明．
63．（2026·福建福州·模拟预测）如图，平行于y 轴的矩形直尺与双曲线
k
y
x
（
0
x
）交于点A 和C ，与
x 轴交于点B 和D ，点A 和B 对应的刻度分别为5cm 和2cm ，直尺的宽度为3cm ，
3cm
OB
．（注：平面
直角坐标系内一个单位长度为1cm ）
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(1)求k 的值．
(2)过点C 作CE
AB
于点E ，连接ED ，AC ．求证：四边形AEDC 是平行四边形．
64．（2026·福建泉州·模拟预测）在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当
0
k 时，y 随
x 的增大而增大；当
0
k
时，y 随x 的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左
向右下降．我们可以证明这一性质的正确性．
我们知道，要比较
a
b
、两个数的大小，可以先求出它们的差a
b
．若
0
a
b
，则a
b
；若
0
a
b
，则
a
b
；若
0
a
b
，则a
b
．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论．
设一次函数
0
y
kx
b k
，当自变量x 分别取
1
2
、
x
x ，且
1
2
x
x
时，对应的函数值分别为
1
1
2
2
,
y
kx
b y
kx
b
．它们的差为
2
1
2
1
2
1
2
1
y
y
kx
b
kx
b
kx
kx
k x
x
．由假设
1
2
x
x
可知，
2
1
0
x
x
，这样，我们就得到如下结论：
（1）当
0
k 时，
2
1
0
k x
x
，即
2
1
0
y
y
，亦即
2
1
y
y
．也就是说，y 随x 的增大而增大．
（2）当
0
k
时，
2
1
0
k x
x
，即
2
1
0
y
y
，亦即
2
1
y
y
．也就是说，y 随x 的增大而减小．
这就是一次函数的增减性．
(1)请用上述材料中的方法，证明反比例函数
0
k
y
k
x
的增减性；
(2)已知反比例函数
4
y
x
，点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
都在该函数的图象上，且
1
2
0
x
x
，试比较
1y 与
2y 的大
小，并说明理由．
