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专题05 全等三角形中动点与新定义型问题
常考题型·精准突破
题型1 利用全等三角形的性质求解的多解问题（高频）
题型2 利用全等三角形的性质求多结论问题（重）
题型3 利用全等三角形的性质求动点中的最值问题（高频）
题型4 利用全等三角形的性质解决动点综合问题（难）
题型5 利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用全等三角形的性质求解的多解问题
1．（25-26 八年级下·河南开封·期末）如图，
90 ,
4,
5
C
BC
AC
=
=
= ，射线AP
AC
⊥
于A，点D 和E 分别
在线段AC 和射线AP 上运动，且DE
AB
=
．当AE =____________时，以点A，B ，C 为顶点的三角形与ADE
全等．
【答案】4 或5
【分析】根据
90
ACB
EAD
=
=
，可得要使以点A，B ，C 为顶点的三角形与ADE
全等，利用ASA ，
分AE
BC
=
和AE
AC
=
两种情况求解即可．
【详解】解：∵AP
AC
⊥
，
∴
90
ACB
EAD
=
=
，
∵以点A，B ，C 为顶点的三角形与ADE
全等，
∴当
4
AE
BC
=
=
，
5
AD
AC
=
= 时，此时，点D 与点C 重合，
(
)
EAD
BCA SAS
≌
，
当
5
AE
AC
=
=
，
4
AD
BC
=
=
时，
(
)
EAD
BCA SAS
≌
，
综上所述：
4
AE =
或5时，以点A，B ，C 为顶点的三角形与ADE
全等．
2．（26-27 八年级·上海·暑假作业）如图，在四边形ABCD中，B
C
=
，
8
,
10
,
14
AB
cm BC
cm CD
cm
=
=
=
，
E 是AB 中点．点P 在线段BC 上以3cm / s的速度由B 向C 单向运动的同时，点Q 在线段CD上匀速由C 向
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D 单向运动．为使BPE
与CPQ
在两点运动过程中全等，点Q 的速度应为________________ ．
【答案】3cm / s或2.4
/
cm s
【分析】设运动时间为st ，点Q 的速度为cm / s
v
，根据线段的中点可得：
4
AE
BE
cm
=
=
再根据题意可得：
cm
CQ
vt
=
，
3 cm
BP
t
=
，从而可得
(
)
10
3
CP
t cm
=
−
，然后分两种情况：当
BPE
CQP
△
≌△
时；当BPE
CPQ
≌
时，从而分别进行计算即可解答．
【详解】解：设运动时间为st ，点Q 的速度为cm / s
v
，
∵E 是AB 中点，
∴
(
)
1
4
2
AE
BE
AB
cm
=
=
=
，
由题意得：
cm
CQ
vt
=
，
3 cm
BP
t
=
，
∵
10cm
BC =
，
∴
(
)
10
3
CP
t cm
=
−
，
∵
B
C
=
，
∴分两种情况：
当
BPE
CQP
△
≌△
时，
∴
,
BP
CQ BE
CP
=
=
，
∴3
,4
10
3
t
vt
t
=
=
−
，
解得：
3,
2
v
t
=
=
；
当BPE
CPQ
≌
时，
∴
,
BP
CP BE
CQ
=
=
，
∴3
10
3 ,4
t
t
vt
=
−
=
，
解得：
5
3
t =
，
2.4
v =
；
综上所述：为使BPE
与CPQ
在两点运动过程中全等，点Q 的速度应为3cm / s或2.4
/
cm s ．
3．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）如图，在ABC
中，BE
AC
⊥
于点
,
E AF
BC
⊥
于点
,
45
F
ABC
=
，
点M 为直线BC 上一点，且CM
AD
=
，点P 从点D 出发，以1 单位长度/秒的速度沿DB向点B 运动，同时，
点Q 从点A出发，沿射线AC 以4 单位长度/秒的速度运动，当点P 到达点B 时，,
P Q 两点同时停止运动．若
10
AC =
，设运动时间为t 秒，当ADP
与MCQ
全等时，t = _________．
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【答案】2 或10
3
【分析】分两种情况：点M 在BC 的延长线上和点M 在BC 上，两种情况都可证明只存在
ADP
MCQ
△
≌△
这
种情况，则可得到DP
CQ
t
=
= ，再根据线段的和差关系建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得，
,
4
DP
t AQ
t
=
=
，
如图所示，当点M 在BC 的延长线上时，
∵BE
AC
⊥
，AF
BC
⊥
，
∴
90
AED
AFC
=
=
，
∴
90
ACF
CAF
ADE
CAF
+
=
=
+
∠
∠
∠
∠
，
∴
ACF
ADE
=
∠
∠
，
∴180
180
ACF
ADE
−
=
−
∠
∠
，
∴
ADP
MCQ
=
∠
∠
，
又∵CM
AD
=
，
∴此时只存在
ADP
MCQ
△
≌△
这种情况，
∴DP
CQ
t
=
= ，
∴
5
10
AC
AQ
CQ
t
=
+
=
=
，
∴
2
t =
；
如图所示，当点M 在BC 上时，同理可得只存在
ADP
MCQ
△
≌△
这种情况，
∴CQ
DP
t
=
= ，
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∴
3
10
AC
AQ
CQ
t
=
−
=
=
，
∴
10
3
t =
；
综上所述，t 的值为2 或10
3 ．
◆题型2 利用全等三角形的性质求多结论问题
4．（25-26 七年级下·福建宁德·期中）如图，在ABC
中，CD
AB
⊥
，垂足为点D ，AD
CD
=
，点E 在线段CD
上，连接AE 并延长交BC 于点F ，若ED
BD
=
时，则下列结论中：①AE
BC
=
；②BF
DF
=
；③AF
BC
⊥
；
④
45
BFD
=
，其中正确的是_____．
【答案】①③④
【分析】利用全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理求解．
【详解】解：①∵CD
AB
⊥
，
∴
90
ADE
CDB
=
=
，
又∵AD
CD
=
，ED
BD
=
，
∴
(
)
SAS
ADE
CDB
≌
，
∴AE
BC
=
，故①正确；
②根据给出条件，无法得出BF
DF
=
，故②错误；
③∵ADE
CDB
≌
，
∴
BCD
EAD
=
，
∵
90
EAD
AED
+
=
，且
AED
CEF
=
，
∴
90
BCD
CEF
+
=
，
即
90
CFE
=
，
∴AF
BC
⊥
，故③正确；
④如图所示，过点D作DM
BC
⊥
于点M ，过点D 作DN
AF
⊥
于点N ，
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∴
90
DNF
DMF
AFB
=
=
=
，
∵ADE
CDB
≌
，
∴
ADE
CDB
S
S
=
，AE
CB
=
，
即1
1
2
2
AE DN
CB DM
=
，
∴DN
DM
=
，
又∵DF
DF
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DNF
DMF
≌
，
∴
1
45
2
BFD
NFD
AFB
=
=
=
，故④正确．
综上，正确选项为①③④．
5．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）如图，AB
AD
=
，
140
BAD
=
，AB
CB
⊥
于点B，AD
CD
⊥
于点D，
E、F 分别是CB 、CD上的点，且
70
EAF
=
，下列结论中①DF
BE
=
，②
ADF
ABE
△
≌△
，③FA平分
DFE
，
④EF 平分
AEC
，⑤BE
DF
EF
+
=
．其中正确的结论有_________
【答案】③⑤
【分析】由E 、F 分别是CB 、CD上的任意点，可知DF 与BE不一定相等，ADF
与ABE
也不一定全等，
可判断①错误，②错误；延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，先证明
(
)
ABG
ADF SAS
≌
，得AG
AF
=
，
BAG
DAF
=
，G
AFD
=
，由
140
BAD
=
，
70
EAF
=
，可以推导出
70
EAG
=
，则
=
EAG
EAF ，
即可证明
(
)
SAS
EAG
EAF
≌
，得
G
AFE
=
，因为
AEB
AEF
=
，所以
AFD
AFE
=
，可判断③正确，
因为EG
EF
=
，所以BE
DF
BE
BG
EG
EF
+
=
+
=
=
，可判断⑤正确；由EF 平分
AEC
结合
AEF
AEB
=
，
推出与E 、F 分别是CB 、CD上的任意点互相矛盾，可得④错误．
【详解】解：
E
、F 分别是CB 、CD上的任意点，
DF
与BE不一定相等，故①错误；
AB
CB
⊥
于点B ，AD
CD
⊥
于点D ，
90
D
ABE
=
=
，
AB
AD
=
，
ADF
ABE
△
≌△
的另一个条件是DF
BE
=
，
DF
与BE不一定相等，
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ADF
与ABE
不一定全等，故②错误；
延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，则
180
90
ABG
ABE
=
−
=
，
ABG
D
=，
在ABG
和ADF
中，
AB
AD
ABG
D
BG
DF
=
=
=
，
(
)
ABG
ADF SAS
≌
，
AG
AF
=
，
BAG
DAF
=
，
G
AFD
=
，
140
BAD
=
，
70
EAF
=
，
70
EAG
BAE
BAG
BAE
DAF
BAD
EAF
=
+
=
+
=
−
=
，
EAG
EAF
=
，
在
EAG
△
和EAF
中，
AG
AF
EAG
EAF
AE
AE
=
=
=
，
(
)
SAS
EAG
EAF
≌
，
G
AFE
=
，
AEB
AEF
=
，EG
EF
=
，
AFD
AFE
=
，BE
DF
BE
BG
EG
EF
+
=
+
=
=
，
FA
平分
DFE
，故③⑤正确；
若EF 平分
AEC
，而
AEF
AEG
=
，
60
CEF
AEF
AEG
=
=
=
，与E 、F 分别是CB 、CD上的任意点矛盾，故④错误；
综上可知，正确的结论有③⑤．
6．（25-26 七年级下·河南开封·期末）如图，在ABC
中，AB
AC
=
，
45
B
C
=
=
，D，E 是边BC 上
两点，过点A 作AF
AD
⊥
，垂足是A，过点C 作CF
BC
⊥
，垂足是C，交AF 于点F，连接EF ，其中
DE
EF
=
．下列结论：①AD
AE
=
；②
45
DAE
=
；③若
10
ABC
S
=
△
，
4
ADE
S
=
△
．则
6
AECF
S
=
四边形
；
④CE
BD
DE
+
．其中正确的是______．（填序号）
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【答案】②③/③②
【分析】证明
(
)
ASA
ABD
ACF
≌
即可判断①，证明
(
)
ADE
AFE SSS
≌
，即可得到
1
45
2
DAE
EAF
DAF
=
=
=
，即可判断②；根据
ABD
ACF
△
≌△
得到
ABD
ACF
S
S
=
，根据
ABC
ADE
ACE
ACF
S
S
S
S
=
+
+
即可判断③；根据
ABD
ACF
△
≌△
得到BD
CF
=
，由CE
CF
EF
+
，DE
EF
=
即可判断④．
【详解】解：∵
45
B
C
=
=
，
∴
90
BAC
=
，
∵AF
AD
⊥
，CF
BC
⊥
，
∴
90
DAF
ECF
=
=
，
∴
90
BAD
DAC
CAF
DAC
+
=
+
=
，
∴
BAD
CAF
=
，
∵
45
ACF
FCE
ACB
−
=
=
，
∴
ACF
B
= ，
又∵AB
AC
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
ACF
≌
；
∴AD
AF
=
,
但是无法证明AF
AE
=
，
∴AD
AE
=
不一定成立；
故①错误；
∵
,
,
DE
EF AD
AF AE
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ADE
AFE SSS
≌
，
∴
1
45
2
DAE
EAF
DAF
=
=
=
，
故②正确；
∵
ABD
ACF
△
≌△
，
∴
ABD
ACF
S
S
=
，
∴
ABC
ABD
ADC
ACF
ADC
ADE
ACE
ACF
S
S
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
+
+
，
∴
10
4
6
ACE
ACF
ABC
ADE
AECF
S
S
S
S
S
=
+
=
−
=
−
=
四边形
，
故③正确；
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∵
,
ABD
ACF
≌
∴BD
CF
=
，
∵CE
CF
EF
+
，DE
EF
=
，
∴CE
BD
DE
+
，故④错误；
综上可知，正确的是②③．
◆题型3 利用全等三角形的性质求动点中的最值问题
7．（25-26 七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形ABC 中，
4
AB =
，ABC
的面积为6，BD平分
ABC
．若M 、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM
MN
+
的最小值为________．
【答案】3
【分析】在AB 上取点E ，使得BE
BN
=
，连接CE 、ME ，过点C 作CF
AB
⊥
于点F ，利用三角形面积公
式求出
3
CF = ，再证明
(
)
SAS
BME
BMN
≌
，得到EM
MN
=
，则当E 、M 、C 三点共线，且CE
AB
⊥
时，
CM
MN
+
有最小值为CF 的长，即可得解．
【详解】解：如图，在AB 上取点E ，使得BE
BN
=
，连接CE 、ME ，过点C 作CF
AB
⊥
于点F ，
在锐角三角形ABC 中，
4
AB =
，ABC
的面积为6，
1
1
4
6
2
2
AB CF
CF
=
= ，
3
CF
=
，
BD
平分
ABC
，
ABD
CBD
=
，
在BME
和BMN
中，
BE
BN
EBM
NBM
BM
BM
=
=
=
，
(
)
SAS
BME
BMN
≌
，
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EM
MN
=
，
CM
MN
CM
EM
CE
CF
+
=
+
，
当E 、M 、C 三点共线，且CE
AB
⊥
时，CM
MN
+
有最小值为CF 的长，
CM
MN
+
的最小值为3．
8．（25-26 八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，ABC
是等边三角形．
2,
AB
AD
=
是边BC 上的高，点E 在
边AD上运动，连接BE，以BE为边在其下方作等边BEF
，连接DF 、CF ，则DF 的最小值为_______．
【答案】1
2
【分析】本题考查等边三角形性质、全等三角形判定与性质及垂线段最短，解题关键是通过证明全等确定
点F 的运动轨迹，易错点是对全等条件或轨迹分析错误，解题思路为：先证ABE
CBF
≌
确定F 的运动轨
迹，再根据垂线段最短求DF 的最小值．
【详解】解：因为ABC
和BEF
都是等边三角形，
所以AB
BC
=
，BE
BF
=
，
60
ABC
EBF
=
=
；
则
ABE
CBF
=
，ABE
CBF
≌
；
所以
30
BCF
BAE
=
=
；
因为AD是等边ABC
的高，
30
BAE
=
所以点F 在与BC 成30角的直线上运动，
根据 “垂线段最短”，过D 作这条直线的垂线，垂足为F 时，DF 最小，
已知
=
2
BC AB =
，D是BC 中点，所以
=1
BD
，
在t
R
DEF
中（H 为垂足），
30
DGH
=
，则
1
1
2
2
DF
BD
=
=
；
故答案为：1
2 ．
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9．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）综合与实践
【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在ABC
中，AB
AC
=
，
90
A
=
，
点D、E 分别是AB
AC
、
上的动点，且AD
CE
=
，试探究BE
CD
+
的最小值．
【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，
再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点C 作CF
AB
∥
，且使CF
AC
=
，连接EF ．在【问题呈现】的条件下，完成下列
问题：
（1）证明：DC
EF
=
；
（2）连接__________，BE
CD
+
的最小值即为线段__________的长度．
【方法应用】如图③，在ABC
中，
50
BAC
=
，AB
AC
=
，BD
AC
⊥
于点D，点M、N 分别是线段BD
BC
、
上的动点，且BM
CN
=
，当AM
AN
+
的值最小时，
MAD
的度数为__________．
【答案】（1）证明：∵CF
AB
∥
，
90
DAC
ECF
=
=
，
在DAC
和
ECF
△
中，
CF
AC
DAC
ECF
AD
CE
=
=
=
，
(
)
DAC
ECF SAS
≌
，
DC
EF
=
；
（2）BF ，BF ；
方法应用：12.5
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等腰三角形的性质
的运用等知识点，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数
情况要作点关于某直线的对称点．
问题解决：（1）根据平行线的性质得到
90
DAC
ECF
=
=
，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到
结论；
（2）连接BF ，连接
,
BF BE
CD
+
的最小值即为线段BF 的长度．
方法应用：在BC 下方作CNA
，使CNA
BMA
≌
，连接AA，则AM
AN
+
最小值为AA，此时
,
,
A N A三点
在同一直线上，推出
180
105
37.5
2
A AC
A
−
=
=
=
，所以
37.5
BAM
=
，即可得到
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50
37.5
12.5
MAD
BAC
BAM
=
−
=
−
=
．
【详解】问题解决：（1） 略
（2）解：连接
,
BF BE
CD
+
的最小值即为线段BF 的长度．
则BE
CD
BE
EF
BF
+
=
+
，
故BE
CD
+
的最小值即为线段BF 的长度．
故答案为：
,
BF BF ；
方法应用：解：在BC 下方作CNA
，使CNA
BMA
≌
，连接AA．
则
,
,
NCA
MBA AM
A N AB
AC
A C
=
=
=
=
．
AM
AN
A N
AN
AA
+
=
+
，
即AM
AN
+
最小值为AA，此时
,
,
A N A三点在同一直线上．
50 ,
BAC
AB
AC
=
=
，
65
ACB
ABC
=
=
，
BD
AC
⊥
，
90
50
40
ABD
=
−
=
，
40
NCA
=
，
65
40
105
ACA
=
+
=
，
∵AC
A C
=
，
37.5
A AC
A
=
=
，
37.5
BAM
=
，
50
37.5
12.5
MAD
BAC
BAM
=
−
=
−
=
，
故答案为：12.5．
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◆题型4 利用全等三角形的性质解决动点综合问题
10．（25-26 七年级上·山东泰安·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
6cm
AB
AC
=
=
，若O是BC 的中
点，动点M 在AB 上移动，动点N 在AC 上移动，且AN
BM
=
．
(1)证明：OM
ON
=
；
(2)四边形AMON 面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON 的面积．
【答案】(1)
连接OA，
∵
90
A
=
，
6cm
AB
AC
=
=
，O是BC 的中点，
∴
45
OAN
OAB
B
=
= =
，
∴OA
OB
=
，
又∵AN
BM
=
，
∴
(
)
SAS
AON
BOM
≌
，
∴OM
ON
=
；
(2)不变，
2
9cm
【分析】（1）连接OA，证明
(
)
SAS
AON
BOM
≌
即可求证；
（2 ）由全等三角形的性质得
AON
BOM
S
S
=
△
△
，即得
2
1
9cm
2
AOB
ABC
AMON
S
S
S
=
=
=
四边形
，即可求解；
本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）略
（2）解：四边形AMON 面积不会发生变化，理由如下：
∵
M
AON
BO
≌
，
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∴
AON
BOM
S
S
=
△
△
，
∴
2
1
1
1
6 6
9cm
2
2
2
AOB
ABC
AMON
S
S
S
=
=
=
=
四边形
，
∴四边形AMON 面积不会发生变化，面积为
2
9cm ．
11．（24-25 七年级下·四川成都·期末）ABC
中，AB
AC
=
，点P 为边AC 上一动点．
(1)如图1，过点A 作AD
BP
⊥
于点D，以AD为边作ADE
，使AD
AE
=
，且
BAC
DAE
=
，作射线ED交
BC 于点F．
①求证：BD
CE
=
，
BDF
DEC
=
；
②求证：BF
CF
=
；
(2)如图2，
3
3
AP
CP
=
=
，
100
BAC
=
，N 为ABC
内一动点，且HN
HA
HB
=
=
，M为HN 中点，连接
,
BM PN ，
当BM
PN
+
最小时，求
APN
的度数．
【答案】(1)
证明：①∵
BAC
DAE
=
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAC
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
BAD
CAE SAS
≌
∴BD
CE
=
，
90
AEC
ADB
=
=
，
∴
90
BDF
ADE
AED
CED
+
=
+
=
，
∵AD
AE
=
，
∴
ADE
AED
=
，
∴
BDF
DEC
=
；
②过点C 作CH
BD
∥
，交ED的延长线于点H，
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由（1）可知
BDF
CED
，BD
CE
=
，
∵CH
BD
∥
，
∴
BDF
H
=
，
∴
H
CED
=
，
∴CH
CE
=
，
∴BD
CH
=
，
又∵
BFD
CFH
=
，
∴
(
)
AAS
BFD
CFH
≌
，
∴BF
CF
=
；
(2)40
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形
三边关系，三角形的内角和性质，熟练掌握以上知识是解本题的关键．
（1）①证明
(
)
BAD
CAE SAS
≌
，得出BD
CE
=
，
90
AEC
ADB
=
=
，则可得出结论；
②过点C 作CH
BD
∥
，交ED的延长线于点H，由（1）可知
BDF
CED BD
CE
=
=
,
，证明
(
)
AAS
BFD
CFH
≌
，得出BF
CF
=
；
（2）取BH 的中点Q，连接QN ，PQ ，证明
(
)
SAS
BHM
NHQ
≌
，得出BM
QN
=
，则
BM
PN
NQ
PN
PQ
+
=
+
，得出Q，N，P 三点共线时，BM
PN
+
最小，则可得出答案．
【详解】（1）略
（2）解：取BH 的中点Q，连接QN ，PQ ，
∵BH
HN
=
，M 为HN 的中点，
∴HM
HQ
=
，
又∵
BHM
QHN
=
，
∴
(
)
SAS
BHM
NHQ
≌
，
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∴BM
QN
=
，
∴BM
PN
NQ
PN
PQ
+
=
+
，
∴Q，N，P 三点共线时，BM
PN
+
最小，
∵
3
3
AP
CP
=
=
，
∴
4
AB
AC
=
=
，
∴
2
AH
BH
=
=
，
1
HQ = ，
∴
3
AQ
AP
=
=
，
∵
100
BAC
=
，
∴
(
)
1
180
100
40
2
APN
=
−
=
12．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）在ABC
中，
ABC
为锐角，点M 为射线AB 上一动点，连结CM ，
以点C 为直角顶点，以CM 为直角边在CM 右侧作等腰直角CMN
，连结NB ．
(1)当ABC
是等腰直角三角形且
90
ACB
=
时．
①问题初现：如图①，若点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，则BN 与AM 所在直线的位置关系
是______；
②深入探究：如图②，若点M 在线段AB 的延长线上，判断BN 与AM 所在直线的位置关系，并说明理由；
(2)当ABC
不是等腰三角形且
90
ACB
时，如图③．若点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，
45
ABC
=
，判断BN 与AM 所在直线的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)①垂直；
②BN
AM
⊥
，
ABC
和CMN
都是等腰直角三角形，
,
,
90
AC
BC MC
NC
ACB
MCN
=
=
=
=
．
45 ,
A
ABC
ACB
BCM
MCN
BCM
=
=
+
=
+
．
ACM
BCN
=
．
,
AC
BC MC
NC
=
=
，
ACM
BCN
△
≌△
．
45
CBN
A
= =
．
45
45
90
ABN
ABC
CBN
=
+
=
+
=
．
BN
AM
⊥
．
(2) BN
AM
⊥
，
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理由如下：
如图，过点C 作CD
BC
⊥
交BA的延长线于点D，
90
DCB
=
．
90
D
DBC
+
=
．
90
90
45
45
D
DBC
=
−
=
−
=
．
D
DBC
=
．
DC
BC
=
．
90
DCB
MCN
=
=
，
DCB
BCM
MCN
BCM
−
=
−
．
DCM
BCN
=
．
,
DC
BC MC
NC
=
=
，
DCM
BCN
△
≌△
．
45
CBN
D
=
=
．
45
45
90
ABN
ABC
CBN
=
+
=
+
=
．
BN
AM
⊥
．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线
构造全等三角形．
（1）①利用等腰直角三角形的性质得到
45 ,
90
A
ABC
ACM
BCM
BCN
BCM
=
=
+
=
+
=
，再证
明
(
)
SAS
ACM
BCN
≌
，即可得出结论；②同理①证明
(
)
SAS
ACM
BCN
≌
，即可得出结论；
（2）过点C 作CD
BC
⊥
交BA的延长线于点D，同理证明
DCM
BCN
△
≌△
，即可得出结论
【详解】（1）①问题初现：垂直；理由如下：
ABC
和CMN
都是等腰直角三角形，
,
,
90
AC
BC MC
NC
ACB
MCN
=
=
=
=
．
45 ,
90
A
ABC
ACM
BCM
BCN
BCM
=
=
+
=
+
=
．
ACM
BCN
=
．
(
)
SAS
ACM
BCN
≌
．
45
CBN
A
= =
．
45
45
90
ABN
ABC
CBN
=
+
=
+
=
．
BN
AM
⊥
；
② 略
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（2）略
◆题型5 利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题
13．（25-26 八年级上·甘肃平凉·期中）在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已
有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)操作判断：如图1，ABC
和ADE
互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段BD与CE
之间的数量关系：____．
(2)性质探究：如图2，ABC
和ADE
互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，
,
D E 均在ABC
外，连
接BD
CE
、
，试说明（1）中BD和CE 之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程．
【答案】(1) BD
CE
=
(2)成立；见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）通过ABC
和ADE
互为“兄弟三角形”，得出
BAC
DAE
=
，AB
AC
=
，AD
AE
=
，从而证明
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，即可得出答案；
（2）通过ABC
和ADE
互为“兄弟三角形”，得出
BAC
DAE
=
，AB
AC
=
，AD
AE
=
，从而证明
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，即可完成证明；
【详解】（1）解：
ABC
和ADE
互为“兄弟三角形”，
BAC
DAE
=
，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，
即
BAD
CAE
=
，
(
)
SAS
BAD
CAE
△
≌△
，
BD
CE
=
，
故答案为：BD
CE
=
；
（2）BD
CE
=
依然成立，理由如下：
ABC
和ADE
互为“兄弟三角形”，
BAC
DAE
=
，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
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BAC
DAC
DAE
DAC
+
=
+
，
即
BAD
CAE
=
，
(
)
SAS
BAD
CAE
△
≌△
，
BD
CE
=
．
14．（23-24 七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线
交于点Q，则我们把
AQB
称为
APB
的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1，CD，BE分别是ABC
的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道
DBE
是
DCE
的“边
垂角”或
DCE
是
DBE
的“边垂角”，
DAE
的“边垂角”是______；
(2)若
AQB
是
APB
的“边垂角”，则
AQB
与
APB
的数量关系是______；
(3)若
ACD
是
ABD
的“边垂角”，且AB
AC
=
．如图2，BD交AC 于点E，点C 关于直线BD对称点为点
F，连接AF ，EF ，且
45
CAF
=
，求证：BE
CF
CE
=
+
．
【答案】(1)
DFE
(2)
AQB
APB
=
或
180
AQB
APB
+
=
(3)
解：延长
,
BA CD 交于点G ，
ACD
是
ABD
的“边垂角”，
∴CG
BD
BG
AC
⊥
，
⊥
，
90 ,
90
ABE
AEB
ACD
DEC
+
=
+
=
，
AEB
DEC
=
，
ABE
ACF
=
，
90
BAE
CAG
=
=
，
AB
AC
=
，
(ASA)
ABE
ACG
≌
，
,
AG
AE BE
CG
=
=
，
45
FAC
=
，
90
45
GAF
FAC
=
−
=
，
AF
AF
=
，
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(SAS)
AGF
AEF
≌
，
GF
EF
=
，
点C 关于直线BE对称点为点F ，
=
EF
EC ，
BE
CG
CF
FG
CF
EF
CF
CE
=
=
+
=
+
=
+
，
BE
CF
CE
=
+
；
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：
（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）延长
,
BA CD 交于点G ，先证明
(ASA)
ABE
ACG
≌
，再证明
(SAS)
AGF
AEF
≌
，依据题意得出
GF
EC
=
，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，
DAE
的“边垂角”是
DFE
；
（2）解：若
AQB
是
APB
的“边垂角”，分两种情况
①如图，
AQB
是
APB
的“边垂角”，
,
AQ
PA BQ
PB
⊥
⊥
，
1
90 ,
2
90
AQB
APB
+ =
+ =
，
1
2
=
，
AQB
APB
=
，
②如图，
AQB
是
APB
的“边垂角”，
,
AQ
PA BQ
PB
⊥
⊥
，
90 ,
90
PAQ
PBQ
=
=
，
360
PAQ
AQB
APB
PBQ
+
+
+
=
，
180
AQB
APB
+
=
，
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综上所述，
AQB
与
APB
的数量关系是
AQB
APB
=
或
180
AQB
APB
+
=
；
（3）略
15．（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等
积三角形．
如图1，在ABC
中，
10
AB =
，
6
AC =
，
9
BC =
．
①若Q 是AB 上一点，
5
AQ =
，则CAQ
与
CBQ
△
______偏等积三角形（填“是”或“不是”）；
②若P 为AC 上一点，当AP 的长为______时，ABP
与
CBP
△
是偏等积三角形；
（2）运用定义：如图2，D 为BC 上一点，ABD
与ACD
是偏等积三角形，
4
AB =
，
12
AC =
，且线段AD
的长为偶数，则AD的长为______；
（3）拓展加深：
①如图3，CA
CB
=
，CD
CE
=
，
(
)
90
0
90
ACB
DCE
BCE
=
=
．
求证：ACD
与BCE
是偏等积三角形；
②如图4，ABC
与ADE
是偏等积三角形，AB
AE
=
，AC
AD
=
，求证：
180
BAC
DAE
+
=
．
【答案】（1）①是；②3；
（2）6；
（3）①ACD
与BCE
是偏等积三角形．
理由：如图3，
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90
ACB
DCE
=
=
，
180
ACD
BCE
+
=
，
0
90
BCE
，
90
ACD
，
ACD
BCE
，
CA
CB
=
，CD
CE
=
，
ACD
与BCE
不全等，
作BF
CE
⊥
于点F，AG
DC
⊥
交CD的延长线于点G，则
90
G
BFC
=
=
，
180
90
ECG
DCE
=
−
=
，
90
ACG
BCF
BCG
=
=
−
，
在ACG
和BCF
中，
G
BFC
ACG
BCF
CA
CB
=
=
=
，
(
)
AAS
ACG
BCF
≌
，
AG
BF
=
，
1
1
2
2
CD AG
CE BF
=
，
ACD
与BCE
面积相等，
ACD
与BCE
是偏等积三角形．
②作DK
AE
⊥
，交EA的延长线于点K ，作CH
AB
⊥
于点H ，
∵ABC
与ADE
是偏等积三角形，
∴1
1
2
2
AE DK
AB CH
=
，
∵AB
AE
=
，
∴DK
CH
=
，
在Rt AKD
和Rt AHC
中，
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DK
CH
AD
AC
=
=
，
∴Rt
Rt
AKD
AHC
≌
，
∴
DAK
BAC
=
，
∴
180
BAC
DAE
DAK
DAE
+
=
+
=
．
【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理
添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
（1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可；
（2）过C 作CE
AB
∥
交AD的延长线于E，根据ABD
与ACD
是偏等积三角形，且ABD
与ACD
在BD、
CD边上的高相等，则有BD
CD
=
，再证明
ECD
ABD
△
≌△
，得
4
,
ED
AD EC
AB
=
=
=
，再根据三角形的三
边关系可知AC
EC
AE
AC
EC
−
+
，进而可求解；
（3）①先证明
ACD
BCE
，再由CA
CB
=
，CD
CE
=
，说明ACD
与BCE
不全等，作BF
CE
⊥
于点
F，AG
DC
⊥
交CD的延长线于点G，可证明ACG
BCF
≌
得AG
BF
=
，即可证明ACD
与BCE
面积相
等，即可解答．
②作DK
AE
⊥
，交EA的延长线于点K ，作CH
AB
⊥
于点H ，根据新定义，推出DK
CH
=
，证明
Rt
Rt
AKD
AHC
≌
，得到
DAK
BAC
=
，进而得到
180
BAC
DAE
DAK
DAE
+
=
+
=
．
【详解】解：（1）①∵点Q 是AB 上一点，且
5
AQ =
，
又∵
10
AB =
，
∴
1
2
AQ
AB
=
，
即：Q 为AB 的中点，
∴CQ 为ABC
的中线，
∴
ACQ
BCQ
S
S
=
，
∵
,
,
AQ
BQ CQ
CQ AC
BC
=
=
，
∴
,
ACQ
BCQ
不全等，
∴CAQ
与
CBQ
△
是偏等积三角形；
故答案为：是；
②∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当BP为ABC
的中线时，ABP
与
CBP
△
是偏等积三角形，此时
1
3
2
AP
CP
AC
=
=
=
；
故当
3
AP =
时，ABP
与
CBP
△
是偏等积三角形；
故答案为：3；
（2）如图2，过C 作CE
AB
∥
交AD的延长线于E，
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ABD
与ACD
是偏等积三角形，且ABD
与ACD
在BD、CD边上的高相等，
BD
CD
=
，
在ECD
和ABD
中，
E
BAD
EDC
ADB
CD
BD
=
=
=
(AAS)
ECD
ABD
△
≌△
，
4
ED
AD
EC
AB
=
=
=
，
，
AC
EC
AE
AC
EC
−
+
，
4
AB =
，
12
AC =
，
12
4
2
12
4
AD
−
+
，
4
8
AD
，
线段AD的长为偶数，
6
AD
=
；
（3）①略
②略
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在ABC
中，
80
ABC
=
，BD平分
ABC
，P 为线
段BD上一动点，Q 为边AB 上一动点，当AP
PQ
+
的值最小时，
APB
的度数是（ ）
A．120
B．125
C．130
D．135
【答案】C
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【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，
直角三角形的性质，解题的关键是找出使AP
PQ
+
最小时点P 的位置．在BC 上截取BE
BQ
=
，连接PE，
证明PBQ
PBE
≌
，得出PE
PQ
=
，说明AP
PQ
AP
PE
+
=
+
，找出当A、P、E 在同一直线上，且AE
BC
⊥
时，AP
PE
+
最小，即AP
PQ
+
最小，过点A 作AE
BC
⊥
于点E，交BD于点P，根据三角形内角和，求出
结果即可．
【详解】解：在BC 上截取BE
BQ
=
，连接PE，如图，
BD
平分
ABC
，
1
40
2
ABD
CBD
ABC
\ ?
?
?
? ，
BP
BP
=
，
PBQ
PBE
\
≌
，
PE
PQ
=
，
=
AP
PQ
AP
PE
+
+
，
∴当A、P、E 在同一直线上，且AE
BC
⊥
时，AP
PE
+
最小，即AP
PQ
+
最小，过点A 作AE
BC
⊥
于点E，
交BD于点P，如下图，
90 ,
80
AEB
ABE
?
靶
=
?
，
90
80
10
BAE
\ ?
?
?
? ，
180
130
APB
ABP
BAP
\ ?
? ?
?
? ，
故选：C．
2．（25-26 八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，动点C 与线段AB 构成ABC
，其边长满足
8,
2
2,
2
4
AB
CA
a
CB
a
=
=
+
=
−．点D 在
ACB
的平分线上，且
90
ADC
=
，则ABD
的面积的最大值为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】A
【分析】延长AD
CB
、
交于点E ，首先利用“ASA ”证明ACD
ECD
≌
，由全等三角形的性质可得
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2
2
AC
EC
a
=
=
+
，AD
ED
=
，进而可求得
6
BE =
，结合三角形中线的性质知
:
1:2
ABD
ABE
S
S
=
，确定ABE
面积的最大值，即可获得答案．
本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题
关键．
【详解】解： 如下图，延长AD
CB
、
交于点E ，
∵CD为
ACB
的平分线，
∴
ACD
ECD
=
，
在ACD
和ECD
中，
90
ACD
ECD
CD
CD
ADC
EDC
=
=
=
=
，
∴
(ASA)
ACD
ECD
≌
，
∴
2
2
AC
EC
a
=
=
+
，AD
ED
=
，
∵
2
4
CB
a
=
−，
∴
(
)
2
2
2
4
6
BE
a
a
=
+
−
−
=
，
∵AD
ED
=
，
∴
:
1:2
ABD
ABE
S
S
=
，
当BE
AB
⊥
时，ABE
的面积取最大值，
即
max
1 8 6
24
2
ABE
S
=
=
，
∴
max
12
ABD
S
=
．
故选A．
3．
（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图，AO
OM
⊥
，
6
OA =
，点B 为射线OM 上的一个动点，分别以OB ，
AB 为直角边，点B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰Rt
OBF
△
、等腰Rt
ABE
△
，连接EF 交OM 于P 点，当
点B 在射线OM 上移动时，则PB的长度为（ ）
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A．4
B．3
C．2
D．2.5
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造
全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
过点E 作EN
BM
⊥
，垂足为点N ，首先证明
ABO
BEN
≌
△
△
，得到BO
NE
=
；进而证明BPF
NPE
≌
，即
可解决问题．
【详解】解：如图，过点E 作EN
BM
⊥
，垂足为点N ，
90
AOB
ABE
BNE
=
=
=
，
90
ABO
BAO
ABO
NBE
+
=
+
=
，
BAO
NBE
=
，
ABE
、BFO
均为等腰直角三角形，
AB
BE
=
，BF
BO
=
；
在ABO
与BEN
中，
BAO
NBE
AOB
BNE
AB
BE
=
=
=
，
(
)
AAS
ABO
BEN
≌
，
BO
NE
=
，BN
AO
=
；
BO
BF
=
，
BF
NE
=
，
在BPF
与
NPE
△
中，
FBP
ENP
FPB
EPN
BF
NE
=
=
=
，
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(
)
AAS
BPF
NPE
≌
，
1
2
BP
NP
BN
=
=
；而BN
AO
=
，
1
1
6
3
2
2
BP
AO
=
=
=
，
故选B．
4．（25-26 八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，ABC
中，AB
AC
，AD是ABC
中线，有下面四个结论：
①ABD
与ACD
的面积相等；②
(
)
1
2
AD
AB
AC
+
；③若点P 是线段AD上的一个动点（点P 不与点
,
A D
重合），连接
,
PB PC ，则ABP
的面积比ACP
的面积大；④点
,
P Q 是
,
A D 所在直线上的两个动点（点P 与
点Q 不重合），若DP
DQ
=
，连接
,
PB QC ，则PB
QC
．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．②③
D．①④
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关
键．根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长AD至E ，使
1
2
AD
DE
AE
=
=
，易证得
ACD
EBD
≌
，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③
进行判断；由DP
DQ
=
，BD
CD
=
，
CDQ
BDP
=
，易证得CDQ
BDP
≌
，可得
CQD
BPD
=
，即
可对④进行判断.
【详解】解：∵AD是ABC
中线，
∴BD
CD
=
∴ABD
与ACD
的面积相等，故①正确，
延长AD至E ，使
1
2
AD
DE
AE
=
=
，如图
∵
,
ADC
EDB BD
CD
=
=
，
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∴
(
)
ACD
EBD SAS
≌
∴AC
BE
=
则在ABE
中，AE
AB
BE
AB
AC
+
=
+
，
∴
(
)
1
2
AD
AB
AC
+
，故②正确；
点P 是线段AD上的一个动点(点P 不与点
,
A D 重合)，连接
,
PB PC ，如图
∵BD
CD
=
，
∴
PBD
PCD
S
S
=
，
又∵ABD
与ACD
的面积相等，
∴ABP
的面积和ACP
的面积相等，故③不正确，
点
,
P Q 是
,
A D 所在直线上的两个动点(点P 与点Q 不重合)，若DP
DQ
=
，连接
,
PB QC ，如图，
由DP
DQ
=
，BD
CD
=
，
CDQ
BDP
=
，
∴
(
)
SAS
CDQ
BDP
≌
，
∴
CQD
BPD
=
，
∴PB
QC
，故④正确，
故选：B.
二、填空题
5．（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，AB
BC
⊥
，DC
BC
⊥
，垂足分别为B ，C ，
6
AB =
，
8
BC = ，
2
CD =
，点P 为BC 边上一动点，当BP =________时，形成的Rt ABP
与Rt
PCD
△
全等．
【答案】2
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【分析】根据题意首先要找出与BP对应的边，结合已知条件可知BP与CD相等时，由SAS 可判定
ABP
PCD
≌
，据此即可求出BP的值．
【详解】解：∵
6
AB =
，
2
CD =
，AB
BC
⊥
，DC
BC
⊥
，
∴AB
CD
，
90
B
C
=
=
，
∴只有BP
CD
=
、AB
CP
=
时，Rt ABP
与Rt
PCD
△
全等，
∵
2
CD =
，BP
CD
=
，
∴
2
BP =
，此时
8 2
6
CP
BC
BP
AB
=
−
= −
=
=
，
在ABP
与PCD
中，
90
AB
PC
B
C
BP
CD
=
=
=
=
，
∴
(
)
ABP
PCD SAS
≌
，
∴当
2
BP =
时，形成的Rt ABP
与Rt
PCD
△
全等．
6．
（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，在ABC
中，AC
BC
=
，
4
AB =
，ABC
的面积为10，作AD
AC
⊥
，
且AD
AC
=
，连接BD，点E 为射线AB 上的动点，当DE 的长度最短时，BDE
的面积为________．
【答案】1
【分析】先结合垂线段最短，得DE
AB
⊥
的延长线，再证明
(
)
HL
CHA
CHB
≌
，得
2
AH =
，
5
CHA
CHB
S
S
=
=
，
又因为AD
AC
=
，证明
(
)
AAS
CAH
ADE
≌
，故
2
5
ADE
CAH
DE
AH
S
S
=
=
=
=
,
，最后把数值代入
ADE
ADB
BDE
S
S
S
=
−
计算，即可作答．
【详解】解：依题意，当DE 的长度最短时，即DE
AB
⊥
的延长线，如图所示：
过点C 作CH
AB
⊥
，
∴
90
CHA
CHB
=
=
，
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∵
C
C
A
H
CH
C
B
=
=
,
，
∴
(
)
HL
CHA
CHB
≌
，
∴
1
1
4
2
2
2
AH
BH
AB
=
=
=
=
，
1
1 10
5
2
2
CHA
CHB
ABC
S
S
S
=
=
=
=
，
∵AD
AC
⊥
，
∴
90
CAH
DAE
+
=
，
∵DE
AB
⊥
的延长线，
∴
90
AED
CHA
=
=
，
∴
90
ADE
DAE
+
=
，
∴
CAH
ADE
=
，
∵AD
AC
=
故
(
)
AAS
CAH
ADE
≌
，
∴
2
5
ADE
CAH
DE
AH
S
S
=
=
=
=
,
，
则
1
1
4 2
4
2
2
ADB
S
AB DE
=
=
=
，
∴
5
4
1
BDE
ADE
ADB
S
S
S
=
−
= −
=
．
7．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC
中，
6,
90 ,
,
AC
BAC
E D
=
=
分别为边
,
AB AC 上的动
点，且AE
CD
=
，连接
,
BD CE ．当CE
BD
+
取最小值时，
BDC
AEC
S
S
+
=
_____．
【答案】18
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两
点之间线段最短得到CE
BD
+
取最小值时点D 的位置是解题的关键．
如图，在AC 下方作CF
AC
⊥
，且使得
6
AC
CF
=
=
，则
90
BAC
DCF
=
=
，AB
CF
∥
，可证得
(
)
SAS
ACE
CFD
≌
，则
AEC
DCF
S
S
=
，CE
FD
=
，进而可知当点D 在BF 上时，CE
BD
+
取得最小值，此
时，
BDC
AEC
BDC
D
BC
CF
F
S
S
S
S
S
+
=
+
=
△
△
，即可求解．
【详解】解：如图，在AC 下方作CF
AC
⊥
，且使得
6
AC
CF
=
=
，则
90
BAC
DCF
=
=
，AB
CF
∥
，
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又∵AE
CD
=
，
∴
(
)
SAS
ACE
CFD
≌
，则
AEC
DCF
S
S
=
，
∴CE
FD
=
，则CE
BD
FD
BD
BF
+
=
+
，
即，当点D在BF 上时，CE
BD
+
取得最小值，
此时，
1
1
6 6
18
2
2
BDC
AEC
BDC
BCF
DCF
S
C
A
S
C
S
F
S
S
=
=
=
+
=
=
+
△
△
，
故答案为：18．
8．（25-26 七年级下·江西景德镇·期末）如图，在ABC
中
90
A
=
，
12cm
AB =
，
5cm
AC =
，过点B 作
BM
AB
⊥
．动点E 从A 点出发以3cm/s 的速度沿射线AB 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点的运动而
运动，始终保持ED
CB
=
．若点E 的运动时间为t 秒（
0
t
），则当以B，E，D 为顶点的三角形与ABC
全
等时，t 的值为________秒．
【答案】7
3 、17
3 、8
【分析】分当E 在线段AB 上，或当E 在线段AB 延长线上，由HL证明这两个三角形全等，再结合对应边
相等进行列式计算即可．
【详解】解：∵CA
AB
⊥
，BM
AB
⊥
，
∴
90
CAB
DBE
=
=
，
①当E 在线段AB 上时，
如图：若
5
BE
AC
=
=
，
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∵ED
CB
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
BCA
≌
，
∵
3 cm
AE
t
=
，
∴
(
)
12
3 cm
BE
AB
AE
t
=
−
=
−
，
∴12 3
5
t
−
=
，解得：
7
3
t =
；
若
12
BE
AB
=
=
，此时点E 和点A 重合，不符合题意；
②当E 在线段AB 延长线上时，
如图：若
5
BE
AC
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
BCA
≌
，
∵
3
12 5
17cm
AE
t
AB
BE
=
=
+
=
+ =
，
∴
17
3
t =
；
如图：若
12
BE
AB
=
=
，
∵ED
CB
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
CBA
≌
，
∵
3
12 12
24cm
AE
t
AB
BE
=
=
+
=
+
=
，
∴
8
t =
．
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∴当
7
3
t =
或17
3 或8 秒时，DEB
与BCA
全等．
三、解答题
9．（25-26 八年级上·广东江门·期中）如图，
90
B
=
，AB
DF
∥
，
4cm
AB =
，
10cm
BD =
，点C 是线段BD
上一动点，点E 是直线DF 上一动点，且始终保持AC
CE
⊥
．
(1)如图1，求证：
ACB
CED
=
．
(2)利用图2 画图并解答：若AC
CE
=
，试求BC 的长．
【答案】(1)
证明：∵AC
CE
⊥
，
∴
90
ACB
ECD
+
=
，
又∵
90
B
=
，AB
DF
∥
，
∴
90
D
=
，
∴
90
A
ACB
ECD
CED
+
=
+
=
，
∴
ACB
CED
=
．
(2)
如图所示为所求：
BC 的长为6cm
【分析】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形对应边相等的性质的运用，本题中求证ABC
CDE
≌
是
解题的关键．
（1）根据
90
EDC
=
，得出
90
CED
ECD
+
=
，再根据
90
ACE
=
，得出
90
ACB
ECD
+
=
，最后
根据同角的余角相等，即可得出
ACB
CED
=
；
（2）先判定ABC
CDE
≌
，得出DE
BC
=
，
4cm
AB
CD
=
=
，进而得出
(
)
10
4
6 cm
BC
BD
CD
=
−
=
−
=
，根
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据全等三角形的对应边相等，即可得出
6cm
DE =
．
【详解】（1）略
（2）解：在ABC
和
CDE
△
中，
90
B
D
ACB
CED
AC
CE
=
=
=
=
，
∴
(
)
ABC
CDE AAS
≌
，
∴BC
DE
=
，AB
CD
=
，
∵
4cm
AB =
，
10cm
BD =
，
∴
(
)
10
4
6 cm
BC
BD
CD
=
−
=
−
=
．
10．
（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图①，在Rt
ABC
△
中，
90
9cm
12cm
15cm
C
BC
AC
AB
=
=
=
=
，
，
，
，
现有一动点P ，从点A出发，沿着三角形的边AC
CB
BA
→
→
运动，回到点A停止，速度为3cm / s，设运
动时间为st ．
(1)如图①，当t = ___________时，
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半；
(2)如图②，在DEF
中，
90
6cm
7cm
E
DE
DF
D
A
=
=
=
=
，
，
，
．在ABC
的边上，若另外有一个动
点Q ，与点P 同时从点A出发，沿着边AB
BC
CA
→
→
运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好APQ
DEF
≌
，求点Q 的运动速度．
【答案】(1)11
2 或19
2
(2) 29 cm / s
10
或7 cm / s
2
【分析】（1）根据题意，
1
54
2
ABC
S
AC BC
=
=
，动点的速度为3cm / s，设运动时间为st ，在AC 上运动的
时长为
( )
1
12
4 s
3
3
AC
t =
=
=
，在BC 上运动的时长为
( )
2
9
3 s
3
3
BC
t =
=
=
，在AB 上运动的时长为
( )
2
15
5 s
3
3
AB
t =
=
=
，根据运动时间，分类解答即可．
（2）根据APQ
DEF
≌
，分类情况讨论解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，
1
54
2
ABC
S
AC BC
=
=
，动点的速度为3cm / s，设运动时间为st ，在AC 上运
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动的时长为
( )
1
12
4 s
3
3
AC
t =
=
=
，在BC 上运动的时长为
( )
2
9
3 s
3
3
BC
t =
=
=
，在AB 上运动的时长为
( )
2
15
5 s
3
3
AB
t =
=
=
，
当0
4
t
时，点P 在AC 上运动，此时
APC
△
不存在；
当4<
7
t
时，点P 在BC 上运动，此时
APC
△
存在，如图所示，
根据题意，运动总路程长为
(
)
3 cm
t
，
(
)(
)
3
12
cm
CP
t
=
−
，
∵
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
∴
(
)
1
1
1
·
12
3
12 =
54
2
2
2
AC CP
t
=
−
，
解得
( )
11 s
2
t =
；
当7<
12
t
时，点P 在AB 上运动，此时
APC
△
存在，如图所示，
根据题意，运动总路程长为
(
)
3 cm
t
，此时
(
)(
)
12 15
9
3
36
3
cm
AP
t
t
=
+
+
−
=
−
，
∵
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
∴
1
2
AP
BP
AB
=
=
，
∴
15
36
3
2
t
−
=
，
解得
( )
19 s
2
t =
；
故当
( )
19 s
2
t =
或
( )
11 s
2
t =
时，
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
故答案为：11
2 或19
2 ．
（2）分情况讨论：
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当点P 在AC 上运动，点Q 在AB 上运动，且满足APQ
DEF
≌
，
∵
90
E
=
，
6cm
DE =
，
7cm
DF =
，
D
A
= ．
∴
6cm
AP
DE
=
=
，
7cm
AQ
DF
=
=
，
∵动点P 的速度为3cm / s，
∴动点P 的运动时间为6 =2s
3
，
∴动点Q 的运动时间为6 =2s
3
，
∴动点Q 的运动速度为7 cm / s
2
；
当点P 在BC 上运动，点Q 在AB 上运动，不满足
D
A
= ，不存在；
当点P 在AB 上运动，点Q 在AC 上运动，满足
D
A
= ，存在；
∵
90
E
=
，
6cm
DE =
，
7cm
DF =
，
D
A
= ．
∴
6cm
AP
DE
=
=
，
7cm
AQ
DF
=
=
，
∵动点P 的速度为3cm / s，
∴动点P 的运动时间为36
6 =10s
3
−
，
∴动点Q 的运动时间为10s ，
点Q 的运动路程为
(
)
36
7
29 cm
−
=
，
∴动点Q 的运动速度为29 cm / s
10
；
综上所述，点Q 的速度为29 cm / s
10
或7 cm / s
2
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角
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形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
11．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）如图，已知ABC
中，
90
C
=
，
45
ABC
=
．点E 为ABC
边BC
上的动点，过A 作AF
AE
⊥
，且AF
AE
=
，连结BF 交直线AC 于点P．
(1)求证：AC
BC
=
；
(2)若
2
BC =
，点E 为BC 的中点，请求出AP
CP 的值；
(3)若点E 为射线CB 上的动点，
5
4
BC
BE =
，试求出AP
CP 的值．
【答案】(1)
证明：
90
ACB
=
，
45
ABC
=
180
45
BAC
ACB
ABC
=
−
−
=
ABC
BAC
=
AC
BC
=
；
(2)
3
AP
CP =
(3) 3
2 或7
2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，正确构造全等三
角形是解题的关键．
（1）由三角形内角和以及等角对等边即可证明；
（2）过F 点作DF
AC
⊥
于D 点，先证明
(
)
AAS
ADF
ECA
≌
，再证明
(
)
AAS
DPF
CPB
≌
，即可求解；
（3）不防设
5 ,
4
BC
x BE
x
=
=
，则
5
AC
BC
x
=
=
，①当点E 在ABC
边BC 上时，则CE
BC
BE
x
=
−
= ，则
1
2
2
DP
CP
CD
x
=
=
=
，则
3
AP
AC
CP
x
=
−
=
，即可求解；②当点E 在边CB 的延长线上时，则
9
CE
BC
BE
x
=
+
=
，同（2）的方法可证得，此时
1
2
2
DP
CP
CD
x
=
=
=
，则
7
AP
AC
CP
x
=
+
=
，继而可求
解．
【详解】（1）略
（2）解：过F 点作DF
AC
⊥
于D 点，如图：
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90
ADF
=
，
90
DAF
AFD
+
=
∵AF
AE
⊥
90
DAF
CAE
+
=
AFD
CAE
=
90
C
=
，
90
ADF
PDF
=
=
C
ADF
PDF
=
=
在ADF
和ECA中
ADF
ACB
AFD
CAE
AF
AE
=
=
=
(
)
AAS
ADF
ECA
≌
,
AD
CE DF
AC
=
=
2
AC
BC
=
=
，点E 为BC 的中点
1
AD
CE
=
=
1
CD
AC
AD
=
−
=
,
AC
BC DF
AC
=
=
2
DF
BC
=
=
在DPF
和
CPB
△
中
PDF
C
DPF
BPC
DF
BC
=
=
=
(
)
AAS
DPF
CPB
≌
DP
CP
=
1
1
2
2
DP
CP
CD
=
=
=
3
2
AP
AC
CP
=
−
=
3
AP
CP
= ；
（3）解：
5
4
BC
BE =
∴不防设
5 ,
4
BC
x BE
x
=
=
，则
5
AC
BC
x
=
=
①当点E 在ABC
边BC 上时，则CE
BC
BE
x
=
−
= ，
小学
初中
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由（2）得，
,
ADF
ECA
DPF
CBP
△
≌△
△
≌△
,
AD
CE
x
DP
CP
=
=
=
4
CD
AC
AD
x
=
−
=
1
2
2
DP
CP
CD
x
=
=
=
3
AP
AC
CP
x
=
−
=
3
3
2
2
AP
x
CP
x
=
=
②当点E 在边CB 的延长线上时，则
9
CE
BC
BE
x
=
+
=
，
同（2）的方法可证得，
,
ADF
ECA
DPF
CBP
△
≌△
△
≌△
9 ,
AD
CE
x DP
CP
=
=
=
4
CD
AD
AC
x
=
−
=
1
2
2
DP
CP
CD
x
=
=
=
7
AP
AC
CP
x
=
+
=
7
7
2
2
AP
x
CP
x
=
=
综上所述，AP
CP 的值为3
2 或7
2 ．
12．
（25-26 八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形．
(1)【初步尝试】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
13
AB =
，
12
BC =
，
5
AC =
，点P 为AC 上一点，当AP =
_____时，ABP
与
CBP
△
为积等三角形．
(2)【理解运用】如图，ABD
与ACD
为积等三角形，若
3
AB =
，
5
AC =
，且线段AD长为正偶数，求AD
的长．
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(3)【综合应用】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，分别以AC ，AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，
连接EG，求证：AEG
和ABC
为积等三角形．
【答案】(1) 5
2
(2) 2
(3)
证明：如图，过点E 作EH
GA
⊥
，交GA的延长线于点H，
∵四边形ACFG 和ABDE 四边形均为正方形，
∴
90?
AB
AE
AG
AC
GAC
=
=
=
；
；
∴
90?
90?
HAE
BAH
BAH
BAC
+
=
+
=
，
∴
BAC
EAH
=
在ABC
和AEH
中
90?
ACB
AHE
BAC
EAH
AB
AE
=
=
=
=
∴
(AAS)
ABC
AEH
≌
∴BC
EH
=
∵
1
·
2
ABC
S
AC BC
=
△
；
1
1
2
2
AEG
S
AG EH
AC BC
=
=
△
∴
ABC
AEG
S
S
=
∵ABC
是直角三角形，AEG
为钝角三角形，
∴AEG
和ABC
为不全等，
∴AEG
和ABC
为积等三角形．
【分析】（1）利用三角形中线的性质及积等三角形的定义即可解决问题；
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（2）过点C 作CE
AB
，交AD的延长线于点E，证明
(AAS)
ADB
EDC
≌
，推出
3
AD
DE
AB
EC
=
=
=
，
，
利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）过点E 作EH
GA
⊥
，交延长线于点H，先证明
(AAS)
ABC
AEH
≌
，得到BC
EH
=
，依据三角形的
面积公式可知
ABC
AEG
S
S
=
，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可．
【详解】（1）解：如图1，Rt
ABC
△
中，
90
C
=
∴
1
·
2
ABP
S
AP BC
=
；
1
·
2
CBP
S
CP BC
=
∵ABP
与
CBP
△
不全等，ABP
与
CBP
△
为积等三角形，
∴
1
1
·
·
2
2
ABP
CBP
S
AP BC
S
CP BC
=
=
=
∴
1
5
2
2
AP
CP
AC
=
=
=
故答案为：5
2 ；
（2）如图，过点C 作CE
AB
，交AD的延长线于点E，
∵ABD
与ACD
为积等三角形，
∴BD
CD
=
∵AB
EC
∴
BAD
E
=
∵
ADB
EDC
=
∴
(AAS)
ADB
EDC
≌
∴
3
AD
DE
AB
EC
=
=
=
，
∴
2
AE
AD
=
∵
5
AC =
∵AC
CE
AE
AC
CE
−
+
∴5 3
2
5 3
AD
−
+
∴2
2
8
AD
∴1
4
AD
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∵线段AD长为正偶数
∴
2
AD =
.
（3）略
13．（25-26 八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做
积等三角形．
【初步尝试】（1）如图1，在ABC
中，AB
AC
，
4
BC =
，P 为边BC 上一点，若ABP
与ACP
是积等
三角形，则BP的长为__________．
【理解运用】（2）如图2，ABD
与ACD
为积等三角形，若
2
AB =
，
4
AC =
．
①求AD的取值范围；
②当AD的长度为正整数时，则
________
AD =
．
【综合应用】（3）如图3，在Rt
ABC
△
中
90
BAC
=
，AB
AC
=
，过点C 作MN
AC
⊥
，点D 是射线CM 上
一点，以AD为边作Rt
ADE
△
，
=90
DAE
，AD
AE
=
，连接BE．请判断BAE
与ACD
是否为积等三角
形，并说明理由．
【答案】（1）2；（2）①1
3
AD
；②2；（3）是积等三角形，理由见解析
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关
键是正确寻找全等三角形解决问题.
（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；
（2）证明
≌
ADB
NDC ，推出
2
=
=
AB
NC
，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）过点E 作EH
AB
⊥
于点H ，先证明
≌
HAE
CAD , 则
,
=
=
AC
AH EH
CD ，然后再依据积等三角形的
定义进行证明即可.
【详解】（1）解：过点A作AH
BC
⊥
于H ，
ABP
与ABP
是积等三角形，
=
ABP
ACP
S
S
，
1
1
2
2
BP AH
CP AH
=
，
BP
CP
=
，
BP
CP
BC
+
=
，
2
BP
CP
=
=
；
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故答案为：2；
（2）①解：如图2，延长AD至N ，使DN
AD
=
，连接CN ，
ABD
与ACD
为积等三角形，
BD
CD
=
，
在ADB
和NDC 中，
BD
CD
ADB
CDN
AD
DN
=
=
=
，
≌
ADB
NDC ，
2
=
=
AB
NC
，
在ACN
中AC
CN
AN
AC
CN
−
+
，
4
AC =
，
4 2
4
2
−
+
AN
，
2
6
AN
，
2
2
6
AD
，
1
3
AD
，
②
AD
为正整数，
2
AD
=
；
故答案为：2；
（3）是积等三角形，
证明：如图3，过点E 作EH
AB
⊥
于点H ，
MN
AC
⊥
，
90
=
=
ACD
AHE
，
90
BAC
DAE
=
=
，
90
=
=
CAH
DAE
，
−
=
−
CAH
DAH
DAE
DAH ，
EAH
DAC
=
，
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在
HAE
△
和CAD
中，
EHA
ACD
EAH
DAC
AE
AD
=
=
=
，
HAE
CAD
△
≌△
，
,
AC
AH EH
CD
=
=
，
1
1
,
2
2
BAE
ACD
S
AB EH S
AC CD
=
=
，
AB
AC
=
∵
，
1
2
ACD
S
AB CD
=
，
=
BAE
ACD
S
S
，
ABE
与ACD
为积等三角形．
