文档内容
期中押题重难点检测卷（提高卷）
【考试范围：三角形、全等三角形、轴对称】
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级上·河南商丘·期中）第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04 日 ~ 2022
年 02 月 20 日在中华人民 共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用
对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以是轴对称图形．
选项D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不
是轴对称图形．
故选：D．
2．（23-24八年级上·福建福州·期中）到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高线交点 B．三角形三边中线交点
C．三角形三个内角平分线交点 D．三角形三边垂直平分线交点
【答案】D
【分析】本题主要考查垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质，熟练掌握三角形高线、中线性质，
以及角平分线交点、垂直平分线交点的性质是解题的关键．题目要求到三角形三个顶点距离相等的点，利
用垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可判断．
【详解】解：利用垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知到三角形三个顶点距离相等的点是三角形
三边垂直平分线的交点．故选：D．
3．（23-24八年级下·重庆江北·期中）如图， 方格纸中小正方形的边长为1． ， 两点在格点上，请
在图中格点上找到点 ，使得 的面积为2．满足条件的点 的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了网格与三角形面积，勾股定理，利用数形结合的思想解决问题是关键．由勾股定理可
知， ，再根据三角形面积找出与AB距离❑√2的格点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点有6个；
故选：D．
4．（23-24七年级下·全国·期中）将一把含 角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放（直尺一
边经过点B），若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平行线的性质可得 ，根据补角求得 ，由三角形内角和定理可求出
的度数．本题考查了平行线的性质、补角和三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【详解】解： ， ，
，
，
，
．
故选：A．
5．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在 中， ， 是CB延长线上的点，
， 于 ，交AB于点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意，可证 ，根据 ，可证 ，可得
，由此即可求解．
【详解】解：∵ ，点 是CB延长线上一点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A ．
6．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，在 中， 分别是 和 的平分线，过点 作 交AB于 ，交 于 ，若 ， ，则 周长为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明 ， 、
，从而证明 ， ，从而求出 的周长即可．
【详解】解： 分别是 和 的平分线
，
，
的周长
，
故选：D．
7．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图， 是 的角平分线， 于点F，且 ，
， ，则 的面积为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B【分析】过点 作 于 ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“
”证明 和 全等，根据全等三角形的面积相等可得 ，设面积为 ，然后
根据 列出方程求解即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作辅助线构
造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，
是 的角平分线， ，
，
在 和 中，
，
，
，设面积为 ，
同理 ，
，
即 ，
解得 ．
故选：B
8．（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）如图所示，在长方形 的中，已知 ，点P
以 的速度由点B向点C运动，同时点Q以 的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的
三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ）A．4 B．6 C．4或 D．4或
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键．分两种情况分
别计算：当 时；当 时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解
即可．
【详解】解：设点 运动的时间为 ，
由题意知： ， ，则 ，
当 时， ，即 ，
解得 ；
当 时， ， ，
即 ， ，
解得 ，
则 ，
解得 ，
综上， 的值为 或 ，
故选：D．
9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图， ，P是它内部一点， ， ， 分别是 ，
上的两个动点，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查轴对称和等边三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角
形的判定；
先作点 关于 ， 的对称点 ， ，连接 ，由轴对称确定最短路线问题， ， 分别与 ，
的交点即为 ， ，与 交于点 ，此时 的周长最小，进而求得 的最小值；
【详解】解：先作点 关于 ， 的对称点 ， ，连接 ，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长的最小值是
即 的最小值是
故选：C
10．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图， 两个外角的平分线 与 相交于点 ， 于
点 ， 于点 ，且 ，小明同学得出了下列结论：① ；②点 在 的平分
线上；③ ；④ ．其中错误的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】过点 作 于点 ，根据角平分线的性质定理可得 ， ，易得 ，
即可判断结论①；根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可判断结
论②；根据角平分线的定义和平行线的性质可得 ，即可证明 ，即可判断结论④；首先
证明 ，再根据三角形内角和定理可得 ，结合 ，即可
得 ，即可判断结论③．
【详解】解：如下图，过点 作 于点 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，故结论①正确；
∵ ，且点 在 内部，
∴点 在 的平分线上，故结论②正确；
∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，故结论④正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，故结论③错误．
综上所述，结论错误的是③，共计1个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三
角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如果一个多边形的每一个内角都是 ，那么这个多边形是
边形．
【答案】五
【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，先求出这个多边形的每一个外角都是 ，再根
据多项式外角和为360度即可求出答案．
【详解】解：∵一个多边形的每一个内角都是 ，
∴这个多边形的每一个外角都是 ，
∴这个多边形的边数是 ，
∴这个多边形是五边形，
故答案为：五．
12．（23-24八年级上·北京·期中）如图，点 、 、 、 在一条直线上， ， ，
若用“ ”判定 ，则添加的一个条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出用“ ”判断 的依据
【详解】解： ， ，
当添加条件 时， ，
故答案为： ．
13．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中， 和 分别是 和 的平分
线， 过点D，且 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．根据角平分线与平行两个条件，可证出等
腰三角形即可解答．
【详解】解：∵ 和 分别是 和 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：7．
14．（23-24八年级上·浙江温州·期中）小明利用最近学习的全等三角形识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，
用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中 ，测得 ，则保温
杯的壁厚为 ．【答案】 /0.5
【分析】本题考查全等三角形判定以及性质，只要证明 ，可得 ，即可解决问题．
【详解】解：在 和 中，
，
，
∴
，
∴ ，
∵
圆柱形容器的壁厚是 ，
∴
故答案为： ．
15．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，D、E是 的 边上的两点， 分别垂直平分
，垂足分别为点M、N．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /102度
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据线段垂直
平分线的性质，可得 ，从而得到 ，再由三角形内角和定理，即
可求解．
【详解】解：∵ 分别垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：
16．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在 中， ， ，点 的坐标为
，点 的坐标为 ，则 点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握等腰直角三角形的性
质是解题的关键．先判断出 ，再由全等的性质和已知点坐标求出答案，
【详解】解：过点 作 ，过点 作 于点 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
∴ ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故 的坐标为 ，故答案为： ．
17．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形 中， ， ，
，则 是 三角形；若 ， ， ，则BD的长为 ．
【答案】 等边
【分析】设 交BD于点 ，则 ，证明 是等
边三角形，则有 ，在DB上截取 ，连接 ，所以 是等边三角形，根据性质得
， ，则 ，然后证明 ，再根
据全等三角形的性质和线段和差即可求解．
【详解】解：设 交BD于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
在DB上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：等边， ．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
18．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，直线 与直线 相交于点 ，并且互相垂直，点 和点
分别是直线 和 上的两个动点，且线段 长度不变，点 是 关于直线 的对称点，连接 ，
若 ，则 的度数是 ．
【答案】 或
【分析】分两种情况：当 时，取 的中点 ，连接 、 ，当 时，取 的中点 ，
连接 、 ，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定得出 是等边三角形，进
而依据轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质以及三角形内角和定理进行计算即可
得出答案．【详解】解：如图，当 时，取 的中点 ，连接 、 ，
， 为 的中点，
，
点 是 关于直线 的对称点，
垂直平分 ， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
当 时，取 的中点 ，连接 、 ，
同理可得， ，，
，
，
，
综上所述， 的度数是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角
形内角和定理、三角形外角的定义及性质、轴对称的性质等知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（23-24八年级上·山西临汾·期中）在 中， ， ．
(1)若 是整数，求 的长；
(2)已知 是 的中线，若 的周长为10，求 的周长．
【答案】(1) ；
(2)17
【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边
之差小于第三边是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到 ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：由题意得： ，
，
是整数，
；
（2）解： 是 的中线，
，
的周长为10，，
，
，
的周长
20．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）已知 ， ， 是三角形的三边长．
(1)化简： ；
(2)若 ， ， ，求（1）中式子的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理、绝对值的性质、代数式求值等知识点，掌握三角形两边
之和大于第三边是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可确定绝对值符号内的式子的符号，从而去绝对
值再化简即可；
（2）将代入 ， ， 代入（1）化简的代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：把 ， ， ，代入（1）中式子可得：
原式 ．
21．（23-24八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．
已知：如图， 和A，B两点．
(1)作 的平分线 ；(2)求作一点Q，使Q点在 上，且 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图 复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（1）根据角平分线的作法作 的平分线 即可；
（2）作 的垂直平分线交 于 点，即可得 ．
【详解】（1）解：如图，点 即为所求；
（2）解：如图，点 即为所求．
．
22．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，点 ， ， ， 在直线 上（ ， 之间不能直接测量），
点 ， 在 异侧，测得 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
（1）先根据平行线的性质，再根据全等三角形的判定可证得结论；
（2）先根据全等三角形的性质得到，进而求解即可．【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，又 ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
23．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）将 向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度．
(1)作出平移后的 ．
(2)写出 各点的坐标．
(3)求出 的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查了平移作图及三角形的面积，难度一般，解答此类题目的关键是掌握平移的特点，根据
题意找到各点的对应点，然后顺次连接．用到的知识点为：图形的平移要归结为图形顶点的平移；格点中的三角形的面积通常整理为长方形或梯形的面积与几个三角形的面积的差．
（1）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）结合（1）的图，得出各点的坐标即可；
（3）利用矩形减去周围三角形面积进而求出即可．
【详解】（1）解：如图所示： ，即为所求；
（2）解：如图所示：
（3）解： ．
24．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知 （其中 ）， 且
．
(1) 的形状是______
(2)如图，若 ，C为 中点，连接 ，过点A向右作 ，且 ，连接 ．过点
作直线 垂直于x轴，交 于点N，求证： ．【答案】(1)等腰直角三角形
(2)见解析
【分析】（1）证明 ，可得结论；
（2）过点D作 轴，垂足为H， 交 于点S．则 ．证明 ，
推出 ，再证明 ，可得结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
（2）证明：过点D作 轴，垂足为H， 交 于点S．则 ．
∵ ，
∴ ．
∵C为 中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 垂直于x轴， 轴，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题属于三角形综合题，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】
（1） 如图1， 在四边形 中， ， E， F分别是 上的点， 且
， 探究图中 之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延
长 到点G， 使 ． 连接 ， 先证明 ， 再证明 ， 可得出结论，
则他的结论应是 ．
【灵活运用】
（2）如图2， 若在四边形 中， 分别是 上的点，且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】
（3）如图3， 已知在四边形 中， 若点E在CB的延长线上，
点F在CD的延长线上， 且仍然满足 ， 请写出 与 的数量关系，并给出证明
过程．
【答案】（1） ；（2）成立，见解析；（3） ，见解析
【分析】（1）延长 到点G，使 ，连接 ，可判定 ≌ ，进而得出
， ，再判定 ≌ ，可得出
，据此得出结论；
（2）延长 到点G，使 ，连接 ，先判定 ≌ ，进而得出 ，
，再判定 ≌ ，可得出 ；
（3）在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，先判定 ≌ ，再判定 ≌
，得出 ，最后根据 ，推导得到 ，即
可得出结论．
【详解】解：（1） ，理由如下：
如图1，延长 到点G，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
故答案为： ；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长 到点G，使 ，连接 ，
， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
在 和 中，
，
≌ ，；
（3）如图3，在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，
， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
， ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
，
，
，
即 ，
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角
的补角相等．
26．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【问题提出】如图1， 、 都是等边三角形，求证：
．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即
．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就
类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它
的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
(1)等边三角形 中， 是边 上一定点， 是直线 上一动点，以 为一边作等边：等边三角形
，连接 ．
①如图2，若点 在边 上，求证： ．
②如图3，若点 在边 的延长线上，线段 、 、 之间的关系为__________（直接写出结论）
(2)如图4，等腰 中， ， ， ，且交 于点 ，以 为边作等
边 ，直线 交直线 于点 ，连接 交 于点 ，写出 、 、 之间的数量关系，并
加以说明．
(3)如图5，在 中， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的一个动点，连
接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ，则 是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；② ；
(2)
(3)有最小值，最小值为2
【分析】（1）①过点E作 ， 交 与点G，先证明 是等边三角形，再证明
，得出 ，即可得出结论；②过点E作 ， 交 与点G，先证明
是等边三角形，得出 ，再证明 ，得出 ，即可得出结论；
（2）先证明 ，在 上截取 ，通过证明 是等边三角形，得出
，再证明 ，得出 ，即可得出结论；
（3）以 为边，在 下方构造等边三角形 ，连接 ，通过证明 ，得出
，则 ，根据点Q在直线 上，得出当 时， 取最小值，即
可解答．
【详解】（1）证明：①过点E作 ， 交 与点G，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；②过点E作 ， 交 与点G，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ， 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 上截取 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）解：有最小值，最小值为2
以 为边，在 下方构造等边三角形 ，连接 ，
∵ ，点D为 中点，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点Q在直线 上，
∴当 时， 取最小值，
此时， ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握
相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角性是解题的关键．
