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专题04 反比例函数与一次函数结合应用的十一类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数与一次函数图像结合
题型二、反比例函数与一次函数的交点问题
题型三、反比例函数与一次函数的不等式问题
题型四、反比例函数与一次函数的面积问题
题型五、反比例函数与一次函数的解析式问题
题型六、反比例函数与一次函数的平移问题
题型七、反比例函数与一次函数的翻折问题
题型八、反比例函数与一次函数的旋转问题
题型九、反比例函数与一次函数无刻度尺作图
题型十、反比例函数与一次函数实际应用
题型十一、反比例函数与一次函数的新定义应用
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
类别 具体内容
核心
知识
点
1. 交点坐标求解：联立一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=
x
a （a≠0）的解析式，
解一元二次方程得到交点横坐标，再代入求纵坐标，交点个数对应方程根的个数（0
个、1 个、2 个）
2. 图形位置判断：根据k₁（一次函数斜率）、k₂（反比例函数比例系数）的符号，判断
两个函数在坐标系中的大致位置：k₁、k₂同号时两个函数有两个交点，异号时可能无交
点；结合一次函数截距可进一步确定具体象限分布
3. 面积问题计算：利用反比例函数比例系数k 的几何意义（过反比例函数图象上任意
一点作x、y 轴垂线，矩形面积为|k|），结合坐标法计算三角形、多边形面积，常用割
补法转化为规则图形面积计算
目 录
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4. 不等式解集求解：根据两个函数图象的上下位置关系，直接确定不等式kx+b >
x
a（或
<）的解集，解集为对应x 的取值范围，分x>0 和x<0 两个区间讨论
5. 实际应用建模：在行程、工程、经济等实际问题中，分别抽象出一次函数与反比例
函数模型，结合函数性质解决最值、方案选择问题
常见
易错
点
1. 联立方程求解后，忽略检验根的有效性：反比例函数自变量x≠0，增根或x=0 的根
需要舍去，容易误算交点个数
2. 判断函数位置时，混淆两个函数的系数符号：容易将反比例函数k 的符号套用到一
次函数斜率上，导致象限判断错误
3. 面积计算时，忽略坐标符号错误：直接用坐标数值计算未加绝对值，导致面积结果
为负，或分割图形时顶点坐标对应错误导致计算错误
4. 不等式解集漏解：讨论不等式解集时，只考虑x>0 区间，漏掉x<0 区间的解，或混
淆图象上下位置对应的不等号方向，导致解集错误
5. 实际应用中忽略自变量取值范围：反比例函数实际问题中x 往往取正数，容易扩大
取值范围导致结果错误
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、反比例函数与一次函数图像结合
典例1 函数
k
y
x
=
与
0
y
kx
k k
= −
+
（
）在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】根据一次函数y
kx
k
=
+
的图象经过的象限判断k 的取值范围，再根据k 的取值范围判断反比例函
数经过的象限是否符合要求．
【详解】解：A 选项：一次函数y
kx
k
= −
+
的图象经过第一、二、三象限，
0
k
−
，即
0
k
，
一次函数y
kx
k
= −
+
的图象与y 轴的交点(
)
0,k 应在y 轴的负半轴，
故A 选项错误；
B 选项：一次函数y
kx
k
= −
+
的图象经过第一、二、四象限，
0
k
−
，即
0
k
，
一次函数y
kx
k
= −
+
的图象与y 轴的交点(
)
0,k 应在y 轴的正半轴，
反比例函数
k
y
x
=
应在第一、三象限，
故B 选项正确；
C 选项：一次函数y
kx
k
= −
+
的图象经过第一、二、四象限，
0
k
−
即
0
k
，
一次函数y
kx
k
= −
+
的图象与y 轴的交点(
)
0,k 应在y 轴的正半轴，
反比例函数
k
y
x
=
应在第一、三象限，
故C 选项错误；
D 选项：一次函数y
kx
k
= −
+
的图象经过第一、三、四象限，
0
k
−
即
0
k
，
一次函数y
kx
k
= −
+
的图象与y 轴的交点(
)
0,k 应在y 轴的负半轴，
反比例函数
k
y
x
=
应在第二、四象限，
故D 选项错误．
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变式1-1 在同一直角坐标系中，函数y
kx
k
=
−与
2k
y
x
=
（
0
k
）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分两种情况当
0
k
或
0
k
时，函数图象所经过的象限进行判断即可.
【详解】解：当
0
k
时，y
kx
k
=
−
的图象经过一、三、四象限，
2k
y
x
=
的图象经过一、三象限，B 符合题
意；
当
0
k
时，y
kx
k
=
−
的图象经过一、二、四象限，
2k
y
x
=
的图象经过二、四象限，A,C,D 不符合题意.
变式1-2 如图，过原点的直线与双曲线
k
y
x
=
交于
,
A B 两点，点C 在x 轴上，且AC
OA
=
，若
8
ABC
S
=
△
，则
k 的值为_____．
【答案】4
【分析】作AD
OC
⊥
于D，根据反比例函数系数k 的几何意义得到
1 |
|
2
AOD
S
k
=
△
，利用正比例函数和反比
例函数的性质得到点A与点B 关于原点对称，OA
OB
=
，即可得到
4
AOC
S
=
，由
1
2
AC
AB
=
得到OA
AC
=
，
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根据等腰三角形三线合一，得出OD
CD
=
，即可得出
1 |
| 2
2
AOD
S
k
=
=
△
，从而求得
4
k =
．
【详解】作AD
OC
⊥
于D，
过原点的直线AB 交双曲线
k
y
x
=
于A、B 两点，
点A与点B 关于原点对称，OA
OB
=
，
8
ABC
S
=
△
，
4
AOC
S
=
，
AC
OA
=
，
OD
CD
=
，
1
2
2
AOD
AOC
S
S
=
=
△
△
，
1 |
|
2
AOD
S
k
=
△
，
|
| 4
k
= ，
0
k
，
4
k
=
．
变式1-3 如图，已知A为直线y
x
=
上一点，过点A作BA
OA
⊥
交反比例函数
k
y
x
=
于点B ．若
2
2
16
OA
AB
−
=
，
则k 的值是______．
【答案】8
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以
及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
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延长AB 交x 轴于点C ，过点A作AD
x
⊥
轴于点D ，可得ADO
，
AOC
均为等腰直角三角形，设点A的
坐标为(
)
,a a ，可得点C 的坐标为(
)
2 ,0
a
，可得直线AC 函数解析式，设点B 的横坐标为b ，则可得点B 的
坐标，计算出
2
2
OA
AB
−
，由
2
2
16
OA
AB
−
=
即可求解出k 的值．
【详解】解：如图，延长AB 交x 轴于点C ，过点A作AD
x
⊥
轴于点D ，
∵A为直线y
x
=
上一点，
∴AD
OD
=
，
∴
45
AOD
=
，
∴ADO
，AOC
是等腰直角三角形，
∴
2
OC
OD
=
，
设点A的坐标为(
)
,a a ，则
2
2
OC
OD
a
=
=
，
∴点C 的坐标为(
)
2 ,0
a
，
设直线AC 函数解析式为y
mx
n
=
+
，
把
(
)
,
A a a 、
(
)
2 ,0
C
a
代入得，
0
2
a
am
n
am
n
=
+
=
+
，
解得
1
2
m
n
a
= −
=
，
∴直线AC 函数解析式为
2
y
x
a
= −+
，
设点B 的横坐标为b ，则
(
)
,2
B b
a
b
−
，
∴
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
OA
AB
a
b
a
a
b
a
b
a
b
−
=
−
−
+
−−
=
−
，
∵
2
2
16
OA
AB
−
=
，
∴(
)
2
8
b
a
b
−
=
，
∵点B 在反比例函数
k
y
x
=
图象上，
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∴
8
k = ．
故答案为：8．
类型二、反比例函数与一次函数的交点问题
典例2 反比例函数
2
y
x
= −
的图像与一次函数
2
y
x
=
的图像（ ）
A．没有交点
B．有一个交点
C．有两个交点
D．有三个交点
【答案】A
【分析】根据反比例函数与正比例函数的解析式判断出函数图像所经过的象限，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数
2
y
x
= −
的图像位于第二、四象限，
一次函数
2
y
x
=
的图像过一、三象限，
∴两图像没有交点．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数
关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；方程组无解，则两者无交点．理解和掌握正比例
函数与反比例函数的性质及图像是解题的关键．
变式2-1 若
(
)
1,2
P −
是反比例函数
2
1
m
y
x
−
=
与正比例函数y
nx
=
的一个交点，那么两函数的另一交点Q 点
坐标应为（ ）
A．(
)
1, 2
−
B．(
)
1, 2
−−
C．3, 2
2
−
D．3 ,2
2
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是掌握：正比例函数与反比例函
数图象的交点关于原点对称．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是
(
)
1,2
P −
，
∴另一个交点的坐标是
(
)
1
2
Q
−
，
．
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故选：A．
变式2-2 若
(
)
1,2
P −
是反比例函数
2
1
m
y
x
−
=
与正比例函数y
nx
=
的一个交点，那么两函数的另一交点Q 点
坐标应为___________
【答案】(
)
1, 2
−
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是掌握：正比例函数与反比例函
数图象的交点关于原点对称．据此即可求解．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是
(
)
1,2
P −
，
∴另一个交点的坐标是
(
)
1, 2
Q
−
．
故答案为：(
)
1, 2
−
．
变式2-3 如图，直线
2
y
x
=
与反比例函数
k
y
x
=
的图象的一个交点坐标为(
)
2 4
，，则它们的另一个交点坐标为
____________．
【答案】(
)
2, 4
−
−
【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标 ．
正比例函数与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，写出已知交点关于原点的对称点的坐标即可 ．
【详解】解：直线
2
y
x
=
与反比例函数
k
y
x
=
的图象的两个交点关于原点对称，
∵一个交点坐标为(
)
2,4 ，
∴另一个交点坐标为(
)
2, 4
−
−
，
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故答案为：(
)
2, 4
−
−
．
题型三、反比例函数与一次函数的不等式问题
典例3 如图，函数
1
1
5
2
y
x
= −
+ 与
2
(
0)
k
y
x
x
=
的图象相交于(
)
4,
A
m ，
(
)
,2
B n
两点，当
1
2
y
y
时，x 的取
值范围是（ ）
A．4
6
x
B．4
8
x
C．4
7
x
D．
4
x
【答案】A
【分析】先将A、B 两点代入函数
1y ，求出n 的值，再结合图象，根据函数
1y 的图象在函数
2y 的图象上方
部分对应的自变量取值直接作答即可．
【详解】解：将(
)
4,
A
m ，
(
)
,2
B n
两点代入
1
1
5
2
y
x
= −
+ ，
得
1
4
5
3
2
m = −
+
= ，
1
5
2
2 n
−
+
=
，
解得：
6
n =
，
(
)
4,3
A
，
(
)
6,2
B
，
由图象可知，当4
6
x
时，函数
1y 的图象在函数
2y 的图象上方，
当
1
2
y
y
时，x 的取值范围是4
6
x
．
变式3-1 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数
1y
kx
b
=
+ （k ，b 是常数，且
0
k
）与反比例函数
2
c
y
x
=
（c 是常数，且
0
c
）的图象相交于(
)
3, 2
A
−
−
，
(
)
2,3
B
两点，则不等式
1
2
y
y
的解集是（ ）
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A．3
2
x
−
B．
3
x
或
2
x
C．3
0
x
−
或
2
x
D．0
2
x
【答案】C
【详解】解：由函数图象可知：不等式
1
2
y
y
的解集为3
0
x
−
或
2
x
．
变式3-2 如图，一次函数
( ,
y
kx
b k b
=
+
为常数，
0)
k
的图象与反比例函数
(
m
y
m
x
=
为常数，
0)
m
的图象交
于点A和B ，已知点A的坐标是(
)
4,1
−
，点B 的坐标是(
)
2, 2
−
．根据函数图象直接写出关于x 的不等式
m
kx
b
x
+
的解集为__________．
【答案】
4
x
−
或0
2
x
【分析】结合函数图象，可以得到当x 在A的左边或者在O和B 之间时，满足不等式
m
kx
b
x
+
，求解即可．
【详解】解：一次函数y
kx
b
=
+
与反比例函数
m
y
x
=
的图象交于点A和B ，
又∵点A的坐标是(
)
4,1
−
，点B 的坐标是(
)
2, 2
−
，
∴根据函数的图象得：关于x 的不等式
m
kx
b
x
+
的解集为
4
x
−
或0
2
x
．
变式3-3 如图，一次函数
1
y
k x
b
+
＝
的图象与坐标轴交于(
)
4,0
A −
和
(
)
0,2
B
，与反比例函数
2k
y
x
=
的图象相
交于C，D 两点，过点C 作x 轴的垂线，垂足是E，
2
OA
OE
＝
，连接DE ．
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(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出关于x 的不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集．
【答案】(1)一次函数解析式为
1
2
2
y
x
=
+
，反比例函数的解析式为
6
y
x
=
(2)
6
0
x
−
或
2
x
【分析】（1）将点A 和点B 坐标代入
1
y
k x
b
+
＝
即可解得一次函数的解析式，再求出点C 坐标为(
)
2,3 ，进
而求得反比例函数的解析式；
（2）联立
1
2
2
y
x
=
+
和
6
y
x
=
解出点D 坐标，再结合图像判断不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集．
【详解】（1）解：将点A 和点B 坐标代入
1
y
k x
b
+
＝
得，
1
4
0
2
k
b
b
−
+
=
=
，
解得
1
1
2
2
k
b
=
=
，
∴一次函数解析式为
1
2
2
y
x
=
+
，
∵点A的坐标是(
)
4,0
−
，
∴
4
4
OA = −
=
，
∵
2
OA
OE
＝
，
∴
1
2
2
OE
OA
=
=
，
∵过点C 作x 轴的垂线的垂足是E，且点C 在第一象限，
∴点C 的x 坐标为2 ，
将
2
x＝代入
1
2
2
y
x
=
+
得，
3
y＝，
∴点C 坐标为(
)
2,3 ，
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将点C 坐标代入反比例函数解析式得，
2
2 3 6
k
＝
＝，
∴反比例函数的解析式为
6
y
x
=
．
（2）解：联立
1
2
2
y
x
=
+
和
6
y
x
=
，得1
6
2
2 x
x
+
=
，
解得
2
x＝或6
−，
当
6
x
−
＝
时，
1
y＝−，
∵点D在第三象限，
∴点D 坐标为(
)
6, 1
−
−
，
由函数图象可知，
当6
0
x
−
或
2
x
时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即
2
1
k
k x
b
x
+
，
∴不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集为6
0
x
−
或
2
x
．
题型四、反比例函数与一次函数的面积问题
典例4 如图，点A、B 是反比例函数
k
y
x
=
(
)
0
k
图象上的两点，延长线段BA交y 轴于点C ，且点A为线
段BC 中点，连接OA、OB ，若
3
ACO
S
=
，则k 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】设A点坐标为
, k
a a
，由A是BC 中点且C 在y 轴上推出B 点坐标，再求直线AB 解析式得到C 点
纵坐标，最后利用三角形面积列方程求k ．
【详解】解：设
, k
A a a
，其中
0
a
．
点A是线段BC 的中点，点C 在y 轴上，设
(0, )
C
c ，
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由中点公式，
0
2
B
x
a
+
=
，解得
2
B
x
a
=
．
又点B 在
k
y
x
=
的图象上，
∴
2 , 2
k
B
a
a
．
设直线AB 的解析式为
(
)
0
y
mx
n m
=
+
，
将
, k
A a a
、
2 , 2
k
B
a
a
代入，得：
2
2
k
ma
n
a
k
ma
n
a
=
+
=
+
，
解得
2
2
k
m
a
= −
，
3
2
k
n
a
=
．
直线AB 的解析式为
2
3
2
2
k
k
y
x
a
a
= −
+
．
令
0
x =
，得
3
2
k
y
a
=
，即
3
0, 2
k
C
a
．
由题意，ACO
以y 轴上的OC 为底，点A的横坐标a 为高，
1
1
3
3
2
2
2
4
ACO
k
k
S
OC a
a
a
=
=
=
．
3
ACO
S
=
，
3
3
4
k
= ，解得
4
k =
．
变式4-1 平面直角坐标系xOy 中，直线y
ax
=
与双曲线
(
)
0
k
y
k
x
=
相交于
,
A B 两点，以A为圆心，AB 长为
半径画弧，交过点B 且平行于x 轴的直线于点C ，作CD垂直于x 轴交双曲线于点D ．若BCD
的面积为16，
则k 的值等于（ ）
A．6
B．8
C．12
D．16
【答案】A
【分析】本题利用正比例函数与反比例函数交点关于原点对称的性质，设
(
)
,
0
k
A m
m
m
然后用m 和k 表
示出点B 、点C 、点D的坐标，再利用直角三角形面积公式列方程求解k ．
【详解】解：如图，作AM
BC
⊥
于点M ，设BC 交y 轴于点N ，
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直线y
ax
=
过原点，双曲线
(
0)
k
y
k
x
=
关于原点对称
交点
,
A B 关于原点对称 设
(
)
,
0
k
A m
m
m
，则
,
k
B
m
m
−
−
由题意得AC
AB
=
，BC
x
轴，
∴C 点纵坐标与B 点纵坐标相同，且
2
BM
CM
m
=
=
，
∴
3
CN
m
=
∴
3 ,
k
C
m
m
−
CD
x
⊥
轴，
D
点横坐标为3m，又D在双曲线上，得
3 , 3
k
D
m
m
BC
x
∥轴，CD
x
⊥
轴，
BC
CD
⊥
，
BCD
是直角三角形 计算得
(
)
3
4
BC
m
m
m
=
−−
=
，
4
3
3
k
k
k
CD
m
m
m
=
−−
=
，
∴
Δ
1
1
4
8
4
2
2
3
3
BCD
k
k
S
BC CD
m
m
=
=
=
由题意
Δ
16
BCD
S
=
，
8
16
3
k
=
，
解得
6
k =
．
变式4-2 如图，一次函数
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
的图象与反比例函数
(
)
2
0
a
y
a
x
=
的图象交于点(
)
2, 5
A
−
−
，
(
)
5,
C
n ，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．连接OA，OC ，则
AOC
S
=
△
______．
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【答案】21
2
【分析】先把
(
)
2, 5
A
−
−
代入
2
a
y
x
=
得
10
a =
，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出
点C 的坐标，再将点A和点C 的坐标求出一次函数的表达式，当
0
y =
时，求出点D ，得到OD 的值，再由
AOC
DOC
AOD
S
S
S
=
+
即可得到答案．
【详解】解：如图，连接OA，OC ，
∵把
(
)
2, 5
A
−
−
代入
2
a
y
x
=
得
10
a =
，
∴
2
10
y
x
=
，
把
(
)
5,
C
n 代入
2
10
y
x
=
得
2
n =
，
∴
(
)
5,2
C
，
把A C
、
的坐标代入
1y
kx
b
=
+ 得
2
5
5
2
k
b
k
b
−
−
+
=
+
=
，
解得：
1
3
k
b
=
= −
，
∴
1
3
y
x−
=
，
当
0
y =
时，
3
0
x−
=
，得
3
x =
，
∴
(
)
3,0
D
，
∴
3
OD = ，
∴
1
1
21
3 2
3
5
2
2
2
AOC
DOC
AOD
S
S
S
=
+
=
+
−
=
．
变式4-3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数
(
)
0
y
kx k
=
与反比例函数
4
y
x
=
的图象交于(
)
2,
A
n
−
，
B 两点．
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(1)求正比例函数的解析式；
(2)点C 是y 轴正半轴上的一点，若ABC
的面积为8，求点C 的坐标．
【答案】(1) y
x
=
(2)(
)
0,4
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据
8
COA
COB
S
S
+
=
代入求解即可．
【详解】（1）解：
(
)
2,
A
n
−
在反比例函数
4
y
x
=
的图象上，
4
2
2
n
=
= −
−
，则(
)
2, 2
A
−
−
，
点
(
)
2, 2
A
−
−
在正比例函数
(
)
0
y
kx k
=
的图象上，
(
)
2
2
k
−=
−
，则
1
k = ，
∴正比例函数的解析式为y
x
=
；
（2）解：联立y
x
=
和
4
y
x
=
得
4
x
x
=
，即
2
4
x =
，则
2
x = ，
∴
(
)
2,2
B
，
ABC
的面积为8，即
COA
COB
ABC
S
S
S
+
=
△
△
，
(
)
1
2
2
8
2 OC
+
= ，
4
OC
= ，
∵点C 是y 轴正半轴上的一点，
点C 的坐标为(
)
0,4 ．
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题型五、反比例函数与一次函数的解析式问题
典例5 如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1y
kx
b
=
+ 的图象与反比例函数
2
m
y
x
=
的图象交于A，B 两点，
与y 轴交于点C，已知点
(
)
4, 3
B −
−
，点A 的横坐标为6 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D 是y 轴上一点，且ABD
的面积为20，求点D 坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为
1
1
1
2
y
x
=
−，反比例函数的解析式为
2
12
y
x
=
．
(2)点D的坐标为(0,3) 或(0, 5)
−
．
【分析】（1）先用点
( 4, 3)
B −
−
求出反比例函数中的m ，再由点A的横坐标求出点A的纵坐标，最后用待定
系数法求一次函数解析式．
（2）设点D的坐标为(0, )
d ，利用一次函数解析式求出直线AB 与y 轴的交点C ，把ABD
的面积转化为
ACD
与BCD
的面积之和，列方程求解．
【详解】（1）解：点
( 4, 3)
B −
−
在反比例函数
2
m
y
x
=
的图象上，
( 4) ( 3)
12
m
= −
−
=
，
反比例函数的解析式为
2
12
y
x
=
，
点A的横坐标为6 ，且点A在
2
12
y
x
=
的图象上，
12
2
6
y
=
=
，
(6,2)
A
，
一次函数
1y
kx
b
=
+ 的图象过点
(6,2)
A
、
( 4, 3)
B −
−
，
6
2
4
3
k
b
k
b
+
=
−
+
= −
，
解得：
1
2
1
k
b
=
= −
，
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一次函数的解析式为
1
1
1
2
y
x
=
−．
（2）解：设点D的坐标为(0, )
d ，
一次函数
1
1
1
2
y
x
=
−与y 轴交于点C ，
(0, 1)
C
−
，
|
( 1) | |
1|
CD
d
d
=
−−
=
+
，
(6,2)
A
、
( 4, 3)
B −
−
，
点A到y 轴的距离为6 ，点B 到y 轴的距离为4 ，
ABD
ACD
BCD
S
S
S
=
+
△
△
△
∵
，
1
1
6
4
5
2
2
ABD
S
CD
CD
CD
=
+
=
，
又
20
ABD
S
=
，
5|
1| 20
d
+
=
，
|
1| 4
d
+
=
，
1
4
d
+ =
或
1
4
d + = −，
解得：
3
d = 或
5
d = −，
点D的坐标为(0,3) 或(0, 5)
−
．
变式5-1 如图，一次函数y
kx
b
=
+
与反比例函数
(
0)
a
y
x
x
=
的图象交于(
)
1,4
A
，
(
)
3,
B
m 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出
0
a
kx
b
x
+
−
的x 的取值范围；
(3)求AOB
的面积．
【答案】(1)一次函数的解析式为：
4
16
3
3
y
x
= −
+
；反比例函数的解析式为：
4
y
x
=
；
(2)
3
x
或0
1
x
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(3)
16
3
AOB
S
=
【分析】（1）利用待定系数法，即可求解函数解析式；
（2）由函数图象可得，当反比例函数图象在一次函数图象的上方，即
0
a
kx
b
x
+
−
，进行解答，即可；
（3）先求出点C 、D的坐标，根据
AOB
COD
AOC
DOB
S
S
S
S
=
−
−
，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点
(
)
1,4
A
，
(
)
3,
B
m 在反比例函数
a
y
x
=
上，
∴4
1
a
=
，
解得：
4
a =
，
∴反比例函数的解析式为：
4
y
x
=
，
∴
4
3
m =
，
∴点
4
3, 3
B
，
∵点A，B 在一次函数y
kx
b
=
+
上，
∴
4
4
3
3
k
b
k
b
=
+
=
+
，
解得：
4
3
16
3
k
b
= −
=
，
∴一次函数的解析式为：
4
16
3
3
y
x
= −
+
．
（2）解：由函数图象可得，当反比例函数图象在一次函数图象的上方，即
0
a
kx
b
x
+
−
，
∴
3
x 或0
1
x
．
（3）解：当
0
x =
时，
16
3
y =
，
∴点
16
0, 3
C
，
∴
16
3
OC =
，
当
0
y =
时，
4
16
0
3
3
x
= −
+
，解得
4
x =
，
∴点
(
)
4,0
D
，
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∴
4
OD =
，
∴
AOB
COD
AOC
DOB
S
S
S
S
=
−
−
1
1
1
2
2
2
A
B
OC OD
OC
x
OD
y
=
−
−
1
16
1
16
1
4
4
1
4
2
3
2
3
2
3
=
−
−
32
8
8
3
3
3
=
−
−
16
3
=
．
变式5-2 如图，一次函数
1
y
k x
b
=
+
与反比例函数
2k
y
x
=
的图象相交于(
)
4
A
a a
−，
，(
)
4,
B
a
−
两点，连接AO ，
BO，并延长AO 交反比例函数图象于点C，直线AB 交x 轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点P 是x 轴上一点，当
4
5
PAC
BOD
S
S
=
时求点P 的坐标．
【答案】(1)一次函数的表达式为
5
y
x
=
+
，反比例函数的表达式为
4
y
x
= −
．
(2)点P 的坐标为
1 ,0
2
−
或1 ,0
2
．
【分析】（1）由点A，B 在反比例函数图象上，得横纵坐标乘积相等，求出a ，再用待定系数法求一次函数
表达式．
（2）先求出点C ，D坐标，再设
( ,0)
P p
，利用直线BC 与x 轴的交点把BPC
的面积转化为含PE的式子，
由面积关系列方程求解．
【详解】（1）解：点
(
,4 )
A
a
a
−
，
( 4, )
B
a
−
在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，
(
) 4
( 4)
a
a
a
−
= −
，
1
a
= 或0（舍去）
( 1,4)
A −
，
( 4,1)
B −
，
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( 1) 4
4
k
= −
= −，
反比例函数的表达式为
4
y
x
= −
．
设一次函数的表达式为
1
y
k x
b
=
+
，
把
( 1,4)
A −
，
( 4,1)
B −
代入，得
1
1
4
1
4
k
b
k
b
= −
+
= −
+
，
解得
1
1
k = ，
5
b =
，
一次函数的表达式为
5
y
x
=
+
．
（2）解：作直线BC ，
直线AO 经过原点O和点
( 1,4)
A −
，
直线AO 的表达式为
4
y
x
= −
．
联立
4
y
x
= −
与
4
y
x
= −
，得
4
4x
x
−
= −
，
解得
1
x = −或
1
x = ，
点C 的坐标为(1, 4)
−
．
直线AB 的表达式为
5
y
x
=
+
，
令
0
y =
，得
5
x = −，
点D的坐标为( 5,0)
−
，
5
OD
=
．
点B 到x 轴的距离为1，
1
5
5 1
2
2
BOD
S
=
=
．
设点P 的坐标为( ,0)
p
．
PO
p
=
．
点A，C 到x 轴的距离分别为4 ，4 ，
APC
APO
CPO
S
S
S
=
+
1
1
4
4
2
2
PO
PO
=
+
4 p
=
．
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4
5
APC
BOD
S
S
=
，
4
5
4
5
2
p
=
，
1
2
p
=
，
解得
1
2
p = −
或
1
2
p =
，
点P 的坐标为
1 ,0
2
−
或1 ,0
2
．
变式5-3 如图，一次函数y
kx
b
=
+
的图象与反比例函数
m
y
x
=
的图象交于点(
)
3,
8
A
m
−
+
、
(
)
, 6
B n −
两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求AOB
的面积；
(3)根据函数图象直接写出不等式
m
kx
b
x
+
的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为
2
4
y
x
= −
−
，反比例函数的解析式为
6
y
x
−
=
；
(2)８；
(3)
3
x −或0
1
x
．
【分析】（1）运用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求得B 点的坐标，然后把点
,
A B 的坐标代入
y
kx
b
=
+
即可得到一次函数的表达式；
（2）先确定点C 的坐标，再根据
AOB
AOC
COB
S
S
S
=
+
进行计算即可；
（3）根据点
,
A B 的坐标结合图像可得不等式
m
kx
b
x
+
的解集．
【详解】（1）解：把点(
)
3,
8
A
m
−
+
代入反比例函数
m
y
x
=
，可得
8
3
m
m+ = −
，
解得
6
m
−
=
，
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∴反比例函数为
6
y
x
−
=
，点A的坐标为(
)
3,2
−
∵反比例函数
6
y
x
−
=
的图象经过B 点，
∴
6
6
n
−= −
，解得
1
n =
∴点B 的坐标为(
)
1, 6
−
，
把
(
)
3,2
A −
，
(
)
1, 6
B
−
代入y
kx
b
=
+
得
3
2
6
k
b
k
b
−
+
=
+
= −
解得
2,
4
k
b
= −
= −
∴一次函数为
2
4
y
x
= −
−
；
（2）解：在直线
2
4
y
x
= −
−
中，令
0
x =
，则
4
y
−
=
，
∴
(0, 4)
C
−
，即
4
OC =
，
∴
1
1
4 3
4 1
8
2
2
AOB
AOC
COB
S
S
S
=
+
=
+
=
△
△
△
；
（3）要满足不等式
m
kx
b
x
+
，即一次函数图象在反比例函数图象上方，如图所示，所以
m
kx
b
x
+
的解集
是
3
x −或0
1
x
．
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题型六、反比例函数与一次函数的平移问题
典例6 如图，一次函数
(
)
2
0
y
kx
k
=
+
与反比例函数
(
)
>0
m
y
x
x
=
的图象交于点(
)
3,4
A
，与x 轴交于点 B．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将直线沿y 轴方向平移，使平移后的直线与x 轴交于点 C，且
2
OC
OB
=
，求平移后的直线表达式；
(3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得
BOP
△
的面积等于AOB
的面积？若存在，直接写
出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数：
2
2
3
y
x
=
+
；反比例：
(
)
12
0
y
x
x
=
(2)
2
4
3
y
x
=
+
或
2
4
3
y
x
=
−
(3)(
)(
) (
) (
)
0,4
12,
4 , 12,4 , 0,
4
−
−
−
【分析】（1）利用待定系数法，求解即可；
（2）根据
2
2
3
y
x
=
+
，得到(
)
3,0
B −
，继而得到
2
6
OC
OB
=
=
；确定
(
)
6,0
C −
或
(
)
6,0
C
，根据平移求解即
可；
（3）根据题意，得
4
P
y =
或
4
P
y = −；当点P 在直线
2
4
3
y
x
=
+
上时，得2
4
4
3 x +
=
或2
4
4
3 x +
= −， 当点P
在直线
2
4
3
y
x
=
−
上时，得2
4
4
3 x −
=
或2
4
4
3 x −
= −，求解即可．
【详解】（1）解：一次函数
(
)
2
0
y
kx
k
=
+
与反比例函数
(
)
>0
m
y
x
x
=
的图象交于点(
)
3,4
A
，与x 轴交于点
B．
4
3
m
=
，3
2
4
+
=
k
，
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解得
12
m =
，
2
3
k =
，
故一次函数的解析式为
2
2
3
y
x
=
+
，反比例函数的解析式为
(
)
12
0
y
x
x
=
；
（2）解：根据
2
2
3
y
x
=
+
，得(
)
3,0
B −
，
2
6
OC
OB
=
=
；
(
)
6,0
C
−
或
(
)
6,0
C
，
设平移后的解析式为
2
3
y
x
t
=
+ ，
当直线经过
(
)
6,0
C −
时，得
(
)
2
6
0
3
t
−
+ =
，解得
4
t =
；
当直线经过
(
)
6,0
C
时，得2
6
0
3
t
+ =
，解得
4
t = −；
故平移后的函数解析式为
2
4
3
y
x
=
+
或
2
4
3
y
x
=
−
；
（3）解：根据题意，得(
)
3,4
A
，(
)
3,0
B −
则
1
2
AOB
A
S
OB y
=
，
1
2
BOP
P
S
OB y
=
，
根据题意，得
AOB
BOP
S
S
=
，
1
1
2
2
A
P
OB y
OB y
=
，
A
P
y
y
=
，
4
P
y
=
，
4
P
y
=
或
4
P
y = −
当点P 在直线
2
4
3
y
x
=
+
上时，得2
4
4
3 x +
=
或2
4
4
3 x +
= −
解得
0
x =
或
12
x = −
，
故点P 的坐标为(
)
0,4 或(
)
12, 4
−
−
；
当点P 在直线
2
4
3
y
x
=
−
上时，得2
4
4
3 x −
=
或2
4
4
3 x −
= −
解得
12
x =
或
0
x =
，
故点P 的坐标为(
)
12,4 或(
)
0, 4
−
；
综上所述，符合要求的点P 的坐标为(
)(
) (
) (
)
0,4
12,
4 , 12,4 , 0,
4
−
−
−
；
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变式6-1 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数
1
2
y
x
= −
的图象与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象交于
(
)
,2
A a
，B 两点．
(1)求反比例函数
k
y
x
=
的表达式；
(2)将正比例函数
1
2
y
x
= −
的图象沿y 轴向上平移，平移后的直线l 与反比例函数
k
y
x
=
的图象在第二象限内
交于点C，当ABC
的面积为10 时，求平移后直线l 的表达式．
【答案】(1)
8
y
x
= −
(2)
1
5
2
2
y
x
= −
+
【分析】（1）先根据一次函数解析式求解点A，再由待定系数法求解反比例函数解析式；
（2）先求出
(
)
4, 2
B
−
设平移后的直线2l 与x 轴交于点D，连接AD
BD
，
．由CD
AB
得到
10
ABC
ABD
S
S
=
=
，
则根据
10
AOD
BOD
S
S
+
=
求解点D ，即可求解直线2l 的函数表达式．
【详解】（1）解：∵正比例函数
1
2
y
x
= −
的图象与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象交于
(
)
,2
A a
，B 两点
∴当
2
y =
时，
1
2
2 a
−
=
解得
4
a = −，
(
)
4,2
A
−
，
4 2
8
k
= −= −，
反比例函数的表达式为
8
y
x
= −
；
（2）解：∵直线1
1
:
2
l
y
x
= −
与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于A、B 两点（点A 在点B 左侧），
∴
(
)
4, 2
B
−
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设平移后的直线2l 与x 轴交于点D，连接AD
BD
，
．
CD
AB
，
ABC
ABD
S
S
=
．
ABC
的面积为10，
10
AOD
BOD
S
S
+
=
△
△
，
∴1
1
10
2
2
A
B
OD
y
OD
y
+
=
，
∴
(
)
1
10
2
A
B
OD
y
y
−
=
1
4
10
2 OD
=
，
5
OD
=
，
(
)
5,0
D
，
设平移后的直线2l 的函数表达式为
1
2
y
x
b
−
=
+ ，
把
(
)
5,0
D
代入，可得
1
0
5
2
b
= −
+ ，
解得
5
2
b =
，
平移后的直线2l 的函数表达式为
1
5
2
2
y
x
= −
+
．
变式6-2 我们通过作图知道，一次函数
1
y
x−
=
的图象可以由正比例函数y
x
=
的图象向右平移1 个单位长度
得到；类似的，函数
1
2
y
x
=
+
的图象可以由反比例函数
1
y
x
=
的图象向左平移2 个单位长度得到，那么反比
例函数
1
y
x
=
的图象向右平移3 个单位长度后的图象解析式就是
1
3
y
x
=
−．解决问题：如图，已知反比例函
数
6
y
x
=
的图象与直线
(
)
0
y
ax a
=
交于点
(
)
2,3
A
和点B；
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(1)求a 的值，并直接写出点B 的坐标；
(2)若将反比例函数
6
y
x
=
的图象向右平移n（n 为整数，且
0
n
）个单位长度后，图象经过点
3
7, 2
M
．
①求平移后的函数解析式；
②求直线y
ax
=
与平移后的函数
6
y
x
n
=
−
图象的交点坐标，并直接写出不等式
6
ax
x
n
−
的解集．
【答案】(1)
3
2
a =
；
(
)
2, 3
B −
−
；
(2)①
6
3
y
x
=
−；②
3
1,
2
−−
，(
)
4,6 ；
4
x 或1
3
x
−
．
【分析】（1）根据直线
(
)
0
y
ax a
=
过点
(
)
2,3
A
，可以求出
3
2
a =
，联立得：
3
2
6
y
x
y
x
=
=
可以求出点B 的坐标；
（2）①根据函数图象向右平移减，可得平移后的函数解析式，根据待定系数法，可得n 值，函数解析式；
②联立联立
3
2
6
3
y
x
y
x
=
=
−
，求出直线y
ax
=
与平移后的函数
6
y
x
n
=
−
图象的交点坐标即可，根据图象，结合交
点坐标求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：∵直线
(
)
0
y
ax a
=
过点
(
)
2,3
A
，
∴3
2a
=
，
解得：
3
2
a =
，
∴直线
3
2
y
x
=
，
联立得：
3
2
6
y
x
y
x
=
=
，
解得：
1
1
2
3
x
y
=
=
，
2
2
2
3
x
y
= −
= −
，
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∴点
(
)
2, 3
B −
−
；
（2）解：①根据题意得：将反比例函数
6
y
x
=
的图象向右平移n（n 为整数，且
0
n
）个单位长度后的函数
解析式为
6
y
x
n
=
−
，
∵平移后的函数图象经过点
3
7, 2
M
，
∴
6
3
7
2
n =
−
，
解得：
3
n = ，
∴平移后的解析式为
6
3
y
x
=
−．
②联立
3
2
6
3
y
x
y
x
=
=
−
，
解得：
1
1
1
3
2
x
y
= −
= −
，
2
2
4
6
x
y
=
=
，
∴直线y
ax
=
与平移后的函数
6
y
x
n
=
−
图象的交点坐标为
3
1,
2
−−
，(
)
4,6 ；
如图，根据函数图象可得，不等式
6
ax
x
n
−
的解集为：
4
x 或1
3
x
−
．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了反比例函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，
反比例函数和一次函数的交点问题，图像法求不等式解集等知识，利用了数形结合的思想解决问题是解题
的关键．
变式6-3 小华以前在学习一次函数的时候，通过研究发现：将一次函数
(
0)
y
kx k
=
≠
的图像向右平移m 个单
位，再向上平移n 个单位后（
0,
0
m
n
），得到的新的函数表达式为
(
)
y
k x
m
n
=
-
+ ；类似地，将反比例函
数
(
0)
k
y
k
x
=
的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位后（
0,
0
m
n
），得到的新的函数表达式为
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k
y
n
x
m
=
+
−
，请运用这一知识解决问题：
(1)直接运用：函数
3
3
1
y
x
−
=
+
−
的图像可以由函数
3
y
x
−
=
的图像向右平移_____个单位，再向上平移_____个
单位得到，其对称中心的坐标是_________________．
(2)理解运用：如图直线l 和双曲线交于点A、B，其中点A 坐标是(
)
2,2
①求出双曲线的函数表达式；
②将直线l 向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，求出平移后的直线表达式；
③直接写出不等式
4
3
1
2
x
x
−
−
+
的解集．
(3)灵活应用：小华经过研究发现函数
6
2
y
x
−
=
−
的图像也是双曲线，已知点P、Q 分别是两支上的两个动点，
分别过点P、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为M、N，问x 轴上是否存在一个点C，使得
PMC
△
和QNC
的面
积相等，若存在求出点C 坐标及相等的面积，若不存在请说明理由．
【答案】(1)1；3；(
)
1,3
(2)①
4
y
x
=
；②
1
y
x−
=
；③<
4
x −
或2
0
x
−
(3)存在，点C 坐标为(
)
2,0 ，相等的面积为3
【分析】（1）根据阅读部分提示，结合一次函数图象的平移规则可得答案，再结合
3
y
x
−
=
的对称中心与平
移的性质可得
3
3
1
y
x
−
=
+
−
的对称中心；
（2） ①把(
)
2,2 代入反比例函数解析式
(
0)
k
y
k
x
=
可得答案；②将(
)
2,2 代入y
mx
=
可得原来直线的解析
式，再根据平移规则可得平移后的解析式，③根据平移的性质可得
4
3
2
y
x
=
−
+
与
1
y
x−
=
的交点坐标为：
(
)
0, 1
−
，(
)
4, 5
−
−
，再结合函数图象可得不等式的解集；
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（3）画
6
y
x
−
=
的图象；当P M
x
⊥
轴于M，Q N
x
⊥
轴于N，可得
1
6
3
2
P M O
Q N O
S
S
=
=
−
=
，(
)
0,0
O
，
结合函数
6
2
y
x
−
=
−
可以看做是由数
6
y
x
−
=
的图象向右平移2 个单位得到的，从而可得答案．
【详解】（1）解：函数
3
3
1
y
x
−
=
+
−
的图像可以由函数
3
y
x
−
=
的图像向右平移1 个单位，再向上平移3 个单
位得到，其对称中心的坐标是(
)
1,3 ；
（2）①设双曲线为
(
0)
k
y
k
x
=
，将(
)
2,2 代入得：
∴
4
k =
，
∴双曲线表达式为
4
y
x
=
②设原直线l 为
(
0)
y
mx m
=
，将(
)
2,2 代入得：
∴
1
m =
∴原直线l 表达式为y
x
=
，
将直线l 向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，
∴平移后直线表达式
(
)
2
3
1
y
x
x
=
+
−
=
−
③∵
4
y
x
=
与y
x
=
的交点坐标为(
)
2,2 ，(
)
2, 2
−
−
，
∴把
4
y
x
=
向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位可得
4
3
2
y
x
=
−
+
，
∴
4
3
2
y
x
=
−
+
与
1
y
x−
=
的交点坐标为：(
)
0, 1
−
，(
)
4, 5
−
−
，
函数图象如下：
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∴不等式
4
3
1
2
x
x
−
−
+
的解集为：<
4
x −
或2
0
x
−
．
（3）∵
6
y
x
−
=
的图象如下；
当P M
x
⊥
轴于M，Q N
x
⊥
轴于N，
则
1
6
3
2
P M O
Q N O
S
S
=
=
−
=
，
(
)
0,0
O
，
∵函数
6
2
y
x
−
=
−
可以看做是由数
6
y
x
−
=
的图象向右平移2 个单位得到的
∴点C 坐标为(
)
2,0 ，相等的面积为1
6
3
2 −
=
．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，平移的性质，比例系数k 的几何意义，利用待定系数法求解
函数解析式，熟练的利用数形结合的方法得到不等式的解集是解本题的关键．
题型七、反比例函数与一次函数的翻折问题
典例7 已知直线
1
y
x
m
= −+
+ 与反比例函数
m
y
x
=
（
0
x
，
0
m
）的图象分别交于点A，B ，与x 轴交于
点C ，与y 轴交于点D．
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(1)如图①，已知点A的坐标为(
)
1,3 ．
①求直线AB 的表达式；
②若点P 是反比例函数在第一象限直线AB 上方一点，当ABP
面积为2 时，求点P 的坐标．
(2)如图②将直线CD向右平移2 个单位长度得到直线EF ，将双曲线位于CD下方部分沿直线CD翻折，若翻
折后的图象（图中虚线部分）与直线EF 有且只有一个公共点，求m 的值．
【答案】(1)①
4
y
x
−
=
+
；②(
)
3
6,3
6
+
−
或(
)
3
6,3
6
−
+
(2)3 2 2
+
【分析】
（1）①根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得m 的值，代入一次函数即可求得直线AB
的解析式；②过P 作MN
AB
∥
，过C 作CQ
MN
⊥
于Q ；联立AB 与反比例函数解析式，求得A、B 的坐标，
进而求得AB 的长，根据三角形面积求得MN 、AB 的距离，进而求得MN 的解析式，联立MN 与反比例函
数解析式即可求得P 点的坐标；
（2）过点O作OJ
EF
⊥
，交
m
y
x
=
于点H ，交AB 于点I ，由题意可知直线EF 的解析式为
3
y
x
m
= −+
+
，
则
(
)
3,0
E m +
，(
)
0,
3
F
m +
，(
)
1,0
C m +
，(
)
0,
1
D
m +
，证明I 为CD的中点，得到
1
1
,
2
2
m
m
I
+
+
，则直线OI
的解析式为y
x
=
，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线EF 有且只有一个公共点，则H 点对应的点为J ，
则IJ
IH
=
，即I 是JH 的中点，求出
(
)
,
H
m
m ，根据两点中点坐标公式得到
3
1
2
2
2
m
m
m
+
+
+
=
，由此求
解即可．
【详解】（1）解：①∵
(
)
1,3
A
在
m
y
x
=
上，
∴
1 3
3
m = = ，
把
3
m =
代入
1
y
x
m
= −+
+ 中得：
4
y
x
−
=
+
，
则直线AB 解析式为：
4
y
x
−
=
+
，反比例函数解析式为：
3
y
x
=
；
②由直线
4
y
x
−
=
+
与反比例函数
3
y
x
=
的图象分别交于点A和点B ，
则
4
3
y
x
y
x
= −+
=
，
解得：
1
3
x
y
=
=
或
3
1
x
y
=
=
，
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∴
(
)
3,1
B
，
∴
(
)
(
)
2
2
3 1
3 1
2 2
AB =
−
+
−
=
，
如图，过P 作MN
AB
∥
分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，过C 作CQ
MN
⊥
于Q ，
设MN
AB
，
的距离为d ，则1
2
2 AB d
=
，
解得：
2
d =
，
∴MN 、AB 的距离为2 ，
∴
2
CQ =
，
∵
4
y
x
−
=
+
，令
0
x =
，则
4
y =
，令
0
y =
，则
4
x = ，即
(
)
4,0
C
，
(
)
0,4
D
，
∴
4
OC
OD
=
=
，
∴OCD
是等腰直角三角形，
∴
45
OCD
=
，
∵MN
CD
∥
，
∴
45
QMC
OCD
=
=
∠
，
∴CQM
是等腰直角三角形，
在Rt
CQM
△
中，
2
2
CM
CQ
=
=
，
∴直线MN 是直线AB 向右平移2 个单位后得到的直线，
∴直线MN 的解析式为
6
y
x
= −+
，
联立
6
3
y
x
y
x
= −+
=
，
解得：
3
6
3
6
x
y
= +
= −
或
3
6
3
6
x
y
= −
= +
，
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点P 的坐标为(
)
3
6,3
6
+
−
或(
)
3
6,3
6
−
+
；
（2）解：过点O作OJ
EF
⊥
于J ，交
m
y
x
=
于点H ，交AB 于点I ，如图，
∴OJ
CD
⊥
，
∵直线
1
y
x
m
= −+
+ ，将直线CD向右平移2 个单位长度得到直线EF ，
∴直线EF 的解析式为
(
)
2
1
3
y
x
m
x
m
= −
−
+
+ = −+
+ ，
∴
(
)
1,0
C m +
，
(
)
0,
1
D
m +
，
(
)
3,0
E m +
，
(
)
0,
3
F
m +
，
∴OD
OC
=
，
∵OI
CD
⊥
，
∴I 为CD的中点，
∴
1
1
,
2
2
m
m
I
+
+
，
∴直线OI 的解析式为y
x
=
，
若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线EF 有且只有一个公共点，则H 点对应的点为J ，
IJ
IH
=
，即I 是JH 的中点，
联立
y
x
m
y
x
=
=
，解得：
x
m
y
m
=
=
或
x
m
y
m
= −
= −
（负值舍去），
∴
(
)
,
H
m
m ，
∴
3
1
2
2
2
m
m
m
+
+
+
=
，
∴2
3
2
2
m
m
m
+
+
=
+
，
∴2
1
m
m
=
−，
∴
2
6
1
0
m
m
−
+ =
，
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解得：
1
3
2 2
m =
+
，
2
3
2 2
m =
−
（负值舍去），
∴m 的值为3 2 2
+
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数与反比例函数解析式、等腰直角三角形的性
质、解一元二次方程、一次函数的平移、轴对称的性质，正确作出辅助线、利用数形结合的思想求解是解
题的关键．
变式7-1 已知，一次函数
1
1
y
k x
b
=
+
与反比例函数
2
2
k
y
x
=
的图象交于
(
)
2,3
A
，
(
)
, 1
B m −
两点．
(1)求反比例函数和一次函数表达式；
(2)若将该反比例函数的图象先向左平移3 个单位长度，再沿y 轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是
______．
【答案】(1)
1
2
1
6
2
2
y
x
y
x
=
+
=
，
(2)
6
3
y
x
=
−
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及平移、对称变换后解析式的变化规律，正确理
解平移变换和对称变换是本题解题的关键．
（1）将A 点代入
2y ，求出
2k ，然后求出B 点坐标，将A，B 坐标代入
1y ，求
1y 解析式；
（2）向左平移3 个单位，用
3
x + 代替x，沿y 轴翻折，用x
−代替x，即可得到新的表达式．
【详解】（1）解：将点
(
)
2,3
A
代入
2y 解析式得：
2
3
2
k
=
，
2
6
k
= ，
B
在
2y 上，
6
1
m
−=
，
6
m
= −，即
(
)
6, 1
−
−
B
，
∵
(
)
2,3
A
，
(
)
6, 1
−
−
B
均在
1y 上，
1
1
3
2
1
6
k
b
k
b
=
+
−= −
+
，
解得：
1
1
2
2
k
b
=
=
，
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∴
1
1
2
2
y
x
=
+
；
综上所述，
1
2
1
6
2
2
y
x
y
x
=
+
=
，
；
（2）解：将
2
6
y
x
=
向左平移3 个单位长度得到：
6
3
y
x
=
+
，
再沿y 轴翻折得到：
6
3
y
x
=
−
.
变式7-2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y
kx
b
=
+
与x 轴的交点为
(
)
4,0
A
，与y 轴的交点为(
)
0,2
B
，
C 是线段AB 上一点，点D 在线段OA上，将ACD
沿CD翻折，得到
A CD
△
．
(1)求一次函数y
kx
b
=
+
的表达式；
(2)若点A在反比例函数
(
)
3
0
y
x
x
= −
图象上，且A D
OA
⊥
，
(
)
0
2
AD
m
m
=
，求m 的值及点C 的坐标．
【答案】(1)一次函数的表达式为
1
2
2
y
x
−
=
+
(2)m 的值为1，点C 的坐标为(
)
2,1
【分析】（1）利用待定系数法将点A、B 分别代入一次函数中，建立二元一次方程组求得k、b 的值，即可
得解；
（2）根据已知条件设
(
)
4
,0
D
m
−
，再设
3
4
,
4
A
m
m
−
−
−
，利用翻折的性质列出方程求解并验根，得出m 的
值，再设点C 的坐标为(
)
,x y ，利用翻折性质找等量关系，联立方程组求解，即可得出点C 的坐标．
【详解】（1）解：将点A、B 分别代入一次函数y
kx
b
=
+
中，
得：
4
0
2
k
b
b
+
=
=
，
解得：
1
2
2
k
b
= −
=
，
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∴一次函数的表达式为
1
2
2
y
x
−
=
+ ．
（2）解：∵
(
)
4,0
A
，AD
m
=
，
∴点D 的坐标为(
)
4
,0
m
−
，
∵A D
OA
⊥
，
∴点A的横坐标为4
m
−
，
∵点A在反比例函数
(
)
3
0
y
x
x
= −
的图象上，
∴点A的坐标为
3
4
,
4
m
m
−
−
−
，
由翻折的性质可知，A D
AD
m
=
=
，
∴
3
4
m
m
−
=
−
，
∵0
2
m
，
∴4
2
m
−
，
∴
3
0
4
m
−
−
，
∴
3
4
m
m =
−
，
解得：
1
1
m = ，
2
3
m =
，
∵0
2
m
，
∴
1
m = ，
当
1
m = 时，
(
)
3,0
D
，
(
)
3, 1
A
−
，
设点C 的坐标为(
)
,x y ，
∵点C 在直线AB 上，
∴
1
2
2
y
x
−
=
+ ，
由翻折的性质可知，CA
CA
=
，
∴
2
2
CA
CA
=
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
4
3
1
x
y
x
y
−
+
=
−
+
+
，
化简得：
3
y
x
= −+
，
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联立方程组：
3
1
2
2
y
x
y
x
= −+
= −
+
，
解得：
2
1
x
y
=
=
，
∴点C 的坐标为(
)
2,1 ．
变式7-3 一次函数
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
与反比例函数
2
4
y
x
=
交于A、B 两点，点A的横坐标为
(
)
0
m m
，点B 到
x 轴的距离等于点A到y 轴的距离．
(1)求k 的值；
(2)过点A作y 轴的垂线l ，把直线l 上方反比例函数的图象沿着直线l 翻折，其它部分保持不变，所形成的新
图象称为“G 图象”（不包含直线）．
①若
1
m = 时，求“G 图象”与x 轴的交点坐标；
②过点B 作y 轴的垂线，与y 轴，“G 图象”分别交于
,
N C 两点．若
2
=
BN
CN ，请直接写出m 的值；
③直接写出点A到BC 的最短距离．
【答案】(1)
1
k =
(2)①1 ,0
2
；②2 2 ；③4
【分析】
（1）设(
)
,
A m n ，则(
)
,
B
n
m
−
−
代入
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，得(
)
m
n k
m
n
+
=
+
，根据
0
m
n
+
，得到
1
k = ；
（2）①先求出
(
)
1,4
A
，得到一次函数解析式为：
1
3
y
x
=
+ ，设“G 图象”与x 轴交点为(
)
,0
a
，根据对称性可
得(
)
,0
a
关于直线
4
y =
的对称点的坐标为(
)
,8
a
，再根据(
)
,8
a
在反比例函数
2
4
y
x
=
求解即可；
②先求出
4
,
A m m
，
4 ,
B
m
m
−
−
，由对称性可得当0
x
m
时，“G 图象”解析式为8
4
m
y
x
−
=
，即
8
4
y
m
x
=
−
，
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即可得到
(
)
0,
N
m
−
，
2
8
4
C
m
m
x =
+
，再根据
2
=
BN
CN 列方程求解即可；
③根据
4
,
A m m
，
4 ,
B
m
m
−
−
，BC 的解析式为y
m
= −
，得到点
4
,
A m m
到BC 的距离为
(
)
2
4
4
4
m
m
m
m
−−
=
−
+
，即可求出点A到BC 的最短距离为4 ．
【详解】（1）解：设(
)
,
A m n ，(
)
0,
0
m
n
∵A、B 两点均在反比例函数
2
4
y
x
=
上，且点B 到x 轴的距离等于点A到y 轴的距离，
∴
(
)
,
B
n
m
−
−
，
将(
)
,
A m n ，(
)
,
B
n
m
−
−
代入
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，得
mk
b
n
nk
b
m
+
=
−
+
= −
①
②，
−
①
②得(
)
m
n k
m
n
+
=
+
，
∵
0,
0
m
n
，
∴
0
m
n
+
，
∴
1
k = ；
（2）解：①当
1
m = 时，
2
4
4
1
y =
=
，
∴
(
)
1,4
A
，
将
(
)
1,4
A
代入
1y
x
b
=
+ ，得4 1 b
= + ，
解得：
3
b =
，
∴一次函数解析式为：
1
3
y
x
=
+ ，
设“G 图象”与x 轴交点为(
)
,0
a
，
∵过点A 作y 轴的垂线l，
∴直线l 为
4
y =
，
∴(
)
,0
a
关于直线
4
y =
的对称点的坐标为(
)
,8
a
，
∴(
)
,8
a
在反比例函数
2
4
y
x
=
上，
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∴4
8
a = ，
解得：
1
2
a =
，
故“G 图象”与x 轴的交点坐标为1 ,0
2
；
②∵一次函数
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
与反比例函数
2
4
y
x
=
交于A、B 两点，点A的横坐标为
(
)
0
m m
，点B 到x 轴
的距离等于点A到y 轴的距离，
∴
4
,
A m m
，
4 ,
B
m
m
−
−
，
∵过点A作y 轴的垂线l ，
∴l 的解析式为
4
y
m
=
，
∴任意一点(
)
,x y 关于
4
y
m
=
的对称点坐标为
8
,x
y
m
−
，
∵把直线l 上方反比例函数的图象沿着直线l 翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G 图象”（不
包含直线）．
∴当0
x
m
时，“G 图象”解析式为8
4
m
y
x
−
=
，即
8
4
y
m
x
=
−
，
∵过点B 作y 轴的垂线，与y 轴，“G 图象”分别交于
,
N C 两点，
∴
(
)
0,
N
m
−
，
8
4
C
C
m
y
x
m
=
−
=
−
，解得
2
8
4
C
m
m
x =
+
，
∴
4
4
0
BN
m
m
=
−−
=
，
2
8
4
0
C
m
CN
x
m
=
−
+
=
，
∵
2
=
BN
CN ，
∴
2
8
4
2
4
m
m
m
=
+
，
解得
2 2
m =
，
∵
0
m
，
∴
2 2
m =
；
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③∵
4
,
A m m
，
4 ,
B
m
m
−
−
，
∴BC 的解析式为y
m
= −
，
∴点
4
,
A m m
到BC 的距离为
(
)
(
)
2
2
2
4
4
4
4
4
4
2
2
4
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
−−
=
+
=
+
−
+
=
−
+
，
∴当
4
0
m
m −
=
时，点A到BC 的最短距离为4 ．
题型八、反比例函数与一次函数的旋转问题
典例8 如图，点(
)
,2
P m
为一次函数
1
y
kx
=
+ 与反比例函数
6
y
x
=
图象的交点，将一次函数
1
y
kx
=
+ 的图象绕
点P 逆时针方向旋转45．
(1)求m 的值；
(2)求旋转后新一次函数的表达式．
【答案】(1)
3
m =
(2)
2
4
y
x−
=
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象旋转，解决本题
的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质．
（1）将点(
)
,2
P m
代入反比例函数
6
y
x
=
中求解即可；
（2）添加辅助线构造全等三角形，即证明ACP
与BDA
全等，再根据待定系数法求解一次函数解析式即
可．
【详解】（1）解：∵点(
)
,2
P m
在反比例函数
6
y
x
=
图象上，
∴
6
2
m
=
，解得
3
m =
，
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∴点
(
)
3,2
P
．
（2）解：过P 作PC
y
⊥轴于点C，过A 作AB
AP
⊥
且AB
AP
=
，过B 作BD
y
⊥
轴于点D，如图，
设
1
y
kx
=
+ 交y 轴于点A，则
(
)
0,1
A
，
则
90
ACP
PAB
ADB
=
=
=
，
3
CP = ，
2
OC =
，
45
APB
=
，
∴
90
CPA
CAP
CAP
DAB
+
=
+
=
，
1
AC
OC
OA
=
−
= ，
∴
CPA
DAB
=
．
又∵AP
AB
=
，
在ACP
与BDA
中，
90
AP
CPA
DAB
ACP
AD
AB
B
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ACP
BDA
≌△
△
，
∴
1
BD
AC
=
= ，
3
AD
CP
=
= ，
2
OD
AD
OA
=
−
=
，
∴
(
)
1, 2
B
−
．
设直线BP的解析式为y
ax
b
=
+
，
则
2
3
2
a
b
a
b
+
= −
+
=
，解得
2
4
a
b
=
= −
，
∴直线BP的解析式为
2
4
y
x−
=
，即新一次函数的表达式为
2
4
y
x−
=
．
变式8-1 已知一次函数
2
3
y
x−
=
的图象与某反比例函数图象的一个公共点的横坐标为1．
(1)求该反比例函数的解析式．
(2)将一次函数
2
3
y
x−
=
的图象向上平移4 个单位长度，再将反比例函数的图象以原点O 为中心旋转90，
则旋转后的反比例函数图象与平移后的一次函数的图象是否仍有交点？如果有，求出交点坐标；如果没有，
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请说明理由．
【答案】(1)
1
y
x
= −
(2)
有交点，交点坐标为(
)
1, 1
−−
和1 ,2
2
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）平移后的图象对应的解析式为
2
1
y
x
=
+ ，联立两函数解析式，进而求得交点坐标．
【详解】（1）解：把
1
x = 代入
2
3
y
x
=
−，得
1
y = −，
∴该公共点的坐标为(
)
1, 1
−
，
设反比例函数的解析式为
k
y
x
=
，
把(
)
1, 1
−
代入得，
1
k = −，
∴该反比例函数的解析式为
1
y
x
= −
；
（2）解：有交点；理由如下：
平移后的图象对应的解析式为
2
3
4
2
1
y
x
x
=
−+
=
+ ，旋转后的反比例函数图象的形状不变，其解析式为
1
y
x
=
，
联立
2
1
1
y
x
y
x
=
+
=
，
解得
1
1
x
y
= −
= −
或
1
2
2
x
y
=
=
，
∴旋转后的反比例函数图象与平移后的一次函数的图象的交点为(
)
1, 1
−−
和1 ,2
2
．
变式8-2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1
y
k x
b
=
+
的图象与反比例函数
2k
y
x
=
的图象交于点(
)
1,6
B −
和点
(
)
, 3
E m −
，交y 轴于点A，以AB 为边在AB 左侧作正方形ABCD．
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(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)求点D的坐标，并判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
(3)把直线BE绕着点A在平面内旋转，设旋转后的直线为B E
，且设直线B E
的一次函数的解析式为
y
kx
b
=
+
，若直线B E
和正方形ABCD只有两个公共点，直接写出旋转后满足条件的直线y
kx
b
=
+
中的k 的
取值范围.( 注：y
kx
b
=
+
中k 的值越大，直线越陡峭，k 的值越小，直线越平缓)
【答案】(1)
6
y
x
−
=
，
3
3
y
x
= −
+ ；
(2)
解：点D在反比例函数的图象上．
理由如下：
过点D作DG
y
⊥
轴于点G ，过点B 作BF
y
⊥
轴于点F ，则
90
BFA
AGD
=
=
，
在
3
3
y
x
= −
+ 中，当
0
x =
时，
3
y =
，
∴
(
)
0,3
A
，
∴
3
OA = ．
∵
(
)
1,6
B −
，
∴
1
BF = ，
6
OF =
，
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∴
3
AF =
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
BAD
=
，BA
DA
=
，
∴
90
DAG
FAB
+
=
，
∵
90
FBA
FAB
+
=
，
∴
FBA
DAG
=
，
∴
(
)
SAS
BFA
AGD
≌
，
∴
3
DG
AF
=
=
，
1
AG
BF
=
= ，
∴
2
OG =
，
∴
(
)
3,2
D −
．
∵
2
3 2
6
k
−
= −=
，
∴点D在反比例函数图象上；
(3)
1
3
3
k
−
且
0
k
．．
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标
与图形性质，正方形的性质，求得交点坐标是解本题的关键．
（1）将B 坐标代入反比例函数解析式中求出
2k 的值，即可确定出反比例函数解析式；将点
(
)
, 3
E m −
代入反
比例解析式中求出m 的值，确定出E 坐标，将B 与E 坐标代入一次函数解析式中求出
1k 与b 的值，即可确定
出一次函数解析式；
（2）过点D作DG
y
⊥
轴于点G ，过点B 作BF
y
⊥
轴于点F ，通过证得BFA
AGD
≌
，得出
3
DG
AF
=
=
，
1
AG
BF
=
= ，即可求得
2
OG =
，得出
(
)
3,2
D −
，代入反比例函数解析式即可判定点D 在反比例函数的图象
上．
（3）根据直线的旋转，当直线B E
过点D 时为临界点，求出此时的k 即可．
【详解】（1）解：把点
(
)
1,6
B −
代入
2k
y
x
=
，得
2
6
k = −，
∴反比例函数的表达式为
6
y
x
−
=
，
把点
(
)
, 3
E m −
代入
6
y
x
−
=
，得
2
m =
，
∴
(
)
2, 3
E
−
，
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把
(
)
2, 3
E
−
，
(
)
1,6
B −
分别代入
1
y
k x
b
=
+
，
得
1
1
6
2
3
k
b
k
b
−
+
=
+
= −
，
解得：
1
3
3
k
b
= −
=
，
∴一次函数的表达式为
3
3
y
x
= −
+ ；
（2）略
（3）解：由（2）可知，(
)
0,3
A
，
∴直线B E
的解析式为
3
y
kx
=
+ ，
当直线B E
过点B 时，由（2）知，
3
k = −；
当直线B E
顺时针旋转时，不符合题意；
当直线B E
逆时针旋转时，符合题意，直到直线B E
过点D ，
此时，3
3
2
k
−
+ =
，解得
1
3
k =
，
综上，k 的取值范围：
1
3
3
k
−
且
0
k
．
变式8-3 如图1，一次函数
(
)
1
1
0
y
k x
b k
=
+
的图象与反比例函数
(
)
2
2
0
k
y
k
x
=
的图象相交于点(
)
2,3
A
，
(
)
6,
B
m ，且一次函数的图象与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．
(1)求一次函数的表达式以及点C 的坐标．
(2)利用图象，直接写出关于x 的不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集．
(3)如图2，将直线CD绕点C 逆时针方向旋转45，求旋转后所得直线的函数表达式．
【答案】(1)
1
4
2
y
x
= −
+
，
(
)
8,0
C
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(2)
0
x
或2
6
x
(3)
1
8
3
3
y
x
=
−
【分析】（1）根据题意把(
)
2,3
A
代入
2k
y
x
=
，求得反比例函数解析式，把(
)
6,
B
m 代入反比例函数解析式求
得m ，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与x 轴交点，即可解题；
（2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量x 的取值范围即可；
（3）利用一次函数解析式得到点D坐标，过点D 作DE
CD
⊥
，交旋转后的直线于点E ，过点E 作EF
y
⊥
轴
于点F ，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明
(
)
AAS
DEF
CDO
≌
，利用全等三角形性质得到E 坐标，
设旋转后直线的解析式为y
ax
c
=
+ ，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可．
【详解】（1）解：把(
)
2,3
A
代入
2k
y
x
=
，得：
2
3
2
k
=
，解得：
2
6
k =
，
把
(
)
6,
B
m 代入
6
y
x
=
得：
6
1
6
m =
= ，
把(
)
2,3 ，(
)
6,1 代入
1
y
k x
b
=
+
得：
1
1
2
3
6
1
k
b
k
b
+
=
+
=
，解得：
1
1
2
4
k
b
= −
=
，
所以一次函数的表达式为
1
4
2
y
x
= −
+
，
把
0
y =
代入
1
4
2
y
x
= −
+
，得
1
4
0
2 x
−
+
=
，
8
x = ，
(
)
8,0
C
；
（2）解：由图知，不等式
2
1
k
k x
b
x
+
的解集为：
0
x
或2
6
x
；
（3）解：把
0
x =
代入
1
4
2
y
x
= −
+
，得
4
y =
，
(
)
0,4
D
，
过点D作DE
CD
⊥
，交旋转后的直线于点E ，过点E 作EF
y
⊥
轴于点F ，
90
DFE
EDC
=
=
，
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90
EDF
DEF
+
=
，
90
EDF
CDO
+
=
，
CDO
DEF
=
，
由旋转的性质可得：
45
DCE
=
，
45
DEC
=
，
DC
DE
=
，
90
DOC
DFE
=
=
，
(
)
AAS
DEF
CDO
≌
，
8
DF
OC
=
= ，
4
EF
OD
=
=
，
4
OF
=
，
(
)
4, 4
E
−
−
，
设旋转后直线的解析式为y
ax
c
=
+ ，
把(
)
8,0 ，(
)
4, 4
−
−
代入y
ax
c
=
+ 得：
8
0
4
4
a
c
a
c
+
=
−
+
= −
，解得：
1
3
8
3
a
c
=
= −
，
所以旋转后直线的解析式为
1
8
3
3
y
x
=
−
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和
判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键．
题型九、反比例函数与一次函数无刻度尺作图
典例9 如图，点
(
)
2, 1
A −
−
在反比例函数
k
y
x
=
上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹．
(1)图1 中，作点A关于点O的对称点A；
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(2)图2 中，若点(
)
0,3
B
，请作出直线
3
y
x
= −−
．
【答案】(1)
如图，点A即为所作；
(2)
如图直线AC 即为所作；
【分析】本题考查反比例函数的对称性，无刻度直尺作图，掌握反比例函数的中心对称性解题即可．
（1）连接AO 并延长交反比例函数于点A，则点A即为所作；
（2）连接AO 并延长交反比例函数于点A，然后连接A B
交双曲线于点C，然后作点C关于原点的对称点
C，再过点A、C 作直线，则直线AC 即为所作．
【详解】（1）略
（2）略
变式9-1 如图，在平面直角坐标系中，A，B 两点在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，AB 过点O，ABC
是等边
三角形，AC 交x 轴于点D，且D 为AC 的中点．请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写
作法）．
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(1)在图①中，在x 轴上找出点F，使四边形ADBF 为矩形，作出矩形ADBF ；
(2)在图②中，作出菱形ACBF ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接BD并延长BD交反比例函数图象于M，连接MO ，并延长MO 交反比例函数图象于N ，
连接AN 交x 轴于F ，连接BF ，则四边形ADBF 即为所要求作的矩形；
（2）延长BP和CO相交于点F ，连接AF ，则四边形ACBF 即为所求．
【详解】（1）解：如图，四边形ADBF 即为所求；
A
B
、两点在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，AB 过O点，
∴点A B
、关于原点对称，
∴OA
OB
=
，
由作图可知：点M
N
、
关于原点对称，
∴AN 与BM 关于原点对称，
∵BM 与x 轴交于D，AN 与x 轴交于F，
∴点D
F
、关于原点对称，
∴OD
OF
=
，
∴四边形ADBF 是平行四边形，
∵D 是AC 的中点，
∵ABC
是等边三角形，
∴BD
AC
⊥
，
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∴
90
ADB
=
，
∴四边形ADBF 即为所要求作的矩形；
（2）解：如图，四边形ACBF 即为所求；
由（1）得：四边形ADBP 是矩形，OA
OB
=
，
∴AD
BP
∥
，即AC
BF
，
∴
OAC
OBF
=
，
ACO
BFO
=
，
∴
(
)
AAS
AOC
BOF
≌
，
∴AC
BF
=
，
∵ABC
是等边三角形，
∴
60
OAC
OBF
=
=
，AB
AC
BC
=
=
，
∴AB
BF
=
，
∴
ABF
△
是等边三角形，
∴AF
BF
AB
BC
AC
=
=
=
=
，
∴四边形ADBF 是菱形，
∴四边形ADBF 是所要求作的菱形．
【点睛】本题考查复杂作图，涉及反比例函数的对称性质，等边三角形的性质，中心对称作图，平行四边
形的判定，矩形的判定，菱形的判定等知识，本题综合性较强，属压轴题目．解题的关键是掌握以上知识
点．
变式9-2 在图中，A，B 两点在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，AB 过点O，ABC
是等边三角形，请仅用无刻
度的直尺完成以下作图( 保留作图痕迹).
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(1)图1 中，作AE
BC
⊥
，垂足为点E；
(2)图2 中，点D 为AC 的中点，在x 轴上作出点F，使四边形ADBF 为矩形；
(3)图3 中，在第二象限内作出点G，使四边形ACBG 为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查作垂线及作特殊四边形，解题的关键是理解题意，利用反比例
函数的对称性解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接OC
BD
、
交于H，连接AH 并延长交BC 于E，点E 即为所求；
（2）连接并延长BD交反比例函数
k
y
x
=
的图象于G，连接并延长GO 交反比例函数
k
y
x
=
的图象于M，连
接AM 交x 轴于F，则点F 即为所求；
（3）与( )
2 一样方法得到点G，则CO和GF 的延长线相交于点G，则四边形ACBG 为菱形．
【详解】（1）解：如图：连接OC
BD
、
交于H，连接AH 并延长交BC 于E，点E 即为所求；
（2）如图：连接并延长BD交反比例函数
k
y
x
=
的图象于G，连接并延长GO 交反比例函数
k
y
x
=
的图象于
M，连接AM 交x 轴于F，则点F 即为所求；
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（3）如图：与( )
2 一样方法得到点G，则CO和GF 的延长线相交于点G，则四边形ACBG 为菱形．
变式9-3 如图，正方形的一个顶点
(
)
1,3
A −
在反比例函数
3
y
x
−
=
的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直
尺分别在图1 和图2 中按要求画四边形，使B 、C 、D 都在双曲线上．
(1)在图1 中，画一个平行四边形ABCD，并说明画法；
(2)当点B 的坐标为(
)
3,1
−
时，在图2 中画一个矩形ABCD，并证明四边形ABCD为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，矩形的判定，两点距离计算公式，
熟知相关知识是解题的关键．
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（1）在第二象限内，反比例函数图象上任取一点B ，作直线BO交反比例函数图象于点D ，作直线AO ，交
反比例函数图象于点C ，则四边形ABCD为平行四边形；
（2）同（1）作出平行四边形ABCD，再由两点距离计算公式可证明OA
OB
=
，进而得到AC
BD
=
，据此
可证明四边形ABCD为矩形．
【详解】（1）解：如图所示，四边形ABCD即为所求；
作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点B ，作直线BO交反比例函数图象于点D ，作直线AO ，
交反比例函数图象于点C ，则OA
OC
=
、OB
OD
=
，所以四边形ABCD为平行四边形
（2）解：如图所示，四边形ABCD即为所求；
作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点B ，作直线BO交反比例函数图象于点D ，作直线AO ，
交反比例函数图象于点C ，则OA
OC
=
、OB
OD
=
，所以四边形ABCD为平行四边形；
根据勾股定理得
(
)
(
)
2
2
1 0
3
0
10
OA =
−−
+
−
=
，
(
)
(
)
2
2
3
0
1 0
10
OB =
−−
+
−
=
，
∴OA
OB
=
，
由（1）知四边形ABCD是平行四边形，
∴
2
2
AC
OA BD
OB
=
=
，
，
∴AC
BD
=
，
四边形ABCD是矩形．
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题型十、反比例函数与一次函数实际应用
典例10 我省某化工厂2023 年1 月的利润为200 万元，若设2023 年1 月为第一个月，第x 个月的利润为y
万元；由于污染问题，该厂决定从2023 年1 月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1 月底到5
月，y 与x 成反比例关系．到5 月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加
20 万元（如图）．
(1)分别求出在新技术改造阶段(
)
1
5
x
及新技术改造后(
)
5
x
，y 与x 之间的函数表达式；
(2)若设第3 个月时该厂的利润为
1y ，第4 个月时该厂的利润为
2y ，第7 个月时利润为
3y ，则
1y 、
2y 和
3y 的
大小关系为：________（用“>”连接）；
(3)当月利润少于100 万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？
【答案】(1)当1
5
x
时，
200
y
x
=
，当
5
x
时，
20
60
y
x
=
−
(2)
3
1
2
y
y
y
(3)5
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式；
（2）结合图象分别求出
3
x =
、4、7 时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可；
（3）利用
200
y =
分别得出x 的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：当1
5
x
时，将(
)
1,200 代入
k
y
x
=
得：
200
k =
，
∴在新技术改造阶段的函数关系式为：
200
y
x
=
，
当
5
x 时，将
5
x = 代入
200
y
x
=
得：
40
=
y
，则
(
)
40
20
5
20
60
y
x
x
=
+
−
=
−
，
即新技术改造后y 与x 之间的函数关系式为：
20
60
y
x
=
−
．
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（2）解：当
3
x = 时，该厂的利润在反比例函数
200
y
x
=
上，
∴
1
200
3
y =
，
当
4
x = 时，该厂的利润在反比例函数
200
y
x
=
上，
∴
2
200
50
4
y =
=
，
当
7
x =
时，该厂的利润在一次函数
20
60
y
x
=
−
上，
∴
3
20
60
80
y
x
=
−
=
，
∴
3
1
2
y
y
y
，
故答案为：
3
1
2
y
y
y
．
（3）解：对于
200
y
x
=
，当
100
y =
时，
2
x =
，
对于
20
60
y
x
=
−
，当
100
y =
时，
8
x =
，
∴资金紧张期有第3、4、5、6、7 这5 个月，
∴该厂资金紧张期共有5 个月．
变式10-1 为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒
药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：
3
mg/m ）与时间x（单位：min ）成正比例函数关系，药物燃
烧完成后，y 与x 成反比例函数关系，函数图像如图所示．
信息窗
1．药物8 分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量
为
3
6mg/m ．
2．空气中的含药量不高于
3
1.6mg/m 时，学生方可回
到教室．
3．当室内空气中的含药量不低于
3
3mg/m 时，对杀灭
病毒有效．
(1)直接写出m，n 的值；
(2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：
(3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？
【答案】(1)
8
m =
，
6
n =
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(2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12 分钟
(3)从消毒开始，至少需要30min 学生才能回到教室
【分析】（1）由“药物8 分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为
3
6mg/m ”可得
8
m =
，
6
n =
；
（2）分别设y 与x 的正比例函数、反比例函数关系式，把点(
)
8,6 代入后求出关系式，再把
3
y =
代入关系
式分别解出x 的值相减即可；
（3）空气中的含药量不高于
3
1.6mg/m 时，学生方可回到教室，把
1.6
y =
代入
48
y
x
=
中，解出x 的值即可；
本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值
等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意知
8
m =
，
6
n =
．
（2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x 成正比例函数关系，
∴设y
kx
=
，
把点(
)
8,6 代入y
kx
=
中，得6
8k
=
，解得
3
4
k =
，
∴药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为
(
)
3
0
8
4
y
x
x
=
，
∵当室内空气中的含药量不低于
3
3mg/m 时，对杀灭病毒有效，
药物燃烧时，当
3
y =
时，
4
x = ，
∴药物燃烧4min时，才开始对杀灭病毒起效；
∵药物燃烧完成后，y 与x 成反比例函数关系，
∴设反比例函数式为
a
y
x
=
，
把点(
)
8,6 代入
a
y
x
=
中，得
6 8
48
a = =
，
∴反比例函数式为
(
)
48
8
y
x
x
=
，
药物燃烧完成后，当
3
y =
时，
16
x =
，
∴16
4
12
−
=
（min ），
∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12 分钟．
（3）∵空气中的含药量不高于
3
1.6mg/m 时，学生方可回到教室，
把
1.6
y =
代入
48
y
x
=
中，解得
30
x =
，
即从消毒开始，至少需要30min 学生才能回到教室．
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变式10-2 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释
放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min ）之间的关系如图所示．根据图象所示
信息，解答下列问题：
(1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于4mg ，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多
少分钟后，学生才能回到教室？
(3)当空气中每立方米含药量不低于6mg 且持续时间不低于20 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为
此次消毒是否有效？并说明理由．
【答案】(1)
(
)
3
0
16
4
y
x
x
=
，
(
)
192
16
y
x
x
=
(2)至少需要经过48 分钟后，学生才能回到教室
(3)有效，理由见解析
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答
本题的关键．
（1）设正比例函数表达式为y
kx
=
，反比例函数表达式为
m
y
x
=
，将(
)
24,8 代入即可求出反比例函数的表
达式，再求出点(
)
16,12
A
的坐标，最后将点(
)
16,12
A
的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式；
（2）把
4
y =
代入
192
y
x
=
求出x 的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答；
（3）将
6
y =
分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行
比较，即可解答．
【详解】（1）解：设正比例函数表达式为y
kx
=
，反比例函数表达式为
m
y
x
=
，
将点(
)
24,8 代入
m
y
x
=
中得：8
24
m
=
解得：
192
m =
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∴反比例函数的表达式为
192
y
x
=
把
12
y =
代入
192
y
x
=
中得：
192
12
x
=
，
解得：
16
x =
∴
(
)
16,12
A
反比例函数的表达式为
(
)
192
16
y
x
x
=
，
将点(
)
16,12
A
代入y
kx
=
得：12
16k
=
，
解得：
3
4
k =
∴正比例函数的表达式为
(
)
3
0
16
4
y
x
x
=
（2）解：将
4
y =
代入
192
y
x
=
中得：
192
4
x
=
，
解得：
48
x =
，
∴至少需要经过48 分钟后，学生才能回到教室．
（3）解：有效，
理由：把将
6
y =
代入
3
4
y
x
=
中得：
3
6
4 x
=
，
解得：
8
x = ，
把
6
y =
代入
192
y
x
=
得：
192
6
x
=
，
解得：
32
x =
，
∴32 8
24
20
−=
，
∴此次消毒有效．
变式10-3 某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时
增加2 千米，4 小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4 千米，然后风速不变，当沙尘
暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
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(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．
(2)当4
10
x
时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10 千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该
沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
【答案】(1)32，10
(2)y= 640
x
(3)59.5
【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解
题意，读懂图象是解决本题的关键．
（1）速度=增加幅度×时间，得4 时风速为8 千米/时，10 时达到最高风速，为32 千米/时，与x 轴平行的一
段风速不变，最高风速维持时间为20 10
10
−
=
小时；
（2）当4
10
x
时函数解析式为y
ax
b
=
+
，将(4,8) ，(10,32) 代入，利用待定系数法即可求解；
（3）求出当4
10
x
和
20
x
，
10
y =
时，求出对应x 的值，然后求差即可求解．
【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4 时，风速平均每小时增加2 千米；所以4 时风速为8 千米/时；
4 10
～
时，风速变为平均每小时增加4 千米，10 时达到最高风速，为8 6 4
32
+ =
千米/时；
10
20
～
时，风速不变；最高风速维持时间为20 10
10
−
=
小时；
故答案为：32，10；
（2）解：设当4
10
x
时函数解析式为y
ax
b
=
+
，将(4,8) ，(10,32) 代入，
4
8
10
32
a
b
a
b
+
=
+
=
，解得：
4
8
a
b
=
= −
当4
10
x
时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为
4
8
y
x
=
−；
（3）解：∵当4
10
x
，
10
y =
时，10
4
8
x
=
−，解得
9
2
x =
，
∴9
2 时风速为10 千米/时，
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当
20
x
时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= k
x
将(20,32) 代入，得32
20
k
=
解得
640
k =
所以当
20
x
时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为
640
y
x
=
；
当
20
x
，
10
y =
时，640
10
x =
，解得
64
x =
“危险时刻”的时间为：64
4.5
59.5
−
=
（小时）．
∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5小时．
题型十一、反比例函数与一次函数的新定义应用
典例10 如图，直线y
x
b
=
+
与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象在第一象
限内交于点(
)
4,2
A
．
(1)求直线y
x
b
=
+
和反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的解析式；
(2)将直线y
x
b
=
+
平移得到直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积是BCO
面积的2 倍，求直线l 的
解析式；
(3)对于点
(
)
,
P c d ，我们定义：当点
(
)
,
M m n 满足m
c
n
d
+
=
+
时，称点M 是点P 的等和点．试探究在反比
例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
图象上是否存在点P ，使点P 的等和点M 在直线y
x
b
=
+
上?若存在，请求出点P 的坐
标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
8
y
x
=
，
2
y
x
=
−
；
(2)
2 2
y
x
=
+
或
2 2
y
x
=
−
；
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(3)存在，点P 的坐标为(
)
2,4 或(
)
4, 2
−
−
．
【分析】( )
1 把(
)
4,2
A
代入
k
y
x
=
，求出k 值，即可得到反比例函数的解析式，把(
)
4,2
A
代入y
x
b
=
+
，求
出b 值，即可得到一次函数的解析式；
( )
2 将直线y
x
b
=
+
沿y 轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得DEO
CBO
∽
，根据相似三角形的面
积比等于相似比的平方，可得
2 2
OD =
，OD 的长度就是直线y
x
b
=
+
中的b ；将直线y
x
b
=
+
沿y 轴方向
向下平行移动时，根据平移的性质可得FGO
CBO
∽
，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
2 2
OF =
，其中OF 的长度是直线y
x
b
=
+
中的b 的相反数；
( )
3 根据等和点的关系和点P 、点M 所在的解析式，设点
8
,
P c c
，点
(
)
,
2
M m m −
，根据等和点的坐标之间
的关系可得方程
8
2
c
c
= −+
，解方程求出c 的值，再把c 的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点
P 的坐标．
【详解】（1）解：把(
)
4,2
A
代入
k
y
x
=
，
可得：2
4
k
=
，
8
k
= ，
反比例函数的解析式为
8
y
x
=
，
把(
)
4,2
A
代入y
x
b
=
+
，
可得：2
4
b
=
+ ，
2
b
= −，
直线y
x
b
=
+
的解析式为
2
y
x
=
−
；
（2）解：
2
b = −
，
点C 的坐标是(
)
0, 2
−
，
2
OC
=
，
如下图所示，
①将直线y
x
b
=
+
沿y 轴方向向上平行移动时，
设直线l 与x ，y 轴分别交于点E ，D ，则DE
BC
∥
，
DEO
CBO
∽
，
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2
Δ
Δ
DEO
COB
S
OD
S
OC
=
，
2
2
2
OD
=
，
2 2
OD
=
，
直线l 与直线
2
y
x
=
−
平行，
2 2
OD =
，
直线l 的解析式为
2 2
y
x
=
+
；
②将直线y
x
b
=
+
沿y 轴方向向下平行移动时，
设直线l 与x ，y 轴分别交于点G ，F ，则GF
BC
，
FGO
CBO
∽
，
2
FGO
COB
S
OF
S
OC
=
，
2
2
2
OF
=
，
2 2
OF
=
，
直线l 与直线
2
y
x
=
−
平行，
2 2
OF =
，
直线l 的解析式为
2 2
y
x
=
−
；
综上所述，直线l 的解析式为
2 2
y
x
=
+
或
2 2
y
x
=
−
；
（3）解：点P 的坐标为(
)
2,4 或(
)
4, 2
−
−
，
点P 在
8
y
x
=
图象上，点M 在直线
2
y
x
=
−
上，
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设点
8
,
P c c
，点
(
)
,
2
M m m −
，
点M 是点P 的等和点，
8
2
m
c
m
c
+
=
−+
，
8
2
c
c
= −+
，
2
2
8
0
c
c
+
−
=
，
1
2
c
=
，
2
4
c = −，
经检验，
1
2
c =
，
2
4
c = −均是原分式方程的根，
当
1
2
c =
时，
1
8
4
c =
，此时点P 的坐标为(
)
2,4 ，
当
2
4
c = −时，
2
8
2
c = −，此时点P 的坐标为(
)
4, 2
−
−
，
综上所述，在
8
y
x
=
的图象上存在点P ，使点P 的等和点M 在直线
2
y
x
=
−
上，点P 的坐标为(
)
2,4 或(
)
4, 2
−
−
．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、
相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐
标，再根据坐标求出解析式．
变式10-1 定义：以点A 为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2 的正方形边上所有的点称为“A 的关
联点”．在平面直角坐标系中
(1)若点A 为(0,0) ，下列不是“A 的关联点”的是（ ）
A．
1
1, 2
−
B．( 1, 1)
−
−
C．(2, 1)
−
D．2 ,1
3
(2)若点A 为(1,3)
①反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图像上有且只有一个“A 的关联点”，则k =______；
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②反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图像上有两个“A 的关联点”，且两关联点的距离为5 ，求k 的值；
③直线y
x
m
=
+
记为l ，l 绕原点顺时针旋转90后的直线记为l，l 和l上都存在“ A的关联点”，直接写出m
的取值范围．
【答案】(1)C
(2)①8；②
4
k =
；③2
4
m
【分析】本题考查的是一次函数和反比例综合运用，涉及到一次函数的旋转、新定义等，数形结合是解题
的关键．
（1）作图，有图观察判断，四个点中，是否在正方形的边上，即可求解；
（2）①根据乘积为8，有图象可知反比例函数过点(
)
2 4
，时，符合题设条件，即可求解；②设符合条件的两
个点为点
4
(
)
4
k
M
，、
2
(2
)
k
N
，，则
(
)
2
2
2
2
2
4
5
4
2
k
k
MN
=
−
+
−
=
即可求解；③l 绕原点顺时针旋转90后的
直线记为l，则l
y
x
m
= −+
∶
，如下图，在y 轴上(
)
0,2 ，(
)
0,4 ，(
)
2,2 ，(
)
2,4 ，为顶点的正方形，据图得
出结论：2
4
m
．
【详解】（1）如图，边长为2 的正方形，以点A 为对称中心，
在
1
1, 2
−
、( 1, 1)
−
−
、(2, 1)
−
、2 ,1
3
四个点中，只有点(2, 1)
−
不在正方形的边上，
故选：C．
（2）①如下图当反比例函数过点(
)
2,4 时，符合题设条件，
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则
2 4
8
k =
= ，
故答案为：8；
②如图，设符合条件的两个点为点
4
(
)
4
k
M
，、
2
(2
)
k
N
，，
则
(
)
2
2
2
2
2
4
5
4
2
k
k
MN
=
−
+
−
=
，
解得：
1
4
k =
，
2
12
k =
（不合题意舍去）；
③l 绕原点顺时针旋转90后的直线记为l，则l
y
x
m
= −+
∶
，如下图，
当两个函数的虚线和实线之间时，符合题设条件，即2
4
m
．
变式10-2 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P 是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P 分别
作x 轴、y 轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B 为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，
则称点P 是平面直角坐标系中的“美好点”．
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【尝试初探】：
（1）点
(
)
2,3
C
“美好点”（填“是”或“不是”）；若点
(
)
4,
D
b 是第一象限内的一个“美好点”，则b = ______；
【深入探究】：
（2）①若“美好点”
(
)
,6
E m
（
0
m
）在双曲线
k
y
x
=
（
0
k
，且k 为常数）上，则k = ；
②在①的条件下，
(
)
2,
F
n 在双曲线
k
y
x
=
上，求
EOF
S△
的值．
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点
(
)
,
P x y 是第一象限内的“美好点”．
①直接写出y 关于x 的函数表达式及自变量的取值范围
②对于图象上任意一点(
)
,x y ，求代数式(
)(
)
2
2
x
y
−
−
的值，（直接写出结果）．
【答案】（1）不是，4；（2）①18；②15
2 ；（3）①
2
2
x
y
x
=
−
或
4
2
2
y
x
=
+
−
（
2
x
）；②4
−
【分析】（1）过点
(
)
2,3
C
分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为D，E，得到
3,
2
CD
CE
=
=
，于是矩形CDOE
的周长为(
)
3
2
2
10
+
=
，面积为3 2
6
=
，不相等，判断即可；根据点
(
)
4,
D
b 是第一象限内的一个“美好点”，
得到(
)
2 4
4
b
b
+
=
，解答即可．
（2）①根据点
(
)
,6
E m
是“美好点”（
0
m
），得到(
)
2
6
6
m
m
+
=
，确定m 的值，继而得到点
(
)
,6
E m
，把确
定的坐标代入解析式
k
y
x
=
确定k 值即可；
②把
(
)
2,
F
n 代入双曲线
18
y
x
=
中，得到
9
n =
，得到
(
)
2,9
F
，过点F 作FH
y
⊥
轴于点H，交OE 的延长线
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于点G，设
(
)
,9
G m
，直线OE 的解析式为y
kx
=
，确定直线OE 的解析式，点G 的坐标，根据
EOF
GOF
EGF
S
S
S
=
−
解答即可．
（3）①根据定义，得(
)
2 x
y
xy
+
=
，整理表示y 即可．
②根据
(
)
4
2
>2
2
y
x
x
=
+
−
，变形得
4
2
2
2
2
y
x
−
=
+
−
−
即(
)(
)
2
2
4
y
x
−
−
=
，变形解答即可．
【详解】
（1）解：如图，过点
(
)
2,3
C
分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为D，E，根据题意，得
3,
2
CD
CE
=
=
，
∴矩形CDOE 的周长为(
)
3
2
2
10
+
=
，面积为3 2
6
=
，不相等，
∴点
(
)
2,3
C
不是“美好点”；
∵点
(
)
4,
D
b 是第一象限内的一个“美好点”，
∴(
)
2 4
4
b
b
+
=
，
解得
4
b =
．
（2）①∵点
(
)
,6
E m
是“美好点”（
0
m
），
∴(
)
2
6
6
m
m
+
=
，
解得
3
m =
，
∴点
(
)
3,6
E
，
把
(
)
3,6
E
代入解析式
k
y
x
=
中，得6
3
k
=
，
解得
18
k =
；
②∵
18
k =
，
∴双曲线
k
y
x
=
的解析式为
18
y
x
=
，
∵点
(
)
2,
F
n 在
18
y
x
=
上，
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解得
18
9
2
n =
=
，
故点
(
)
2,9
F
，
过点F 作FH
y
⊥
轴于点H，交OE 的延长线于点G，
设
(
)
,9
G m
，直线OE 的解析式为y
kx
=
，
根据题意，得6
3k
=
，
解得
2
k =
，
∴直线OE 的解析式为
2
y
x
=
，
∵
(
)
,9
G m
在直线
2
y
x
=
上，
∴9
2m
=
，
解得
9
2
m =
，
∴
9 ,9
2
G
，
∴
9
5
2
2
2
GF =
−
=
，
∴
(
)
1
5
1
5
15
9
9
6
2
2
2
2
2
EOF
GOF
EGF
S
S
S
=
−
=
−
−
=
．
（3）①∵点
(
)
,
P x y 是第一象限内的“美好点”．
∴(
)
2 x
y
xy
+
=
，
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∴
(
)
2
2
2
x
xy
y
x
y
=
−
=
−
，
∵点
(
)
,
P x y 是第一象限内的“美好点”，
∴>0, >0
y
x
，
∴
2>0
x−
，
∴>2
x
，
∴
(
)
2
>2
2
x
y
x
x
=
−
或
(
)
4
2
>2
2
y
x
x
=
+
−
．
②∵
(
)
4
2
>2
2
y
x
x
=
+
−
，
∴
4
2
2
2
2
y
x
−
=
+
−
−
，
∴(
)(
)
2
2
4
y
x
−
−
=
，
∴(
)(
)
2
2
4
y
x
−
−
= −，
∴(
)(
)
2
2
y
x
−
−
的值是4
−．
【点睛】本题考查了矩形的周长和面积，点的坐标特点，待定系数法求反比例函数，正比例函数的解析式，
分割法求图形的面积，正确理解新定义，熟练掌握待定系数法，分割法求图形的面积是解题的关键．
变式10-3 对于一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a
x
b
，函数值y 满足m
y
n
，且满足
(
)
n
m
k b
a
−
=
−
，则称此函数为“k 属合函数”．例如：正比例函数
2
y
x
−
=
，当1
3
x
时，6
2
y
−
−，则
(
)
(
)
2
6
3 1
k
−−−
=
−
，求得：
2
k =
，所以函数
2
y
x
−
=
为“2 属合函数”．
(1)一次函数
1
y
ax
=
−(
)
01
3
a
x
，
为“1 属合函数”，求a 的值．
(2)反比例函数
k
y
x
= （
0
k
a
x
b
，
且0
a
b
），是“k 属合函数”，且
2021
a
b
+
=
，请求出
2
2
a
b
+
的值．
【答案】(1) 1
−
(2)2019
【分析】（1）利用“k 属合函数”的定义即可得出结论；
（2）先判断出函数的增减性，利用“k 属合函数”的定义得出
1
ab = ，最后利用完全平方公式即可得出结论．
【详解】（1）解：当
0
a
时，一次函数的y 随着x 的增大而减小，
∵1
3
x
，
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∴3
1
1
a
y
a
−
−，
∵一次函数
(
)
1
01
3
y
ax
a
x
=
−
，
为“1 属合函数”，
∴(
) (
)
(
)
1
3
1
1
3 1
a
a
−
−
−
=
−
，
∴
1
a = −；
（2）解：∵反比例函数
k
y
x
=
，
∵
0
k ，
∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，
当a
x
b
且0
a
b
是“k 属合函数”，
∴
(
)
b
a
a
k
k
b
k
=
−
−
，
∴
1
ab = ，
∵
2021
a
b
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
2021 2
2019
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
=
−
=
．
【点睛】此题考查了新定义的理解和应用，反比例函数的性质，一次函数的性质，一次函数与反比例函数
的综合题，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．反比例函数
k
y
x
=
的图象与一次函数
1
y
x
= −+ 的图象交于点(
)
3,t
−
，则t 和k 的值分别是（ ）
A．
4
t =
，
1
k =
B．
4
t =
，
1
k = −
C．
4
t = −，
12
k =
D．
4
t =
，
12
k
−
=
【答案】D
【详解】解：∵点(
)
3,t
−
在一次函数
1
y
x
= −+ 的图象上，
∴将
3
x
−
=
代入一次函数表达式
1
y
x
= −+ ，得
(
)
3
1
4
t = −−
+ =
；
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∵点(
)
3,4
−
在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，
∴将
3
x
−
=
，
4
y =
代入反比例函数表达式
k
y
x
=
，得4
3
k
= −，解得
12
k
−
=
，
∴t 的值是4 ，k 的值是12
−
．
2．如图，直线
2
2
3
y
x
=
+
与反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象在第一象限内的交点为A，且交x 轴于点B，交y
轴于点C．若
2
BC
AC
=
，则k 的值为（ ）
A．4
B．7
3
C．9
2
D．6
【答案】C
【分析】先求出C，B 坐标，从而求出OC，OB 长度，由
2
BC
AC
=
得
2
OBC
OAC
S
S
=
△
△
，据此可求A 点横坐
标
A
x ，代入
2
2
3
y
x
=
+
即可求出A 点纵坐标
A
y ，将A 点坐标代入
(
)
0
k
y
x
x
=
即可得到k 的值．
【详解】解：对于直线
2
2
3
y
x
=
+
，当
0
x =
时，
2
y =
，
∴
(
)
0,2 ,
2
C
OC =
，
当
0
y =
时，2
2
0
3 x +
=
，
∴
3
x
−
=
∴
(
)
3,0 ,
3
B
OB
−
=
∵
2
BC
AC
=
，
∴
2
OBC
OAC
S
S
=
△
△
，
∴1
1
2
2
2
A
OB OC
OC x
=
∴3
2
A
x
=
，
∴
3
2
A
x =
，
∴
2
3
2
3
3
2
A
y =
+
=
，
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∴
3 ,3
2
A
，
代入
k
y
x
=
得
3
9
3
2
2
k =
=
．
3．如图，已知直线l 与x ，y 轴分别交于A，B 两点，与反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象交于C ，D 两点，
连接OC ，OD ．若AOC
和
COD
△
的面积都为6 ，则k 的值是（ ）
A．2
−
B．3
−
C．4
−
D．8
−
【答案】D
【分析】由AOC
和
COD
△
的面积都为6，得点C 为AD的中点，设
,
k
C
m
m
，(
)
0,
A
n ，由中点坐标公式
得
2 ,2
k
D
m
n
m
−
，代入解析式得出
3
2
m
n =
，过点C 作CH
y
⊥
轴于点H ，利用
6
AOC
S
=
，即可求解．
【详解】解：∵AOC
和
COD
△
的面积都为6 ，
∴AC
CD
=
，即点C 为AD的中点，
设
,
k
C
m
m
，
(
)
0,
A
n ，
∴
2 ,2
k
D
m
n
m
−
，
∵点D 在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
图象上，
∴
(
)
2
2
k
m
n
k
m
−
=
，
∴
3
2
m
n =
，
如图，过点C 作CH
y
⊥
轴于点H ，则
k
CH
m
= −
，
3
2
m
OA
n
=
=
，
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∵
1
1
3
6
2
2
2
AOC
m
k
S
OA CH
m
=
=
−
=
，
∴
8
k = −．
4．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数
(
)
0
y
mx m
=
与函数
(
)
0
k
y
k
x
=
交于A、B 两点，
点C 在x 轴上，且AC
AO
=
，若
12
ABC
S
=
，则k 的值为（ ）
A．4
B．6
C．12
D．24
【答案】B
【分析】根据点A 和点B 关于原点对称，则OA
OB
=
，据此可得
1
6
2
AOC
ABC
S
S
=
=
；过点A 作AE
x
⊥
轴于
点E，则
1
2
OE
OC
=
，据此可得
1
3
2
AOE
AOC
S
S
=
=
△
△
，进而可得
3
2
AOE
k
S
=
=
，即可求出
6
k =
．
【详解】解：∵函数
(
)
0
y
mx m
=
与函数
(
)
0
k
y
k
x
=
交于A、B 两点，
∴点A 和点B 关于原点对称，
∴OA
OB
=
，
∴
1
6
2
AOC
ABC
S
S
=
=
；
如图所示，过点A 作AE
x
⊥
轴于点E，
∵AC
AO
=
，
∴
1
2
OE
OC
=
，
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∴
1
3
2
AOE
AOC
S
S
=
=
△
△
，
又∵点A 在反比例函数的图象上，
∴
3
2
AOE
k
S
=
=
，
∵
0
k ，
∴
6
k =
．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
的图象与反比例函数
(
)
=
2
m
y
m
0
x
的图象相交
于第一、三象限内的点𝐴(3,5), 𝐵(𝑎, −3)，与x 轴交于点C ．在y 轴上找一点P 使PB
PC
−
最大，则PB
PC
−
的
最大值为（ ）
A．3 2
B．2 3
C．4
D．2 5
【答案】A
【分析】求得直线
1y 与y 轴的交点即为P 点，此时，PB
PC
BC
−
=
最大，利用勾股定理即可求得最大值．
【详解】解：把(
)
3,5
A
代入
(
)
=
2
m
y
m
0
x
，
得
5
3
m =
，
15
m
=
，
反比例函数的解析式为
2
15
y
x
=
，
把点(
)
, 3
B a −
代入
2
15
y
x
=
，
得15
3
a = −，
解得：
5
a
−
=
，
(
)
5, 3
B
−
−
，
把
(
)
3,5
A
，
(
)
5, 3
B −
−
代入
1y
kx
b
=
+ ，
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得
3
5
5
3
k
b
k
b
−
+
=
−
+
=
，
1
2
k
b
=
=
，
一次函数的解析式为
1
2
y
x
=
+
；
令
0
x =
，则y
0
2
2
=
+
=
，
一次函数与y 轴的交点为
(
)
0,2
P
，
此时，PB
PC
BC
−
=
最大，P 即为所求，
令
0
y =
，则
2
x = −，
(
)
2,0
C
−
，
如图，过B 点向x 轴作垂线，
则
(
)
5,0
D −
，
3
BD
= ，
(
)
2
5
3
CD = −−−
= ，
由勾股定理可得：
2
2
2
2
3
3
3 2
BC
CD
BD
=
+
=
+
=
，
故所求PB
PC
−
的最大值为3 2 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
(
)
8
0
y
x
x
=
的图象与一次函数
2
y
x
=
−
的图象交于点(
)
,
P m n ，
则代数式1
1
m
n
−
的值为__________．
【答案】
1
4
−
/ 0.25
−
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【分析】由题意，得到
8
2
mn
n
m
−
−
=
=
，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可．
【详解】解：反比例函数
(
)
8
0
y
x
x
=
的图象与一次函数
2
y
x
=
−
的图象交于点
(
)
,
P m n ，
8
2
n
m
n
m−
=
=
，则
8
2
mn
n
m
−
−
=
=
，
1
1
2
1
8
4
n
m
m
n
mn
−
−
−
−
=
=
=
．
7．在平面直角坐标系中，若直线y
x
b
=
+
与双曲线
k
y
x
=
（k 为常数，
0
k
）的图象交于点(
)
,b k ，则直线
y
x
b
=
+
与两坐标轴围成的三角形的面积是______．
【答案】1
2 /0.5
【分析】先将交点坐标代入直线和双曲线的解析式，求出b 的值，再求出直线与两坐标轴的交点坐标，最后
根据三角形面积公式计算结果．
【详解】解：点(
)
,b k 是直线y
x
b
=
+
与双曲线
k
y
x
=
的交点，
将(
)
,b k 代入y
x
b
=
+
得：
2
k
b
b
b
=
+
=
，
将(
)
,b k 代入
k
y
x
=
得：
k
k
b
=
，
0
k
，等式两边同时除以k 得：
1
1
b
=
，
解得
1
b = ，
直线解析式为
1
y
x
=
+ ，
令
0
y =
，得0
1
x
=
+ ，
解得
1
x = −，即直线与x 轴交点为(
)
1,0
−
，
令
0
x =
，得
0 1
1
y =
+ = ，即直线与y 轴交点为(
)
0,1 ，
直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为
1
1
−
= ，1
1
= ，
三角形面积公式得：
1
1
1 1
2
2
S =
=
．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1
1
y
kx
=
+ （k 为常数，
0
k
）与反比例函数
2
a
y
x
= （a 为常数，
0
a
）
的图象交于A，B 两点．若点A 的纵坐标为4，点B 的横坐标为6
−，则a 的值为________．
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【答案】
18
【分析】设出点A和点B 的坐标，利用点在反比例函数图象上满足解析式表示出坐标，再代入一次函数解析
式建立关于a 和k 的方程组，消去k 求解a 的值，最后根据图象所在象限确定a 的符号．
【详解】解：设点A的坐标为(
)
,4
A
x
，点B 的坐标为(
)
6,
B
y
−
，
点
,
A B 在反比例函数
2
a
y
x
=
的图象上 ，
,
4
6
A
B
a
a
x
y
−
=
=
，
,4 ,
6,
4
6
a
a
A
B
−
−
，
点
,
A B 在一次函数
1
1
y
kx
=
+ 的图象上，
∴{
4 =
𝑎
4 𝑘+ 1
−
𝑎
6 = −6𝑘+ 1
，
由4
1
4
a k
=
+ 得
12
ak =
，即
12
k
a
=
，
将
12
k
a
=
代入
6
1
6
a
k
−
−
=
+ 得
12
6
1
6
a
a
−
−
=
+ ，
整理得
2
6
432
0
a
a−
+
=
，
解得
1
2
18,
24
a
a
−
=
=
，
反比例函数图象位于第一、三象限，
0
a
18
a
=
．
9．如图，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点
(2,1)
A
，过A 作AB
y
⊥
轴于点B，连接OA，直线CD
OA
⊥
，
交x 轴于点C，交y 轴于点D，若点B 关于直线CD的对称点B恰好落在该反比例函数图像上，则D 点纵坐
标为 _____
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【答案】5 5
1
4
−
【分析】连接BB，DB，求出线OA的解析式为
1
2
y
x
=
，直线BB的解析式为
1
1
2
y
x
=
+ ，联立
2
1
1
2
y
x
y
x
=
=
+
，
求出
5
1
5
1,
2
B
+
−
，设
(
)
0,
D
d ，然后根据BD
BD
=
列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接BB，DB，
∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点
(2,1)
A
，
∴
2
k =
，
∴反比例函数为
(
)
2
0
y
x
x
=
，
∵直线OA经过
(2,1)
A
，过A作AB
y
⊥
轴于点B ，
∴
(0,1)
B
，
设直线OA的解析式为y
kx
=
，
∴1
2k
=
∴
1
2
k =
，
∴直线OA的解析式为
1
2
y
x
=
，
∵点B 与点B关于直线CD对称，
∴BB
CD
¢^
，BD
BD
=
．
小学
初中
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∵CD
OA
⊥
，
∴BB
OA
∥
∴设直线BB的解析式为
1
2
y
x
b
=
+
，
把
(0,1)
B
代入得到，
1
b = ，
∴直线BB的解析式为
1
1
2
y
x
=
+ ，
联立
2
1
1
2
y
x
y
x
=
=
+
，
解得
1
5
5
1
2
x
y
= −+
+
=
或
1
5
5
1
2
x
y
= −−
−
= −
（不合题意，舍去）
∴
5
1
5
1,
2
B
+
−
，
则B点纵坐标为
5
1
2
+ ．
设
(
)
0,
D
d ，
∵BD
BD
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
5
1
1
5
1 0
2
d
d
+
−
=
−−
+
−
，
解得
5 5
1
4
d
−
=
，
∴D 点纵坐标为5 5
1
4
−．
10．小明将三角尺ABC（
90
ACB
=
，
5
AC
BC
=
=
）摆放在如图所示的直角坐标系中，使得点C 位于(
)
3,0
处，BC 边与x 轴重合，点B 在点C 左侧．将ABC
绕点C 顺时针旋转一定角度后，使点B 的对应点D 落在y
轴上，点A的对应点E 恰好落在第一象限的双曲线
k
y
x
=
上，则k 的值为_____
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【答案】21
【分析】过点E 作EH
x
⊥
轴于点H ，则
90
COD
CHE
=
=
，根据题意可得
3
OC =
，根据旋转可得
5
CD
CE
BC
AC
=
=
=
= ，
90
DCE
ACB
=
=
，由勾股定理求出
4
OD =
，证明COD
EHC
≌
，得到
4
CH
OD
=
=
，
3
EH
OC
=
= ，进而求出点E 的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，过点E 作EH
x
⊥
轴于点H ，则
90
COD
CHE
=
=
，
点C 位于(
)
3,0 处，
3
OC =
，
由旋转可得，
5
CD
CE
BC
AC
=
=
=
= ，
90
DCE
ACB
=
=
，
2
2
2
2
5
3
4
OD
CD
OC
=
−
=
−
=
，
90
OCD
ECH
+
=
，
90
COD
=
，
90
OCD
ODC
+
=
，
ODC
ECH
=
，
在
COD
△
和
EHC
△
中，
ODC
ECH
COD
EHC
CD
CE
=
=
=
，
(
)
AAS
COD
EHC
≌
，
4
CH
OD
=
=
，
3
EH
OC
=
= ，
3 4
7
OH
OC
CH
=
+
= +
=
，
(
)
7,3
E
，
将
(
)
7,3
E
代入
k
y
x
=
，得3
7
k
=
，
解得
21
k =
．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
的图象与反比例函数
(
)
2
0
m
y
m
x
=
的图象交于
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A，B 两点，与y 轴交于点C ．已知点
(
)
6,2
A
，点B 的纵坐标为3
−．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)点D是y 轴上一点，连结AD，BD，若ABD
的面积为10，请直接写出点D 的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为
2
12
y
x
=
，一次函数的表达式为
1
1
1
2
y
x
=
−
(2)点D的坐标为(
)
0,1 或(
)
0, 3
−
【分析】（1）先利用点A坐标求解反比例函数解析式，进而求出点B 坐标，再通过A、B 两点确定一次函数
表达式．
（2）先求解出直线与y 轴的交点C ，设出y 轴上点D 的坐标，运用分割法，以CD为公共底，将ABD
拆
分为ACD
、BCD
，结合A、B 两点的横坐标作为两个三角形的高，进而表示出ABD
的面积，列方程即
可得到点D的坐标．
【详解】（1）解：将点
(
)
6,2
A
代入
2
m
y
x
=
，解得
12
m =
，
故反比例函数的表达式为
2
12
y
x
=
．
B
点在反比例函数图象上，且纵坐标为3
−，
将
3
y
−
=
代入
2
12
y
x
=
，解得
4
x = −，
故B 点的坐标为(
)
4, 3
−
−
．
A
、B 两点经过一次函数图象，将两点坐标代入
1y
kx
b
=
+ ，
得到
2
6
3
4
k
b
k
b
=
+
−= −
+
，解得
1
2
1
k
b
=
= −
，
故一次函数的表达式为
1
1
1
2
y
x
=
−．
答：反比例函数的表达式为
2
12
y
x
=
，一次函数的表达式为
1
1
1
2
y
x
=
−．
（2）解：令一次函数中的
0
x =
，得
1
y
−
=
，则点C 的坐标为(
)
0, 1
−
，
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设点D的坐标为(
)
0,
D
y
，则线段CD的长度为
1
D
y + ，
ABD
ACD
BCD
S
S
S
=
+
△
△
△
∵
，
1
1
1
1
1 6
1 4
5
1
2
2
2
2
ABD
A
B
D
D
D
S
CD x
CD x
y
y
y
=
+
=
+ +
+
=
+
．
10
=
ABD
S
，
5
1
10
D
y
+
=
，即
1
2
D
y +
=
，
解得
1
=
D
y
或
3
D
y = −，
D
的坐标为(
)
0,1 或(
)
0, 3
−
．
答：D的坐标为(
)
0,1 或(
)
0, 3
−
．
12．如图，反比例函数
k
y
x
= （k 是常数）与一次函数
2
y
x
b
= −
+ （b 是常数）的图象相交于点(
)
1,
A
a ，(
)
3,2
B
．
(1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式
2
k
x
b
x −
+
的解集；
(3)一次函数
2
y
x
b
= −
+
的图象与x 轴相交于点C，点P 是反比例函数
k
y
x
=
图像上的动点，连接PO、PC ，
当OPC
的面积为6 时，直接写出点P 的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为
6
y
x
=
，一次函数的表达式为
2
8
y
x
= −
+
；
(2)1
3
x
或
0
x
；
(3)(
)
2,3 或(
)
2, 3
−
−
.
【分析】（1）把(
)
3,2
B
代入
k
y
x
=
和
2
y
x
b
= −
+
解方程即可得到结论；
（2）把(
)
1,
A
a 代入
2
8
y
x
= −
+
得
2
8
6
a = −+ = ，，得到
(
)
1,6
A
，于是得到不等式
2
k
x
b
x −
+
的解集；
（3）设
6
,
P m m
，先求出点C 的坐标，然后根据三角形面积公式构建关于m 的方程求解即可.
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【详解】（1）
k
y
x
=
的图象与一次函数
2
y
x
b
= −
+
的图象交于(
)
3,2
B
．
∴
3 2
6
k = =
，2
2 3 b
= −+ ，
∴
6
k =
，
8
b =
，
∴反比例函数的表达式为
6
y
x
=
，一次函数的表达式为
2
8
y
x
= −
+
；
（2）解：把(
)
1,
A
a 代入
2
8
y
x
= −
+
得
2
8
6
a = −+ = ，
∴
(
)
1,6
A
，
∴不等式
2
k
x
b
x −
+
的解集为1
3
x
或
0
x
；
（3）解：对于
2
8
y
x
= −
+
，当
0
y =
时，2
8
0
x
−
+ =
，解得
4
x =
，
∴
(
)
4,0
C
，
设
6
,
P m m
，
∵OPC
的面积为6，
∴1
6
4
6
2
m
=
，
解得
2
m = ，
当
2
m =
时，6
6
3
2
m =
=
，则(
)
2,3
P
；
当
2
m = −时，6
6
3
2
m =
= −
−
，则
(
)
2, 3
P −
−
；
综上，点P 的坐标为(
)
2,3 或(
)
2, 3
−
−
.
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y
x
b
−
=
+ 的图象与y 轴交于点A，与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的
图象的一个交点为
(
)
,4
B a
，过点B 作BC
x
⊥
轴，垂足为点C ，连接OB ，且
OBC
△
的面积为2 ．
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(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将一次函数y
x
b
−
=
+ 的图象向下平移2 个单位长度，与BC 相交于点E ，与y 轴相交于点F ，求四边形
ABEF 的面积．
【答案】(1)一次函数的解析式为
3
y
x
= −+
；反比例函数的解析式为
4
y
x
= −
(2) 2
【分析】（1）由
OBC
△
的面积可求出点B 的坐标，再将点B 的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析
式中即可求得两函数的解析式；
（2）先确定点A的坐标，根据平移的特征可确定四边形ABEF 为平行四边形和AF 的长，最后根据平行四
边形的面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
(
)
1
4
2
2
a
−
=
，解得
1
a = −，
(
)
1,4
B
−
，
将点
(
)
1,4
B −
代入一次函数y
x
b
−
=
+ 得，
(
)
4
1
b
−
=
−
+
，
解得
3
b =
，
一次函数的解析式为
3
y
x
= −+
；
将点
(
)
1,4
B −
代入反比例函数
k
y
x
=
得，4
1
k
= −，
解得
4
k = −，
反比例函数的解析式为
4
y
x
= −
；
（2）解：对于一次函数的解析式为
3
y
x
= −+
，令
0
x =
，得
3
y =
，
(
)
0,3
A
，
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BC
x
⊥
轴，
BC
y
轴，
将一次函数y
x
b
−
=
+ 的图象向下平移2 个单位长度，与BC 相交于点E ，与y 轴相交于点F ，
AB
EF
，
2
AF =
，
四边形ABEF 为平行四边形，
四边形ABEF 的面积为
2
1
2
B
AF
x
=
−=
．
14．如图，在单位长度为1 的网格坐标系中，点B 的坐标为(
)
2,0 ，点C 的坐标为(
)
6,1 ，连接BC ．
(1)将BC 绕点B 逆时针旋转90，点C 的对应点为A，在网格坐标系内确定点A，并写出其坐标．
(2)若反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点A，则k 的值为______．
(3)连接AC ，将Rt
ABC
△
向下平移，当点C 平移后的对应点C落在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上时，
求平移后点A 的对应点A的坐标．
【答案】(1)点A 的位置如图，坐标为(
)
1,4 ．
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(2)4
(3)
11
1, 3
【分析】（1）根据旋转的作图即可得到答案；
（2）把点A 的坐标代入
(
)
0
k
y
x
x
=
即可求出答案；
（3）设Rt
ABC
△
向下平移m 个单位长度后点C 的对应点C的坐标为(
)
6,1
m
−
．根据点C落在反比例函数
(
)
4
0
y
x
x
=
的图象上，得到
1
3
m =
．即Rt
ABC
△
向下平移了1
3 个单位长度．据此求出答案即可．
【详解】（1）略
（2）解：把(
)
1,4 代入
(
)
0
k
y
x
x
=
得到，4
1
k
=
，
解得
4
k =
；
（3）解：已知点C 的坐标为(
)
6,1 ，设Rt
ABC
△
向下平移m 个单位长度后点C 的对应点C的坐标为(
)
6,1
m
−
．
∵点C落在反比例函数
(
)
4
0
y
x
x
=
的图象上，
∴
(
)
4
6 1
m
=
−
，解得
1
3
m =
．
即Rt
ABC
△
向下平移了1
3 个单位长度．
由（1）知，点A 的坐标为(
)
1,4 ，
∴平移后点A 的对应点A的坐标为
11
1, 3
．
15．阅读与思考
请仔细阅读下面材料，完成相应问题：
在平面直角坐标系中，过点
(
)
,
P x y （
0
x
，
0
y
）分别作x 轴、y 轴的垂线，若垂线
与两坐标轴围成的矩形的周长与该矩形的面积数值相等，则称这个点为“和谐点”．
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例如，点(
)
4,4 ：矩形周长为
(
)
2
4
4
16
+
=
，面积为4 4
16
=
，两者相等，所以(
)
4,4 是
和谐点．
(1)判断：点(
)
5,3 ________和谐点，点
8
8, 3
________和谐点．（填“是”或“不是”）
(2)如图，直线y
x
k
=
+
与y 轴交于点A，与反比例函数
m
y
x
=
的图象交于点
(
)
3,
B
b ，且B 是和谐点，求b 的
值和反比例函数的解析式．
(3)在（2）的条件下，反比例函数
m
y
x
=
的图象上是否存在另一个和谐点Q （不与点B 重合）？若存在，求
四边形AOQB 的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)不是；是；
(2)
6
b =
；
18
y
x
=
；
(3)存在，四边形AOQB 的面积为18．
【分析】（1）根据题意，分别求出关于点对应的矩形周长和矩形面积在进行比较大小即可求解；
（2）根据B 是和谐点，列出方程(
)
2 3
3
b
b
+
=
，即可求出b 的值，再根据B 在反比例函数
m
y
x
=
上，即可求
出解析式；
（3）假设存在Q 点在反比例函数
m
y
x
=
的图象上，且为和谐点，设
18
,
Q a a
(
)
0
a
，列出方程
18
18
2 a
a
a
a
+
=
，求出Q 点坐标，再根据B 点在y
x
k
=
+
，求出一次函数解析式和A的坐标，根据坐标判
断AQ
x
∥轴，
6
AQ =
，
3
OA = ，最后根据四边形AOQB 的面积
AOQ
AQB
S
S
=
+
即可求解．
【详解】（1）∵点(
)
5,3 ：矩形周长为
(
)
2
5
3
16
+
=
，矩形面积为5 3
15
=
，
又∵16 15
≠
，
∴点(
)
5,3 不是和谐点；
∵点
8
8, 3
：矩形周长为
8
64
2
8 3
3
=
+
，矩形面积为
8
64
8 3
3
=
，
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又∵64
64
3
3
=
，
∴点
8
8, 3
是和谐点；
（2）∵
(
)
3,
B
b 是和谐点，
0
b
，
∴(
)
2 3
3
b
b
+
=
，解得：
6
b =
，
∴
(
)
3,6
B
∵B 在反比例函数
m
y
x
=
上，
∴
3 6
18
m = =
，
∴反比例函数的解析式为
18
y
x
=
；
（3）假设存在Q 点在反比例函数
m
y
x
=
的图象上，且为和谐点，
∵由（2）得
18
y
x
=
，
∴设
18
,
Q a a
(
)
0
a
，
∴
18
18
2 a
a
a
a
+
=
，整理得：
2
9
18
0
a
a
−
+
=
，
解得：
1
3
a = （舍），
2
6
a =
，
∴存在Q 点，
(
)
6,3
Q
∵由（2）得(
)
3,6
B
是y
x
k
=
+
上的点，
∴将
(
)
3,6
B
代入y
x
k
=
+
，解得：
3
k = ，
∴一次函数解析式为
3
y
x
=
+
，
∵直线
3
y
x
=
+
与y 轴交于点A，
∴
(
)
0,3
A
，
∵
(
)
0,3
A
，
(
)
6,3
Q
，
∴AQ
x
∥轴，
6
AQ =
，
3
OA = ，
∴四边形AOQB 的面积
AOQ
AQB
S
S
=
+
(
)
1
1
2
2
B
Q
AQ OA
AQ
y
y
=
+
−
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1
1
6 3
6 3
2
2
=
+
18
=
．
