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专题04 二次函数中线段、周长、面积最值问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中求线段最值的问题（重）
题型2 利用二次函数求线段和最值的问题（高频）
题型3 利用二次函数求线段差最值的问题（难）
题型4 利用二次函数求周长最值的问题（难）
题型5 利用二次函数求面积最值的问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中求线段最值的问题
1．（2026·江苏苏州·二模）已知二次函数经过点
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，点
(
)
0,3
C
，横坐标分别为
1
m−，m ，
1
m+
的三点D、E、F 在这条抛物线图像上，连接点D 和点F 的抛物线“片段”始终经过点C ．
(1)该二次函数解析式为__________；
(2)求m 的范围，并求线段DF 的最小值；
(3)求DEF
的面积．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2) 1
1
m
−
；2
(3)1
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据 D 横坐标为
1
m−，F 横坐标为
1
m+ ，(
)
0,3
C
在D、F 之间的抛物线段上，得出
1
0
1
m
m
−
+ ，
即可得1
1
m
−
；先求出点D、F 的纵坐标，由两点距离公式求出
2
4 16(1
)
DF
m
=
+
−
，当
1
m = 时，
2
(1
)
m
−
最小为0 ，此时
min
4
2
DF
=
=
；
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（3） E 点横坐标为m ，纵坐标
2
2
3
= −
+
+
Ey
m
m
； 过点E 作EG
x
⊥
轴交DF 于点G，求出直线DF 的解
析式，得出
2
2
2
G
y
m
m
−
=
+
+
，再根据铅垂线法解答即可；
【详解】（1）解：∵二次函数与x 轴交于
( 1,0)
A −
、
(3,0)
B
，
设二次函数解析式为：
(
1)(
3)
y
a x
x
=
+
−
，
将
(0,3)
C
代入得：3
3
a
−
=
，
解得：
1
a = −，
∴二次函数解析式为
(
)(
)
2
1
3
2
3
y
x
x
x
x
−
−
= −
+
=
+
+ ；
（2）解：∵ D 横坐标为
1
m−，F 横坐标为
1
m+ ，
(
)
0,3
C
在D、F 之间的抛物线段上，
∴
1
0
1
m
m
−
+ ，
解得：1
1
m
−
，
将点D、F 横坐标代入抛物线得：
2
2
(
1)
2(
1)
3
4
D
y
m
m
m
m
−
−
−
−
=
+
+
=
+
，
2
2
(
1)
2(
1)
3
4
F
y
m
m
m
−
−
=
+
+
+
+
=
+
，
横坐标差为(
1)
(
1)
2
m
m
+
−
−
=
，纵坐标差为
4
4
F
D
y
y
m
−
=
−
，
由两点距离公式得：
2
2
2
2
(4
4 )
4 16(1
)
DF
m
m
−
=
+
−
=
+
，
当
1
m = 时，
2
(1
)
m
−
最小为0 ，
此时
min
4
2
DF
=
=
；
（3）解： E 点横坐标为m ，纵坐标
2
2
3
= −
+
+
Ey
m
m
；
过点E 作EG
x
⊥
轴交DF 于点G，
设直线DF 的解析式为y
ax
b
=
+
，
则
(
)
(
)
2
2
4
1
4
1
m
m
a m
b
m
a m
b
−
+
=
−
+
−
+
=
+
+
，
解得：
2
2
2
2
a
m
b
m
=
−
=
+
，
∴直线DF 的解析式为
(
)
2
2
2
2
y
m x
m
=
−
+
+
，
当x
m
=
时，
2
2
2
G
y
m
m
−
=
+
+
，
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∴
(
) (
)
2
2
2
3
2
2
1
E
G
EG
y
y
m
m
m
m
=
−
= −
+
+
−−
+
+
= ，
DEF
的水平宽为
2
F
D
x
x
−
=
，
∴
1
1
2
1 2
1
2
2
DEF
S
EG
=
=
=
．
2．（2026·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
与正比例函数y
kx
=
的
图象都经过点
(
)
2, 2
P
−
，点A 为二次函数图象上点O 与点P 之间的一点，过点A 作x 轴的垂线，交OP 于点
M，交x 轴于点N．
(1)若点P 为该二次函数图象的顶点．
①求二次函数的表达式；
②求线段AM 长度的最大值．
(2)若该二次函数的图象与x 轴的另一个交点为(
)
,0
B m
，且
5
m
，请直接写出a 的取值范围．
【答案】(1)①
2
1
2
2
y
x
x
=
−
；②当
1
t = 时，线段AM 的长度取得最大值1
2
(2)
1
0
3
a
【分析】（1）①根据二次函数的性质和待定系数法求解即可；
②先求出正比例函数的表达式为y
x
−
=
，设点M 的坐标为(
)(
)
,
0
2
t
t
t
−
，则点A 的坐标为
2
1
,
2
2
t
t
t
−
，
列出关于AM 的解析式，利用二次函数的性质求解即可；
（2）根据二次函数
2
y
ax
bx
=
+
的图象经过点(
)
2, 2
P
−
，求出
1 2
b
a
= −−
，令
0
y =
，求出
1
0
x =
，2
b
x
a
= −
．然
后根据
5
b
m
a
= −
和
0
a
求解即可．
【详解】（1）解：①∵点
(
)
2, 2
P
−
为二次函数
2
y
ax
bx
=
+
图象的顶点，
∴可得方程组
4
2
2,
2,
2
a
b
b
a
−
+
=
−
=
解得
1 ,
2
2.
a
b
−
=
=
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∴二次函数的表达式为
2
1
2
2
y
x
x
=
−
．
②正比例函数y
kx
=
的图象经过点
(
)
2, 2
P
−
，
2
2
k
= −，解得
1
k = −．
∴正比例函数的表达式为y
x
−
=
．
设点M 的坐标为(
)(
)
,
0
2
t
t
t
−
，则点A 的坐标为
2
1
,
2
2
t
t
t
−
，
(
)
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
AM
t
t
t
t
t
t
−−
−
−
−
=
−
=
+ =
+
．
∴当
1
t = 时，线段AM 的长度取得最大值1
2 ；
（2）解：a 的取值范围是
1
0
3
a
．
∵二次函数
2
y
ax
bx
=
+
的图象经过点(
)
2, 2
P
−
，
4
2
2
a
b
+
= −，
化简，得
1 2
b
a
= −−
．
令
0
y =
，则
2
0
ax
bx
+
=
，
解得
1
0
x =
，
2
b
x
a
= −
．
∵二次函数的图象与x 轴的一个交点为(
)
,0
B m
，且
5
m
，
∴
5
b
m
a
= −
．
0
a
，
5
b
a
−
，即
5
b
a
−
．
1 2
5
a
a
−−
−
，
解得
1
3
a
．
0
a
，
∴a 的取值范围是
1
0
3
a
．
3．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线
2
y
ax
bx
=
+
经过(
)
(
)
3,0 ,
1, 4
A
B
−
−
两点．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，作PQ
y
轴交直线AB 于点Q ，求线段PQ 的最大值；
(3)连接OB ，将线段OB 沿着射线BA向上平移，设平移过程中点B 的横坐标为t ，若线段OB 与抛物线无交
点，请直接写出t 的取值范围．
【答案】(1)
2
3
y
x
x
= −
+
(2) PQ 的最大值为4
(3) 1
1
t
−或
3
t
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AB 的解析式，设(
)
2
,
3
P x
x
x
−
+
，则
( ,
3)
Q x x−
，表示出PQ ，再根据二次函数的性质即可
解答；
（3）求出平移后的线段O B
的端点坐标O
B
、
，再结合函数图象解答即可；
【详解】（1）解：将
(3,0)
A
、
( 1, 4)
B −−
代入
2
y
ax
bx
=
+
，得方程组：
9
3
0
4
a
b
a
b
+
=
−
= −
，
解得
1
3
a
b
−
=
=
，
∴抛物线解析式为
2
3
y
x
x
= −
+
．
（2）解：设直线AB 的解析式为：y
kx
m
=
+
，
代入
(3,0)
A
、
( 1, 4)
B −−
得：
3
0
4
k
m
k
m
+
=
−+
= −
，
解得：
1
3
k
m
=
= −
，
即直线AB 的解析式为：
3
y
x
=
−
，
设(
)
2
,
3
P x
x
x
−
+
，
∵PQ
y
轴，
∴
( ,
3)
Q x x−
，
∵P 在AB 上方，
∴
(
)
2
2
2
3
(
3)
2
3
(
1)
4
PQ
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
= −
+
−
=
+
+
=
+
∵1
0
−
，
∴当
1
x = 时，
4
PQ
=
最大值
．
（3）解：∵直线AB 的解析式为：
3
y
x
=
−
，
∴BA方向为横、纵坐标均每单位增加1，
设线段OB 与平移后的线段为O B
（O
B
、的对应点分别为O
B
、
），
∵OB 沿射线BA向上平移，原
( 1, 4)
B −−
平移后横坐标为t ，
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∴
(
1,
1)
O t
t
+
+
、
( ,
3)
B t t −
，
当
(
1,
1)
O t
t
+
+
在抛物线解析式
2
3
y
x
x
= −
+
上时，
(
)
(
)
2
1
1
3
1
t
t
t
−
+ =
+
+
+
，
解得：
1
t = −（与点B 重合）或
1
t = ，
当
(
)
,
3
B t t−
在抛物线解析式
2
3
y
x
x
= −
+
上时，
2
3
3
t
t
t
−
−
=
+
，
解得：
1
t = −（与点B 重合）或
3
t =
，
画图如下：
结合图象可得，若线段OB 与抛物线无交点，则1
1
t
−或
3
t
．
◆题型2 利用二次函数求线段和最值的问题
4．（25-26 九年级上·江苏扬州·期末）如图，直线
1
3
y
x−
=
与抛物线
2
2y
x
bx
c
=
+
+ 交于A、B 两点，抛物线
2y
与x 轴的另一个交点为C．
(1)求抛物线
2y 的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PB
PC
+
的值最小．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
2
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)
(
)
1, 2
P
−
【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数
解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的
应用．
（1）根据直线的解析式求出点A 和点B 的坐标，将点A 和点B 的坐标代入
2
2y
x
bx
c
=
+
+ ，即可求出抛物
线的解析式；
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（2）由点A与点C 关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线AB 的交点即为点P ．
【详解】（1）解：在
1
3
y
x−
=
中，当
1
0
y =
时，
3
x = ，当
0
x =
时，
1
3
y = −，
∴
(
)
3,0
A
，
(
)
0, 3
B
−
，
将点
(
)
3,0
A
，
(
)
0, 3
B
−
代入
2
2y
x
bx
c
=
+
+ ，得
9
3
0
3
b
c
c
+
+
=
= −
，解得
2
3
b
c
= −
= −
，
∴抛物线
2y 的解析式为
2
2
2
3
y
x
x
=
−
−．
（2）解：如图所示，连接PC
PB
PA
，
，
，
∵抛物线的解析式为
(
)
2
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
=
−
−
=
−
−
，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x = ．
∵点A与点C 关于抛物线的对称轴对称，
∴PA
PC
=
．
PB
PC
PB
PA
AB
+
=
+
．
∴当P ，A，B 三点共线时，PB
PC
+
的值最小．
在
1
3
y
x−
=
中，当
1
x = 时，
1
1
3
2
y = −
= −，
∴
(
)
1, 2
P
−
．
5．（25-26 九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)(
)
1
4
3
y
x
m
x
= −
+
−
与x 轴交于
(
)
2,0
A −
，B 两点，点C 在y 轴的负半轴上，且
3
OC =
，D 是线段BC 上的动点（点D 不与点B，C 重合）．
(1)求抛物线的表达式；
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(2)如图1，将ACD
沿x 轴翻折得到
AFE
△
，当点E 恰在抛物线上时，求点D 的坐标；
(3)如图2，G 是线段AB 上的动点，连接CG ，当CD
BG
=
时，求AD CG
+
的最小值．
【答案】(1)
2
1
2
8
3
3
3
y
x
x
= −
+
+
(2)点D 的坐标为1
45
,
4
16
−
(3)
58
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线BC 的表达式，再设点D 的坐标为
3
,
3
4
m
m
−
，则点
3
,
3
4
E m
m
−
+
，代入求解得到
1
4
m =
，
据此计算即可求解；
（3）过点C 作CB
x
∥
轴且CB
CB
=
，得到
CBG
B CD
≌
△
△
，推出CG
B D
=
，当A，D，B三点共线时，
AD
BD
+
有最小值为AB的长度，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：将(
)
2,0
−
代入
(
)(
)
1
4
3 x
m
x
−
+
−
，得
(
) (
)
1
2
2
4
0
3
m
−−+
−−
=
．
解得
2
m =
．
∴抛物线的表达式为
(
)(
)
2
1
1
2
8
2
4
3
3
3
3
y
x
x
x
x
= −
+
−
= −
+
+
；
（2）解：由
(
)(
)
1
2
4
3
y
x
x
= −
+
−
得，点B 的坐标为(
)
4,0 ，
3
OC = ，
点C 的坐标为(
)
0, 3
−
，
设直线BC 的表达式y
kx
b
=
+
，
将
(
)
0, 3
C
−
代入，得
3
b = −，
将
(
)
4,0
B
代入，得4
3
0
k −=
，
3
4
k =
，
直线BC 的表达式
3
3
4
y
x
=
−，
设点D 的坐标为
3
,
3
4
m
m
−
，则点E 的坐标为
3
,
3
4
m
m
−
+
，
将点
3
,
3
4
E m
m
−
+
代入
(
)(
)
1
2
4
3
y
x
x
= −
+
−
，
得
(
)(
)
3
1
3
2
4
4
3
m
m
m
−
+ = −
+
−
，
解得
1
1
4
m =
，
2
4
m =
（舍去），
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点D 的坐标为1
45
,
4
16
−
；
（3）解：如图，过点C 作CB
x
∥
轴且CB
CB
=
，连接DB，AB，
CB
x
∥
轴，
CBG
B CD
=
，
CD
BG
=
，CB
CB
=
，
CBG
B CD
≌
△
△
，
CG
B D
=
，
AD
CG
AD
B D
+
=
+
，
当A，D，B三点共线时，
AD
BD
+
有最小值为AB的长度，
在Rt
BOC
△
中，
3
OC =
，
4
OB =
，
2
2
3
4
5
BC =
+
=
，
点B的坐标为(
)
5, 3
−
，
又
(
)
2,0
A −
，
(
)
2
2
2
5
3
58
AB =
−−
+
=
．
即AD CG
+
的最小值为58 ．
6．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
−交x 轴于点
(
)
1,0
A −
，B；交y 轴于点C，将点C
向右平移2 个单位长度，得到点D，点D 在抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
−上，点E 为抛物线顶点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点E 的坐标；
(2)连接BC ，点M 为线段BC 上一动点，连接OM ，作射线CD．
①在射线CD上取一点F，使CF
CO
=
，连接FM ．当OM
FM
+
的值最小时，求点M 的坐标．
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②点N 是射线CD上一动点，且满足CN
CM
=
，连接OM
BN
、
，求OM
BN
+
的最小值．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−，(
)
1, 4
−
(2)①3
3
,
2
2
−
；②3 3
【分析】（1）求出点D 的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）①连接
,
OF BF ，根据题意可得点
(
)
3, 3
F
−
，
3 2
OF =
，从而得到当点O，M，F 三点共线时，OM
FM
+
取得最小值，最小值为OF 的长，即3 2 ，再求出点(
)
3,0
B
，可证明四边形BOCF 为菱形，即可求解；
②在射线CE 上取点G，使CG
OC
=
，连接
,
,
GN DE BG ，证明BOC
为等腰直角三角形，可得
45
OCB
=
，
可证明
CDE
△
为等腰直角三角形，再证明
(
)
SAS
COM
CGN
≌
，可得OM
NG
=
，从而得到
OM
BN
NG
BN
BG
+
=
+
，即可求解．
【详解】（1）解：当
0
x =
时，
3
y
−
=
，
∴点
(
)
0, 3
C
−
，
∵将点C 向右平移2 个单位长度，得到点D，
∴点
(
)
2, 3
D
−
，
把点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2, 3
D
−
代入
2
3
y
ax
bx
=
+
−得：
3
0
4
2
3
3
a
b
a
b
−−
=
+
−
= −
，解得：
1
2
a
b
−
=
=
，
∴抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
=
−
−，
∵
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−
，
∴顶点E 的坐标为(
)
1, 4
−
；
（2）解：①如图，连接
,
OF BF ，
∵
(
)
0, 3
C
−
，
(
)
2, 3
D
−
，
∴CD
y
⊥
轴，
3
OC = ，
∴
3
CF
CO
=
= ，
∴点
(
)
3, 3
F
−
，
2
2
3
3
3 2
OF =
+
=
，
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∵OM
FM
OF
+
，
∴当点O，M，F 三点共线时，OM
FM
+
取得最小值，最小值为OF 的长，即3 2 ，
对于
2
2
3
y
x
x
=
−
−，
当
0
y =
时，
1
2
1,
3
x
x
= −
=
，
∴点
(
)
3,0
B
，
∴
3
OB =
，
3
BF = ，
∴OB
OC
CF
BF
=
=
=
，
∴四边形BOCF 为菱形，
∴点M 为OF 的中点，
∴点M 的坐标为3
3
,
2
2
−
；
②如图，在射线CE 上取点G，使CG
OC
=
，连接
,
,
GN DE BG ，
∵
(
)
(
)
3,0 ,
0, 3
B
C
−
，
∴
3
OB
OC
=
= ，
∴BOC
为等腰直角三角形，
∴
45
OCB
=
，
∵
(
)
(
)
(
)
0,
3 ,
1,
4 ,
2,
3
C
E
D
−
−
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
0 1
3
4
2
CE =
−
+ −+
=
，
(
)
(
)
2
2
2 1
3
4
2,
2
DE
CD
=
−
+ −+
=
=
，
∴
2
2
2
,
CE
DE CE
DE
CD
=
+
=
，
∴
CDE
△
为等腰直角三角形，
∴
45
DCE
=
，
∴
OCM
GCN
=
，
∵
,
CM
CN CO
CG
=
=
，
∴
(
)
SAS
COM
CGN
≌
，
∴OM
NG
=
，
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∴OM
BN
NG
BN
BG
+
=
+
，
∵
(
)
0, 3
C
−
，
(
)
2, 3
D
−
，
∴CD
y
⊥
轴，即
90
OCD
=
，
∴
90
45
45
BCD
OCD
OCB
=
−
=
−
=
，
∵
2
2
2
2
3
3
3 2
BC
OB
OC
=
+
=
+
=
，
3
CG
CO
=
=
，
在Rt BCG
中，
(
)
2
2
2
2
3 2
3
3 3
BG
BC
CG
=
+
=
+
=
，
∴
3 3
OM
BN
BG
+
=
，
即OM
BN
+
的最小值为3 3 ．
◆题型3 利用二次函数求线段差最值的问题
7．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过
(
)
1,0
A −
和
(
)
4,0
B
两点，其顶点为D．
(1)如图，当
8
c = 时，求抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的解析式．
(2)点E 在y 轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD
ED
−
最大时，求点D 的坐标．
【答案】(1)
2
2
6
8
y
x
x
= −
+
+
(2)
3
( ,5)
2
D
【分析】（1）利用交点式设抛物线解析式，代入点(0,8) 求出a ．
（2）利用抛物线的对称性可知对称轴上的点到A、B 的距离相等，将BD
ED
−
转化为AD
ED
−
，利用三角
形两边之差小于第三边，当A、E 、D 三点共线时取得最大值，求出直线AE 与对称轴的交点即可．
【详解】（1）解：抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过
( 1,0)
A −
和
(4,0)
B
，
设抛物线的解析式为
(
1)(
4)
y
a x
x
=
+
−
，
8
c =
，即抛物线过点(0,8) ，
8
(0 1)(0
4)
4
a
a
=
+
−
= −
，
2
a
= −，
2
2
2(
1)(
4)
2(
3
4)
2
6
8
y
x
x
x
x
x
x
= −
+
−
= −
−
−
= −
+
+
．
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（2）解：点E 在y 轴正半轴上，且到原点的距离为2 ，
(0,2)
E
，
抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过
( 1,0)
A −
和
(4,0)
B
，
对称轴为直线
1 4
3
2
2
x
−+
=
=
，
点D为抛物线的顶点，且D 在对称轴直线
3
2
x =
上，
又对称轴直线
3
2
x =
是线段AB 的垂直平分线，
对称轴上的任意一点到A、B 两点的距离相等，即DA
DB
=
，
BD
ED
AD
ED
−
=
−
，
在ADE
中，AD
ED
AE
−
，
当且仅当A、E 、D三点共线，且点E 在线段AD上时，AD
ED
AE
−
=
取得最大值，
设直线AE 的解析式为
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，
( 1,0)
A −
，
(0,2)
E
，
1
1
0
2
k
b
b
−+
=
=
，解得
1
2
2
k
b
=
=
，
直线AE 的解析式为
2
2
y
x
=
+
，
点D在对称轴
3
2
x =
上，
3
2
2
3
2
5
2
y
=
+
= +
=
，
3
( ,5)
2
D
．
8．（2026·江苏宿迁·二模）抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点A、B 、C ，已知(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线对称轴上一动点，求当AD
CD
−
取最大值时，点D 的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E 与原点O重合，直线
1(
0)
y
kx
k
=
+
与抛物线相交于点P 、Q（点P
在左边），过点P 作x 轴平行线交抛物线于点R ，当k 发生改变时，请说明直线QR 过定点，并求定点坐标．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−
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(2)(
)
1, 6
−
(3)过定点，且定点坐标为(
)
0, 1
−
，见解析
【分析】（1）先根据点B 坐标，点C 坐标，利用待定系数法求解可得；
（2）连接AC ，并延长交对称轴直线
1
x = 于点M，因为AD
CD
AC
−
，所以当A，C，D 三点共线时，AD
CD
−
取得最大值，且最大值为AC ，求解即可；
（3）设
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，得到
1
2
,
x x 是方程
2
1
0
x
kx
−
−=
的两个根，所以
1
2
1 2
,
1
x
x
k x x
+
=
= −；确定
(
)
1
1
,
R
x y
−
，设直线QR 的解析式为y
mx
n
=
+
，根据题意，得
2
2
1
1
x m
n
y
x m
n
y
+
=
−
+
=
，得到直线QR 的解析式为
(
)
2
1
1
y
x
x
x−
=
−
，当
0
x =
时，
1
y
−
=
，故k 发生改变时，直线QR 过定点，且定点坐标为(
)
0, 1
−
．
【详解】（1）解：抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点A、B 、C ，且(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
．
9
3
0
3
b
c
c
+
+
=
= −
，
解得
2
3
b
c
= −
= −
，
故抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
=
−
−；
（2）解：因为抛物线解析式为
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−
，
所以抛物线的对称轴为直线
1
x = ，顶点坐标为(
)
1, 4
−
；
令
0
y =
，得
(
)
2
2
2
3
1
4
0
x
x
x
−
−
=
−
−
=
，
解得
1
1
x = −，
2
3
x =
，
故
(
)
1,0
A −
，
连接AC ，并延长交对称轴直线
1
x = 于点M，
因为AD
CD
AC
−
，
所以当A，C，D 三点共线时，AD
CD
−
取得最大值，且最大值为AC ，
故当点D 与点M 重合时，AD
CD
−
取得最大值，
设AC 的解析式为
3
y
kx
=
−，将点A 的坐标代入得：
3
0
k
−−=
，解得
3
k = −，
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直线AC 的解析式为
3
3
y
x
= −
−．
当
1
x = 时，
3 1 3
6
y = −−
= −，
此时
(
)
1, 6
M
−
，
故点D的坐标为(
)
1, 6
−
；
（3）解：因为抛物线解析式为
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−
，
所以抛物线的对称轴为直线
1
x = ，顶点坐标为
(
)
1, 4
E
−
；
因为抛物线平移，使其顶点E 与原点O重合，
所以新抛物线的解析式为
2
y
x
=
，
设
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，
因为直线
1(
0)
y
kx
k
=
+
与抛物线相交于点P 、Q （点P 在左边），
所以
1
2
,
x x 是方程
2
1(
0)
x
kx
k
=
+
的两个根，
所以
1
2
,
x x 是方程
2
1
0
x
kx
−
−=
的两个根，
所以
1
2
1 2
,
1
x
x
k x x
+
=
= −；
因为过点P 作x 轴平行线交抛物线于点R ，
所以点P，点R 关于y 轴对称，
所以
(
)
1
1
,
R
x y
−
，
设直线QR 的解析式为y
mx
n
=
+
，
根据题意，得
2
2
1
1
x m
n
y
x m
n
y
+
=
−
+
=
，
所以
(
)
2
1
2
1
y
y
x
x
m
−
=
+
，
所以
(
)
2
1
1
1
km
kx
kx
+ −
+
=
，
所以
2
1
1
1
kx
kx
km
+ −
−=
，
解得
2
1
m
x
x
=
−
，
所以
(
)
2
2
1
2
n
y
x
x
x
=
−
−
2
2
2
1
2
1
kx
x
x x
=
+ −
+
(
)
2
1
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x x
=
+
+ −
+
(
)
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
x
x x
x
x x
x x
−
=
+
+ −
+
=
+ =
−
+ =
，
∴直线QR 的解析式为
(
)
2
1
1
y
x
x
x−
=
−
，
当
0
x =
时，
1
y
−
=
，
故k 发生改变时，直线QR 过定点，且定点坐标为(
)
0, 1
−
．
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9．（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象经过(
)
(
)
0,3 ,
6,3
A
B
两点，点
P 为第一象限抛物线上不与点B 重合的一动点，作PD
x
⊥
轴于点D，交直线OB 于点C，设点P 的横坐标为
m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点C 为PD中点时，求m 的值；
(3)令d
PC
CD
=
−
．
①求d 关于m 的函数解析式；
②当d 随m 的增大而减小时，请直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)
2
6
3
y
x
x
= −
+
+
(2)
5
37
2
m
+
=
(3)①
2
2
2
5
37
(0
)
2
5
3
5
37
5
3 (
6)
2
6
3 (6
3
2 3)
m
m
m
d
m
m
m
m
m
m
+
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
；②5
5
37
2
2
m
+
或6
3
2 3
m
+
【分析】本题考查了二次函数综合．
（1）用待定系数法即可解答；
（2）求出直线OB 解析式，设(
)
2
,
6
3
P m
m
m
−
+
+
，则
1
, 2
C m
m
， 根据PD
x
⊥
轴于点D，点C 为PD中点，
列出等式，即可解答；
（3）①先求出抛物线与x 轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次
函数的增减性进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：把
(
)
(
)
0,3 ,
6,3
A
B
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 得：
3
36
6
3
c
b
c
=
−
+
+
=
，
解得：
3
6
c
b
=
=
，
∴抛物线的解析式为
2
6
3
y
x
x
= −
+
+ ．
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（2）解：设直线OB 解析式为y
kx
=
，
将点
(
)
6,3
B
代入得：3
6k
=
，
解得：
1
2
k =
，
∴直线OB 解析式为
1
2
y
x
=
，
设(
)
2
,
6
3
P m
m
m
−
+
+
，则
1
, 2
C m
m
，
∵PD
x
⊥
轴于点D，点C 为PD中点，
∴
(
)
2
1
1
6
3
2
2
m
m
m
=
−
+
+
，
解得：
5
37
2
m
+
=
（负值舍去）；
（3）解：①当
0
y =
时
2
0
3
6
x
x
= −
+
+
，
解得：
3
2 3
= +
x
（负值舍去），
∴抛物线交x 轴正半轴于点(
)
3
2 3,0
+
，
设(
)
2
,
6
3
P m
m
m
−
+
+
，则
1
, 2
C m
m
，
(
)
,0
D m
，
当
5
37
0
2
m
+
时，
2
2
1
11
6
3
3
2
2
PC
m
m
m
m
m
= −
+
+ −
= −
+
+ ，
1
2
CD
m
=
，
2
2
11
1
3
5
3
2
2
d
PC
CD
PC
CD
m
m
m
m
m
=
−
=
−
= −
+
+ −
= −
+
+
；
当5
37
6
2
m
+
时，
2
2
1
11
6
3
3
2
2
PC
m
m
m
m
m
= −
+
+ −
= −
+
+ ，
1
2
CD
m
=
，
2
2
1
11
3
5
3
2
2
d
PC
CD
CD
PC
m
m
m
m
m
=
−
=
−
=
−−
+
+
=
−
−
；
当6
3
2 3
m
+
时，
(
)
2
2
1
11
6
3
3
2
2
PC
m
m
m
m
m
=
−−
+
+
=
−
−，
1
2
CD
m
=
，
2
2
1
11
3
6
3
2
2
d
PC
CD
CD
PC
m
m
m
m
m
=
−
=
−
=
−
−
−
= −
+
+
，
综上：
2
2
2
5
37
(0
)
2
5
3
5
37
5
3 (
6)
2
6
3 (6
3
2 3)
m
m
m
d
m
m
m
m
m
m
+
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
；
②当
5
37
0
2
m
+
时，
2
5
3
d
m
m
−
=
+
+ ，
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1
0
a = −
开口向下，对称轴为直线
5
2
m =
，
∴当5
5
37
2
2
m
+
d 随m 的增大而减小；
当5
37
6
2
m
+
时，
2
5
3
d
m
m
=
−
−
；
1
0
a =
开口向上，对称轴为直线
5
2
m =
，
∴当
5
2
m
d 随m 的增大而减小，不符合题意，舍去；
当6
3
2 3
m
+
时，
2
6
3
d
m
m
−
=
+
+ ，
1
0
a = −
开口向下，对称轴为直线
3
m =
，
∴当6
3
2 3
m
+
时，d 随m 的增大而减小．
综上：5
5
37
2
2
m
+
或6
3
2 3
m
+
．
◆题型4 利用二次函数求周长最值的问题
10．（2026·河南周口·二模）如图，已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
与y 轴交于点
(0,3)
C
，与x 轴交于点
(1,0), (3,0)
A
B
．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)求抛物线的顶点D 的坐标，并通过计算判断BCD
的形状．
(3)嘉嘉发现：在抛物线的对称轴上存在一点M，使得ACM
的周长最小．求出点M 的坐标及最小周长．
【答案】(1)
2
4
3
y
x
x
=
−
+
(2)D 的坐标为(2, 1)
−
，BCD
是直角三角形
(3) ACM
的最小周长为10
3 2
+
，M(2,1)
【分析】（1）利用待定系数法将
, ,
A B C 的坐标代入解析式求解即可；
（2）利用配方法将解析式变形为顶点式，即可求得顶点坐标；利用两点间距离公式求解BCD
的三条边，
可得三条边间的关系，判定BCD
的形状；
（3）由于线段AC 长度为定值，将求ACM
周长最小值转换成求AM
CM
+
最小值，通过将军饮马模型进
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行求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与y 轴交于
(
)
0,3
C
，
∴
3
c = ，
∴抛物线解析式为
2
3
y
ax
bx
=
+
+ ，
∵抛物线过点
(1,0), (3,0)
A
B
，
代入解析式得
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
+
+
=
+
+
=
解得
1
4
a
b
=
= −
∴抛物线解析式为
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为
2
2
4
3
(
2)
1
y
x
x
x
=
−
+ =
−
−，
∴顶点D 的坐标为(2, 1)
−
，
∵
(
)
(
)
(
)
3,0
0,3
2, 1
B
C
D
−
，
，
，
∴
2
18
BC =
，
2
2
BD =
，
2
20
CD =
，
∴
2
2
2
BC
BD
CD
+
=
，
∴BCD
是直角三角形；
（3）解：∵AC 为定值，
∴要使ACM
周长最小，则需AM
CM
+
最小，
∵
(
)
1,0
A
与
(3,0)
B
关于对称轴
2
x =
对称，
∴AM
BM
=
，
∴AM
CM
BM
CM
BC
+
=
+
，
直线BC 过
(3,0)
B
和
(0,3)
C
，其解析式为
3
y
x
= −+
，
当
2
x =
时，
1
y = ，
∴BC 与对称轴的交点的坐标为(2,1) ，
当点M 位于(2,1) 处时，ACM
的周长最小，为AC
BC
+
，
∵
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
10
3
3
3 2
AC
OA
OC
BC
OB
OC
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
，
，
∴
ACM
C
最小
10
3 2
AC
BC
=
+
=
+
，
∴ACM
的最小周长为10
3 2
+
．
11．（25-26 九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数
2
4
y
ax
bx
=
+
+
的图象与x 轴交于点
,
A B ，与y 轴交
于点C ，且图象经过点(
)
1,6
−
，(
)
2, 6
−
，连接AC．
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(1)求,a b 的值．
(2)点D 是x 轴上一动点，过点D 作DM
y
∥
轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点E，设点D 的横坐标为m ．
①当点D 在线段AO（点D 不与点
,
A O 重合）上运动时，过点E 作EF
AC
⊥
，垂足为F，求MEF
周长的
最大值及此时点E 的坐标．
②当
3
ME 时，直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
(2)①MEF
的周长的最大值为(
)
4 1
2
+
，此时点E 的坐标为(
)
2,6
−
；②m 的取值范围为
2
7
m −−
或
2
7
m −+
或3
1
m
−
−
【分析】（1）把点(
)
1,6
−
，(
)
2, 6
−
代入
2
4
y
ax
bx
=
+
+
，再进一步求解即可.
（2）①求出
(
)
0,4
C
，再利用待定系数法得出直线AC 的解析式为
4
y
x
=
+ ，由题意可得
(
)
,0
D m
，(
)
,
4
M m m +
，
(
)
2
,
3
4
E m
m
m
−
−
+
，
90
ADM
=
，则
2
4
ME
m
m
= −
−
，证明MEF
为等腰直角三角形，结合对顶角相等得
出
45
MEF
EMF
=
=
∠
∠
，从而可得MEF
为等腰直角三角形，求出MEF
周长为：
(
)(
)
(
)
2
2
1
2
2
4 1
2
EM
EM
m
+
= −
+
+
+
+
，再由二次函数的性质即可得出结果；
②由①可得
(
)
,
4
M m m +
，(
)
2
,
3
4
E m
m
m
−
−
+
，则
2
4
ME
m
m
=
+
，结合题意可得
2
4
3
m
m
+
，从而得出
2
4
3
m
m
+
或
2
4
3
m
m
+
−，分别求解即可得出结果．
【详解】（1）解：∵二次函数
2
4
y
ax
bx
=
+
+
的图象经过点(
)
1,6
−
，(
)
2, 6
−
，
∴
4
6
4
2
4
6
a
b
a
b
−
+
=
+
+
= −
，
解得：
1
3
a
b
= −
= −
，
∴抛物线的解析式为
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
.
（2）解：①在
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
中，当
0
x =
时，
4
y =
，即
(
)
0,4
C
，
当
0
y =
时，
2
3
4
0
x
x
−
−
+
=
，
解得：
1
1
x = ，
2
4
x = −，
∴
(
)
4,0
A −
，
(
)
1,0
B
，
设直线AC 的解析式为
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，
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∴
1
1
4
0
4
k
b
b
−
+
=
=
，
解得：
1
1
4
k
b
=
=
，
∴直线AC 的解析式为
4
y
x
=
+ ，
∵点D是x 轴上一动点，过点D 作DM
y
轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点E ，设点D 的横坐标为m ．
∴
(
)
,0
D m
，
(
)
,
4
M m m +
，(
)
2
,
3
4
E m
m
m
−
−
+
，
90
ADM
=
，
∴
(
)
2
2
3
4
4
4
ME
m
m
m
m
m
= −
−
+
−
+
= −
−
，
∵
(
)
4,0
A −
，
(
)
0,4
C
，
∴
4
OA
OC
=
=
，
∴
45
OAC
OCA
=
=
，
∴
ADM
△
为等腰直角三角形，
∴
45
AMD
MAD
=
=
，
∴
45
EMF
MEF
=
=
，
∵EF
AC
⊥
，
∴MEF
为等腰直角三角形，
∴
(
)
2
2
2
4
2
2
EF
FM
ME
m
m
=
=
=
−
−
，
∴MEF
周长为：
(
)(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
1
2
4
1
2
2
4 1
2
EM
EF
FM
EM
EM
m
m
m
+
+
=
+
=
+
−
−
= −
+
+
+
+
，
∵(
)
1
2
0
−
+
，
∴当
2
m = −时，周长的最大值为(
)
4 1
2
+
，
此时
(
)
(
)
2
2
3
4
2
3
2
4
6
m
m
−
−
+
= −−
−−
+
=
，
∴MEF
的周长的最大值为(
)
4 1
2
+
，此时点E 的坐标为(
)
2,6
−
；
②由①可得：
(
)
,
4
M m m +
，(
)
2
,
3
4
E m
m
m
−
−
+
，
∴
(
)
2
2
3
4
4
4
ME
m
m
m
m
m
= −
−
+
−
+
= −
−
，
∵
3
ME ，
∴
2
2
4
4
3
m
m
m
m
−
−
=
+
，
∴
2
4
3
m
m
+
或
2
4
3
m
m
+
−，
∴
2
4
3
0
m
m
+
−
或
2
4
3
0
m
m
+
+
，
当
2
4
3
0
m
m
+
−
时，可得：
2
7
m −−
或
2
7
m −+
，
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解
2
4
3
0
m
m
+
+
时，可得：3
1
m
−
−，
综上所述，m 的取值范围为
2
7
m −−
或
2
7
m −+
或3
1
m
−
−．
12．（2026·河南周口·二模）如图，已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴的一个交点为(
)
5,0
B
，另一个交
点为A，且与y 轴交于点
(
)
0,5
C
，对称轴为直线
3
x = ．
(1)求直线BC 与抛物线的解析式；
(2)在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QAC
的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN
y
轴交直线BC 于点N ，求MN 的最大值．
【答案】(1)直线BC 的解析式为
5
y
x
−
=
+ ，抛物线的解析式为
2
6
5
y
x
x
=
−
+
(2)存在，Q 点的坐标为(
)
3,2
(3) 25
4
【分析】（1）利用待定系数法直接求出直线BC 和抛物线的解析式；
（2）根据对称性先确定QAC
的周长最小点Q 的位置，即可得出坐标；
（3）利用平行于y 轴的直线上的两点之间的距离确定出函数关系式，再根据函数的性质即可确定出最大值．
【详解】（1）解：设直线BC 的解析式为y
kx
m
=
+
．
将点
(
)
5,0
B
，
(
)
0,5
C
代入得：
5
0
5
k
m
m
+
=
=
，解得
1
5
k
m
= −
=
，
直线BC 的解析式为
5
y
x
= −+
；
抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴的一个交点为(
)
5,0
B
，与y 轴交于点
(
)
0,5
C
，对称轴为直线
3
x = ，
25
5
0
5
3
2
a
b
c
c
b
a
+
+
=
=
−
=
，解得
1
6
5
a
b
c
=
= −
=
，
抛物线的解析式为
2
6
5
y
x
x
=
−
+ ；
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（2）解：QAC
的周长为AC
QA
QC
+
+
，其中AC 为定值，只需QA
QC
+
最小．
点A、B 关于对称轴对称，
QA
QB
=
，
QA
QC
QB
QC
+
=
+
，
当B 、Q 、C 三点共线时，QB
QC
+
最小，此时点Q 为直线BC 与对称轴
3
x = 的交点，如图所示．
将
3
x = 代入直线BC 的解析式为
5
y
x
= −+
中得，
3
5
2
y = −+
=
，
点Q 的坐标为(
)
3,2 ，
即存在点Q ，使得QAC
的周长最小，Q 点的坐标为(
)
3,2 ；
（3）解：如图，
抛物线
2
6
5
y
x
x
=
−
+ 的图象与x 轴的一个交点为(
)
5,0
B
，另一个交点为A，对称轴
为直线
3
x = ，
(
)
1,0
A
，
点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，
设点
(
)(
)
2
,
6
5 1
5
M m m
m
m
−
+
，
(
)
,
5
N m
m
−
+
，
(
)
2
5
6
5
MN
m
m
m
= −
+ −
−
+
2
5
m
m
= −
+
2
5
25
2
4
m
= −
−
+
，
1
0
−
，
24 / 47
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抛物线开口向下，当
5
2
m =
时，MN 取得最大值，最大值是25
4 ．
◆题型5 利用二次函数求面积最值的问题
13．（25-26 八年级下·福建福州·阶段检测）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
1,0
A
，(
)
3,0
B −
两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得
QAC
△
的周长最小？若存
在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使
PBC
△
的面积最大？若存在，求出点P 的坐标和
PBC
△
面积的最大值．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
= −
−
+
(2)存在
(
)
1,2
Q −
使得
QAC
△
的周长最小
(3)存在
3 15
,
2
4
P
−
使得
PBC
△
面积最大，最大为27
8
【分析】（1）根据题意可知，将点A、B 代入函数解析式，列出方程组即可求得b 、c 的值；
（2）根据题意可知，边AC 的长是定值，要想
QAC
△
的周长最小，即是AQ
CQ
+
最小，所以此题的关键是
确定点Q 的位置，找到点A的对称点B ，求得直线BC 的解析式，再求与对称轴的交点；
（3）设点P 的坐标，将BCP
的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P 的坐标．
【详解】（1）解：将
(
)
1,0
A
，(
)
3,0
B −
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 中得
1
0
9
3
0
b
c
b
c
−+
+
=
−−
+
=
，
2
3
b
c
= −
=
．
抛物线解析式为：
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ；
（2）解：∵抛物线解析式为
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
+
=
+
+
，
∴抛物线的对称轴为直线= 1
x −，
连接BQ ，
由对称性可知BQ
AQ
=
，
∴AQC
的周长
CA
AC
AQ
AC
CQ
BQ
=
+
+
=
+
+
，
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∵A、C 为定点，
∴AC 为定值，
∴当CQ
BQ
+
最小时，AQC
的周长最小，
∴当B、C、Q 三点共线时，CQ
BQ
+
最小，即AQC
的周长最小，
在
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ 中，当
0
x =
时，
2
2
3
3
y
x
x
= −
−
+
=
C
的坐标为(
)
0,3 ，
设直线BC 解析式为y
kx
b
=
+
，
∴
3
0
3
k
b
b
−
+
=
=
，
∴
1
3
k
b
=
=
，
∴直线BC 解析式为：
3
y
x
=
+
，
在
3
y
x
=
+
中，当= 1
x −时，
1
3
2
y = −+
=
(
)
1,2
Q
−
，
∴存在
(
)
1,2
Q −
使得
QAC
△
的周长最小；
（3）解：设(
)(
)
2
,
2
3
3
0
P m
m
m
m
−
−
+
−
，连接OP ，
BPC
COP
BOP
BOC
S
S
S
S
=
+
−
，
1
1
1
2
2
2
P
P
OC x
OB y
OB OC
=
+
−
(
)
(
)
2
1
1
1
3
3
2
3
3 3
2
2
2
m
m
m
−
=
+
−
−
+
−
，
2
3
3
27
2
2
8
m
−
=
+
+
∵
3
0
2
−
，
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当
3
2
m = −
时，
BPC
S
△
最大
27
8
=
，
当
3
2
m = −
时，
2
15
2
3
4
m
m
−
−
+
=
，
点P 坐标为
3 15
,
2
4
−
，
∴存在
3 15
,
2
4
P
−
使得
PBC
△
面积最大，最大为27
8 ．
14．（25-26 九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线
4
y
x
−
=
+
与x 轴交于B 点，与y
轴交于C 点，抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
经过点A，B，C（点B 在点A 右侧），已知点A 坐标为( 1,0)
−
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，求出BCP
的面积的最大值？
(3)在（2）中当BCP
的面积的最大值时，G 为y 轴上一动点，求出此时|
|
PG
AG
−
的最大值
【答案】(1)
2
3
4
y
x
x
= −
+
+
(2)8
(3) 37
【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性
质是关键．
（1）求出
(4,0),
(0,4)
B
C
，利用待定系数法求出答案；
（2）过点P 作PE
y
轴，交BC 于点E，设(
)
2
3
4
P m
m
m
−
+
+
，
，求出
2
4
PE
m
m
= −
+
，得到BCP
的面积
PCE
PBE
S
S
+
2
2(
2)
8
m
= −
−
+ ，根据二次函数的性质进行求解即可；
（3）作点P 关于y 轴的对称点P，则点P的坐标为( 2,6)
−
，连接PP交y 轴于点F，连接P AP G
，
PG
AG
P G
AG
P A
−
=
−
，此时|
|
PG
AG
−
的值最大，求出最大值P A
即可．
【详解】（1）解：直线
4
y
x
−
=
+
与x 轴交于B 点，与y 轴交于C 点，
(4,0),
(0,4)
B
C
，
抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
经过点A，B，C，已知点A 坐标为( 1,0)
−
，
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0
16
4
0
4
a
b
c
a
b
c
c
−
+
=
+
+
=
=
，
解得
1
3,
4
a
b
b
c
= −
=
=
=
∴抛物线的表达式为
2
3
4
y
x
x
= −
+
+
；
（2）解：过点P 作PE
y
轴，交BC 于点E，如图1，
(4,0),
4
B
OB
=
，
设(
)
2
3
4
P m
m
m
−
+
+
，
，
PE
y
∥
轴，
(
4)
E m
m
−
+
，
，
2
2
3
4
(
4)
4
PE
m
m
m
m
m
= −
+
+ −−
+
= −
+
，
BCP
的面积
(
)
2
1
1
4
4
2
2
PCE
PBE
S
S
PE OB
m
m
+
=
=
−
+
2
2
2
8
2(
2)
8
m
m
m
= −
+
= −
−
+ ，
∴当
2
m =
时，BCP
的面积的最大值为8；
（3）解：作点P 关于y 轴的对称点P，则点P的坐标为( 2,6)
−
，
连接PP交y 轴于点F，连接
,
P A P G
，如图2，
点P，P关于y 轴的对称，
PG
P G
=
，
PG
AG
P G
AG
P A
−
=
−
，
当P，A，G 在一条直线上时，取等号，
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∴此时|
|
PG
AG
−
的值最大，最大值为P A
，
2
2
[ 2
( 1)]
(6
0)
37
P A
=
−−−
+
−
=
|
|
PG
AG
−
的最大值为37 ；
15．
（2026·河南周口·一模）如图1，已知抛物线
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴交于
,
A B 两点，与y 轴交于点C ，
直线
1
2
y
x
b
=
+
与抛物线交于
,
A D 两点（点A在点D 的左下方），其中点B 的坐标为(
)
6,0 ．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)直线l 为抛物线的对称轴．
①在直线l 上找到一点P ，使得PBD
的周长最小，求出P 点的坐标；
②如图2，E 是抛物线上的动点（在线段AD上方），求四边形ABDE 面积的最大值．
【答案】(1)
2
1
3
4
y
x
x
−
=
+
+
(2)①
(
)
2,2
P
；②75
4
【分析】
（1）由抛物线与直线都经过x 轴上的点A，可得
(
)
2 ,0
A
b
−
，再由(
)
6,0
B
可得6 和2b
−
是
2
3
0
ax
bx
+
+
=
的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解；
（2）①由点B ，点D 是定点，可得当PB
PD
+
取得最小值时，PBD
周长取得最小值，利用点A与点B 关
于抛物线的对称轴对称，连接AD即可得P 点的坐标；
②过点E 作EF
x
⊥
轴，交AD于点F ，先求得EF 的最大值，再由四边形ABDE 面积
ABD
ADE
S
S
=
+
即可得
四边形ABDE 面积的最大值．
【详解】（1）解：∵点A既是抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴的交点，又是直线
1
2
y
x
b
=
+
与抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+
的交点，
∴点A是直线
1
2
y
x
b
=
+
与x 轴的交点，
令
0
y =
，则1
0
2 x
b
+
=
，
解得
2
x
b
= −
，
∴
(
)
2 ,0
A
b
−
，
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∵点
(
)
6,0
B
在抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象上，
令
0
y =
，则
2
3
0
ax
bx
+
+
=
，
∴6 和2b
−
是
2
3
0
ax
bx
+
+
=
的两个根，
∴
(
)
(
)
6
2
3
6
2
b
b
a
b
a
+ −
= −
−
=
，
解得
1
4
1
a
b
= −
=
或
1
6
3
2
a
b
=
= −
（舍去），
∴抛物线的表达式为
2
1
3
4
y
x
x
−
=
+
+ ．
（2）解：①由题意可得，当PB
PD
+
取得最小值时，PBD
周长取得最小值，
∵点A与点B 关于抛物线的对称轴对称，
∴直线AD与l 的交点即为点P ，此时PBD
的周长最小，
由（1）知，抛物线的表达式为
2
1
3
4
y
x
x
−
=
+
+ ，对称轴为直线
2
x =
，直线AD的解析式为
1
1
2
y
x
=
+ ，
把
2
x =
代入
1
1
2
y
x
=
+ 得，
1
2 1
2
2
y =
+ =
，
∴
(
)
2,2
P
．
②联立
2
1
1
2
1
3
4
y
x
y
x
x
=
+
= −
+
+
，
解得
2
0
x
y
= −
=
或
4
3
x
y
=
=
，
∴D点坐标为(
)
4,3 ，
设点E 的坐标为
(
)
2
1
,
3
2
4
4
m
m
m
m
−
+
+
−
，过点E 作EF
x
⊥
轴，交AD于点F ，则
1
,
1
2
F m
m
+
∴
2
1
1
3
1
4
2
EF
m
m
m
= −
+
+ −
+
2
1
1
3
1
4
2
m
m
m
= −
+
+ −
−
2
1
1
2
4
2
m
m
= −
−
+
(
)
2
1
9
2
1
4
4
m
m
= −
−
+
+
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(
)
2
1
9
1
4
4
m
= −
−
+
，
∴当
1
m = 时，EF 取得最大值9
4 ，
∴ADE
面积最大值
(
)
1
9
27
4
2
2
4
4
=
−−
=
，
∴四边形ABDE 面积的最大值
(
)
1
27
27
75
6
2
3
12
2
4
4
4
ABD
ADE
S
S
=
+
=
−−
+
=
+
=
．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26 九年级上·山东日照·期末）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，
其中点A，点C 坐标分别为
(
)
3,0
A −
、
(
)
0, 3
C
−
，连接AC ．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)在AC 下方的抛物线上有一点N，过点N 作ND
y
∥
轴，交AC 于点M，交x 轴于点D，当点N 的坐标为
多少时，线段MN 的长度最大？最大值是多少？
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x−
=
+
(2)
3
15
,
2
4
N
−
−
，最大值为9
4
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设直线AC 的解析式为y
kx
p
=
+
，将
(
)
3,0
A −
、(
)
0, 3
C
−
代入直线AC 的解析式得到直线AC 的解析式
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为：
3
y
x
= −−
．又
(
)
,
N t m 是抛物线
2
2
3
y
x
x−
=
+
上的一动点，故
2
2
3
m
t
t
=
+
−，且3< <0
t
−
，故
(
)
2
,
2
3
N t t
t
+
−
，
(
)
,
3
M t
t
−−
，根据题意，得
(
)
2
2
3
9
3
2
4
MN
t
t
t
= −
+
= −
+
+
，根据二次函数的性质解答即可．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握抛物线的性质是
解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中点A，点C 坐标分
别为
(
)
3,0
A −
、
(
)
0, 3
C
−
，
9
3
0
3
b
c
c
−
+
=
= −
解得
2
3
b
c
=
= −
抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
．
（2）解：设直线AC 的解析式为y
kx
p
=
+
，
将
(
)
3,0
A −
、
(
)
0, 3
C
−
代入直线AC 的解析式得：
3
0
3
k
p
p
−
+
=
= −
，
解得
1
3
k
p
= −
= −
，
∴直线AC 的解析式为：
3
y
x
= −−
．
又
(
)
,
N t m 是抛物线
2
2
3
y
x
x−
=
+
上的一动点，
故
2
2
3
m
t
t
=
+
−，且3< <0
t
−
，
故
(
)
2
,
2
3
N t t
t
+
−
，
故
(
)
,
3
M t
t
−−
，
∴
(
)
2
2
2
3
2
3
3
2
3
3
M
N
MN
y
y
t
t
t
t
t
t
t
t
=
−
= −−−
+
−
= −−−
−
+
= −
−
，
∴
(
)
2
2
3
9
3
2
4
MN
t
t
t
= −
+
= −
+
+
，
∵
1
0
a = −
，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当
3
2
t = −
，MN 的长度最大，且最大值为9
4 ，
2
3
3
15
2
3
2
2
4
y
= −
+ −
−
= −
，
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此时
3
15
,
2
4
N
−
−
．
2．（25-26 九年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线
1
3
y
kx
=
−与抛物线
2
2y
x
bx
c
=
+
+ 交于
(
)
3,0
A
、B 两点，
抛物线
2
2y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴的另一个交点为C．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PB
PC
+
的值最小，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为
1
3
y
x−
=
，抛物线的解析式为
2
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)
(
)
1, 2
P
−
【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数
解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的
应用．
（1）将点(
)
3,0
A
代入
1
3
y
kx
=
−，即可求出直线的解析式；将点(
)
3,0
A
，(
)
0, 3
B
−
代入
2
2y
x
bx
c
=
+
+ ，即可
求出抛物线的解析式；
（2）由点A与点C 关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线AB 的交点即为点P ．
【详解】（1）解：将点(
)
3,0
A
代入
1
3
y
kx
=
−，
得0
3
3
k
=
−，解得
1
k = ，
∴直线的解析式为
1
3
y
x−
=
．
令
0
x =
，则
3
y
−
=
，
(
)
0, 3
B
−
．
将点
(
)
3,0
A
，
(
)
0, 3
B
−
代入
2
2y
x
bx
c
=
+
+ ，得
9
3
0
3
b
c
c
+
+
=
= −
，解得
2
3
b
c
= −
= −
，
∴抛物线的解析式为
2
2
2
3
y
x
x
=
−
−．
（2）∵抛物线的解析式为
2
2
2
3
y
x
x
=
−
−，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x = ．
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∵点A与点C 关于抛物线的对称轴对称，
∴PA
PC
=
．
PB
PC
PB
PA
AB
+
=
+
．
∴当P ，A，B 三点共线时，PB
PC
+
的值最小．
如图，抛物线的对称轴与直线AB 的交点即为点P ．
当
1
x = 时，
1
1
3
2
y = −
= −，
∴点
(
)
1, 2
P
−
．
3．
（25-26 九年级上·河南商丘·期末）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴相交于A，B 两点，与y 轴交于点C ，
其中点A的坐标为(
)
3,0
−
，且点(
)
2,5 在抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向左平移(
)
0
a a
个单位，然后向下平移2a 个单位，恰好经过点(
)
1,8 ，则a 的值为 ；
(3)设点Q 是线段AC 上的动点，作直线QD
x
⊥
轴于点D ，交抛物线于点E ，求线段QE 长度的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
(2) 2
(3)QE 最大值为9
4
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，二次函数的平移，掌
握知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2 ）由（1）得抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
，所以
(
)
2
1
4
y
x
=
+
−
，然后通过二次函数的平移即可求解；
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（3）作直线QD
x
⊥
轴于点D ，交抛物线于点E ，由（1）得抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
，令
0
x =
，
则
3
y
−
=
，则
(
)
0, 3
C
−
，求出直线AC 解析式为
3
y
x
= −−
，设(
)
2
,
2
3
E t t
t
+
−
，则
(
)
,
3
Q t
t
−−
，则
(
)
2
2
2
3
9
3
2
3
3
2
4
QE
t
t
t
t
t
t
= −−−
+
−
= −
−
= −
+
+
，最后通过二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 过点(
)
3,0
−
，点(
)
2,5 ，
∴(
)
2
2
3
3
0
2
2
5
b
c
b
c
−
−
+
=
+
+
=
，
解得：
2
3
b
c
=
= −
，
∴抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
，
∴
(
)
2
1
4
y
x
=
+
−
，
∵将抛物线向左平移a 个单位，然后向下平移2a 个单位，
∴平移后的解析式为
(
)
2
1
4
2
y
x
a
a
=
+ +
−
−
，
∵平移后的解析式恰好经过点(
)
1,8 ，
∴
(
)
2
8
1 1
4
2
a
a
=
+ +
−
−
，
解得：
2
a =
或
4
a = −（舍去），
故答案为：2 ；
（3）解：如图，作直线QD
x
⊥
轴于点D ，交抛物线于点E ，
由（1）得抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
，
令
0
x =
，则
3
y
−
=
；
∴
(
)
0, 3
C
−
，
设直线AC 解析式为y
mx
n
=
+
，
∴
3
0
3
m
n
n
−
+
=
= −
，
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解得：
1
3
m
n
= −
= −
，
∴直线AC 解析式为
3
y
x
= −−
，
设(
)
2
,
2
3
E t t
t
+
−
，则
(
)
,
3
Q t
t
−−
，
∴
(
)
2
2
2
3
9
3
2
3
3
2
4
QE
t
t
t
t
t
t
= −−−
+
−
= −
−
= −
+
+
，
∵1
0
−
，
∴当
3
2
t = −
时，QE 有最大值，为9
4 ．
4．（25-26 九年级上·四川广安·期末）如图，某二次函数的图象交坐标轴于
(
)
1,0
A −
、
(
)
4,0
B
、
(
)
0, 4
C
−
三
点，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求点P 的坐标，使
PBC
△
面积最大，最大面积是多少？
(3)直接写出对称轴上点M 的坐标，使
MAC
△
的周长最小．
【答案】(1)
2
3
4
y
x
x−
=
−
(2)
(
)
2, 6
P
−
；
max
8
S
=
(3)
3
5
,
2
2
M
−
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解函数解析式、二次函数的图象与性质、三角形
的面积、方程思想等知识．
（1）由A、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）过P 作PE
x
⊥
轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出
PBC
△
的面积，利用二次函数的性质可求得
PBC
△
面积的最大时P 点的坐标；
（3）可得对称轴为直线
3
2
x =
，而MA
MB
=
，故
MAC
C
MA
MC
AC
MB
MC
AC
BC
AC
=
+
+
=
+
+
+
△
，那么
当
,
,
B M C 共线时，即点M 为对称轴与直线BC 的交点时，MAC
△
的周长取得最小值，再将
3
2
x =
代入
4
y
x−
=
即可求解坐标．
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【详解】（1）解：设抛物线解析式为
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，把
(
)
1,0
A −
，
(
)
4,0
B
，
(
)
0, 4
C
−
三点坐标代入可得：
0
16
4
0
4
a
b
c
a
b
c
c
−
+
=
+
+
=
= −
，
解得：
1
3
4
a
b
c
=
= −
= −
，
∴抛物线解析式为
2
3
4
y
x
x−
=
−
；
（2）解：由题意可设(
)
2
,
3
4
P t t
t
−
−
，
过P 作PE
x
⊥
轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，
设直线BC 解析式为y
kx
t
=
+ ，则有：
4
0
4
k
t
t
+ =
= −
，解得：
1
4
k
t
=
= −
，
∴直线BC 解析式为
4
y
x−
=
，
(
)
,
4
F t t
−
，
∴
(
)
2
2
4
3
4
4
PF
t
t
t
t
t
= −
−
−
−
= −
+
，
∵
(
)
1
1
2
2
PBC
FPB
FPC
B
E
E
O
S
S
S
FP x
x
x
x
FP BO
=
+
=
−
+
−
=
(
) (
)
(
)
2
2
1
4
0
4
2
2
8
2
PBC
S
t
t
t
=
−
−
+
= −
−
+
，
∵2
0
−
∴当
2
t =
时，
PBC
S
最大值为8，此时
2
3
4
6
t
t
−
−
= −，
∴P 点坐标为(
)
2, 6
−
．
（3）解：对于抛物线
2
3
4
y
x
x−
=
−
，则对称轴为直线
3
2
x =
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∵抛物线与x 轴交于点
,
A B ，
∴点
,
A B 关于对称轴对称，
∴MA
MB
=
，
∵
MAC
C
MA
MC
AC
MB
MC
AC
BC
AC
=
+
+
=
+
+
+
△
∴当
,
,
B M C 共线时，即点M 为对称轴与直线BC 的交点时，
MAC
△
的周长取得最小值，
将
3
2
x =
代入
4
y
x−
=
得，
3
5
4
2
2
y =
−
= −
，
∴
MAC
△
的周长最小时，
3
5
,
2
2
M
−
．
5．（25-26 九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与坐标轴交于
(
)
0, 2
A
−
，
(
)
4,0
B −
两点，直线
2
8
=
+
BC
y
x
：
交y 轴于点C ．
(1)求抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的表达式；
(2)若
(
)
0,3
D
，第二象限内有一动点P ，满足
1
−
=
PC
PD
，求
PDB
△
周长的最小值；
(3)抛物线上有一个动点M ，记
BCM
△
的面积为S，若点M 符合条件的位置有且只有3 个，求S的值．
【答案】(1)
2
1
3
2
2
2
y
x
x
=
+
−
(2)4 5
4
+
(3) 81
4
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【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，灵活运用两点之间，线段
最短求最小值，熟练掌握一次函数、二次函数的交点与三角形面积问题的解决方法是解题的关键．
（1）代入点A、B 坐标，用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得
1
PDB
C
DB
PB
PC
=
+
+
−
△
，
5
DB =
为定值，则根据当PB
PC
+
取得最小值时，
PDB
C△
有最
小值即可求解；
（3）根据条件判断出符合条件的点M 的其中一个位置在与直线BC 平行，且和抛物线只有一个交点的直线
上，求出该直线再通过平行线间的距离相等进行面积转化，即可求出答案．
【详解】（1）解：将点
(
)
0, 2
A
−
，
(
)
4,0
B −
代入
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ ，得
2
1
0
16
4
2
c
b
c
= −
=
−
+
，
解得
3
2
2
b
c
=
= −
，
∴
2
1
3
2
2
2
y
x
x
=
+
−．
（2）解：
=
+
+
PDB
C
PD
DB
PB
△
，
1
−
=
PC
PD
，
∴
1
PDB
C
PD
DB
PB
DB
PB
PC
=
+
+
=
+
+
−
△
，
∵
(
)
0,3
D
，
(
)
4,0
B −
，则
3
OD = ，
4
OB =
，
∴
2
2
5
DB
OD
OB
=
+
=
为定值，
∴当PB
PC
+
取得最小值时，
PDB
C△
有最小值，
当点P 在线段BC 上时，PB
PC
+
取得最小值，最小值为
(
)
(
)
2
2
4
0
0
8
4 5
BC =
−
+
−
=
，
∴
PDB
C△
的最小值为4 5
5 1
4 5
4
+ −=
+
．
（3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3 个交点且与直线BC 平行，其中一条与抛物线
2
1
3
2
2
2
y
x
x
=
+
−有且只有1 个交点，
设该直线的解析式为
2
2
y
x
b
=
+
，
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联立方程，得
2
2
1
3
2
2
2
2
+
=
+
−
x
b
x
x
，整理得，
2
2
4
2
0
−
−−
=
x
x
b
，
有且只有一个交点，
∴
(
)
(
)
2
2
Δ
1
4 1
4
2
0
b
= −
−−−
=
，
解得
2
17
8
= −
b
，
∴点M 符合条件的位置之一在直线
17
2
8
y
x
=
−
上，
设直线
17
2
8
y
x
=
−
与x 轴交于点N ，则
17 ,0
16
N
，
∴
1
17
81
4
8
2
16
4
BCM
BCN
S
S
=
=
+
=
．
6．（25-26 九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于(
)
2,0
A −
，B 两点，与y
轴交于点
(
)
0, 4
C
−
．
(1)求抛物线
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的表达式；
(2)如图1，点P 为第四象限内抛物线上一动点，连接CP ，BP，BC ，当
2
BPC
S
=
时，求点P 的坐标；
(3)如图2，连接AC ，M，N 是线段AC 上的两个动点，且AM
CN
=
，连接OM ，ON ，求OM
ON
+
的最小
值．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
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(2)(
)
2
2, 3
2
+
−+
或(
)
2
2, 3
2
−
−−
(3) 2 5
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用、一次函数
的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）根据点(
)
(
)
2,0 ,
0, 4
A
C
−
−
，利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出直线BC 的解析式为
4
y
x−
=
，再过点P 作PE
x
⊥
轴于点E ，交BC 于点F ，设点P 的坐标为
2
1
,
4
2
p
p
p
−
−
，则
(
)
,
4
F p p −
，求出PF ，根据
2
BPC
CPF
BPF
S
S
S
=
+
=
建立方程，解方程可得p 的值，
由此即可得；
（3）过点C 作CD
AO
=
且CD
AO
∥
，连接
,
DN OD ，则
(
)
2, 4
D −
−
，先证出CND
AMO
≌
，根据全等三角
形的性质可得DN
OM
=
，再根据OM
ON
DN
ON
OD
+
=
+
可得OM
ON
+
的最小值为OD 的长，由此即可
得．
【详解】（1）解：将点
(
)
(
)
2,0 ,
0, 4
A
C
−
−
代入
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+
得：
2
2
0
4
b
c
c
−
+
=
= −
，
解得
1
4
b
c
= −
= −
，
所以抛物线的表达式为
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
．
（2）解：将
0
y =
代入
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
得：
2
1
4
0
2 x
x
−
−
=
，
解得
2
x = −或
4
x = ，
∴
(
)
4,0
B
，
设直线BC 的解析式为
(
)
0
y
mx
n m
=
+
，
将点
(
)
(
)
4,0 ,
0, 4
B
C
−
代入得：
4
0
4
m
n
n
+
=
= −
，
解得
1
4
m
n
=
= −
，
∴直线BC 的解析式为
4
y
x−
=
，
如图，过点P 作PE
x
⊥
轴于点E ，交BC 于点F ，
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设点P 的坐标为
2
1
,
4
2
p
p
p
−
−
，则
(
)
,
4
F p p −
，
∴
2
2
1
1
4
4
2
2
2
PF
p
p
p
p
p
=
−
−
−
−
= −
+
，
∵
(
)
4,0
B
，
∴BPF
与CPF
的PF 边上的高之和为
4
4
OB =
=
，
∴
2
2
1
1
1
2
4
4
2
2
2
BPC
CPF
BPF
S
S
S
PF OB
p
p
p
p
=
+
=
=
−
+
= −
+
，
∵
2
BPC
S
=
，
∴
2
4
2
p
p
−
+
=
，
解得
1
2
2
2,
2
2
p
p
=
+
=
−
，
当
2
2
p =
+
时，
2
1
4
3
2
2 p
p
−
−
= −+
；
当
2
2
p =
−
时，
2
1
4
3
2
2 p
p
−
−
= −−
；
综上，满足条件的点P 的坐标为(
)
2
2, 3
2
+
−+
或(
)
2
2, 3
2
−
−−
．
（3）解：如图，过点C 作CD
AO
=
且CD
AO
∥
，连接
,
DN OD ，
∴
DCN
OAM
=
，
∵
(
)
(
)
2,0 ,
0, 4
A
C
−
−
，CD
AO
=
，
∴
(
)
2, 4
D −
−
，
在CND
和AMO
中，
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CN
AM
DCN
OAM
CD
AO
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
CND
AMO
≌
，
∴DN
OM
=
，
∴OM
ON
DN
ON
OD
+
=
+
，当且仅当点
,
,
O N D 共线时，等号成立，
∴OM
ON
+
的最小值为
(
)
(
)
2
2
2
0
4
0
2 5
OD =
−−
+ −−
=
．
7．（25-26 九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，已知抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称轴为直线
1
x = −，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
C
．
(1)求直线BC 和抛物线的解析式；
(2)在直线BC 上方抛物线上找一点 Q，使三角形BQC 面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积；
(3)在抛物线的对称轴
1
x = −上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上
找一点 N，使AN
CN
−
最大．写出点 M、点 N 的坐标；
【答案】(1)
3
y
x
=
+
，
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ；
(2)
3 15
,
2
4
Q
−
，最大面积为27
8 ；
(3)
(
)
1,2
M −
,
(
)
1,6
N −
．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的应用-面积问题，求函数解析式等知识，
掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法分别求出二次函数与一次函数的解析式即可；
（2）过点Q 作QD
x
⊥
轴，交BC 于点P ，设点(
)
2
,
2
3
Q m
m
m
−
−
+
，则(
)
,
3
P m m +
，
求出
(
)
2
2
2
3
3
3
QP
m
m
m
m
m
= −
−
+ −
+
= −
−
，利用二次函数性质即可求解；
（3）连接BC 与对称轴
1
x = −的交点即为M ,此时MA
MC
MB
MC
BC
+
=
+
=
,距离之和最小，把
1
x = −代入
3
y
x
=
+
中，求得
2
y =
，即可得出M 的坐标，由AN
CN
AC
−
,得到当
,
,
A C N 三点共线时AN
CN
AC
−
=
，
此时最大，求出直线AC 的解析式为
3
3
y
x
= −
+ ，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称轴为直线
1
x = −，且抛物线经过
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
C
两
点，
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∴
1
2
0
3
b
a
a
b
c
c
−
= −
+
+
=
=
，
解得：
1
2
3
a
b
c
= −
=
=
−，
∴抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ，
∵对称轴为直线
1
x = −，且抛物线经过
(
)
1,0
A
，
∴点
(
)
3,0
B −
，
设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，把点(
)
3,0
B −
，
(
)
0,3
C
代入得：
3
0
3
k
b
b
−
+
=
=
，
解得：
1
3
k
b
=
=
，
∴直线BC 的解析式为
3
y
x
=
+
；
（2）解：如图，过点Q 作QD
x
⊥
轴，交BC 于点P ,
设点(
)
2
,
2
3
Q m
m
m
−
−
+
，则(
)
,
3
P m m +
，
∴
(
)
2
2
2
3
3
3
QP
m
m
m
m
m
= −
−
+ −
+
= −
−
，
∴
(
)
2
2
1
1
3
9
3
3
2
2
2
2
BQC
QPB
QPC
S
S
S
QP OB
m
m
m
m
=
+
=
=
−
−
= −
−
，
对于二次函数
2
3
9
2
2
y
m
m
= −
−
，
3
0
2
a = −
，对称轴为
9
3
2
3
2
2
2
2
b
m
a
−
= −
= −
= −
−
，
∴当
3
2
m = −
时，
2
max
3
3
9
3
27
2
2
2
2
8
y
= −
−
−
−
=
，
此时Q 点的纵坐标为
2
3
3
9
15
2
3
3
3
2
2
4
4
−−
−−
+
= −
+ +
=
，
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∴
3 15
,
2
4
Q
−
，最大面积为27
8 ；
（3）解：∵抛物线
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ 对称轴为
1
x = −，点
(
)
1,0
A
关于对称轴
1
x = −的对称点为(
)
3,0
B −
,
∴连接BC 与对称轴
1
x = −的交点即为M ,此时MA
MC
MB
MC
BC
+
=
+
=
,距离之和最小，如图：
把
1
x = −代入
3
y
x
=
+
中，得
2
y =
，
∴
(
)
1,2
M −
,
根据AN
CN
AC
−
,
∴当
,
,
A C N 三点共线时AN
CN
AC
−
=
，此时最大，
如图，连接AC 并延长，交直线
1
x = −于点N ，
设直线AC 的解析式为y
mx
n
=
+
，把点
(
)
(
)
1,0 ,
0,3
A
C
代入得：
0
3
m
n
n
+
=
=
，
解得：
3
3
m
n
= −
=
，
∴直线AC 的解析式为
3
3
y
x
= −
+ ，
把
1
x = −代入
3
3
y
x
= −
+ 得：
6
y =
，
∴
(
)
1,6
N −
．
8．（25-26 九年级上·广东广州·阶段检测）如图①，已知抛物线
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴交于(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
两点，与y 轴交于点C ．
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(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点D 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AD，交BC 于点E ．设
BED
ACE
S
S
S
=
−
△
△
，S是否存在
最大值？如果存在求出此时点D 的坐标并求出此时S的最大值，否则请说明理由；
(3)已知点
15
1, 4
M
，若点P 是抛物线上任意一点，分别连接OM 、OP 、PM ，则OPM
的周长有最小值
吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
(
)
1,4
D
，S存在最大值2
(3) OPM
的周长有最小值17
241
4
+
【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，周长问题，待定系数法求解析式；
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设
(
)
2
,
2
3
D t
t
t
−
+
+
，0
3
t
，根据题意结合图形可得
BED
ACE
ABD
ABC
S
S
S
S
S
=
−
=
−
△
△
△
△
(
)
2
2
1
2
t
= −
−
+
，
进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）根据点P 是抛物线上任意一点，设(
)
2
,
2
3
P m
m
m
−
+
+
，
15
1, 4
M
，求得
2
PM ，作直线
17
:
4
l y =
，过
点P 作PQ
l
⊥于点Q ，进而得出PM
PQ
=
，根据OM
MP
OP
OM
OP
PQ
OM
OQ
+
+
=
+
+
+
，当P 在OQ 上
时，即当
,
P C 重合时，
17
4
OP
PQ
OQ
+
=
=
取得最小值，OPM
的周长有最小值，即可求解．
【详解】（1）解：把
( 1,0), (3,0)
A
B
−
代入
2
3(
0)
y
ax
bx
a
=
+
+
中，得：
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
−+
=
+
+
=
，
解得
1
2
a
b
−
=
=
，
∴抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：S存在最大，理由如下，
∵
( 1,0),
(3,0)
A
B
−
，
∴
4
AB =
，
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，当
0
x =
时，
3
y =
，则
3
OC =
，
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设
(
)
2
,
2
3
D t
t
t
−
+
+
，0
3
t
，
如图所示，
∵
BED
ACE
ABD
ABC
S
S
S
S
S
=
−
=
−
△
△
△
△
1
1
2
2
D
AB
y
AB OC
=
−
(
)
1
2
D
AB
y
OC
=
−
(
)
2
1
4
2
3 3
2
t
t
=
−
+
+ −
(
)
2
2
2
1
2
t
t
= −
−
+
+
(
)
2
2
1
2
t
= −
−
+
，
∴当
1
t = 时，S取得最大值为2 ，
2
2
3
1
2
3
4
t
t
−
+
+
= −+
+
=
，则
(
)
1,4
D
；
（3）解：OPM
的周长有最小值，
∵点P 是抛物线上任意一点，设(
)
2
,
2
3
P m
m
m
−
+
+
，
∵
15
1, 4
M
，
∴
(
)
2
2
4
2
3
2
2
2
2
2
15
1
2
13
5
5
4
5
2
2
16
4
3
4
m
m
m
m
PM
m
m
m
m
m
=
−
+
−
+
−
−
=
+
−
+
=
−
+
，
2
2
15
241
1
4
4
OM
=
+
=
，
如图，作直线
17
:
4
l y =
，
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过点P 作PQ
l
⊥于点Q ，
∴
(
)
2
2
17
5
2
3
2
4
4
PQ
m
m
m
m
=
−−
+
+
=
−
+
，
∴PM
PQ
=
，
∴OM
MP
OP
OM
OP
PQ
OM
OQ
+
+
=
+
+
+
，
∴当P 在OQ 上时，即当
,
P C 重合时，
17
4
OP
PQ
OQ
+
=
=
取得最小值，即OPM
的周长有最小值．
OPM
的周长有最小值，17
17
241
17
241
4
4
4
4
OM
+
+
=
+
=
．
