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专题04 一次函数与反比例函数
5 年真题1 年模拟·答案版
考点01 一次函数
1. 0.8
2. （1）解：设可购买绿萝x 盆，吊兰y 盆，
依题意得：
46
9
6
390
x
y
x
y
，
解得：
38
8
x
y
，
答：可购买绿萝38盆，吊兰8 盆；
（2）解：设购买吊兰的数量为m 盆，则购买绿萝的数量为
46
m
盆，
绿萝盆数不少于吊兰盆数的2 倍，
46
2
m
m
，
解得：
46
3
m
，
设购买两种绿植共花费w 元，
由题意得：
6
9 46
3
414
w
m
m
m
，
3
0
k
，
w
随m 的增大而减小，
当
15
m
时，w 取最小值，即花费最少，
3 15
414
369
w
最小
（元），
此时购买吊兰15盆，绿萝46 15
31
（盆），
答：购买吊兰的15盆，绿萝31盆，总花费最少，最少为369元．
考点02 反比例函数
1.A
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2.A
3.-2
4.
2,1
5. -5（答案不唯一）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
A
C
B
C
C
C
B
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
D
A
D
D
B
C
C
D
D
C
题号
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
答案
D
B
C
D
D
B
A
D
D
C
题号
31
32
答案
B
C
33．6
34．334
35．90
36．80
3 /
2
26 3
37．31.5
38．
3
10
y
x
40．1.1
41．9
42．1
43．9
44．3
1
t
或3
5
t
45．3
2
46．②③④
47．0
48．4
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49．2
50．①④/④①
51．
1
2, 2
【详解】（1）解：由图像可知，当小铝块下降10cm ，即当
10cm
x
时，弹簧测力计A 的示数为2.8 N ，弹
簧测力计B 的示数为2.5 N ；
故答案为：2.8 ；2.5 ；
（2）解：当6
10
x
时，设弹簧测力计A 的示数F拉力关于x 的函数解析式为
0
F
kx
b k
拉力
，
将
6,4 和
10,2.8 分别代入F
kx
b
拉力
，得
6
4
10
2.8
k
b
k
b
，解得
0.3
5.8
k
b
，
∴当6
10
x
时，弹簧测力计A 的示数F拉力关于x 的函数解析式为
0.3
5.8
F
x
拉力
；
（3）解：根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N ，当
7
x
时，
0.3
7
5.8
3.7 N
F
拉力
，
4
3.7
0.3 N
，
0.3 N
m
，
当6
10
x
时，设弹簧测力计B 的示数F拉力关于x 的函数解析式为
1
1
1
0
F
k x
b k
拉力
，
将
6,4 和
10,2.5 分别代入
1
1
F
k x
b
拉力
，得
1
1
1
1
6
4
10
2.5
k
b
k
b
，解得
1
1
0.375
6.25
k
b
，
当6
10
x
时，弹簧测力计B 的示数F拉力关于x 的函数解析式为
0.375
6.25
F
x
拉力
，
乙液体中的小铝块所受的浮力也为
0.3 N ，
此时弹簧测力计B 的示数F拉力为
4
0.3
3.7 N
，
当0.375
6.25
3.7
x
时，解得
6.8 cm
x
，
6
0.8 cm
n
x
．
53．(1)
0.25
8
F
h
(2)12cm
【详解】（1）解：设F 与h 之间的函数关系式为F
kh
b
，
由表中数据可知，当
0
h
时，
8.0
F
；当
2
h
时，
7.5
F
，
将这两组数值代入，得
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8
2
7.5
b
k
b
解得
0.25
8
k
b
∴F 与h 之间的函数关系式为
0.25
8
F
h
；
（2）当
5
F
时，
∴5
0.25
8
h
.
解得
12
h
，
∴此时圆柱体下表面浸入水中的深度为12cm．
54．(1)12000 元
(2)86
95
x
【详解】（1）解：当
80
x
时，
20 80
2200
600
y
，
600
80
60
12000
（元），
∴若芒果的售价为80 元/箱，合作社每天芒果的销售利润为2000 元；
（2）解：∵每天的销售量不少于300 箱，
∴20
2200
300
x
，
解得
95
x
，
∵规定芒果的售价不低于86 元/箱，
∴芒果的售价x 应定在86
95
x
．
55．(1)
16
580(
0)
f
h
h
(2)3cm
【详解】（1）解：根据题意可得f 与h 为一次函数的关系，
设
(
0)
f
kh
b k
，
由题意得，
5
500
10
420
k
b
k
b
，
解得
16
580
k
b
，
16
580
0
f
h
h
；
（2）解：在
16
580
f
h
中，当
392
f
时，则392
16
580
h
，
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解得
11.75
h
，
当
440
f
时，则440
16
580
h
，
解得
8.75
h
，
发出音阶为Sol和La 的两个玻璃杯中水位高度差为11.75
8.75
3(cm)
．
故发出音阶为Sol和La 的两个玻璃杯中水位高度差为3cm ．
56．(1)
甲种工具的单价是15元，乙种工具的单价是25 元
(2)
购买这批劳动工具所需的最低费用是1400元
【详解】（1）解：设甲种工具的单价是x 元，则乙种工具的单价是(
10)
x
元，依题意得
300
500
10
x
x
，解得
15
x
；
经检验：
15
x
是原分式方程的解；
当
15
x
时，
10
15 10
25
x
；
答：甲种工具的单价是15 元，乙种工具的单价是25 元；
（2）解：设购买甲种工具m 件，则购买乙种工具(80
)
m
件，所需总费用为w 元，依题意得
15
25(80
)
10
2000
w
m
m
m
，
3(80
)
m
m
，
解得
60
m
，
∵10
0
，
∴w 随m 的增大而减小，
∴当
60
m
时，w 取得最小值，最小值为10 60
2000
1400
（元）；
答：购买这批劳动工具所需的最低费用是1400 元.
57．(1)
1
y
x
ab
证明：
直线OM 的函数表达式为
1
y
x
ab
，
Q
的坐标
1
,a b
满足
1
y
x
ab
，
点Q 在直线OM 上.
(2)证明：连接PR ，交OM 于点S ，如图1，由题意得四边形PQRM 是矩形，
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PR
QM
，
1
2
SP
PR
，
1
2
SM
QM
，
SP
SM
，
1
2
，
3
1
2
2 2
．
PR 是
P 的半径，且
P 的半径是2PO
2
PR
PO
，
1
2
SP
PR
，
PS
PO
，
4
3
2 2
．
PM
x
∥轴，
2
5
，
4
5
3 5
AOB
，即
1
3
MOB
AOB
(3)
3 6
3 2 3 6
3 2
,
2
2
D
；
3 6
3 2 3 6
3 2
,
2
2
D
【详解】（1）解：设直线OM 的函数表达式为y
kx
，
由题意得
90
PQR
QRM
PQR
，
四边形PQRM 为矩形，
1
,
P a a
，
1
,
R b b
，
1
,
M b a
，
1
,
Q a b
，
把点
1
,
M b a
代入y
kx
得
1
k
ab
，
直线OM 的函数表达式为
1
y
x
ab
，
（2）证明：略
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（3）解：当点D 在OC 下方时，以点C 为圆心，以2OC 为半径作弧交函数
9
y
x
的图象交于点R ，分别过
点C 和R 作x 轴、和y 轴的平行线交OD 分别于点M
Q
、
．
联立方程
9
y
x
y
x
，
解得
3
x
，
3
x
（舍去），
3,3
C
，
3 2
OC
，
6 2
CR
由作图可知，
90
CQR
QCM
CQR
，
四边形PQRM 为矩形，
设
3
3 ,
R
a a
，则
3
3
QR
CM
a
，
3
3
CQ
MR
a
，
在Rt
CQR
△
中，
2
2
2
2
2
2
3
(3
3)
3
6 2
CR
CQ
QR
a
a
2
2
1
2
2
6
a
a
a
a
，
2
2
1
1
2
6
a
a
a
a
2
1
1
(
)
2(
)
8
a
a
a
a
，
1
4
a
a
，
1
4
a
a
（负值舍去）
2
4
1
0
a
a
2
3
a
．
3
3
0
QR
CM
a
>
，
1
a
，
2
3
a
（舍去）
2
3
a
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2
3
a
时，
6
3 3,6
3 3
R
，
6
3 3,3
M
，
M 在直线OD 上，设直线OD 的解析式为y
kx
，
3
2
3
6
3 3
y
k
x
联立直线OD 解析式和反比例函数得
2
3
9
y
x
y
x
，
3 6
3 2
2
3 6
3 2
2
x
y
，
3 6
3 2 3 6
3 2
,
2
2
D
．
同理，当点D 在OC 上方，以点C 为圆心，以2OC 为半径作弧交函数
9
y
x
的图象交于点R ，分别过点C 和
R 作x 轴、和y 轴的平行线交OD 分别于点M
Q
、
．
联立方程
9
y
x
y
x
，
解得
3
x
，
3
x
（舍去），
3,3
C
，
3 2
OC
，
6 2
CR
由作图可知，
90
CQR
QCM
CQR
，
四边形PQRM 为矩形，
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设
3
3 ,
R
a a
，则
3
3
QR
CM
a
，
3
3
CQ
MR
a
，
在Rt
CQR
△
中，
2
2
2
2
2
2
3
3
(3 3 )
6 2
CR
CQ
QR
a
a
2
2
1
2
2
6
a
a
a
a
，
2
2
1
1
2
6
a
a
a
a
2
1
1
(
)
2(
)
8
a
a
a
a
，
1
4
a
a
，
1
2
a
a
（负值舍去）
2
4
1
0
a
a
2
3
a
．
3
3
0
CQ
MR
a
>
，
0
1
a
，
2
3
a
（舍去），
2
3
a
时，
6
3 3,6
3 3
R
，
3,6
3 3
M
，
M 在直线OD 上，设直线OD 的解析式为y
kx
，
6
3 3
2
3
3
y
k
x
，
联立直线OD 解析式和反比例函数得
2
3
9
y
x
y
x
，
3 6
3 2
2
3 6
3 2
2
x
y
，
3 6
3 2 3 6
3 2
,
2
2
D
．
58．(1)
2.8
75
y
x
(2)156.2
170.2
y
【详解】（1）解：设身高y 关于肱骨长度x 的函数解析式为y
kx
b
，由表格可把点
28,153.4 , 30,159 代
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入得：
28
153.4
30
159
k
b
k
b
，解得：
2.8
75
k
b
，
∴身高y 关于肱骨长度x 的函数解析式为
2.8
75
y
x
；
（2）解：由（1）可知：身高y 关于肱骨长度x 的函数解析式为
2.8
75
y
x
；
∴当
29
x
时，
2.8 29
75
156.2
y
；当
34
x
时，
2.8 34
75
170.2
y
；
∵2.8
0
，
∴身高y 随肱骨长度x 的增大而增大，
∴当29
34
x
时，则156.2
170.2
y
．
59．(1)A 食品2 包，B 食品3 包
(2)应选用A 食品4 包，B 食品2 包
【详解】（1）解：设选用A 食品x 包，B 食品y 包，根据题意，得：
700
900
4100
10
15
65
x
y
x
y
，
，
解得：
2
3
x
y
，
答：选用A 食品2 包，B 食品3 包．
（2）解：设选用A 食品m 包则选用B 食品
6
m
包，根据题意，得：
10
15 6
70
m
m
，
解得：
4
m
，
设每份午餐的总热量为w KJ ，则：
700
900 6
w
m
m
，
即
200
5400
w
m
，
∵200
0
，
∴w 随m 的增大而减小，
∴当
4
m
时，w 取得最小值，此时6
6
4
2
m
，
∴应选用A 食品4 包，B 食品2 包．
60．(1)
0.04
999.9
V
t
；当温度为200 C
时合金球的体积为
3
1007.9
V
cm
(2)小明的结果更接近最佳表达式，理由
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将
200
t
代入
0.0397
999.95
V
t
，
得
0.0397 200
999.95
1007.89
V
，
∴1007.9 1007.89
0.01,1007.89 1006
1.89
，
∵0.01 1.89
，
∴小明的结果更接近最佳表达式．
【详解】（1）解：设体积V 与温度t 的函数表达式为
(
0)
V
kt
b k
，将
10,1000.3 和
60,1002.3 分别代
入，得
得
10
1000.3,
60
1002.3,
k
b
k
b
解得
0.04,
999.9.
k
b
∴体积V 与温度t 的函数表达式为
0.04
999.9
V
t
．
当温度为200 C
时合金球的体积为
3
0.04
200
999.9
1007.9
V
cm
．
（2）略
61．(1)
12 3
y
x
(2)解：平移后点E 不在反比例函数的图像上，理由如下：
∵
3,4 3
C
，
8
DC
，DC
AB
∥
，菱形ABCD沿x 轴的正方向平移，点D 恰好在反比例函数的图像上，
∴菱形ABCD沿x 轴的正方向平移，此时点D 和点C 重合，
即菱形ABCD沿x 轴的正方向平移8 个单位，点D 恰好在反比例函数的图像上，
∵菱形ABCD中，
∴点E 是AC 的中点，
∵
9,0
A
，
3,4 3
C
，
∴
9
3 4 3
,
2
2
E
，即
3,2 3
E
，
∴平移后点E的坐标为
3
8,2 3
E
，即
5,2 3
E
，
当
5
x
时，反比例函数值为
12 3
5
y
，而
10 3
12 3
2 3
5
5
．
∴平移后点E 不在反比例函数的图像上．
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【详解】（1）解：如图：过点C 作CQ
x
轴于点Q，
∵
9,0
A
，
1,0
B
，
∴
1
9
8
AB
，
1
OB
∵菱形ABCD中，
120
ABC
，
∴
8
BC
AB
DC
，DC
AB
∥
，
180
120
60
CBQ
，
30
BCQ
，
1
4
2
BQ
BC
，
2
2
4 3
CQ
BC
BQ
，
4 1
3
OQ
BQ
BO
，
∴
3,4 3
C
，
∵点C 在反比例函数
k
y
x
的图像上．
3 4 3
12 3
k
，
∴反比例函数的表达式为
12 3
y
x
；
（2）略
62．见详解
【详解】解：对于直线y
kx
b
，
令
0
x
，则y
b
，则点D 的坐标为
0,b ，
令
0
y
，则
b
x
k
，则点C 的坐标为
,0
b
k
，
C
D
b
k
x
x
．
线段CD 的中点的横坐标为1
2
2
b
b
k
k
．
将y
kx
b
，
a
y
x
联立，得
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y
kx
b
a
y
x
整理，得
2
0
kx
bx
a
，
由根与系数的关系可知
A
B
b
k
x
x
，
线段AB 的中点的横坐标为1
2
2
b
b
k
k
．
线段AB 的中点与线段CD 的中点都在直线AB 上，且它们的横坐标相等，
线段AB 的中点与线段CD 的中点重合．
如图，设中点为E，
AE
BE
CE
DE
，
，
AE
CE
BE
DE
，即AC
BD
．
63．(1)
9
k
(2)证明：由题意得，
3
BD
cm
，
3cm
OB
，CD
x
轴
3
3
6
C
x
，代入
9
y
x
得：
3
2
C
y
，
3
2
CD
，
CE
AB
，AB
y 轴，
3
2
E
C
y
y
，
3
2
A
E
AE
y
y
CD
，
直尺为矩形尺子，
AE
CD
∥
，
四边形AEDC 是平行四边形．
【详解】（1）解：
点A 和B 对应的刻度分别为5cm 和2cm ，
5 2
3cm
AB
，
14 / 14
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又
3cm
OB
，AB
y 轴，
3,3
A
，
把
3,3
A
代入
k
y
x
得：3
3
k
解得：
9
k
；
（2）略．
64．(1)证明：设反比例函数
0
k
y
k
x
，分同一象限（即
1
2
,
x x 同号）的情况讨论：
取自变量
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x
，对应的函数值为
1
1
k
y
x
，
2
2
k
y
x
．
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
x
x
k
k
y
y
k
k
x
x
x
x
x x
，
由
1
2
x
x
，得
1
2
0
x
x
；
又∵
1
2
,
x x 同号（同一象限），
∴
1
2
0
x x
，
∴
1
2
1
2
0
x
x
x x
．
当
0
k 时，
1
2
1
2
0
x
x
k
x x
，
即
2
1
0
y
y
，
2
1
y
y
．
结论：在每个象限内，y 随x 的增大而减小．
当
0
k
时，
1
2
1
2
0
x
x
k
x x
，
即
2
1
0
y
y
，
2
1
y
y
．
结论：在每个象限内，y 随x 的增大而增大．
(2)解：
1
2
y
y
，理由：
已知反比例函数
4
y
x
，其中
4
0
k
．
由（1）的结论：当
0
k 时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．
又
1
2
0
x
x
，
∴A ，B 两点在第一象限（同一象限），∴
1
2
y
y
．
