文档文本内容
1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 角平分线和垂直平分线重难点六大题型汇编 常考题型·精准突破 ◆题型·1:利用垂直平分线的性质求角度 1．如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 40∘，𝐴𝐵的垂直平分线𝑀𝑁交𝐴𝐶于点𝐷，连接𝐵𝐷，则∠𝐷𝐵𝐶的度数是（ ） A．20° B．30° C．40° D．70° 2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 100°．若𝑂是△𝐴𝐵𝐶三边垂直平分线的交点，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为（ ） A．130° B．140° C．150° D．160° 3．如图，已知∠𝐵= 20°，∠𝐶= 30°，若𝑀𝑃和𝑄𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，则∠𝑃𝐴𝑄的度数为（ ） A．50° B．80° C．85° D．75° 4．如图，△𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵、𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐵𝐶于D、E，若∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 105°，则∠𝐸𝐴𝐷的度 数是（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5．如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，E 是𝐴𝐷上一点，𝐷𝐸= 𝐵𝐷．则∠𝐴𝐶𝐸的度数为（ ） A．15° B．30° C．20° D．25° ◆题型·2:利用垂直平分线定位性质求线段长度（常考） 6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，以点𝐴为圆心，𝐴𝐶的长为半径作圆弧交𝐵𝐶于点𝐷，再分别以点𝐵和点𝐷为圆心，大于 1 2 𝐷𝐵的长为半径作圆弧，两弧分别交于点𝑀和点𝑁，连接𝑀𝑁交𝐴𝐵于点𝐸．若△𝐴𝐷𝐸的周长为15，𝐴𝐶= 6， 则𝐴𝐵的长是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以点𝐴，𝐵为圆心，大于 1 2 𝐴𝐵的长为半径画弧，两弧相交于点𝑀，𝑁，作直线𝑀𝑁交 𝐵𝐶于点𝐷，连接𝐴𝐷.若△𝐴𝐷𝐶的周长为18，𝐴𝐵= 10，则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ） A．24 B．26 C．28 D．30 8．如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 9，𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵、𝐵𝐶于点D、E，𝐴𝐶的垂直平分线分别交 𝐴𝐶、𝐵𝐶于点F、G，𝐸𝐺= 1，则△𝐴𝐸𝐺的周长为（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 2, 𝐵𝐶= 6，以点𝐶为圆心，𝐴𝐶长为半径画弧交𝐴𝐶的延长线于点𝐷，分别以点𝐵， 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 𝐷为圆心，大于 1 2 𝐵𝐷长为半径画弧，两弧分别交于点𝑃, 𝑄，连接𝑃𝑄交𝐵𝐶于点𝐸，连接𝐷𝐸，则△𝐶𝐷𝐸的周 长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 ◆题型·3;利用角平分线的性质求面积（重点） 10．如图，点M 是∠𝐴𝑂𝐵平分线上的一点，点P、点Q 分别在射线𝑂𝐴、射线𝑂𝐵上，满足𝑂𝑃= 2𝑂𝑄， 若△𝑂𝑄𝑀的面积是2，则△𝑂𝑀𝑃的面积是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 10，𝐶𝐷= 5，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的 面积是（ ） A．40 B．42 C．46 D．48 12．如图，已知△𝐴𝐵𝐶的周长是48cm，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点𝑂，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，若𝑂𝐷= 3.5cm， 则△𝐴𝐵𝐶的面积是（ ）cm2 A．84 B．48 C．42 D．24 13．如图，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐵𝐷是中线，𝐴𝐸、𝐵𝐷相交于点E，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于点F，𝐴𝐵= 14，𝐴𝐶= 12， 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 若△𝐵𝐷𝐶的面积是30，则𝐸𝐹的长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐸是𝐵𝐶边上的高，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐷于点𝐹，𝐴𝐵= 11，𝐵𝐶= 14， 𝐴𝐸= 6，则阴影部分△𝐹𝐵𝐷的面积是（ ） A．8 B． 49 6 C． 28 3 D． 21 2 ◆题型·4;利用角平分线的性质求边长 15．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°, 𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点D, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为E，若𝐵𝐶= 4, 𝐷𝐸= 1.6， 则𝐵𝐷的长为______． 16．如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一条角平分线，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷边𝐴𝐷上的中线，若△𝐴𝐵𝐶的面积是18，△𝐴𝐵𝐸的面 积是6，𝐴𝐶= 3，则𝐴𝐵的长为________． 17．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，△𝐴𝐵𝐶的面积为28，𝐷𝐸= 4，𝐵𝐶= 9，则𝐴𝐶的 长是___________ 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，若𝐵𝐶= 7 cm，𝐵𝐷= 4 cm， 则𝐷𝐸的长为______cm． 19．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，以点𝐴为圆心，适当长为半径作弧，交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝐸、𝐹，分别以点𝐸、 𝐹为圆心，大于 1 2 𝐸𝐹的长为半径作弧，两弧交于点𝐺，作射线𝐴𝐺交𝐵𝐶于点𝐷．若点𝐷到直线𝐴𝐵的距离为 2，𝐵𝐷= 4，则𝐵𝐶的长为________． 20．如图，𝐵𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的一条角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为𝐸．𝐹是𝐵𝐶上一点，且∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸．若𝐴𝐸= 2， 则𝐶𝐹的长为________． ◆题型·5:角平分线+垂直构造全等模型（难点） 21．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，边𝐴𝐵的垂直平分线交𝐴𝐵和𝐴𝐶于点𝐷，𝐸，并且𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶． (1)求∠𝐴的度数； (2)求证：𝐴𝐶= 3𝐸𝐶． 22．解决问题 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐵𝐶= 12cm．把△𝐴𝐵𝐶向下平移至△𝐷𝐸𝐹后，𝐴𝐷= 5cm， 𝐺𝐶= 4cm ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸是边𝐴𝐶的垂直平分线，𝐴𝐷= 5，𝐵𝐷= 2，求𝐵𝐶的长． (3)如图3，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐷𝐸垂直𝐴𝐵的延长线于点𝐸, 𝐷𝐹垂直𝐴𝐶的延长线于点F．求证： 𝐷𝐸= 𝐷𝐹． 23．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝐸，交𝐵𝐷于点𝐹，连接𝐶𝐹． (1)若𝐵𝐷= 7，𝐶𝐷= 3，求△𝐶𝐷𝐹的周长； (2)若𝐸𝐹= 4，𝐵𝐹: 𝐹𝐷= 5: 3，𝑆△𝐵𝐶𝐹= 10，求点𝐷到𝐴𝐵的距离． 24．如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐵𝐶边的垂直平分线交𝐴𝐷于D 点，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于F． 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐹； (2)若𝐴𝐵= 5cm，𝐴𝐶= 3cm，求𝐵𝐸的长． 25．如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐴𝐶的平分线交𝐵𝐶边的垂直平分线𝑃𝑄于P 点，𝑃𝐷⊥𝐴𝐵于点D，𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于点E， 连接𝑃𝐵，𝑃𝐶． (1)试探究线段𝐵𝐷与线段𝐶𝐸的数量关系，并给出理由； (2)若∠𝐷𝐴𝐶= 84°，∠𝐴𝑃𝐵= 24°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数． 26．【发现问题】 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝 形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与 判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝 形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点O． 求证：𝑆筝形𝐴𝐵𝐶𝐷= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 𝑎，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶于点B，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷于点D，点M， N 分别是𝐴𝐷，𝐴𝐵上的点，且∠𝑀𝐶𝐷+ ∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝑀𝐶𝑁，求△𝐴𝑀𝑁的周长．（用含a 的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 为△𝐴𝐵𝐶内一点，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐵𝐷= 𝐶𝐷． 求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐶． ②如图4，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 80°，∠𝐵= 30°，点D，E 分别是边𝐵𝐶，𝐴𝐵上的动点，当四边形𝐴𝐸𝐷𝐶为 筝形时，请直接写出∠𝐵𝐷𝐸=______°． ◆题型·6:利用尺规作图综合应用（常考） 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27．尺规作图：如图，用尺规在∠𝐴𝑂𝐵的内部作一点P，使𝑃𝐶= 𝑃𝐷，并且点P 到∠𝐴𝑂𝐵两边的距离相等．（提 示：作图要保留作图痕迹，且要用2𝐵铅笔，不用写作法）． 28．校园一角的形状如图所示，其中𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷表示围墙．现要修建一个垃圾投放点𝑃，使得点𝑃到围墙𝐴𝐵， 𝐵𝐶的距离相等，且到围墙边界𝐶，𝐷的距离相等，请确定点𝑃的位置． 29．已知：如图，△𝐴𝐵𝐶．请你用尺规作图． (1)作边𝐴𝐵的垂直平分线交𝐵𝐶于点D； (2)连接𝐴𝐷，作∠𝐶𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 30．如图，两个班的学生分别在𝑀、𝑁两处参加植树劳动，现要在道路𝐴𝐵、𝐴𝐶的交叉区域内设一个临时休 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 息点𝐷，使𝐷到两条道路的距离相等，且使𝐷到𝑀、𝑁两地的距离相等．用圆规、直尺作临时休息点𝐷的 位置．（不写作法，只保留作图痕迹） 31．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 30∘，∠𝐶= 40∘． (1)尺规作图：①作边𝐴𝐵的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝐷，交𝐴𝐵于点𝑃；②连接𝐴𝐷，作∠𝐶𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于 点𝐸；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求∠𝐷𝐴𝐸的度数． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵边的垂直平分线分别交𝐵𝐶，𝐴𝐵于点𝐷，𝐸，𝐵𝐷= 5cm，𝐶𝐷= 2cm，𝐴𝐶= 4cm， 则△𝐴𝐶𝐷的周长为（ ） A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm 2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐴𝐵的垂直平分线𝑂𝑀与边𝐴𝐶的垂直平分线𝑂𝑁交于点O，这两条垂直平分线分别 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 交𝐵𝐶于点D、E，已知△𝐴𝐷𝐸的周长为14cm，分别连接𝑂𝐴、𝑂𝐵、𝑂𝐶，若△𝑂𝐵𝐶的周长为29cm，则𝑂𝐴的 长为（ ）cm． A．6.5 B．7.5 C．15 D．43 3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝑀，𝐸𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，垂足为𝑀，𝑁，且分别交𝐵𝐶于点𝐷，𝐸．若∠𝐵𝐴𝐶= 100°， 则∠𝐷𝐴𝐸的度数为（ ） A．20° B．30° C．45° D．60° 4．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛Rt △𝐴𝐵𝐶(∠𝐶= 90°)的相关数据时，用尺规作图的 方法作∠𝐵𝐴𝐶的平分线：以𝐴为圆心画弧交𝐴𝐶，𝐴𝐵于𝐷，𝐸，再分别以𝐷，𝐸为圆心、大于 1 2 𝐷𝐸的长为半 径画弧，两弧交于点𝑀，作射线𝐴𝑀交𝐵𝐶边于点𝐹．若测得𝐵𝐶= 10cm，𝐵𝐹= 6cm，则点𝐹到𝐴𝐵边的距 离为（ ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 5．如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵= 24°．根据尺规作图的痕迹可知，∠𝐴𝐷𝐸的度数为（ ） A．66° B．57° C．48° D．42° 6．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，以点𝐴为圆心，适当长为半径作弧，分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝐷，𝐸，再分 别以点𝐷，𝐸为圆心，以大于 1 2 𝐷𝐸的长度为半径作弧，两弧交于点𝐹，作射线𝐴𝐹交𝐵𝐶于点𝐺，若𝐴𝐵= 12， 𝐶𝐺= 4，则△𝐴𝐵𝐺的面积是（ ） 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．12 B．24 C．36 D．48 7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，线段𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线、𝐴𝑀是𝐵𝐶边上的中线，𝐷𝐸垂直于𝐴𝐵，已知：𝑆Δ𝐴𝐵𝑀= 5.5，𝐷𝐸= 2，𝐴𝐵= 6，则𝐴𝐶长是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．阅读以下作图步骤：①以点O 为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交𝑂𝐴, 𝑂𝐵于点C，D；②分别以点 C，D 为圆心，大于 1 2 𝐶𝐷的长为半径作弧，两弧在∠𝐴𝑂𝐵内交于点M；③作射线𝑂𝑀，连接𝐶𝑀, 𝐷𝑀，如图．根 据以上作图步骤，判断下列结论错误的是（ ） A．𝑂𝑀平分∠𝐴𝑂𝐵，∠1 = ∠2 B．∠1 = ∠3，𝐶𝑀= 𝐷𝑀 C．△𝑂𝐶𝑀≌△𝑂𝐷𝑀，𝑂𝐶= 𝑂𝐷 D．∠1 = ∠2，𝐶𝑀= 𝐷𝑀 9．如图，△𝐴𝐵𝐶的角平分线交于点O，𝑂𝐷⊥𝐴𝐶于D，若𝑂𝐷= 2，△𝐴𝐵𝐶的周长为17，则△𝐴𝐵𝐶的面积为 （ ） A．16 B．17 C．18 D．19 10．如图，三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴的平分线交𝐵𝐶于点D，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足分别为E，F，下 面四个结论：①∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹；②𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹；③ 𝑆△𝐵𝐸𝐷 𝑆△𝐶𝐹𝐷= 𝐵𝐸 𝐶𝐹；④𝐸𝐹一定平行𝐵𝐶．其中正确的是 （ ） 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 11．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，𝐴𝐺是△𝐴𝐵𝐶的高， 交𝐵𝐶于点𝐺．已知：𝐷𝐸= 3，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 8． (1)求𝐷𝐹的长； (2)求𝐴𝐺的长． 12．如图，电信部门要在S 区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B 的距离必 须相等，到两条高速公路𝑂𝑀和𝑂𝑁的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位 置P，并简要写出作法及作图依据． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13．本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为 完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现： 角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． (1)请你协助他们进行证明： 在图①中，已知𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，过点𝑃作𝑃𝐶⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵，求证：𝑃𝐶= 𝑃𝐷； (2)如图②所示，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷、𝐶𝐸𝐹𝐺是长方形，𝐶为公共点，𝐸在𝐵𝐶上，𝐺在𝐷𝐶延长线上，𝐴𝐶、𝐶𝐹为 长方形的对角线．已知𝐴𝐶= 𝐶𝐹，∠𝐴𝐶𝐹= 90° ①用尺规作∠𝐴𝐷𝐶的角平分线，与𝐴𝐶相交于点𝑃； ②若𝐵𝐸= 7，𝐷𝐺= 23 ，请结合（1）中的结论，求△𝐴𝐷𝑃与△𝐶𝐷𝑃的面积之比． 14．我们通过学习知道角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于点𝐸, 𝑃𝐹⊥𝑂𝐵于点𝐹．求证：𝑃𝐸= 𝑃𝐹． (2)如图2，𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于点𝐸，𝑃𝐹⊥𝑂𝐵于点𝐹，𝑃为∠𝐴𝑂𝐵平分线上的一点，∠𝑂𝑀𝑃+ ∠𝑂𝑁𝑃= 180°，求 证：𝑃𝑀= 𝑃𝑁．
