1 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题04 二次函数中线段、周长、面积最值问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中求线段最值的问题（重）
题型2 利用二次函数求线段和最值的问题（高频）
题型3 利用二次函数求线段差最值的问题（难）
题型4 利用二次函数求周长最值的问题（难）
题型5 利用二次函数求面积最值的问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中求线段最值的问题
1．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2) 1
1
m
−
；2
(3)1
【详解】（1）解：∵二次函数与x 轴交于
( 1,0)
A −
、
(3,0)
B
，
设二次函数解析式为：
(
1)(
3)
y
a x
x
=
+
−
，
将
(0,3)
C
代入得：3
3
a
−
=
，
解得：
1
a = −，
∴二次函数解析式为
(
)(
)
2
1
3
2
3
y
x
x
x
x
−
−
= −
+
=
+
+ ；
（2）解：∵ D 横坐标为
1
m−，F 横坐标为
1
m+ ，
(
)
0,3
C
在D、F 之间的抛物线段上，
∴
1
0
1
m
m
−
+ ，
解得：1
1
m
−
，
将点D、F 横坐标代入抛物线得：
2
2
(
1)
2(
1)
3
4
D
y
m
m
m
m
−
−
−
−
=
+
+
=
+
，
2
2
(
1)
2(
1)
3
4
F
y
m
m
m
−
−
=
+
+
+
+
=
+
，
横坐标差为(
1)
(
1)
2
m
m
+
−
−
=
，纵坐标差为
4
4
F
D
y
y
m
−
=
−
，
由两点距离公式得：
2
2
2
2
(4
4 )
4 16(1
)
DF
m
m
−
=
+
−
=
+
，
当
1
m = 时，
2
(1
)
m
−
最小为0 ，
2 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
此时
min
4
2
DF
=
=
；
（3）解： E 点横坐标为m ，纵坐标
2
2
3
= −
+
+
Ey
m
m
；
过点E 作EG
x
⊥
轴交DF 于点G，
设直线DF 的解析式为y
ax
b
=
+
，
则
(
)
(
)
2
2
4
1
4
1
m
m
a m
b
m
a m
b
−
+
=
−
+
−
+
=
+
+
，
解得：
2
2
2
2
a
m
b
m
=
−
=
+
，
∴直线DF 的解析式为
(
)
2
2
2
2
y
m x
m
=
−
+
+
，
当x
m
=
时，
2
2
2
G
y
m
m
−
=
+
+
，
∴
(
) (
)
2
2
2
3
2
2
1
E
G
EG
y
y
m
m
m
m
=
−
= −
+
+
−−
+
+
= ，
DEF
的水平宽为
2
F
D
x
x
−
=
，
∴
1
1
2
1 2
1
2
2
DEF
S
EG
=
=
=
．
2．
【答案】(1)①
2
1
2
2
y
x
x
=
−
；②当
1
t = 时，线段AM 的长度取得最大值1
2
(2)
1
0
3
a
【详解】（1）解：①∵点(
)
2, 2
P
−
为二次函数
2
y
ax
bx
=
+
图象的顶点，
∴可得方程组
4
2
2,
2,
2
a
b
b
a
−
+
=
−
=
解得
1 ,
2
2.
a
b
−
=
=
∴二次函数的表达式为
2
1
2
2
y
x
x
=
−
．
②正比例函数y
kx
=
的图象经过点
(
)
2, 2
P
−
，
3 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2
2
k
= −，解得
1
k = −．
∴正比例函数的表达式为y
x
−
=
．
设点M 的坐标为(
)(
)
,
0
2
t
t
t
−
，则点A 的坐标为
2
1
,
2
2
t
t
t
−
，
(
)
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
AM
t
t
t
t
t
t
−−
−
−
−
=
−
=
+ =
+
．
∴当
1
t = 时，线段AM 的长度取得最大值1
2 ；
（2）解：a 的取值范围是
1
0
3
a
．
∵二次函数
2
y
ax
bx
=
+
的图象经过点(
)
2, 2
P
−
，
4
2
2
a
b
+
= −，
化简，得
1 2
b
a
= −−
．
令
0
y =
，则
2
0
ax
bx
+
=
，
解得
1
0
x =
，
2
b
x
a
= −
．
∵二次函数的图象与x 轴的一个交点为(
)
,0
B m
，且
5
m
，
∴
5
b
m
a
= −
．
0
a
，
5
b
a
−
，即
5
b
a
−
．
1 2
5
a
a
−−
−
，
解得
1
3
a
．
0
a
，
∴a 的取值范围是
1
0
3
a
．
3．
【答案】(1)
2
3
y
x
x
= −
+
(2) PQ 的最大值为4
(3) 1
1
t
−或
3
t
【详解】（1）解：将
(3,0)
A
、
( 1, 4)
B −−
代入
2
y
ax
bx
=
+
，得方程组：
9
3
0
4
a
b
a
b
+
=
−
= −
，
解得
1
3
a
b
−
=
=
，
∴抛物线解析式为
2
3
y
x
x
= −
+
．
（2）解：设直线AB 的解析式为：y
kx
m
=
+
，
4 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
代入
(3,0)
A
、
( 1, 4)
B −−
得：
3
0
4
k
m
k
m
+
=
−+
= −
，
解得：
1
3
k
m
=
= −
，
即直线AB 的解析式为：
3
y
x
=
−
，
设(
)
2
,
3
P x
x
x
−
+
，
∵PQ
y
轴，
∴
( ,
3)
Q x x−
，
∵P 在AB 上方，
∴
(
)
2
2
2
3
(
3)
2
3
(
1)
4
PQ
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
= −
+
−
=
+
+
=
+
∵1
0
−
，
∴当
1
x = 时，
4
PQ
=
最大值
．
（3）解：∵直线AB 的解析式为：
3
y
x
=
−
，
∴BA方向为横、纵坐标均每单位增加1，
设线段OB 与平移后的线段为O B
（O
B
、的对应点分别为O
B
、
），
∵OB 沿射线BA向上平移，原
( 1, 4)
B −−
平移后横坐标为t ，
∴
(
1,
1)
O t
t
+
+
、
( ,
3)
B t t −
，
当
(
1,
1)
O t
t
+
+
在抛物线解析式
2
3
y
x
x
= −
+
上时，
(
)
(
)
2
1
1
3
1
t
t
t
−
+ =
+
+
+
，
解得：
1
t = −（与点B 重合）或
1
t = ，
当
(
)
,
3
B t t−
在抛物线解析式
2
3
y
x
x
= −
+
上时，
2
3
3
t
t
t
−
−
=
+
，
解得：
1
t = −（与点B 重合）或
3
t =
，
画图如下：
结合图象可得，若线段OB 与抛物线无交点，则1
1
t
−或
3
t
．
◆题型2 利用二次函数求线段和最值的问题
4．
【答案】(1)
2
2
2
3
y
x
x
=
−
−
5 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)
(
)
1, 2
P
−
【详解】（1）解：在
1
3
y
x−
=
中，当
1
0
y =
时，
3
x = ，当
0
x =
时，
1
3
y = −，
∴
(
)
3,0
A
，
(
)
0, 3
B
−
，
将点
(
)
3,0
A
，
(
)
0, 3
B
−
代入
2
2y
x
bx
c
=
+
+ ，得
9
3
0
3
b
c
c
+
+
=
= −
，解得
2
3
b
c
= −
= −
，
∴抛物线
2y 的解析式为
2
2
2
3
y
x
x
=
−
−．
（2）解：如图所示，连接PC
PB
PA
，
，
，
∵抛物线的解析式为
(
)
2
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
=
−
−
=
−
−
，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x = ．
∵点A与点C 关于抛物线的对称轴对称，
∴PA
PC
=
．
PB
PC
PB
PA
AB
+
=
+
．
∴当P ，A，B 三点共线时，PB
PC
+
的值最小．
在
1
3
y
x−
=
中，当
1
x = 时，
1
1
3
2
y = −
= −，
∴
(
)
1, 2
P
−
．
5．
【答案】(1)
2
1
2
8
3
3
3
y
x
x
= −
+
+
(2)点D 的坐标为1
45
,
4
16
−
(3)
58
【详解】（1）解：将(
)
2,0
−
代入
(
)(
)
1
4
3 x
m
x
−
+
−
，得
(
) (
)
1
2
2
4
0
3
m
−−+
−−
=
．
解得
2
m =
．
∴抛物线的表达式为
(
)(
)
2
1
1
2
8
2
4
3
3
3
3
y
x
x
x
x
= −
+
−
= −
+
+
；
6 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：由
(
)(
)
1
2
4
3
y
x
x
= −
+
−
得，点B 的坐标为(
)
4,0 ，
3
OC = ，
点C 的坐标为(
)
0, 3
−
，
设直线BC 的表达式y
kx
b
=
+
，
将
(
)
0, 3
C
−
代入，得
3
b = −，
将
(
)
4,0
B
代入，得4
3
0
k −=
，
3
4
k =
，
直线BC 的表达式
3
3
4
y
x
=
−，
设点D 的坐标为
3
,
3
4
m
m
−
，则点E 的坐标为
3
,
3
4
m
m
−
+
，
将点
3
,
3
4
E m
m
−
+
代入
(
)(
)
1
2
4
3
y
x
x
= −
+
−
，
得
(
)(
)
3
1
3
2
4
4
3
m
m
m
−
+ = −
+
−
，
解得
1
1
4
m =
，
2
4
m =
（舍去），
点D 的坐标为1
45
,
4
16
−
；
（3）解：如图，过点C 作CB
x
∥
轴且CB
CB
=
，连接DB，AB，
CB
x
∥
轴，
CBG
B CD
=
，
CD
BG
=
，CB
CB
=
，
CBG
B CD
≌
△
△
，
CG
B D
=
，
AD
CG
AD
B D
+
=
+
，
当A，D，B三点共线时，
AD
BD
+
有最小值为AB的长度，
7 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在Rt
BOC
△
中，
3
OC =
，
4
OB =
，
2
2
3
4
5
BC =
+
=
，
点B的坐标为(
)
5, 3
−
，
又
(
)
2,0
A −
，
(
)
2
2
2
5
3
58
AB =
−−
+
=
．
即AD CG
+
的最小值为58 ．
6．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−，(
)
1, 4
−
(2)①3
3
,
2
2
−
；②3 3
【详解】（1）解：当
0
x =
时，
3
y
−
=
，
∴点
(
)
0, 3
C
−
，
∵将点C 向右平移2 个单位长度，得到点D，
∴点
(
)
2, 3
D
−
，
把点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2, 3
D
−
代入
2
3
y
ax
bx
=
+
−得：
3
0
4
2
3
3
a
b
a
b
−−
=
+
−
= −
，解得：
1
2
a
b
−
=
=
，
∴抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
=
−
−，
∵
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−
，
∴顶点E 的坐标为(
)
1, 4
−
；
（2）解：①如图，连接
,
OF BF ，
∵
(
)
0, 3
C
−
，
(
)
2, 3
D
−
，
∴CD
y
⊥
轴，
3
OC = ，
∴
3
CF
CO
=
= ，
∴点
(
)
3, 3
F
−
，
2
2
3
3
3 2
OF =
+
=
，
8 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵OM
FM
OF
+
，
∴当点O，M，F 三点共线时，OM
FM
+
取得最小值，最小值为OF 的长，即3 2 ，
对于
2
2
3
y
x
x
=
−
−，
当
0
y =
时，
1
2
1,
3
x
x
= −
=
，
∴点
(
)
3,0
B
，
∴
3
OB =
，
3
BF = ，
∴OB
OC
CF
BF
=
=
=
，
∴四边形BOCF 为菱形，
∴点M 为OF 的中点，
∴点M 的坐标为3
3
,
2
2
−
；
②如图，在射线CE 上取点G，使CG
OC
=
，连接
,
,
GN DE BG ，
∵
(
)
(
)
3,0 ,
0, 3
B
C
−
，
∴
3
OB
OC
=
= ，
∴BOC
为等腰直角三角形，
∴
45
OCB
=
，
∵
(
)
(
)
(
)
0,
3 ,
1,
4 ,
2,
3
C
E
D
−
−
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
0 1
3
4
2
CE =
−
+ −+
=
，
(
)
(
)
2
2
2 1
3
4
2,
2
DE
CD
=
−
+ −+
=
=
，
∴
2
2
2
,
CE
DE CE
DE
CD
=
+
=
，
∴
CDE
△
为等腰直角三角形，
∴
45
DCE
=
，
∴
OCM
GCN
=
，
∵
,
CM
CN CO
CG
=
=
，
∴
(
)
SAS
COM
CGN
≌
，
∴OM
NG
=
，
9 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴OM
BN
NG
BN
BG
+
=
+
，
∵
(
)
0, 3
C
−
，
(
)
2, 3
D
−
，
∴CD
y
⊥
轴，即
90
OCD
=
，
∴
90
45
45
BCD
OCD
OCB
=
−
=
−
=
，
∵
2
2
2
2
3
3
3 2
BC
OB
OC
=
+
=
+
=
，
3
CG
CO
=
=
，
在Rt BCG
中，
(
)
2
2
2
2
3 2
3
3 3
BG
BC
CG
=
+
=
+
=
，
∴
3 3
OM
BN
BG
+
=
，
即OM
BN
+
的最小值为3 3 ．
◆题型3 利用二次函数求线段差最值的问题
7．
【答案】(1)
2
2
6
8
y
x
x
= −
+
+
(2)
3
( ,5)
2
D
【详解】（1）解：抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过
( 1,0)
A −
和
(4,0)
B
，
设抛物线的解析式为
(
1)(
4)
y
a x
x
=
+
−
，
8
c =
，即抛物线过点(0,8) ，
8
(0 1)(0
4)
4
a
a
=
+
−
= −
，
2
a
= −，
2
2
2(
1)(
4)
2(
3
4)
2
6
8
y
x
x
x
x
x
x
= −
+
−
= −
−
−
= −
+
+
．
（2）解：点E 在y 轴正半轴上，且到原点的距离为2 ，
(0,2)
E
，
抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过
( 1,0)
A −
和
(4,0)
B
，
对称轴为直线
1 4
3
2
2
x
−+
=
=
，
点D为抛物线的顶点，且D 在对称轴直线
3
2
x =
上，
又对称轴直线
3
2
x =
是线段AB 的垂直平分线，
对称轴上的任意一点到A、B 两点的距离相等，即DA
DB
=
，
BD
ED
AD
ED
−
=
−
，
在ADE
中，AD
ED
AE
−
，
10 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当且仅当A、E 、D三点共线，且点E 在线段AD上时，AD
ED
AE
−
=
取得最大值，
设直线AE 的解析式为
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，
( 1,0)
A −
，
(0,2)
E
，
1
1
0
2
k
b
b
−+
=
=
，解得
1
2
2
k
b
=
=
，
直线AE 的解析式为
2
2
y
x
=
+
，
点D在对称轴
3
2
x =
上，
3
2
2
3
2
5
2
y
=
+
= +
=
，
3
( ,5)
2
D
．
8．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)(
)
1, 6
−
(3)过定点，且定点坐标为(
)
0, 1
−
，见解析
【详解】（1）解：抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点A、B 、C ，且(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
．
9
3
0
3
b
c
c
+
+
=
= −
，
解得
2
3
b
c
= −
= −
，
故抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
=
−
−；
（2）解：因为抛物线解析式为
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−
，
所以抛物线的对称轴为直线
1
x = ，顶点坐标为(
)
1, 4
−
；
令
0
y =
，得
(
)
2
2
2
3
1
4
0
x
x
x
−
−
=
−
−
=
，
解得
1
1
x = −，
2
3
x =
，
故
(
)
1,0
A −
，
11 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
连接AC ，并延长交对称轴直线
1
x = 于点M，
因为AD
CD
AC
−
，
所以当A，C，D 三点共线时，AD
CD
−
取得最大值，且最大值为AC ，
故当点D 与点M 重合时，AD
CD
−
取得最大值，
设AC 的解析式为
3
y
kx
=
−，将点A 的坐标代入得：
3
0
k
−−=
，解得
3
k = −，
直线AC 的解析式为
3
3
y
x
= −
−．
当
1
x = 时，
3 1 3
6
y = −−
= −，
此时
(
)
1, 6
M
−
，
故点D的坐标为(
)
1, 6
−
；
（3）解：因为抛物线解析式为
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−
，
所以抛物线的对称轴为直线
1
x = ，顶点坐标为
(
)
1, 4
E
−
；
因为抛物线平移，使其顶点E 与原点O重合，
所以新抛物线的解析式为
2
y
x
=
，
设
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，
因为直线
1(
0)
y
kx
k
=
+
与抛物线相交于点P 、Q （点P 在左边），
所以
1
2
,
x x 是方程
2
1(
0)
x
kx
k
=
+
的两个根，
所以
1
2
,
x x 是方程
2
1
0
x
kx
−
−=
的两个根，
所以
1
2
1 2
,
1
x
x
k x x
+
=
= −；
因为过点P 作x 轴平行线交抛物线于点R ，
所以点P，点R 关于y 轴对称，
所以
(
)
1
1
,
R
x y
−
，
设直线QR 的解析式为y
mx
n
=
+
，
根据题意，得
2
2
1
1
x m
n
y
x m
n
y
+
=
−
+
=
，
所以
(
)
2
1
2
1
y
y
x
x
m
−
=
+
，
所以
(
)
2
1
1
1
km
kx
kx
+ −
+
=
，
所以
2
1
1
1
kx
kx
km
+ −
−=
，
解得
2
1
m
x
x
=
−
，
所以
(
)
2
2
1
2
n
y
x
x
x
=
−
−
2
2
2
1
2
1
kx
x
x x
=
+ −
+
(
)
2
1
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x x
=
+
+ −
+
12 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
x
x x
x
x x
x x
−
=
+
+ −
+
=
+ =
−
+ =
，
∴直线QR 的解析式为
(
)
2
1
1
y
x
x
x−
=
−
，
当
0
x =
时，
1
y
−
=
，
故k 发生改变时，直线QR 过定点，且定点坐标为(
)
0, 1
−
．
9．
【答案】(1)
2
6
3
y
x
x
= −
+
+
(2)
5
37
2
m
+
=
(3)①
2
2
2
5
37
(0
)
2
5
3
5
37
5
3 (
6)
2
6
3 (6
3
2 3)
m
m
m
d
m
m
m
m
m
m
+
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
；②5
5
37
2
2
m
+
或6
3
2 3
m
+
【详解】（1）解：把
(
)
(
)
0,3 ,
6,3
A
B
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 得：
3
36
6
3
c
b
c
=
−
+
+
=
，
解得：
3
6
c
b
=
=
，
∴抛物线的解析式为
2
6
3
y
x
x
= −
+
+ ．
（2）解：设直线OB 解析式为y
kx
=
，
将点
(
)
6,3
B
代入得：3
6k
=
，
解得：
1
2
k =
，
∴直线OB 解析式为
1
2
y
x
=
，
设(
)
2
,
6
3
P m
m
m
−
+
+
，则
1
, 2
C m
m
，
∵PD
x
⊥
轴于点D，点C 为PD中点，
∴
(
)
2
1
1
6
3
2
2
m
m
m
=
−
+
+
，
解得：
5
37
2
m
+
=
（负值舍去）；
（3）解：①当
0
y =
时
2
0
3
6
x
x
= −
+
+
，
解得：
3
2 3
= +
x
（负值舍去），
∴抛物线交x 轴正半轴于点(
)
3
2 3,0
+
，
13 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
设(
)
2
,
6
3
P m
m
m
−
+
+
，则
1
, 2
C m
m
，
(
)
,0
D m
，
当
5
37
0
2
m
+
时，
2
2
1
11
6
3
3
2
2
PC
m
m
m
m
m
= −
+
+ −
= −
+
+ ，
1
2
CD
m
=
，
2
2
11
1
3
5
3
2
2
d
PC
CD
PC
CD
m
m
m
m
m
=
−
=
−
= −
+
+ −
= −
+
+
；
当5
37
6
2
m
+
时，
2
2
1
11
6
3
3
2
2
PC
m
m
m
m
m
= −
+
+ −
= −
+
+ ，
1
2
CD
m
=
，
2
2
1
11
3
5
3
2
2
d
PC
CD
CD
PC
m
m
m
m
m
=
−
=
−
=
−−
+
+
=
−
−
；
当6
3
2 3
m
+
时，
(
)
2
2
1
11
6
3
3
2
2
PC
m
m
m
m
m
=
−−
+
+
=
−
−，
1
2
CD
m
=
，
2
2
1
11
3
6
3
2
2
d
PC
CD
CD
PC
m
m
m
m
m
=
−
=
−
=
−
−
−
= −
+
+
，
综上：
2
2
2
5
37
(0
)
2
5
3
5
37
5
3 (
6)
2
6
3 (6
3
2 3)
m
m
m
d
m
m
m
m
m
m
+
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
；
②当
5
37
0
2
m
+
时，
2
5
3
d
m
m
−
=
+
+ ，
1
0
a = −
开口向下，对称轴为直线
5
2
m =
，
∴当5
5
37
2
2
m
+
d 随m 的增大而减小；
当5
37
6
2
m
+
时，
2
5
3
d
m
m
=
−
−
；
1
0
a =
开口向上，对称轴为直线
5
2
m =
，
∴当
5
2
m
d 随m 的增大而减小，不符合题意，舍去；
当6
3
2 3
m
+
时，
2
6
3
d
m
m
−
=
+
+ ，
1
0
a = −
开口向下，对称轴为直线
3
m =
，
∴当6
3
2 3
m
+
时，d 随m 的增大而减小．
综上：5
5
37
2
2
m
+
或6
3
2 3
m
+
．
◆题型4 利用二次函数求周长最值的问题
14 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
10．
【答案】(1)
2
4
3
y
x
x
=
−
+
(2)D 的坐标为(2, 1)
−
，BCD
是直角三角形
(3) ACM
的最小周长为10
3 2
+
，M(2,1)
【详解】（1）解：∵抛物线与y 轴交于
(
)
0,3
C
，
∴
3
c = ，
∴抛物线解析式为
2
3
y
ax
bx
=
+
+ ，
∵抛物线过点
(1,0), (3,0)
A
B
，
代入解析式得
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
+
+
=
+
+
=
解得
1
4
a
b
=
= −
∴抛物线解析式为
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为
2
2
4
3
(
2)
1
y
x
x
x
=
−
+ =
−
−，
∴顶点D 的坐标为(2, 1)
−
，
∵
(
)
(
)
(
)
3,0
0,3
2, 1
B
C
D
−
，
，
，
∴
2
18
BC =
，
2
2
BD =
，
2
20
CD =
，
∴
2
2
2
BC
BD
CD
+
=
，
∴BCD
是直角三角形；
（3）解：∵AC 为定值，
∴要使ACM
周长最小，则需AM
CM
+
最小，
∵
(
)
1,0
A
与
(3,0)
B
关于对称轴
2
x =
对称，
∴AM
BM
=
，
∴AM
CM
BM
CM
BC
+
=
+
，
直线BC 过
(3,0)
B
和
(0,3)
C
，其解析式为
3
y
x
= −+
，
当
2
x =
时，
1
y = ，
∴BC 与对称轴的交点的坐标为(2,1) ，
当点M 位于(2,1) 处时，ACM
的周长最小，为AC
BC
+
，
∵
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
10
3
3
3 2
AC
OA
OC
BC
OB
OC
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
，
，
∴
ACM
C
最小
10
3 2
AC
BC
=
+
=
+
，
∴ACM
的最小周长为10
3 2
+
．
11．
15 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
(2)①MEF
的周长的最大值为(
)
4 1
2
+
，此时点E 的坐标为(
)
2,6
−
；②m 的取值范围为
2
7
m −−
或
2
7
m −+
或3
1
m
−
−
【详解】（1）解：∵二次函数
2
4
y
ax
bx
=
+
+
的图象经过点(
)
1,6
−
，(
)
2, 6
−
，
∴
4
6
4
2
4
6
a
b
a
b
−
+
=
+
+
= −
，
解得：
1
3
a
b
= −
= −
，
∴抛物线的解析式为
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
.
（2）解：①在
2
3
4
y
x
x
−
=
−
+
中，当
0
x =
时，
4
y =
，即
(
)
0,4
C
，
当
0
y =
时，
2
3
4
0
x
x
−
−
+
=
，
解得：
1
1
x = ，
2
4
x = −，
∴
(
)
4,0
A −
，
(
)
1,0
B
，
设直线AC 的解析式为
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，
∴
1
1
4
0
4
k
b
b
−
+
=
=
，
解得：
1
1
4
k
b
=
=
，
∴直线AC 的解析式为
4
y
x
=
+ ，
∵点D是x 轴上一动点，过点D 作DM
y
轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点E ，设点D 的横坐标为m ．
∴
(
)
,0
D m
，
(
)
,
4
M m m +
，(
)
2
,
3
4
E m
m
m
−
−
+
，
90
ADM
=
，
∴
(
)
2
2
3
4
4
4
ME
m
m
m
m
m
= −
−
+
−
+
= −
−
，
∵
(
)
4,0
A −
，
(
)
0,4
C
，
∴
4
OA
OC
=
=
，
∴
45
OAC
OCA
=
=
，
∴
ADM
△
为等腰直角三角形，
∴
45
AMD
MAD
=
=
，
∴
45
EMF
MEF
=
=
，
∵EF
AC
⊥
，
∴MEF
为等腰直角三角形，
∴
(
)
2
2
2
4
2
2
EF
FM
ME
m
m
=
=
=
−
−
，
16 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴MEF
周长为：
(
)(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
1
2
4
1
2
2
4 1
2
EM
EF
FM
EM
EM
m
m
m
+
+
=
+
=
+
−
−
= −
+
+
+
+
，
∵(
)
1
2
0
−
+
，
∴当
2
m = −时，周长的最大值为(
)
4 1
2
+
，
此时
(
)
(
)
2
2
3
4
2
3
2
4
6
m
m
−
−
+
= −−
−−
+
=
，
∴MEF
的周长的最大值为(
)
4 1
2
+
，此时点E 的坐标为(
)
2,6
−
；
②由①可得：
(
)
,
4
M m m +
，(
)
2
,
3
4
E m
m
m
−
−
+
，
∴
(
)
2
2
3
4
4
4
ME
m
m
m
m
m
= −
−
+
−
+
= −
−
，
∵
3
ME ，
∴
2
2
4
4
3
m
m
m
m
−
−
=
+
，
∴
2
4
3
m
m
+
或
2
4
3
m
m
+
−，
∴
2
4
3
0
m
m
+
−
或
2
4
3
0
m
m
+
+
，
当
2
4
3
0
m
m
+
−
时，可得：
2
7
m −−
或
2
7
m −+
，
解
2
4
3
0
m
m
+
+
时，可得：3
1
m
−
−，
综上所述，m 的取值范围为
2
7
m −−
或
2
7
m −+
或3
1
m
−
−．
12．
【答案】(1)直线BC 的解析式为
5
y
x
−
=
+ ，抛物线的解析式为
2
6
5
y
x
x
=
−
+
(2)存在，Q 点的坐标为(
)
3,2
(3) 25
4
【详解】（1）解：设直线BC 的解析式为y
kx
m
=
+
．
将点
(
)
5,0
B
，
(
)
0,5
C
代入得：
5
0
5
k
m
m
+
=
=
，解得
1
5
k
m
= −
=
，
直线BC 的解析式为
5
y
x
= −+
；
抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴的一个交点为(
)
5,0
B
，与y 轴交于点
(
)
0,5
C
，对称轴为直线
3
x = ，
25
5
0
5
3
2
a
b
c
c
b
a
+
+
=
=
−
=
，解得
1
6
5
a
b
c
=
= −
=
，
抛物线的解析式为
2
6
5
y
x
x
=
−
+ ；
17 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：QAC
的周长为AC
QA
QC
+
+
，其中AC 为定值，只需QA
QC
+
最小．
点A、B 关于对称轴对称，
QA
QB
=
，
QA
QC
QB
QC
+
=
+
，
当B 、Q 、C 三点共线时，QB
QC
+
最小，此时点Q 为直线BC 与对称轴
3
x = 的交点，如图所示．
将
3
x = 代入直线BC 的解析式为
5
y
x
= −+
中得，
3
5
2
y = −+
=
，
点Q 的坐标为(
)
3,2 ，
即存在点Q ，使得QAC
的周长最小，Q 点的坐标为(
)
3,2 ；
（3）解：如图，
抛物线
2
6
5
y
x
x
=
−
+ 的图象与x 轴的一个交点为(
)
5,0
B
，另一个交点为A，对称轴
为直线
3
x = ，
(
)
1,0
A
，
点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，
设点
(
)(
)
2
,
6
5 1
5
M m m
m
m
−
+
，
(
)
,
5
N m
m
−
+
，
(
)
2
5
6
5
MN
m
m
m
= −
+ −
−
+
2
5
m
m
= −
+
2
5
25
2
4
m
= −
−
+
，
1
0
−
，
18 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
抛物线开口向下，当
5
2
m =
时，MN 取得最大值，最大值是25
4 ．
◆题型5 利用二次函数求面积最值的问题
13．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
= −
−
+
(2)存在
(
)
1,2
Q −
使得
QAC
△
的周长最小
(3)存在
3 15
,
2
4
P
−
使得
PBC
△
面积最大，最大为27
8
【详解】（1）解：将
(
)
1,0
A
，(
)
3,0
B −
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 中得
1
0
9
3
0
b
c
b
c
−+
+
=
−−
+
=
，
2
3
b
c
= −
=
．
抛物线解析式为：
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ；
（2）解：∵抛物线解析式为
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
+
=
+
+
，
∴抛物线的对称轴为直线= 1
x −，
连接BQ ，
由对称性可知BQ
AQ
=
，
∴AQC
的周长
CA
AC
AQ
AC
CQ
BQ
=
+
+
=
+
+
，
∵A、C 为定点，
∴AC 为定值，
∴当CQ
BQ
+
最小时，AQC
的周长最小，
∴当B、C、Q 三点共线时，CQ
BQ
+
最小，即AQC
的周长最小，
在
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ 中，当
0
x =
时，
2
2
3
3
y
x
x
= −
−
+
=
C
的坐标为(
)
0,3 ，
设直线BC 解析式为y
kx
b
=
+
，
∴
3
0
3
k
b
b
−
+
=
=
，
∴
1
3
k
b
=
=
，
19 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴直线BC 解析式为：
3
y
x
=
+
，
在
3
y
x
=
+
中，当= 1
x −时，
1
3
2
y = −+
=
(
)
1,2
Q
−
，
∴存在
(
)
1,2
Q −
使得
QAC
△
的周长最小；
（3）解：设(
)(
)
2
,
2
3
3
0
P m
m
m
m
−
−
+
−
，连接OP ，
BPC
COP
BOP
BOC
S
S
S
S
=
+
−
，
1
1
1
2
2
2
P
P
OC x
OB y
OB OC
=
+
−
(
)
(
)
2
1
1
1
3
3
2
3
3 3
2
2
2
m
m
m
−
=
+
−
−
+
−
，
2
3
3
27
2
2
8
m
−
=
+
+
∵
3
0
2
−
，
当
3
2
m = −
时，
BPC
S
△
最大
27
8
=
，
当
3
2
m = −
时，
2
15
2
3
4
m
m
−
−
+
=
，
点P 坐标为
3 15
,
2
4
−
，
∴存在
3 15
,
2
4
P
−
使得
PBC
△
面积最大，最大为27
8 ．
14．
【答案】(1)
2
3
4
y
x
x
= −
+
+
(2)8
(3) 37
20 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：直线
4
y
x
−
=
+
与x 轴交于B 点，与y 轴交于C 点，
(4,0),
(0,4)
B
C
，
抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
经过点A，B，C，已知点A 坐标为( 1,0)
−
，
0
16
4
0
4
a
b
c
a
b
c
c
−
+
=
+
+
=
=
，
解得
1
3,
4
a
b
b
c
= −
=
=
=
∴抛物线的表达式为
2
3
4
y
x
x
= −
+
+
；
（2）解：过点P 作PE
y
轴，交BC 于点E，如图1，
(4,0),
4
B
OB
=
，
设(
)
2
3
4
P m
m
m
−
+
+
，
，
PE
y
∥
轴，
(
4)
E m
m
−
+
，
，
2
2
3
4
(
4)
4
PE
m
m
m
m
m
= −
+
+ −−
+
= −
+
，
BCP
的面积
(
)
2
1
1
4
4
2
2
PCE
PBE
S
S
PE OB
m
m
+
=
=
−
+
2
2
2
8
2(
2)
8
m
m
m
= −
+
= −
−
+ ，
∴当
2
m =
时，BCP
的面积的最大值为8；
（3）解：作点P 关于y 轴的对称点P，则点P的坐标为( 2,6)
−
，
连接PP交y 轴于点F，连接
,
P A P G
，如图2，
点P，P关于y 轴的对称，
21 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
PG
P G
=
，
PG
AG
P G
AG
P A
−
=
−
，
当P，A，G 在一条直线上时，取等号，
∴此时|
|
PG
AG
−
的值最大，最大值为P A
，
2
2
[ 2
( 1)]
(6
0)
37
P A
=
−−−
+
−
=
|
|
PG
AG
−
的最大值为37 ；
15．
【答案】(1)
2
1
3
4
y
x
x
−
=
+
+
(2)①
(
)
2,2
P
；②75
4
【详解】（1）解：∵点A既是抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴的交点，又是直线
1
2
y
x
b
=
+
与抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+
的交点，
∴点A是直线
1
2
y
x
b
=
+
与x 轴的交点，
令
0
y =
，则1
0
2 x
b
+
=
，
解得
2
x
b
= −
，
∴
(
)
2 ,0
A
b
−
，
∵点
(
)
6,0
B
在抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象上，
令
0
y =
，则
2
3
0
ax
bx
+
+
=
，
∴6 和2b
−
是
2
3
0
ax
bx
+
+
=
的两个根，
∴
(
)
(
)
6
2
3
6
2
b
b
a
b
a
+ −
= −
−
=
，
解得
1
4
1
a
b
= −
=
或
1
6
3
2
a
b
=
= −
（舍去），
∴抛物线的表达式为
2
1
3
4
y
x
x
−
=
+
+ ．
（2）解：①由题意可得，当PB
PD
+
取得最小值时，PBD
周长取得最小值，
∵点A与点B 关于抛物线的对称轴对称，
∴直线AD与l 的交点即为点P ，此时PBD
的周长最小，
22 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
由（1）知，抛物线的表达式为
2
1
3
4
y
x
x
−
=
+
+ ，对称轴为直线
2
x =
，直线AD的解析式为
1
1
2
y
x
=
+ ，
把
2
x =
代入
1
1
2
y
x
=
+ 得，
1
2 1
2
2
y =
+ =
，
∴
(
)
2,2
P
．
②联立
2
1
1
2
1
3
4
y
x
y
x
x
=
+
= −
+
+
，
解得
2
0
x
y
= −
=
或
4
3
x
y
=
=
，
∴D点坐标为(
)
4,3 ，
设点E 的坐标为
(
)
2
1
,
3
2
4
4
m
m
m
m
−
+
+
−
，过点E 作EF
x
⊥
轴，交AD于点F ，则
1
,
1
2
F m
m
+
∴
2
1
1
3
1
4
2
EF
m
m
m
= −
+
+ −
+
2
1
1
3
1
4
2
m
m
m
= −
+
+ −
−
2
1
1
2
4
2
m
m
= −
−
+
(
)
2
1
9
2
1
4
4
m
m
= −
−
+
+
(
)
2
1
9
1
4
4
m
= −
−
+
，
∴当
1
m = 时，EF 取得最大值9
4 ，
∴ADE
面积最大值
(
)
1
9
27
4
2
2
4
4
=
−−
=
，
∴四边形ABDE 面积的最大值
(
)
1
27
27
75
6
2
3
12
2
4
4
4
ABD
ADE
S
S
=
+
=
−−
+
=
+
=
．
23 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
综合攻坚·知能拔高
1．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x−
=
+
(2)
3
15
,
2
4
N
−
−
，最大值为9
4
【详解】（1）解：抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中点A，点C 坐标分
别为
(
)
3,0
A −
、
(
)
0, 3
C
−
，
9
3
0
3
b
c
c
−
+
=
= −
解得
2
3
b
c
=
= −
抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
．
（2）解：设直线AC 的解析式为y
kx
p
=
+
，
将
(
)
3,0
A −
、
(
)
0, 3
C
−
代入直线AC 的解析式得：
3
0
3
k
p
p
−
+
=
= −
，
解得
1
3
k
p
= −
= −
，
∴直线AC 的解析式为：
3
y
x
= −−
．
又
(
)
,
N t m 是抛物线
2
2
3
y
x
x−
=
+
上的一动点，
故
2
2
3
m
t
t
=
+
−，且3< <0
t
−
，
故
(
)
2
,
2
3
N t t
t
+
−
，
故
(
)
,
3
M t
t
−−
，
∴
(
)
2
2
2
3
2
3
3
2
3
3
M
N
MN
y
y
t
t
t
t
t
t
t
t
=
−
= −−−
+
−
= −−−
−
+
= −
−
，
∴
(
)
2
2
3
9
3
2
4
MN
t
t
t
= −
+
= −
+
+
，
∵
1
0
a = −
，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当
3
2
t = −
，MN 的长度最大，且最大值为9
4 ，
2
3
3
15
2
3
2
2
4
y
= −
+ −
−
= −
，
24 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
此时
3
15
,
2
4
N
−
−
．
2．
【答案】(1)直线的解析式为
1
3
y
x−
=
，抛物线的解析式为
2
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)
(
)
1, 2
P
−
【详解】（1）解：将点(
)
3,0
A
代入
1
3
y
kx
=
−，
得0
3
3
k
=
−，解得
1
k = ，
∴直线的解析式为
1
3
y
x−
=
．
令
0
x =
，则
3
y
−
=
，
(
)
0, 3
B
−
．
将点
(
)
3,0
A
，
(
)
0, 3
B
−
代入
2
2y
x
bx
c
=
+
+ ，得
9
3
0
3
b
c
c
+
+
=
= −
，解得
2
3
b
c
= −
= −
，
∴抛物线的解析式为
2
2
2
3
y
x
x
=
−
−．
（2）∵抛物线的解析式为
2
2
2
3
y
x
x
=
−
−，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x = ．
∵点A与点C 关于抛物线的对称轴对称，
∴PA
PC
=
．
PB
PC
PB
PA
AB
+
=
+
．
∴当P ，A，B 三点共线时，PB
PC
+
的值最小．
如图，抛物线的对称轴与直线AB 的交点即为点P ．
当
1
x = 时，
1
1
3
2
y = −
= −，
∴点
(
)
1, 2
P
−
．
3．
【答案】(1)抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
(2) 2
25 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3)QE 最大值为9
4
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 过点(
)
3,0
−
，点(
)
2,5 ，
∴(
)
2
2
3
3
0
2
2
5
b
c
b
c
−
−
+
=
+
+
=
，
解得：
2
3
b
c
=
= −
，
∴抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
，
∴
(
)
2
1
4
y
x
=
+
−
，
∵将抛物线向左平移a 个单位，然后向下平移2a 个单位，
∴平移后的解析式为
(
)
2
1
4
2
y
x
a
a
=
+ +
−
−
，
∵平移后的解析式恰好经过点(
)
1,8 ，
∴
(
)
2
8
1 1
4
2
a
a
=
+ +
−
−
，
解得：
2
a =
或
4
a = −（舍去），
故答案为：2 ；
（3）解：如图，作直线QD
x
⊥
轴于点D ，交抛物线于点E ，
由（1）得抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x−
=
+
，
令
0
x =
，则
3
y
−
=
；
∴
(
)
0, 3
C
−
，
设直线AC 解析式为y
mx
n
=
+
，
∴
3
0
3
m
n
n
−
+
=
= −
，
解得：
1
3
m
n
= −
= −
，
∴直线AC 解析式为
3
y
x
= −−
，
26 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
设(
)
2
,
2
3
E t t
t
+
−
，则
(
)
,
3
Q t
t
−−
，
∴
(
)
2
2
2
3
9
3
2
3
3
2
4
QE
t
t
t
t
t
t
= −−−
+
−
= −
−
= −
+
+
，
∵1
0
−
，
∴当
3
2
t = −
时，QE 有最大值，为9
4 ．
4．
【答案】(1)
2
3
4
y
x
x−
=
−
(2)
(
)
2, 6
P
−
；
max
8
S
=
(3)
3
5
,
2
2
M
−
【详解】（1）解：设抛物线解析式为
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，把
(
)
1,0
A −
，
(
)
4,0
B
，
(
)
0, 4
C
−
三点坐标代入可得：
0
16
4
0
4
a
b
c
a
b
c
c
−
+
=
+
+
=
= −
，
解得：
1
3
4
a
b
c
=
= −
= −
，
∴抛物线解析式为
2
3
4
y
x
x−
=
−
；
（2）解：由题意可设(
)
2
,
3
4
P t t
t
−
−
，
过P 作PE
x
⊥
轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，
设直线BC 解析式为y
kx
t
=
+ ，则有：
4
0
4
k
t
t
+ =
= −
，解得：
1
4
k
t
=
= −
，
∴直线BC 解析式为
4
y
x−
=
，
(
)
,
4
F t t
−
，
27 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
(
)
2
2
4
3
4
4
PF
t
t
t
t
t
= −
−
−
−
= −
+
，
∵
(
)
1
1
2
2
PBC
FPB
FPC
B
E
E
O
S
S
S
FP x
x
x
x
FP BO
=
+
=
−
+
−
=
(
) (
)
(
)
2
2
1
4
0
4
2
2
8
2
PBC
S
t
t
t
=
−
−
+
= −
−
+
，
∵2
0
−
∴当
2
t =
时，
PBC
S
最大值为8，此时
2
3
4
6
t
t
−
−
= −，
∴P 点坐标为(
)
2, 6
−
．
（3）解：对于抛物线
2
3
4
y
x
x−
=
−
，则对称轴为直线
3
2
x =
∵抛物线与x 轴交于点
,
A B ，
∴点
,
A B 关于对称轴对称，
∴MA
MB
=
，
∵
MAC
C
MA
MC
AC
MB
MC
AC
BC
AC
=
+
+
=
+
+
+
△
∴当
,
,
B M C 共线时，即点M 为对称轴与直线BC 的交点时，
MAC
△
的周长取得最小值，
将
3
2
x =
代入
4
y
x−
=
得，
3
5
4
2
2
y =
−
= −
，
∴
MAC
△
的周长最小时，
3
5
,
2
2
M
−
．
5．
【答案】(1)
2
1
3
2
2
2
y
x
x
=
+
−
(2)4 5
4
+
(3) 81
4
【详解】（1）解：将点(
)
0, 2
A
−
，
(
)
4,0
B −
代入
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+ ，得
2
1
0
16
4
2
c
b
c
= −
=
−
+
，
28 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得
3
2
2
b
c
=
= −
，
∴
2
1
3
2
2
2
y
x
x
=
+
−．
（2）解：
=
+
+
PDB
C
PD
DB
PB
△
，
1
−
=
PC
PD
，
∴
1
PDB
C
PD
DB
PB
DB
PB
PC
=
+
+
=
+
+
−
△
，
∵
(
)
0,3
D
，
(
)
4,0
B −
，则
3
OD = ，
4
OB =
，
∴
2
2
5
DB
OD
OB
=
+
=
为定值，
∴当PB
PC
+
取得最小值时，
PDB
C△
有最小值，
当点P 在线段BC 上时，PB
PC
+
取得最小值，最小值为
(
)
(
)
2
2
4
0
0
8
4 5
BC =
−
+
−
=
，
∴
PDB
C△
的最小值为4 5
5 1
4 5
4
+ −=
+
．
（3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3 个交点且与直线BC 平行，其中一条与抛物线
2
1
3
2
2
2
y
x
x
=
+
−有且只有1 个交点，
设该直线的解析式为
2
2
y
x
b
=
+
，
联立方程，得
2
2
1
3
2
2
2
2
+
=
+
−
x
b
x
x
，整理得，
2
2
4
2
0
−
−−
=
x
x
b
，
有且只有一个交点，
∴
(
)
(
)
2
2
Δ
1
4 1
4
2
0
b
= −
−−−
=
，
解得
2
17
8
= −
b
，
∴点M 符合条件的位置之一在直线
17
2
8
y
x
=
−
上，
设直线
17
2
8
y
x
=
−
与x 轴交于点N ，则
17 ,0
16
N
，
∴
1
17
81
4
8
2
16
4
BCM
BCN
S
S
=
=
+
=
．
29 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
(2)(
)
2
2, 3
2
+
−+
或(
)
2
2, 3
2
−
−−
(3) 2 5
【详解】（1）解：将点
(
)
(
)
2,0 ,
0, 4
A
C
−
−
代入
2
1
2
y
x
bx
c
=
+
+
得：
2
2
0
4
b
c
c
−
+
=
= −
，
解得
1
4
b
c
= −
= −
，
所以抛物线的表达式为
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
．
（2）解：将
0
y =
代入
2
1
4
2
y
x
x
=
−−
得：
2
1
4
0
2 x
x
−
−
=
，
解得
2
x = −或
4
x = ，
∴
(
)
4,0
B
，
设直线BC 的解析式为
(
)
0
y
mx
n m
=
+
，
将点
(
)
(
)
4,0 ,
0, 4
B
C
−
代入得：
4
0
4
m
n
n
+
=
= −
，
解得
1
4
m
n
=
= −
，
∴直线BC 的解析式为
4
y
x−
=
，
如图，过点P 作PE
x
⊥
轴于点E ，交BC 于点F ，
30 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
设点P 的坐标为
2
1
,
4
2
p
p
p
−
−
，则
(
)
,
4
F p p −
，
∴
2
2
1
1
4
4
2
2
2
PF
p
p
p
p
p
=
−
−
−
−
= −
+
，
∵
(
)
4,0
B
，
∴BPF
与CPF
的PF 边上的高之和为
4
4
OB =
=
，
∴
2
2
1
1
1
2
4
4
2
2
2
BPC
CPF
BPF
S
S
S
PF OB
p
p
p
p
=
+
=
=
−
+
= −
+
，
∵
2
BPC
S
=
，
∴
2
4
2
p
p
−
+
=
，
解得
1
2
2
2,
2
2
p
p
=
+
=
−
，
当
2
2
p =
+
时，
2
1
4
3
2
2 p
p
−
−
= −+
；
当
2
2
p =
−
时，
2
1
4
3
2
2 p
p
−
−
= −−
；
综上，满足条件的点P 的坐标为(
)
2
2, 3
2
+
−+
或(
)
2
2, 3
2
−
−−
．
（3）解：如图，过点C 作CD
AO
=
且CD
AO
∥
，连接
,
DN OD ，
∴
DCN
OAM
=
，
∵
(
)
(
)
2,0 ,
0, 4
A
C
−
−
，CD
AO
=
，
∴
(
)
2, 4
D −
−
，
在CND
和AMO
中，
31 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
CN
AM
DCN
OAM
CD
AO
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
CND
AMO
≌
，
∴DN
OM
=
，
∴OM
ON
DN
ON
OD
+
=
+
，当且仅当点
,
,
O N D 共线时，等号成立，
∴OM
ON
+
的最小值为
(
)
(
)
2
2
2
0
4
0
2 5
OD =
−−
+ −−
=
．
7．
【答案】(1)
3
y
x
=
+
，
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ；
(2)
3 15
,
2
4
Q
−
，最大面积为27
8 ；
(3)
(
)
1,2
M −
,
(
)
1,6
N −
．
【详解】（1）解：∵抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称轴为直线
1
x = −，且抛物线经过
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
C
两
点，
∴
1
2
0
3
b
a
a
b
c
c
−
= −
+
+
=
=
，
解得：
1
2
3
a
b
c
= −
=
=
−，
∴抛物线的解析式为
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ，
∵对称轴为直线
1
x = −，且抛物线经过
(
)
1,0
A
，
∴点
(
)
3,0
B −
，
设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，把点(
)
3,0
B −
，
(
)
0,3
C
代入得：
3
0
3
k
b
b
−
+
=
=
，
解得：
1
3
k
b
=
=
，
∴直线BC 的解析式为
3
y
x
=
+
；
（2）解：如图，过点Q 作QD
x
⊥
轴，交BC 于点P ,
32 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
设点(
)
2
,
2
3
Q m
m
m
−
−
+
，则(
)
,
3
P m m +
，
∴
(
)
2
2
2
3
3
3
QP
m
m
m
m
m
= −
−
+ −
+
= −
−
，
∴
(
)
2
2
1
1
3
9
3
3
2
2
2
2
BQC
QPB
QPC
S
S
S
QP OB
m
m
m
m
=
+
=
=
−
−
= −
−
，
对于二次函数
2
3
9
2
2
y
m
m
= −
−
，
3
0
2
a = −
，对称轴为
9
3
2
3
2
2
2
2
b
m
a
−
= −
= −
= −
−
，
∴当
3
2
m = −
时，
2
max
3
3
9
3
27
2
2
2
2
8
y
= −
−
−
−
=
，
此时Q 点的纵坐标为
2
3
3
9
15
2
3
3
3
2
2
4
4
−−
−−
+
= −
+ +
=
，
∴
3 15
,
2
4
Q
−
，最大面积为27
8 ；
（3）解：∵抛物线
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ 对称轴为
1
x = −，点
(
)
1,0
A
关于对称轴
1
x = −的对称点为(
)
3,0
B −
,
∴连接BC 与对称轴
1
x = −的交点即为M ,此时MA
MC
MB
MC
BC
+
=
+
=
,距离之和最小，如图：
把
1
x = −代入
3
y
x
=
+
中，得
2
y =
，
∴
(
)
1,2
M −
,
根据AN
CN
AC
−
,
∴当
,
,
A C N 三点共线时AN
CN
AC
−
=
，此时最大，
如图，连接AC 并延长，交直线
1
x = −于点N ，
33 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
设直线AC 的解析式为y
mx
n
=
+
，把点
(
)
(
)
1,0 ,
0,3
A
C
代入得：
0
3
m
n
n
+
=
=
，
解得：
3
3
m
n
= −
=
，
∴直线AC 的解析式为
3
3
y
x
= −
+ ，
把
1
x = −代入
3
3
y
x
= −
+ 得：
6
y =
，
∴
(
)
1,6
N −
．
8．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
(
)
1,4
D
，S存在最大值2
(3) OPM
的周长有最小值17
241
4
+
【详解】（1）解：把
( 1,0), (3,0)
A
B
−
代入
2
3(
0)
y
ax
bx
a
=
+
+
中，得：
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
−+
=
+
+
=
，
解得
1
2
a
b
−
=
=
，
∴抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：S存在最大，理由如下，
∵
( 1,0),
(3,0)
A
B
−
，
∴
4
AB =
，
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，当
0
x =
时，
3
y =
，则
3
OC =
，
设
(
)
2
,
2
3
D t
t
t
−
+
+
，0
3
t
，
如图所示，
34 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
BED
ACE
ABD
ABC
S
S
S
S
S
=
−
=
−
△
△
△
△
1
1
2
2
D
AB
y
AB OC
=
−
(
)
1
2
D
AB
y
OC
=
−
(
)
2
1
4
2
3 3
2
t
t
=
−
+
+ −
(
)
2
2
2
1
2
t
t
= −
−
+
+
(
)
2
2
1
2
t
= −
−
+
，
∴当
1
t = 时，S取得最大值为2 ，
2
2
3
1
2
3
4
t
t
−
+
+
= −+
+
=
，则
(
)
1,4
D
；
（3）解：OPM
的周长有最小值，
∵点P 是抛物线上任意一点，设(
)
2
,
2
3
P m
m
m
−
+
+
，
∵
15
1, 4
M
，
∴
(
)
2
2
4
2
3
2
2
2
2
2
15
1
2
13
5
5
4
5
2
2
16
4
3
4
m
m
m
m
PM
m
m
m
m
m
=
−
+
−
+
−
−
=
+
−
+
=
−
+
，
2
2
15
241
1
4
4
OM
=
+
=
，
如图，作直线
17
:
4
l y =
，
过点P 作PQ
l
⊥于点Q ，
35 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
(
)
2
2
17
5
2
3
2
4
4
PQ
m
m
m
m
=
−−
+
+
=
−
+
，
∴PM
PQ
=
，
∴OM
MP
OP
OM
OP
PQ
OM
OQ
+
+
=
+
+
+
，
∴当P 在OQ 上时，即当
,
P C 重合时，
17
4
OP
PQ
OQ
+
=
=
取得最小值，即OPM
的周长有最小值．
OPM
的周长有最小值，17
17
241
17
241
4
4
4
4
OM
+
+
=
+
=
．
