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1.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，M是PC的中点，PA＝AB.
(1)求证：AM⊥平面PBD；
(2)设直线AM与平面PBD交于点O，求证：AO＝2OM.
2．(2023·长沙模拟)斜三棱柱ABC－ABC 的各棱长都为2，点A 在下底面ABC上的投影为
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AB的中点O.
(1)在棱BB(含端点)上是否存在一点D，使AD⊥AC ？若存在，求出BD的长；若不存在，
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请说明理由；
(2)求点A 到平面BCC B 的距离．
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3．(2024·丹东模拟)如图，平行六面体ABCD－ABC D 的所有棱长都相等，平面CDD C ⊥
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平面ABCD，AD⊥DC，二面角D－AD－C的大小为120°，E为棱C D 的中点．
1 1 1(1)证明：CD⊥AE；
(2)点F在棱CC 上，AE∥平面BDF，求直线AE与DF夹角的余弦值．
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4．(2023·成都模拟)如图所示，直角梯形 ABDE 和三角形 ABC 所在平面互相垂直，
DB⊥AB，ED∥AB，AB＝2DE＝2BD＝2，AC＝BC，异面直线DE与AC的夹角为45°，点
F，G分别为CE，BC的中点，点H是线段EG上靠近点G的三等分点．
(1)求证：A，B，F，H四点共面；
(2)求二面角B－CD－H的平面角的正弦值．
5．(2023·长沙模拟)如图，在三棱台ABC－ABC 中，AB⊥BC，AC⊥BB，平面ABBA⊥平
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面ABC，AB＝6，BC＝4，BB＝2，AC 与AC相交于点D，AE＝2EB，且DE∥平面BCC B.
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(1)求三棱锥C－ABC 的体积；
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(2)平面ABC与平面ABC的夹角为α，CC 与平面ABC的夹角为β，求证：α＋β＝.
1 1 1 1 16.如图，在八面体 PABCDQ 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAD∥平面
QBC，二面角P－AB－C与二面角Q－CD－A的大小都是30°，AP＝CQ＝，PD⊥AB.
(1)证明：平面PCD∥平面QAB；
(2)设G为△QBC的重心，在棱AP上是否存在点S，使得SG与平面ABCD夹角的正弦值为？
若存在，求S到平面ABCD的距离，若不存在，说明理由．
