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专题04 反比例函数与一次函数结合应用的十一类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数与一次函数图像结合
题型二、反比例函数与一次函数的交点问题
题型三、反比例函数与一次函数的不等式问题
题型四、反比例函数与一次函数的面积问题
题型五、反比例函数与一次函数的解析式问题
题型六、反比例函数与一次函数的平移问题
题型七、反比例函数与一次函数的翻折问题
题型八、反比例函数与一次函数的旋转问题
题型九、反比例函数与一次函数无刻度尺作图
题型十、反比例函数与一次函数实际应用
题型十一、反比例函数与一次函数的新定义应用
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
类别 具体内容
核心
知识
点
1. 交点坐标求解：联立一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=
x
a （a≠0）的解析式，
解一元二次方程得到交点横坐标，再代入求纵坐标，交点个数对应方程根的个数（0
个、1 个、2 个）
2. 图形位置判断：根据k₁（一次函数斜率）、k₂（反比例函数比例系数）的符号，判断
两个函数在坐标系中的大致位置：k₁、k₂同号时两个函数有两个交点，异号时可能无交
点；结合一次函数截距可进一步确定具体象限分布
3. 面积问题计算：利用反比例函数比例系数k 的几何意义（过反比例函数图象上任意
一点作x、y 轴垂线，矩形面积为|k|），结合坐标法计算三角形、多边形面积，常用割
补法转化为规则图形面积计算
目 录
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4. 不等式解集求解：根据两个函数图象的上下位置关系，直接确定不等式kx+b >
x
a（或
<）的解集，解集为对应x 的取值范围，分x>0 和x<0 两个区间讨论
5. 实际应用建模：在行程、工程、经济等实际问题中，分别抽象出一次函数与反比例
函数模型，结合函数性质解决最值、方案选择问题
常见
易错
点
1. 联立方程求解后，忽略检验根的有效性：反比例函数自变量x≠0，增根或x=0 的根
需要舍去，容易误算交点个数
2. 判断函数位置时，混淆两个函数的系数符号：容易将反比例函数k 的符号套用到一
次函数斜率上，导致象限判断错误
3. 面积计算时，忽略坐标符号错误：直接用坐标数值计算未加绝对值，导致面积结果
为负，或分割图形时顶点坐标对应错误导致计算错误
4. 不等式解集漏解：讨论不等式解集时，只考虑x>0 区间，漏掉x<0 区间的解，或混
淆图象上下位置对应的不等号方向，导致解集错误
5. 实际应用中忽略自变量取值范围：反比例函数实际问题中x 往往取正数，容易扩大
取值范围导致结果错误
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数与一次函数图像结合
典例1 函数
k
y
x
=
与
0
y
kx
k k
= −
+
（
）在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ）
A．
B．
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C．
D．
变式1-1 在同一直角坐标系中，函数y
kx
k
=
−与
2k
y
x
=
（
0
k
）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2 如图，过原点的直线与双曲线
k
y
x
=
交于
,
A B 两点，点C 在x 轴上，且AC
OA
=
，若
8
ABC
S
=
△
，则
k 的值为_____．
变式1-3 如图，已知A为直线y
x
=
上一点，过点A作BA
OA
⊥
交反比例函数
k
y
x
=
于点B ．若
2
2
16
OA
AB
−
=
，
则k 的值是______．
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类型二、反比例函数与一次函数的交点问题
典例2 反比例函数
2
y
x
= −
的图像与一次函数
2
y
x
=
的图像（ ）
A．没有交点
B．有一个交点
C．有两个交点
D．有三个交点
变式2-1 若
(
)
1,2
P −
是反比例函数
2
1
m
y
x
−
=
与正比例函数y
nx
=
的一个交点，那么两函数的另一交点Q 点
坐标应为（ ）
A．(
)
1, 2
−
B．(
)
1, 2
−−
C．3, 2
2
−
D．3 ,2
2
变式2-2 若
(
)
1,2
P −
是反比例函数
2
1
m
y
x
−
=
与正比例函数y
nx
=
的一个交点，那么两函数的另一交点Q 点
坐标应为___________
变式2-3 如图，直线
2
y
x
=
与反比例函数
k
y
x
=
的图象的一个交点坐标为(
)
2 4
，，则它们的另一个交点坐标为
____________．
题型三、反比例函数与一次函数的不等式问题
典例3 如图，函数
1
1
5
2
y
x
= −
+ 与
2
(
0)
k
y
x
x
=
的图象相交于(
)
4,
A
m ，
(
)
,2
B n
两点，当
1
2
y
y
时，x 的取
值范围是（ ）
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A．4
6
x
B．4
8
x
C．4
7
x
D．
4
x
变式3-1 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数
1y
kx
b
=
+ （k ，b 是常数，且
0
k
）与反比例函数
2
c
y
x
=
（c 是常数，且
0
c
）的图象相交于(
)
3, 2
A
−
−
，
(
)
2,3
B
两点，则不等式
1
2
y
y
的解集是（ ）
A．3
2
x
−
B．
3
x
或
2
x
C．3
0
x
−
或
2
x
D．0
2
x
变式3-2 如图，一次函数
( ,
y
kx
b k b
=
+
为常数，
0)
k
的图象与反比例函数
(
m
y
m
x
=
为常数，
0)
m
的图象交
于点A和B ，已知点A的坐标是(
)
4,1
−
，点B 的坐标是(
)
2, 2
−
．根据函数图象直接写出关于x 的不等式
m
kx
b
x
+
的解集为__________．
变式3-3 如图，一次函数
1
y
k x
b
+
＝
的图象与坐标轴交于(
)
4,0
A −
和
(
)
0,2
B
，与反比例函数
2k
y
x
=
的图象相
交于C，D 两点，过点C 作x 轴的垂线，垂足是E，
2
OA
OE
＝
，连接DE ．
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(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出关于x 的不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集．
题型四、反比例函数与一次函数的面积问题
典例4 如图，点A、B 是反比例函数
k
y
x
=
(
)
0
k
图象上的两点，延长线段BA交y 轴于点C ，且点A为线
段BC 中点，连接OA、OB ，若
3
ACO
S
=
，则k 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
变式4-1 平面直角坐标系xOy 中，直线y
ax
=
与双曲线
(
)
0
k
y
k
x
=
相交于
,
A B 两点，以A为圆心，AB 长为
半径画弧，交过点B 且平行于x 轴的直线于点C ，作CD垂直于x 轴交双曲线于点D ．若BCD
的面积为16，
则k 的值等于（ ）
A．6
B．8
C．12
D．16
变式4-2 如图，一次函数
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
的图象与反比例函数
(
)
2
0
a
y
a
x
=
的图象交于点(
)
2, 5
A
−
−
，
(
)
5,
C
n ，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．连接OA，OC ，则
AOC
S
=
△
______．
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变式4-3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数
(
)
0
y
kx k
=
与反比例函数
4
y
x
=
的图象交于(
)
2,
A
n
−
，
B 两点．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)点C 是y 轴正半轴上的一点，若ABC
的面积为8，求点C 的坐标．
题型五、反比例函数与一次函数的解析式问题
典例5 如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1y
kx
b
=
+ 的图象与反比例函数
2
m
y
x
=
的图象交于A，B 两点，
与y 轴交于点C，已知点
(
)
4, 3
B −
−
，点A 的横坐标为6 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D 是y 轴上一点，且ABD
的面积为20，求点D 坐标．
变式5-1 如图，一次函数y
kx
b
=
+
与反比例函数
(
0)
a
y
x
x
=
的图象交于(
)
1,4
A
，
(
)
3,
B
m 两点．
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(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出
0
a
kx
b
x
+
−
的x 的取值范围；
(3)求AOB
的面积．
变式5-2 如图，一次函数
1
y
k x
b
=
+
与反比例函数
2k
y
x
=
的图象相交于(
)
4
A
a a
−，
，(
)
4,
B
a
−
两点，连接AO ，
BO，并延长AO 交反比例函数图象于点C，直线AB 交x 轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点P 是x 轴上一点，当
4
5
PAC
BOD
S
S
=
时求点P 的坐标．
变式5-3 如图，一次函数y
kx
b
=
+
的图象与反比例函数
m
y
x
=
的图象交于点(
)
3,
8
A
m
−
+
、
(
)
, 6
B n −
两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求AOB
的面积；
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(3)根据函数图象直接写出不等式
m
kx
b
x
+
的解集．
题型六、反比例函数与一次函数的平移问题
典例6 如图，一次函数
(
)
2
0
y
kx
k
=
+
与反比例函数
(
)
>0
m
y
x
x
=
的图象交于点(
)
3,4
A
，与x 轴交于点 B．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将直线沿y 轴方向平移，使平移后的直线与x 轴交于点 C，且
2
OC
OB
=
，求平移后的直线表达式；
(3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得
BOP
△
的面积等于AOB
的面积？若存在，直接写
出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式6-1 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数
1
2
y
x
= −
的图象与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象交于
(
)
,2
A a
，B 两点．
(1)求反比例函数
k
y
x
=
的表达式；
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(2)将正比例函数
1
2
y
x
= −
的图象沿y 轴向上平移，平移后的直线l 与反比例函数
k
y
x
=
的图象在第二象限内
交于点C，当ABC
的面积为10 时，求平移后直线l 的表达式．
变式6-2 我们通过作图知道，一次函数
1
y
x−
=
的图象可以由正比例函数y
x
=
的图象向右平移1 个单位长度
得到；类似的，函数
1
2
y
x
=
+
的图象可以由反比例函数
1
y
x
=
的图象向左平移2 个单位长度得到，那么反比
例函数
1
y
x
=
的图象向右平移3 个单位长度后的图象解析式就是
1
3
y
x
=
−．解决问题：如图，已知反比例函
数
6
y
x
=
的图象与直线
(
)
0
y
ax a
=
交于点
(
)
2,3
A
和点B；
(1)求a 的值，并直接写出点B 的坐标；
(2)若将反比例函数
6
y
x
=
的图象向右平移n（n 为整数，且
0
n
）个单位长度后，图象经过点
3
7, 2
M
．
①求平移后的函数解析式；
②求直线y
ax
=
与平移后的函数
6
y
x
n
=
−
图象的交点坐标，并直接写出不等式
6
ax
x
n
−
的解集．
变式6-3 小华以前在学习一次函数的时候，通过研究发现：将一次函数
(
0)
y
kx k
=
≠
的图像向右平移m 个单
位，再向上平移n 个单位后（
0,
0
m
n
），得到的新的函数表达式为
(
)
y
k x
m
n
=
-
+ ；类似地，将反比例函
数
(
0)
k
y
k
x
=
的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位后（
0,
0
m
n
），得到的新的函数表达式为
k
y
n
x
m
=
+
−
，请运用这一知识解决问题：
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(1)直接运用：函数
3
3
1
y
x
−
=
+
−
的图像可以由函数
3
y
x
−
=
的图像向右平移_____个单位，再向上平移_____个
单位得到，其对称中心的坐标是_________________．
(2)理解运用：如图直线l 和双曲线交于点A、B，其中点A 坐标是(
)
2,2
①求出双曲线的函数表达式；
②将直线l 向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，求出平移后的直线表达式；
③直接写出不等式
4
3
1
2
x
x
−
−
+
的解集．
(3)灵活应用：小华经过研究发现函数
6
2
y
x
−
=
−
的图像也是双曲线，已知点P、Q 分别是两支上的两个动点，
分别过点P、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为M、N，问x 轴上是否存在一个点C，使得
PMC
△
和QNC
的面
积相等，若存在求出点C 坐标及相等的面积，若不存在请说明理由．
题型七、反比例函数与一次函数的翻折问题
典例7 已知直线
1
y
x
m
= −+
+ 与反比例函数
m
y
x
=
（
0
x
，
0
m
）的图象分别交于点A，B ，与x 轴交于
点C ，与y 轴交于点D．
(1)如图①，已知点A的坐标为(
)
1,3 ．
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①求直线AB 的表达式；
②若点P 是反比例函数在第一象限直线AB 上方一点，当ABP
面积为2 时，求点P 的坐标．
(2)如图②将直线CD向右平移2 个单位长度得到直线EF ，将双曲线位于CD下方部分沿直线CD翻折，若翻
折后的图象（图中虚线部分）与直线EF 有且只有一个公共点，求m 的值．
变式7-1 已知，一次函数
1
1
y
k x
b
=
+
与反比例函数
2
2
k
y
x
=
的图象交于
(
)
2,3
A
，
(
)
, 1
B m −
两点．
(1)求反比例函数和一次函数表达式；
(2)若将该反比例函数的图象先向左平移3 个单位长度，再沿y 轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是
______．
变式7-2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y
kx
b
=
+
与x 轴的交点为
(
)
4,0
A
，与y 轴的交点为(
)
0,2
B
，
C 是线段AB 上一点，点D 在线段OA上，将ACD
沿CD翻折，得到
A CD
△
．
(1)求一次函数y
kx
b
=
+
的表达式；
(2)若点A在反比例函数
(
)
3
0
y
x
x
= −
图象上，且A D
OA
⊥
，
(
)
0
2
AD
m
m
=
，求m 的值及点C 的坐标．
变式7-3 一次函数
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
与反比例函数
2
4
y
x
=
交于A、B 两点，点A的横坐标为
(
)
0
m m
，点B 到
x 轴的距离等于点A到y 轴的距离．
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(1)求k 的值；
(2)过点A作y 轴的垂线l ，把直线l 上方反比例函数的图象沿着直线l 翻折，其它部分保持不变，所形成的新
图象称为“G 图象”（不包含直线）．
①若
1
m = 时，求“G 图象”与x 轴的交点坐标；
②过点B 作y 轴的垂线，与y 轴，“G 图象”分别交于
,
N C 两点．若
2
=
BN
CN ，请直接写出m 的值；
③直接写出点A到BC 的最短距离．
题型八、反比例函数与一次函数的旋转问题
典例8 如图，点(
)
,2
P m
为一次函数
1
y
kx
=
+ 与反比例函数
6
y
x
=
图象的交点，将一次函数
1
y
kx
=
+ 的图象绕
点P 逆时针方向旋转45．
(1)求m 的值；
(2)求旋转后新一次函数的表达式．
变式8-1 已知一次函数
2
3
y
x−
=
的图象与某反比例函数图象的一个公共点的横坐标为1．
(1)求该反比例函数的解析式．
(2)将一次函数
2
3
y
x−
=
的图象向上平移4 个单位长度，再将反比例函数的图象以原点O 为中心旋转90，
则旋转后的反比例函数图象与平移后的一次函数的图象是否仍有交点？如果有，求出交点坐标；如果没有，
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请说明理由．
变式8-2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1
y
k x
b
=
+
的图象与反比例函数
2k
y
x
=
的图象交于点(
)
1,6
B −
和点
(
)
, 3
E m −
，交y 轴于点A，以AB 为边在AB 左侧作正方形ABCD．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)求点D的坐标，并判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
(3)把直线BE绕着点A在平面内旋转，设旋转后的直线为B E
，且设直线B E
的一次函数的解析式为
y
kx
b
=
+
，若直线B E
和正方形ABCD只有两个公共点，直接写出旋转后满足条件的直线y
kx
b
=
+
中的k 的
取值范围.( 注：y
kx
b
=
+
中k 的值越大，直线越陡峭，k 的值越小，直线越平缓)
变式8-3 如图1，一次函数
(
)
1
1
0
y
k x
b k
=
+
的图象与反比例函数
(
)
2
2
0
k
y
k
x
=
的图象相交于点(
)
2,3
A
，
(
)
6,
B
m ，且一次函数的图象与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．
(1)求一次函数的表达式以及点C 的坐标．
(2)利用图象，直接写出关于x 的不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集．
(3)如图2，将直线CD绕点C 逆时针方向旋转45，求旋转后所得直线的函数表达式．
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题型九、反比例函数与一次函数无刻度尺作图
典例9 如图，点
(
)
2, 1
A −
−
在反比例函数
k
y
x
=
上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹．
(1)图1 中，作点A关于点O的对称点A；
(2)图2 中，若点(
)
0,3
B
，请作出直线
3
y
x
= −−
．
变式9-1 如图，在平面直角坐标系中，A，B 两点在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，AB 过点O，ABC
是等边
三角形，AC 交x 轴于点D，且D 为AC 的中点．请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写
作法）．
(1)在图①中，在x 轴上找出点F，使四边形ADBF 为矩形，作出矩形ADBF ；
(2)在图②中，作出菱形ACBF ．
变式9-2 在图中，A，B 两点在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，AB 过点O，ABC
是等边三角形，请仅用无刻
度的直尺完成以下作图( 保留作图痕迹).
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(1)图1 中，作AE
BC
⊥
，垂足为点E；
(2)图2 中，点D 为AC 的中点，在x 轴上作出点F，使四边形ADBF 为矩形；
(3)图3 中，在第二象限内作出点G，使四边形ACBG 为菱形．
变式9-3 如图，正方形的一个顶点
(
)
1,3
A −
在反比例函数
3
y
x
−
=
的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直
尺分别在图1 和图2 中按要求画四边形，使B 、C 、D 都在双曲线上．
(1)在图1 中，画一个平行四边形ABCD，并说明画法；
(2)当点B 的坐标为(
)
3,1
−
时，在图2 中画一个矩形ABCD，并证明四边形ABCD为矩形．
题型十、反比例函数与一次函数实际应用
典例10 我省某化工厂2023 年1 月的利润为200 万元，若设2023 年1 月为第一个月，第x 个月的利润为y
万元；由于污染问题，该厂决定从2023 年1 月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1 月底到5
月，y 与x 成反比例关系．到5 月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加
20 万元（如图）．
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(1)分别求出在新技术改造阶段(
)
1
5
x
及新技术改造后(
)
5
x
，y 与x 之间的函数表达式；
(2)若设第3 个月时该厂的利润为
1y ，第4 个月时该厂的利润为
2y ，第7 个月时利润为
3y ，则
1y 、
2y 和
3y 的
大小关系为：________（用“>”连接）；
(3)当月利润少于100 万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？
变式10-1 为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒
药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：
3
mg/m ）与时间x（单位：min ）成正比例函数关系，药物燃
烧完成后，y 与x 成反比例函数关系，函数图像如图所示．
信息窗
1．药物8 分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量
为
3
6mg/m ．
2．空气中的含药量不高于
3
1.6mg/m 时，学生方可回
到教室．
3．当室内空气中的含药量不低于
3
3mg/m 时，对杀灭
病毒有效．
(1)直接写出m，n 的值；
(2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：
(3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？
变式10-2 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释
放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min ）之间的关系如图所示．根据图象所示
信息，解答下列问题：
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(1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于4mg ，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多
少分钟后，学生才能回到教室？
(3)当空气中每立方米含药量不低于6mg 且持续时间不低于20 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为
此次消毒是否有效？并说明理由．
变式10-3 某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时
增加2 千米，4 小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4 千米，然后风速不变，当沙尘
暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．
(2)当4
10
x
时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10 千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该
沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
题型十一、反比例函数与一次函数的新定义应用
典例10 如图，直线y
x
b
=
+
与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象在第一象
限内交于点(
)
4,2
A
．
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(1)求直线y
x
b
=
+
和反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的解析式；
(2)将直线y
x
b
=
+
平移得到直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积是BCO
面积的2 倍，求直线l 的
解析式；
(3)对于点
(
)
,
P c d ，我们定义：当点
(
)
,
M m n 满足m
c
n
d
+
=
+
时，称点M 是点P 的等和点．试探究在反比
例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
图象上是否存在点P ，使点P 的等和点M 在直线y
x
b
=
+
上?若存在，请求出点P 的坐
标；若不存在，说明理由．
变式10-1 定义：以点A 为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2 的正方形边上所有的点称为“A 的关
联点”．在平面直角坐标系中
(1)若点A 为(0,0) ，下列不是“A 的关联点”的是（ ）
A．
1
1, 2
−
B．( 1, 1)
−
−
C．(2, 1)
−
D．2 ,1
3
(2)若点A 为(1,3)
①反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图像上有且只有一个“A 的关联点”，则k =______；
②反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图像上有两个“A 的关联点”，且两关联点的距离为5 ，求k 的值；
③直线y
x
m
=
+
记为l ，l 绕原点顺时针旋转90后的直线记为l，l 和l上都存在“ A的关联点”，直接写出m
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的取值范围．
变式10-2 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P 是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P 分别
作x 轴、y 轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B 为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，
则称点P 是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点
(
)
2,3
C
“美好点”（填“是”或“不是”）；若点
(
)
4,
D
b 是第一象限内的一个“美好点”，则b = ______；
【深入探究】：
（2）①若“美好点”
(
)
,6
E m
（
0
m
）在双曲线
k
y
x
=
（
0
k
，且k 为常数）上，则k = ；
②在①的条件下，
(
)
2,
F
n 在双曲线
k
y
x
=
上，求
EOF
S△
的值．
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点
(
)
,
P x y 是第一象限内的“美好点”．
①直接写出y 关于x 的函数表达式及自变量的取值范围
②对于图象上任意一点(
)
,x y ，求代数式(
)(
)
2
2
x
y
−
−
的值，（直接写出结果）．
变式10-3 对于一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a
x
b
，函数值y 满足m
y
n
，且满足
(
)
n
m
k b
a
−
=
−
，则称此函数为“k 属合函数”．例如：正比例函数
2
y
x
−
=
，当1
3
x
时，6
2
y
−
−，则
(
)
(
)
2
6
3 1
k
−−−
=
−
，求得：
2
k =
，所以函数
2
y
x
−
=
为“2 属合函数”．
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(1)一次函数
1
y
ax
=
−(
)
01
3
a
x
，
为“1 属合函数”，求a 的值．
(2)反比例函数
k
y
x
= （
0
k
a
x
b
，
且0
a
b
），是“k 属合函数”，且
2021
a
b
+
=
，请求出
2
2
a
b
+
的值．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．反比例函数
k
y
x
=
的图象与一次函数
1
y
x
= −+ 的图象交于点(
)
3,t
−
，则t 和k 的值分别是（ ）
A．
4
t =
，
1
k =
B．
4
t =
，
1
k = −
C．
4
t = −，
12
k =
D．
4
t =
，
12
k
−
=
2．如图，直线
2
2
3
y
x
=
+
与反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象在第一象限内的交点为A，且交x 轴于点B，交y
轴于点C．若
2
BC
AC
=
，则k 的值为（ ）
A．4
B．7
3
C．9
2
D．6
3．如图，已知直线l 与x ，y 轴分别交于A，B 两点，与反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象交于C ，D 两点，
连接OC ，OD ．若AOC
和
COD
△
的面积都为6 ，则k 的值是（ ）
A．2
−
B．3
−
C．4
−
D．8
−
4．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数
(
)
0
y
mx m
=
与函数
(
)
0
k
y
k
x
=
交于A、B 两点，
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点C 在x 轴上，且AC
AO
=
，若
12
ABC
S
=
，则k 的值为（ ）
A．4
B．6
C．12
D．24
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
的图象与反比例函数
(
)
=
2
m
y
m
0
x
的图象相交
于第一、三象限内的点𝐴(3,5), 𝐵(𝑎, −3)，与x 轴交于点C ．在y 轴上找一点P 使PB
PC
−
最大，则PB
PC
−
的
最大值为（ ）
A．3 2
B．2 3
C．4
D．2 5
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
(
)
8
0
y
x
x
=
的图象与一次函数
2
y
x
=
−
的图象交于点(
)
,
P m n ，
则代数式1
1
m
n
−
的值为__________．
7．在平面直角坐标系中，若直线y
x
b
=
+
与双曲线
k
y
x
=
（k 为常数，
0
k
）的图象交于点(
)
,b k ，则直线
y
x
b
=
+
与两坐标轴围成的三角形的面积是______．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1
1
y
kx
=
+ （k 为常数，
0
k
）与反比例函数
2
a
y
x
= （a 为常数，
0
a
）
的图象交于A，B 两点．若点A 的纵坐标为4，点B 的横坐标为6
−，则a 的值为________．
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9．如图，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点
(2,1)
A
，过A 作AB
y
⊥
轴于点B，连接OA，直线CD
OA
⊥
，
交x 轴于点C，交y 轴于点D，若点B 关于直线CD的对称点B恰好落在该反比例函数图像上，则D 点纵坐
标为 _____
10．小明将三角尺ABC（
90
ACB
=
，
5
AC
BC
=
=
）摆放在如图所示的直角坐标系中，使得点C 位于(
)
3,0
处，BC 边与x 轴重合，点B 在点C 左侧．将ABC
绕点C 顺时针旋转一定角度后，使点B 的对应点D 落在y
轴上，点A的对应点E 恰好落在第一象限的双曲线
k
y
x
=
上，则k 的值为_____
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
的图象与反比例函数
(
)
2
0
m
y
m
x
=
的图象交于
A，B 两点，与y 轴交于点C ．已知点
(
)
6,2
A
，点B 的纵坐标为3
−．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
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(2)点D是y 轴上一点，连结AD，BD，若ABD
的面积为10，请直接写出点D 的坐标．
12．如图，反比例函数
k
y
x
= （k 是常数）与一次函数
2
y
x
b
= −
+ （b 是常数）的图象相交于点(
)
1,
A
a ，(
)
3,2
B
．
(1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式
2
k
x
b
x −
+
的解集；
(3)一次函数
2
y
x
b
= −
+
的图象与x 轴相交于点C，点P 是反比例函数
k
y
x
=
图像上的动点，连接PO、PC ，
当OPC
的面积为6 时，直接写出点P 的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y
x
b
−
=
+ 的图象与y 轴交于点A，与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的
图象的一个交点为
(
)
,4
B a
，过点B 作BC
x
⊥
轴，垂足为点C ，连接OB ，且
OBC
△
的面积为2 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将一次函数y
x
b
−
=
+ 的图象向下平移2 个单位长度，与BC 相交于点E ，与y 轴相交于点F ，求四边形
ABEF 的面积．
14．如图，在单位长度为1 的网格坐标系中，点B 的坐标为(
)
2,0 ，点C 的坐标为(
)
6,1 ，连接BC ．
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(1)将BC 绕点B 逆时针旋转90，点C 的对应点为A，在网格坐标系内确定点A，并写出其坐标．
(2)若反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点A，则k 的值为______．
(3)连接AC ，将Rt
ABC
△
向下平移，当点C 平移后的对应点C落在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上时，
求平移后点A 的对应点A的坐标．
15．阅读与思考
请仔细阅读下面材料，完成相应问题：
在平面直角坐标系中，过点
(
)
,
P x y （
0
x
，
0
y
）分别作x 轴、y 轴的垂线，若垂线
与两坐标轴围成的矩形的周长与该矩形的面积数值相等，则称这个点为“和谐点”．
例如，点(
)
4,4 ：矩形周长为
(
)
2
4
4
16
+
=
，面积为4 4
16
=
，两者相等，所以(
)
4,4 是
和谐点．
(1)判断：点(
)
5,3 ________和谐点，点
8
8, 3
________和谐点．（填“是”或“不是”）
(2)如图，直线y
x
k
=
+
与y 轴交于点A，与反比例函数
m
y
x
=
的图象交于点
(
)
3,
B
b ，且B 是和谐点，求b 的
值和反比例函数的解析式．
(3)在（2）的条件下，反比例函数
m
y
x
=
的图象上是否存在另一个和谐点Q （不与点B 重合）？若存在，求
四边形AOQB 的面积；若不存在，请说明理由．
