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重难点 09 函数的综合应用题型总结（一次函数的性质
与应用、一次函数的性质与应用、二次函数的图象性质
应用、二次函数的实际应用）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数
在中招考试中的定位。一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选
择、填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性
质进行讨论。反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常
与几何结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等。二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是
必考点，两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，
在实际应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力。二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、
交点问题、动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结。
模型01 一次函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合
性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到。在解题时需要同学们对一次函数
的图象与性质真正理解。所考题型难度中等，相对较容易得分。
答｜题｜技｜巧
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1. 审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
2. 找准自变量和因变量，根据二者之间的关系确定表达式；
3. 列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
4. 求解，求出满足题意的数值。
1．（2024·广东）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，
并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为 ， ，则关于 与 的关系，正确的是
（ ）
A． ， B． ， C． D．
1．已知一次函数 的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 随 的增大而减小
D．图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小
2．已知 ，则一次函数 的图象大致是（ ）
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A． B．
C． D．
3．已知一次函数 和 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 的方程组
的解为（ ）
A． B． C． D．
4．对于某个一次函数 ，两位同学谈论了此函数的部分特点，根据对话下列判断错误的选
项为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一次函数 与坐标轴分别交于A、B两点，点P、C分别是线段 ， 上的点，且
， ，则点P的坐标为 ．
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6．一次函数 与 的图象如图所示，其交点为 ，则不等式 的解集为
．
7．新定义：若函数图象恒过点 ，我们称 为该函数的“永恒点”．如：一次函数
，无论 值如何变化，该函数图象恒过点 ，则点 称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数 的定点的坐标是__________；
【理解应用】二次函数 落在 轴负半轴的定点 的坐标是__________，落在
轴正半轴的定点 的坐标是__________；
【知识迁移】点 为抛物线 的顶点，设点 到直线 的距离
为 ，点 到直线 的距离为 ，请问 是否为定值？如果是，请求出 的值；如果
不是，请说明理由．
模型02 反比例函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为
知识残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分。从考点频率看，反比例函数中的 K值和三
角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。从题型角度看，以
解答题为主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
1. 根据图象特点求解反比例的表达式；
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2. 判定反比例函数的几何意义以及与其它函数或几何图形的关系；
3. 求解反比例函数中几何特性、动点问题讨论；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2024·江苏）反比例函数 ，当 时，函数 的最大值和最小值之差为
4，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
1．关于反比例函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限
C．当 时，y随x的增大而增大 D．当 时，
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 ， 在反比例函数 的图象上，对
角线 平行于 轴，坐标原点 为 的中点，若 ，则 的值为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
3．如图，在反比例函数 的图象上任取一点 ，过点 作 轴交反比例函数
的图象于点 ， 是 轴负半轴上一点，连接 ， ，则 的面积为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
4．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积 的反比例
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函数，其图象如图所示．此函数的解析式为 ，则n的值为 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形 在第一象限内，边 与 轴平行， 两点纵坐标分别为
6，4，反比例函数 的图象经过A，B两点．若菱形 的面积为 ，则菱形 的边长为
， 的值为 ．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点
， ，与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出 时，x的取值范围．
(3)求 的面积．
7．如图，在矩形 中， ，F是 上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比
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例函数 的图象与 边交于点E．
(1)当F为 的中点时，求该函数的解析式；
(2)当k为何值时， 的面积为 ．
8．如图，已知直线 与反比例函数 的图象交于点A，B，点A的横坐标为 ，点B的
横坐标为2；
(1)求k和b的值；
(2)若点C在反比例函数 第一象限内的图象上，直线 与直线 交于点M，且 ，
求点C的坐标；
(3)若点C在反比例函数 第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，
B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
模型03 二次函数的图象性质应用
考｜向｜预｜测
二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形
式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问
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题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例。
答｜题｜技｜巧
1. 一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；
2. 用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；
3. 结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，
4. 结合其它相关知识解题；
1．（2023·河南）对于二次函数 的图象，下列说法错误的是
（ ）
A．开口向上
B．顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而增大
D．对称轴是直线
1．如图所示为二次函数 的图象，对称轴是直线 ，下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
2．如图，二次函数 的图象与 轴的一个交点坐标为 ．已知点 ， ，将
函数图象向上平移 个单位长度，若平移后的函数图象与线段 只有一个公共点，则 的取值范围为
（ ）
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A． 或 B． 或
C． D． 或
3．如图是二次函数 （a、b、c是常数， ）图象的一部分，与x轴的交点A在点 和
之间，对称轴是直线 ．对于以下说法：① ；② ；③ ；④
（m为实数)；⑤当 时， ，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
4．二次函数 的图象如图所示，点 位于坐标原点， ， ， ，…， 在y 轴的正半轴上，
， ， ，…， 在二次函数 第一象限的图象上，若 ， ， …，
都是等边三角形 ，则 的周长是（ ）
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A．6078 B．6075 C．6072 D．6069
5．设二次函数 （ 是常数），已知函数值 和自变量 的部分对应取值如表所示．
．．． 0 1 2 ．．．
．．． 1 1 ．．．
(1)若 ，求二次函数的表达式．
(2)若当 时， 有最小值 ，求 的值．
(3)求证： ．
模型04 二次函数的实际应用
考｜向｜预｜测
二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题
目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内
容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，
二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己
的计算不要有失误。
答｜题｜技｜巧
1. 理解题意，根据题意求二次函数的表达式，一般应用顶点式；
2. 根据题意，求解二次函数的交点坐标、最值等进行相关判断；
3. 根据实际情况进行讨论，一般涉及到二次函数性质应用；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
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1．（2024·江苏扬州）冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练
中从 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为 ，与跳台底部所在水
平面的竖直高度为 ， 与 的函数关系式为 ，当他与跳台边缘的水平距
离为 时，竖直高度达到最大值．
1． 问题提出
若一元二次方程 的两根为 ， ，我们可以由一元二次方程根与系数的关系得 ，
．
已知方程 的两根为 ， ，则 ， ．
探究引申
若多项式 中，存在 ， ，则多项式 可在实数范围内分解因式，分解结
果为 ，而其中 ． 即为一元二次方程 的两根．例如：把多项式
分解因式，可以令 ，解该方程得 ， ，故多项式 在实
数范围内可分解为 ．
请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式．
（1） ．
（2） ．
应用拓展
已知二次函数 与 轴的两个交点坐标分别为 和 ，请直接写出该抛物线的解析式．
2．【定义】函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标
差”的最大值称为该函数的“特征值”
【感悟】根据你的阅读理解回答问题：
（1）点P （2，1）的“坐标差”为 ；（直接写出答案）
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（2）求一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；
【应用】（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，
若此二次函数的“特征值”为﹣1，当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，求m．
3．【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面 时，水面宽 ，并画出了拱桥截
面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条
的直线 ，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线 上方抛物线上一动点，过B作 垂直于x轴，交x轴于A，交直线 于C，过点
B作 垂直于直线 ，交直线 于D，求 的最大值．
②如图3，G为直线 上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存
在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．【问题背景】已知二次函数 （m为常数）．
数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛．以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁
为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏．
(1)我国著名数学家 说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事
休．”（请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
A．华罗庚 B．陈景润 C．苏步青 D．陈省身
(2)若该二次函数的对称轴为 ，关于x的一元二次方程 （t为实数）在
的范围内无解，则t的取值范围是 ．
(3)若该二次函数自变量x的值满足 时，与其对应的函数值y的最小值为 ，则m的值为 ．
【拓展应用】
(4)当 时，二次函数图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D与原点O
关于直线BC对称，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接OE并延长交射线CD于点F，连接
DE， 为等腰三角形时，求线段DF的长．
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1．如图，是反比例函数 和 在第一象限的图象，直线 轴，并分别交两条双曲线
于 、 两点，若 ，则 的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图是反比例函数 的图象，点 ，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，
依次截取 ，过点 ， ， ， 分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图
象于点 ， ， ， ．按照上述方法则线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为
2，当 时，x的取值范围是（ ）
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A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
4．如图，入射光线 遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线 交x轴于点 ，若光线 满
足的一次函数关系式为 ，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一次函数 ．
（1）当 时，则 ；
（2）当 时，自变量 的负整数值恰好有2个，则 的取值范围为 ．
6．如图，一次函数 的图象与x轴交于点A．
(1)求出点A的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，求k的取值范围．
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7．如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点
．
(1)求直线 的函数关系式；
(2)直线 与反比例 的图象交于点 ，与直线 交于点 ，连接 ，点 是直线 上一
动点，当 时，求点 的坐标：
(3)在（2）条件下，过点 作 轴于点 ，点 是 轴上一点，且 ，请求出所有符合
条件 点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
8．如图正比例函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点．
(1)求反比例函数的表达式和 点坐标；
(2)直接写出 时 的取值范围；
(3)若点 是第二象限反比例函数图象上一点，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 、交直线 于点 ，
若三个点 、 、 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点 、 、 三点为“和谐点”，直
接写出使点 、 、 三点成为“和谐点”的 的坐标．
9．【定义与性质】
如图1，记二次函数 和 的图象分别为抛物线 和 ，且与 轴都
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有两个交点．
定义：若抛物线 的顶点 为抛物线 的顶点 关于抛物线 与 轴交点 的对称点，则称
是 关于点 的对称抛物线，简称 是 的对称抛物线．
性质：①一条抛物线有2条对称抛物线；
②若 是 的对称抛物线，则 也是 的对称抛物线，
【理解与运用】
(1)试说明二次函数 的其中1条对称抛物线为 ；
【思考与探究】
(2)设抛物线 的函数表达式为 ．若该抛物线与 轴交于 ， 两点（且点 在点 的右侧）．
①若抛物线 关于点 的对称抛物线 与 轴的另一个交点为 ，其中 ，求 的取值
范围；
②如图2，抛物线 关于点 的对称抛物线 的顶点为 ，试问当 ， 满足什么关系时， 为等边
三角形．
10．已知二次函数 的图像经过点 ，点 是此二次函数的图像上的两个
动点．
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(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作 轴于点
C，交 于点D，连接 ．若 ，求证 的值为定值，并求出此值；
(3)如图2，点P在第二象限， ，若点M在直线 上，且横坐标为 ，过点M作 轴于
点N，求线段 长度的最大值．
11．情境阅读：初三第一次考试10月份阶段评价马上来临，小明同学在数学复习时，再读了九年级上册书
中“一元二次方程”的“数学活动”，重新思考了“活动围长方形”下图呈现的是“活动围长方形”的介
绍及“小明发现”的内容：
请根据“小明发现”，分别应用一元二次方程和二次函数来解决以下问题：
“能围出面积为 的长方形吗？”（注：此题给出两种解决方法和能给满分）
12．方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与
不等式.观察表格：
… 0 1 2 3 …
… 1 4 7 10 …
… 0 4 3 0 …
(1)【数学观察】根据表中信息填空： ______；
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(2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数
的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数 的图象；
(3)【独立思考】
①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是______；
②方程 的解为______；
③不等式 的解集是______；
(4)【归纳总结】若二次函数 的图象与一次函数 的图象相交，则交点
的______坐标可以看成关于 的方程 的解；
(5)【巩固应用】若二次函数 的图象与一次函数 的图象只有一个交点，则关于 的方
程 的解是______．（直接写出结果）
1．如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点E、点F，与 的图象交于点M，
且点M的横坐标为 ．
(1)求m的值与 的长；
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(2)若点Q为x轴上一点，且 ，求点Q的坐标.
2．如图，正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，一次函数图象经过点
，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)求 的面积．
(4)不解关于x、y的方程组 ，直接写出方程组的解．
3．如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 ，点 是线段
上的任意一点，过点 作直线 轴，直线 交直线 于点 ，交直线 于点 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)当 时，求 的面积．
4．如图，正比例函数 与一次函数 的图象互相平行，且一次函数图象经过点 ，与
轴相交于点 ．
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(1)求一次函数的表达式；
(2)求 的长；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使得 为等腰三角形．如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的
坐标．
5．如图，在直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象限内的
、 两点，与y轴交于点C，过点A作 轴，垂足为M， ， ，点B的纵坐标为 ．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式：
(2)结合函数图象，直接写出 时，x的取值范围；
(3)连接 、 ．若点P为图中双曲线上的一点，且 ，请直接写出点P的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两
点，与y轴交于点C．
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(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象，请直接写出当 时，自变量x的取值范围；
(3)连接 ，若点P是x轴上一点，且 的面积是 面积的2倍，求点P的坐标．
7．已知抛物线 ，（ ）．
(1)求该二次函数的顶点坐标（用含 式子表示）；
(2)若 的值为1时，该二次函数的图象与 轴交于 、 两点（点 在点 左边），与 轴交于点 ，在
对称轴上是否存在点 ，使得 为 ，若存在，请求出点 坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若 的值为1时，把该二次函数的图象往上平移 个单位长度后，当 时，该二次函数上存在两
个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求 的取值范围．
8．对于二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这
两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线
E上的点B（2，n），请完成下列任务：
【尝试】
⑴判断点A是否在抛物线E上；
⑵求n的值．
【发现】通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，请你求出定点
的坐标．
【应用】二次函数y＝﹣3x2+8x﹣5是二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”
吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
21
