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专题04 角平分线和垂直平分线重难点六大题型汇编
常考题型·精准突破
题型 1:利用垂直平分线的性质求角度
题型 2:利用垂直平分线定位性质求线段长度（常考）
题型 3;利用角平分线的性质求面积（重点）
题型 4;利用角平分线的性质求边长
题型 5:角平分线+垂直构造全等模型（难点）
题型 6:利用尺规作图综合应用（常考）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型·1:利用垂直平分线的性质求角度
1．如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 40∘，𝐴𝐵的垂直平分线𝑀𝑁交𝐴𝐶于点𝐷，连接𝐵𝐷，则∠𝐷𝐵𝐶的度数是（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．70°
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相
应知识是解题的关键．
由𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐵，可得𝐷𝐴= 𝐷𝐵，从而∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴= 40°，由∠𝐴= 40°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶可求得∠𝐴𝐵𝐶= 70°，
利用∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐷即可求解．
【详解】解：∵𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐵，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴= 40°，
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∵∠𝐴= 40°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶=
180°−∠𝐴
2
= 70°，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐷= 30°．
故选：B．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 100°．若𝑂是△𝐴𝐵𝐶三边垂直平分线的交点，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为（ ）
A．130°
B．140°
C．150°
D．160°
【答案】D
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角等知识，先根据“𝑂是△𝐴𝐵𝐶三边垂直平分线的交点”
得到𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，从而可知∠𝑂𝐴𝐵= ∠𝑂𝐵𝐴，∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐶𝐴，用三角形的内角和求出∠𝐵𝐴𝐶，
从而得到∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐶𝐴= 80°，则∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 20°，最后再用三角形内角和求解即可．
【详解】如图，连接𝑂𝐴．
∵𝑂是△𝐴𝐵𝐶三边垂直平分线的交点，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴∠𝑂𝐴𝐵= ∠𝑂𝐵𝐴，∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐶𝐴．
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 100°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −100° = 80°，
∴∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐶𝐴= ∠𝑂𝐴𝐵+ ∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶= 80°，
∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) −(∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐶𝐴) = 100° −80° = 20°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180° −(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180° −20° = 160°．
故选：D．
3．如图，已知∠𝐵= 20°，∠𝐶= 30°，若𝑀𝑃和𝑄𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，则∠𝑃𝐴𝑄的度数为（ ）
A．50°
B．80°
C．85°
D．75°
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【答案】B
【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角
形的内角和定理，由垂直平分线性质可得𝑃𝐵= 𝑃𝐴，𝑄𝐴= 𝑄𝐶，所以∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐵= 20°，∠𝐶= ∠𝑄𝐴𝐶= 30°，
通过三角形内角和定理可得∠𝐵𝐴𝐶= 130°，最后通过角度的和与差即可求解，解题的关键是熟练掌握以
上知识的应用．
【详解】解：∵𝑀𝑃和𝑄𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，
∴𝑃𝐵= 𝑃𝐴，𝑄𝐴= 𝑄𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐵= 20°，∠𝐶= ∠𝑄𝐴𝐶= 30°，
∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 130°，
∴∠𝑃𝐴𝑄= ∠𝐵𝐴𝐶−(∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑄𝐴𝐶) = 130° −50° = 80°，
故选：B．
4．如图，△𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵、𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐵𝐶于D、E，若∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 105°，则∠𝐸𝐴𝐷的度
数是（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．利用线段垂直平
分线的性质得到相等的线段，再根据等腰三角形的性质得到相等的角，最后结合三角形内角和定理求出
∠𝐸𝐴𝐷的度数．
【详解】解：∵𝐴𝐵、𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐵𝐶于D、E，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵，𝐸𝐴= 𝐸𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 105°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 75°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 105°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐶= 105° −75° = 30°，
故选：C．
5．如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，E 是𝐴𝐷上一点，𝐷𝐸= 𝐵𝐷．则∠𝐴𝐶𝐸的度数为（ ）
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A．15°
B．30°
C．20°
D．25°
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出𝐴𝐷垂直平分𝐵𝐶是解题的关键．由等边
三角形的性质推出∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，由线段垂直平分线的性质推出𝐵𝐸= 𝐶𝐸，得到∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐸𝐵𝐷，
判定△𝐵𝐷𝐸是等腰直角三角形，得到∠𝐷𝐵𝐸= 45°，即可求出∠𝐴𝐶𝐸的度数．
【详解】解： ∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐷垂直平分𝐵𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐸𝐵𝐷，
∵𝐷𝐸= 𝐵𝐷，∠𝐵𝐷𝐸= 90°，
∴△𝐵𝐷𝐸是等腰直角三角形，
∴∠𝐷𝐵𝐸= 45°，
∴∠𝐸𝐶𝐷= 45°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐸𝐶𝐷= 15°．
故选：A．
◆题型·2:利用垂直平分线定位性质求线段长度（常考）
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，以点𝐴为圆心，𝐴𝐶的长为半径作圆弧交𝐵𝐶于点𝐷，再分别以点𝐵和点𝐷为圆心，
大于
1
2 𝐷𝐵的长为半径作圆弧，两弧分别交于点𝑀和点𝑁，连接𝑀𝑁交𝐴𝐵于点𝐸．若△𝐴𝐷𝐸的周长为15，𝐴𝐶=
6，则𝐴𝐵的长是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
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【分析】由作图可知𝑀𝑁垂直平分线段𝐵𝐷，𝐴𝐷= 𝐴𝐶利用线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：由作图可知：𝑀𝑁是𝐵𝐷的垂直平分线，
∴𝐸𝐵= 𝐷𝐸，
∵△𝐴𝐷𝐸的周长为15，
∴𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 15，
∵由作图可知𝐴𝐷= 𝐴𝐶= 6，
∴𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 15 −𝐴𝐷= 15 −6 = 9，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 9．
7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以点𝐴，𝐵为圆心，大于
1
2 𝐴𝐵的长为半径画弧，两弧相交于点𝑀，𝑁，作直线𝑀𝑁交
𝐵𝐶于点𝐷，连接𝐴𝐷.若△𝐴𝐷𝐶的周长为18，𝐴𝐵= 10，则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ）
A．24
B．26
C．28
D．30
【答案】C
【分析】根据作图痕迹判断𝑀𝑁是𝐴𝐵的垂直平分线，由垂直平分线性质得𝐴𝐷= 𝐵𝐷，从而将△△𝐴𝐷𝐶的
周长转化为𝐴𝐶+ 𝐵𝐶，再结合𝐴𝐵= 10求解即可．
【详解】解：根据作图痕迹判断𝑀𝑁是𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
∵△𝐴𝐷𝐶的周长为18，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 18，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 18，即𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 18，
∵𝐴𝐵= 10，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为A𝐶+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 18 + 10 = 28．
8．如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 9，𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵、𝐵𝐶于点D、E，𝐴𝐶的垂直平分线分别交
𝐴𝐶、𝐵𝐶于点F、G，𝐸𝐺= 1，则△𝐴𝐸𝐺的周长为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
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【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得𝐴𝐸= 𝐵𝐸，𝐴𝐺= 𝐶𝐺，据此即可求解．
【详解】解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
∵𝐺𝐹是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐺= 𝐶𝐺，
∴△𝐴𝐸𝐺的周长= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐺+ 𝐴𝐺= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐺+ 𝐶𝐺= 𝐵𝐶+2𝐸𝐺= 9 + 2 = 11．
9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 2, 𝐵𝐶= 6，以点𝐶为圆心，𝐴𝐶长为半径画弧交𝐴𝐶的延长线于点𝐷，分别以点𝐵，
𝐷为圆心，大于
1
2 𝐵𝐷长为半径画弧，两弧分别交于点𝑃, 𝑄，连接𝑃𝑄交𝐵𝐶于点𝐸，连接𝐷𝐸，则△𝐶𝐷𝐸的周
长为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】A
【分析】连接𝐵𝐷，由作图可得𝐶𝐷= 𝐴𝐶= 2, 𝐷𝐸= 𝐵𝐸，由𝐶𝐷+ 𝐶𝐸+ 𝐷𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸即可得出结果．
【详解】解：如图，连接𝐵𝐷，
由作图可知𝐶𝐷= 𝐴𝐶= 2, 𝑃𝑄是𝐵𝐷的垂直平分线，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐸，
∴△𝐶𝐷𝐸的周长为𝐶𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶= 2 + 6 = 8．
◆题型·3;利用角平分线的性质求面积（重点）
10．如图，点M 是∠𝐴𝑂𝐵平分线上的一点，点P、点Q 分别在射线𝑂𝐴、射线𝑂𝐵上，满足𝑂𝑃= 2𝑂𝑄，
若△𝑂𝑄𝑀的面积是2，则△𝑂𝑀𝑃的面积是（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】过点M 作𝑀𝐸⊥𝑂𝑃, 𝑀𝐹⊥𝑂𝐵，先利用角平分线的性质说明𝐸𝑀与𝑀𝐹的关系，再利用三角形的
面积公式求出𝑂𝑃与𝐸𝑀的积，最后再利用三角形的面积公式得结论．
【详解】解：过点M 作𝑀𝐸⊥𝑂𝑃, 𝑀𝐹⊥𝑂𝐵，垂足分别为E、F．
∵M 是∠𝐴𝑂𝐵平分线上的一点，
∴𝑀𝐸= 𝑀𝐹，
∵𝑆△𝑂𝑄𝑀=
1
2 𝑂𝑄× 𝑀𝐹= 2，
∴𝑂𝑄× 𝑀𝐹= 4，
∵𝑂𝑃= 2𝑂𝑄，
∴𝑂𝑃× 𝑀𝐹= 𝑂𝑃× 𝑀𝐸= 8．
∴𝑆△𝑂𝑃𝑀=
1
2 𝑂𝑃× 𝑀𝐹= 4．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”、三角形的面
积公式是解决本题的关键．
11．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 10，𝐶𝐷= 5，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的
面积是（ ）
A．40
B．42
C．46
D．48
【答案】A
【分析】过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，根据角平分线的性质得到𝐷𝐸= 𝐶𝐷，然后将四边形
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𝐴𝐵𝐶𝐷的面积转化为△𝐴𝐵𝐷与△𝐵𝐶𝐷的面积之和进行计算即可．
【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 5，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 × 6 × 5 = 15，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐶𝐷=
1
2 × 10 × 5 = 25，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 15 + 25 = 40 ．
12．如图，已知△𝐴𝐵𝐶的周长是48cm，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点𝑂，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，若𝑂𝐷= 3.5cm，
则△𝐴𝐵𝐶的面积是（ ）cm2
A．84
B．48
C．42
D．24
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面
积．先利用角平分线的性质得到O 点到各边的距离相等，再将三角形分成3 个三角形，将它们的面积
相加即可．
【详解】解：过点O 作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于点E，过点O 作𝑂𝐹⊥𝐴𝐶于点F，连接𝑂𝐴，如图所示：
∵点O 为∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线的交点，且𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 𝑂𝐹，
∵𝑂𝐷= 3.5cm，△𝐴𝐵𝐶的周长是48cm，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐵𝑂𝐶+ 𝑆△𝐴𝑂𝐵+ 𝑆△𝐴𝑂𝐶
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= 1
2 𝐴𝐵⋅𝑂𝐸+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝑂𝐹+ 1
2 𝐵𝐶⋅𝑂𝐷
= 1
2 (𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶) ⋅𝑂𝐷
= 1
2 × 48 × 3.5
= 84cm2；
故选：A．
13．如图，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐵𝐷是中线，𝐴𝐸、𝐵𝐷相交于点E，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于点F，𝐴𝐵= 14，𝐴𝐶= 12，
若△𝐵𝐷𝐶的面积是30，则𝐸𝐹的长为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题
的关键．过𝐸作𝐸𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻，由角平分线的性质推出𝐸𝐻= 𝐸𝐹，求出𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 6，由三角形的面积
公式得到△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐵𝐷𝐶的面积= 30，得
1
2 (𝐴𝐵+ 𝐴𝐷) ⋅𝐸𝐹= 30，即可求出𝐸𝐹．
【详解】解：如图，过𝐸作𝐸𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻，
∵𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴𝐸𝐻= 𝐸𝐹，
∵𝐵𝐷是中线，𝐴𝐶= 12，△𝐵𝐷𝐶的面积是30，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶=
1
2 × 12 = 6，△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐵𝐷𝐶的面积= 30，
∵△𝐴𝐵𝐷的面积=△𝐴𝐵𝐸的面积+ △𝐴𝐷𝐸的面积，
∴30 =
1
2 𝐴𝐵⋅𝐸𝐹+
1
2 𝐴𝐷⋅𝐸𝐻=
1
2 (𝐴𝐵+ 𝐴𝐷) ⋅𝐸𝐹，
∵𝐴𝐵= 14，𝐴𝐷= 6，
∴
1
2 × (14 + 6) ⋅𝐸𝐹= 30，
∴𝐸𝐹= 3．
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故选：B．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐸是𝐵𝐶边上的高，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐷于点𝐹，𝐴𝐵= 11，𝐵𝐶= 14，
𝐴𝐸= 6，则阴影部分△𝐹𝐵𝐷的面积是（ ）
A．8
B．
49
6
C．
28
3
D．
21
2
【答案】B
【分析】本题考查三角形的面积，三角形中线的性质，角平分线的性质，理解掌握角平分线的性质是
解题的关键．
根据三角形的面积公式求出△𝐴𝐵𝐶的面积，再根据三角形中线的性质得到△𝐴𝐵𝐷的面积，过点F 作𝐹𝑀⊥
𝐴𝐵于点M，作𝐹𝑁⊥𝐵𝐶于点N，根据角平分线的性质得到𝐹𝑀= 𝐹𝑁，根据𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐹+ 𝑆△𝐵𝐷𝐹=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐹𝑀+
1
2 𝐵𝐷⋅𝐹𝑁求出𝐹𝑁，再由三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐸是𝐵𝐶边上的高， 𝐵𝐶= 14，𝐴𝐸= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐸=
1
2 × 14 × 6 = 42，
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 42 = 21，
𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐶= 7．
过点F 作𝐹𝑀⊥𝐴𝐵于点M，作𝐹𝑁⊥𝐵𝐶于点N，
∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐹𝑀⊥𝐴𝐵，𝐹𝑁⊥𝐵𝐶，
∴𝐹𝑀= 𝐹𝑁，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐹+ 𝑆△𝐵𝐷𝐹=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐹𝑀+
1
2 𝐵𝐷⋅𝐹𝑁，
∴
1
2 × 11 × 𝐹𝑁+
1
2 × 7 × 𝐹𝑁= 21，
∴𝐹𝑁=
7
3，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐹=
1
2 𝐵𝐷⋅𝐹𝑁=
1
2 × 7 ×
7
3 =
49
6 ．
故选∶B．
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◆题型·4;利用角平分线的性质求边长
15．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°, 𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点D, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为E，若𝐵𝐶= 4, 𝐷𝐸= 1.6，
则𝐵𝐷的长为______．
【答案】2.4
【分析】由角平分线的性质可得𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 1.6，即可得出答案．
【详解】解：∵∠𝐶= 90°,𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶 , 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐸= 1.6，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 1.6，
∵𝐵𝐶= 4,
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐶𝐷= 4 −1.6 = 2.4．
16．如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一条角平分线，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷边𝐴𝐷上的中线，若△𝐴𝐵𝐶的面积是18，△𝐴𝐵𝐸的面
积是6，𝐴𝐶= 3，则𝐴𝐵的长为________．
【答案】6
【分析】先根据三角形中线的性质求出𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2 × 6 = 12，即可求解𝑆△𝐴𝐶𝐷= 18 −12 = 6，过点D 作
𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于F，过D 作𝐷𝐺⊥𝐴𝐶于G，然后根据角平分线的性质定理得到𝐷𝐹= 𝐷𝐺，再由三角形面积公
式求解即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐸的面积是6，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷边𝐴𝐷上的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2 × 6 = 12，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积是18
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 18 −12 = 6
如图所示，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于F，过D 作𝐷𝐺⊥𝐴𝐶于G，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐺，
∵𝐴𝐶= 3，
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∴
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐹
1
2𝐴𝐶⋅𝐷𝐺=
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
𝐴𝐵
3 =
12
6 ，
∴𝐴𝐵= 6．
17．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，△𝐴𝐵𝐶的面积为28，𝐷𝐸= 4，𝐵𝐶= 9，则𝐴𝐶的
长是___________
【答案】5
【分析】过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，利用角平分线的性质得出𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 4，再根据𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+
𝑆△𝐵𝐶𝐷即可求解．
【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐷𝐸= 4，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 × 4𝐴𝐶+
1
2 × 4𝐵𝐶，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 28，𝐵𝐶= 9，
∴28 = 2𝐴𝐶+ 18，
∴2𝐴𝐶= 10，
∴𝐴𝐶= 5．
18．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，若𝐵𝐶= 7 cm，𝐵𝐷= 4 cm，
则𝐷𝐸的长为______cm．
【答案】3
【分析】先得出𝐶𝐷⊥𝐴𝐶，又𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，则有𝐷𝐸= 𝐶𝐷，然后通过线段的和与差得到𝐶𝐷=
3cm即可．
【详解】解：∵∠𝐶= 90°，
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∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐶，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷，
∵𝐵𝐶= 7 cm，𝐵𝐷= 4 cm，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐶−𝐵𝐷= 7 −4 = 3(cm)，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 3cm，即𝐷𝐸的长为3cm．
19．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，以点𝐴为圆心，适当长为半径作弧，交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝐸、𝐹，分别以点𝐸、
𝐹为圆心，大于
1
2 𝐸𝐹的长为半径作弧，两弧交于点𝐺，作射线𝐴𝐺交𝐵𝐶于点𝐷．若点𝐷到直线𝐴𝐵的距离为
2，𝐵𝐷= 4，则𝐵𝐶的长为________．
【答案】6
【分析】根据作图痕迹判断𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，利用角平分线的性质得出𝐶𝐷的长，结合线段的和差
关系即可求解．
【详解】解：由作图可知，射线𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∵∠𝐶= 90°，
∴𝐷𝐶⊥𝐴𝐶，
∵点𝐷到直线𝐴𝐵的距离为2，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴𝐷𝐶等于点𝐷到直线𝐴𝐵的距离，即𝐷𝐶= 2，
∵𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐶，𝐵𝐷= 4，
∴𝐵𝐶= 4 + 2 = 6，𝐵𝐶的长为6．
20．如图，𝐵𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的一条角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为𝐸．𝐹是𝐵𝐶上一点，且∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸．若𝐴𝐸= 2，
则𝐶𝐹的长为________．
【答案】2
【分析】先根据角平分线的性质得到𝐷𝐶= 𝐷𝐸，再证明△𝐷𝐶𝐹≌△𝐷𝐸𝐴即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
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∴𝐷𝐶⊥𝐵𝐶．
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐶⊥𝐵𝐶，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐸，∠𝐶= ∠𝐷𝐸𝐴= 90°，
又∵∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸，
∴△𝐷𝐶𝐹≌△𝐷𝐸𝐴(ASA)，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐸= 2．
◆题型·5:角平分线+垂直构造全等模型（难点）
21．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，边𝐴𝐵的垂直平分线交𝐴𝐵和𝐴𝐶于点𝐷，𝐸，并且𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶．
(1)求∠𝐴的度数；
(2)求证：𝐴𝐶= 3𝐸𝐶．
【答案】(1)∠𝐴= 30°
(2)
证明：∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，且𝐸𝐷⊥𝐴𝐵, 𝐸𝐶⊥𝐵𝐶，
∴𝐸𝐶= 𝐸𝐷，
由（1）可知，∠𝐴= 30∘，
∴ 𝐴𝐸= 2𝐸𝐷．
∴𝐴𝐸= 2𝐸𝐶，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐶= 2𝐸𝐶+ 𝐸𝐶= 3𝐸𝐶．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含30°角直角三角形的性质以
及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）根据垂直平分线的性质得到𝐸𝐴= 𝐸𝐵，进而得到∠𝐸𝐵𝐴= ∠𝐴，由角平分线的概念得到∠𝐸𝐵𝐴=
∠𝐶𝐵𝐸，进而利用三角形内角和定理求解即可；
（2）由角平分线的性质得𝐷𝐸= 𝐸𝐶，根据含30°角直角三角形的性质得到𝐴𝐸= 2𝐷𝐸= 2𝐶𝐸，进而可得
证．
【详解】（1）解：∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐴= ∠𝐴．
又∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐵𝐴= ∠𝐶𝐵𝐸，
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∵∠𝐶= 90°，
又∵∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 30°；
（2）证明：略．
22．解决问题
(1)如图1，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐵𝐶= 12cm．把△𝐴𝐵𝐶向下平移至△𝐷𝐸𝐹后，𝐴𝐷= 5cm，
𝐺𝐶= 4cm ．请求出图中阴影部分的面积．
(2)如图2，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸是边𝐴𝐶的垂直平分线，𝐴𝐷= 5，𝐵𝐷= 2，求𝐵𝐶的长．
(3)如图3，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐷𝐸垂直𝐴𝐵的延长线于点𝐸, 𝐷𝐹垂直𝐴𝐶的延长线于点F．求证：
𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
【答案】(1)50cm2
(2)7
(3)证明：如图，连接𝐴𝐷．
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶,
𝐵𝐷= 𝐶𝐷,
𝐴𝐷= 𝐴𝐷,
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(SSS)，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷．
又∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹
【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐷𝐸𝐹然后求
出𝐵𝐺，再求出梯形𝐵𝐺𝐸𝐹的面积即为阴影部分的面积．
（2）根据垂直平分线的性质可得𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 5，进而根据𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷即可求解．
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（3）连接𝐴𝐷，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，再利用角平分线的性质得到𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
【详解】（1）解：∵把△𝐴𝐵𝐶向下平移至△𝐷𝐸𝐹，
∴ 𝐵𝐶= 𝐸𝐹= 12cm，𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 5cm，
∵ 𝐺𝐶= 4cm，
∴ 𝐵𝐺= 12 −4 = 8cm，
∴阴影部分面积=梯形𝐵𝐺𝐸𝐹的面积，= (8 + 12) × 5 ÷ 2 = 50cm2．
（2）∵𝐷𝐸垂直平分
∴ 𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 5，
∴ 𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 2 + 5 = 7．
（3）略
23．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝐸，交𝐵𝐷于点𝐹，连接𝐶𝐹．
(1)若𝐵𝐷= 7，𝐶𝐷= 3，求△𝐶𝐷𝐹的周长；
(2)若𝐸𝐹= 4，𝐵𝐹: 𝐹𝐷= 5: 3，𝑆△𝐵𝐶𝐹= 10，求点𝐷到𝐴𝐵的距离．
【答案】(1)△𝐶𝐷𝐹的周长为10
(2)点𝐷到𝐴𝐵的距离为
32
5
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和角平分线的性质，
（1）根据垂直平分的性质得𝐹𝐵= 𝐹𝐶，则△𝐶𝐷𝐹的周长为𝐹𝐶+ 𝐹𝐷+ 𝐶𝐷 = 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷即可；
（2）过点𝐷分别作𝐷𝐺⊥𝐴𝐵于点𝐺，𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，角平分线的性质得𝐷𝐺= 𝐷𝐻，利用三角形面积求
得𝐵𝐶，结合比例得𝑆△𝐵𝐷𝐶=
8
5 𝑆△𝐵𝐶𝐹= 16，即可求得𝐷𝐻，由𝐷𝐺= 𝐷𝐻即可．
【详解】（1）解：∵𝐹𝐸是𝐵𝐶的垂直平分线，
∴𝐹𝐵= 𝐹𝐶，
△𝐶𝐷𝐹的周长= 𝐹𝐶+ 𝐹𝐷+ 𝐶𝐷
= 𝐹𝐵+ 𝐹𝐷+ 𝐶𝐷
= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷，
∵𝐵𝐷= 7，𝐶𝐷= 3，
∴△𝐶𝐷𝐹的周长= 10，
∴△𝐶𝐷𝐹的周长为10．
（2）解：过点𝐷分别作𝐷𝐺⊥𝐴𝐵于点𝐺，𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，如图，
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∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐷𝐺= 𝐷𝐻．
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹= 4，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐹=
1
2 ⋅𝐵𝐶⋅𝐸𝐹= 10，
∴𝐵𝐶= 5．
∵𝐵𝐹: 𝐷𝐹= 5: 3，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐶=
8
5 𝑆△𝐵𝐶𝐹= 16，
∴
1
2 × 5 × 𝐷𝐻= 16，
解得𝐷𝐻=
32
5 ，
∴𝐷𝐺= 𝐷𝐻=
32
5 ，
即点𝐷到𝐴𝐵的距离为
32
5 ．
24．如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐵𝐶边的垂直平分线交𝐴𝐷于D 点，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于F．
(1)求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐹；
(2)若𝐴𝐵= 5cm，𝐴𝐶= 3cm，求𝐵𝐸的长．
【答案】(1)
证明：如图，连接𝐵𝐷、𝐶𝐷，
∵𝐷𝐺⊥𝐵𝐶且𝐵𝐺= 𝐺𝐶，
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∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐷𝐹𝐶= 90°，
在Rt △𝐵𝐸𝐷与Rt △𝐶𝐹𝐷中，
{𝐷𝐸= 𝐷𝐹
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
，
∴Rt △𝐵𝐸𝐷≌Rt △𝐶𝐹𝐷(HL)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹；
(2)𝐵𝐸= 1cm
【分析】（1）连接𝐵𝐷、𝐶𝐷，先由垂直平分线性质得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，再由角平分线性质得𝐷𝐸= 𝐷𝐹，然后证
Rt △𝐵𝐸𝐷≌Rt △𝐶𝐹𝐷(HL)，即可得出结论；
（2）先证明Rt △𝐴𝐸𝐷≌Rt △𝐴𝐹𝐷(HL)，得𝐴𝐸= 𝐴𝐹，则𝐶𝐹= 𝐴𝐹−𝐴𝐶= 𝐴𝐸−𝐴𝐶，由𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸
及（1）知𝐵𝐸= 𝐶𝐹，则𝐴𝐵−𝐴𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐶，代入𝐴𝐵、𝐴𝐶值即可求得𝐴𝐸长，继而求得𝐵𝐸长．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐷𝐹𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐸𝐷与Rt △𝐴𝐹𝐷中，
{𝐴𝐷= 𝐴𝐷
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
，
∴Rt △𝐴𝐸𝐷≌Rt △𝐴𝐹𝐷(HL)，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐹−𝐴𝐶= 𝐴𝐸−𝐴𝐶，
由（1）知：𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐶
即5 −𝐴𝐸= 𝐴𝐸−3，
∴𝐴𝐸= 4cm，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 5 −4 = 1，
【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角
平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
25．如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐴𝐶的平分线交𝐵𝐶边的垂直平分线𝑃𝑄于P 点，𝑃𝐷⊥𝐴𝐵于点D，𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于点E，
连接𝑃𝐵，𝑃𝐶．
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(1)试探究线段𝐵𝐷与线段𝐶𝐸的数量关系，并给出理由；
(2)若∠𝐷𝐴𝐶= 84°，∠𝐴𝑃𝐵= 24°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数．
【答案】(1)
解：𝐵𝐷= 𝐶𝐸，理由如下：
∵点𝑃在𝐵𝐶的垂直平分线上，
∴𝐵𝑃= 𝐶𝑃，
∵𝐴𝑃是∠𝐷𝐴𝐶的平分线，𝑃𝐷⊥𝐴𝐵，𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝑃= 𝐸𝑃，
在Rt △𝐵𝐷𝑃和Rt △𝐶𝐸𝑃中，
{𝐵𝑃= 𝐶𝑃
𝐷𝑃= 𝐸𝑃
，
∴Rt △𝐵𝐷𝑃≌Rt △𝐶𝐸𝑃(HL)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
(2)24°
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质可得𝐵𝑃= 𝐶𝑃，根据角平分线性质可得𝐷𝑃= 𝐸𝑃，然后利用HL证
明Rt △𝐵𝐷𝑃和Rt △𝐶𝐸𝑃全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐸𝐶𝑃，设∠𝐴𝐶𝐵= 𝑥，根据列出方程，然后解方程即可．
【详解】（1）略
（2）解：∠𝐷𝐴𝐶= 84°，𝐴𝑃平分∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝐸=
1
2 × 84° = 42°，
∵∠𝐴𝑃𝐵= 24°，
∴∠𝐴𝐵𝑃= 42° −24° = 18°，
∵Rt △𝐵𝐷𝑃≌Rt △𝐶𝐸𝑃，
∴∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐸𝐶𝑃= 18°，
∵𝑃𝐵= 𝑃𝐶，
∴∠𝑃𝐵𝐶= ∠𝑃𝐶𝐵，
设∠𝐴𝐶𝐵= 𝑥，则：
∴∠𝑃𝐵𝐶= ∠𝑃𝐶𝐵= 𝑥+ 18°，
∵∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，
∴18° + (𝑥+ 18°) + 𝑥= 84°，
解得：𝑥= 24°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 24°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质及三角形外
角性质，熟记性质是解题的关键．
26．【发现问题】
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在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝
形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与
判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝
形是轴对称图形．
【提出问题】
小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系．
（1）如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点O．
求证：𝑆筝形𝐴𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷．
【分析问题】
（2）如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 𝑎，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶于点B，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷于点D，点M，
N 分别是𝐴𝐷，𝐴𝐵上的点，且∠𝑀𝐶𝐷+ ∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝑀𝐶𝑁，求△𝐴𝑀𝑁的周长．（用含a 的式子表示）
【解决问题】
（3）①如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 为△𝐴𝐵𝐶内一点，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐵𝐷= 𝐶𝐷．
求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
②如图4，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 80°，∠𝐵= 30°，点D，E 分别是边𝐵𝐶，𝐴𝐵上的动点，当四边形𝐴𝐸𝐷𝐶为
筝形时，请直接写出∠𝐵𝐷𝐸=______°．
【答案】（1）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∴点A 在线段𝐵𝐷的垂直平分线上，
又∵𝐶𝐵= 𝐶𝐷，
∴点C 在线段𝐵𝐷的垂直平分线上，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
∴𝑆筝形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐷𝐶+ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝑂+
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝑂=
1
2 𝐴𝐶⋅(𝐷𝑂+ 𝐵𝑂) =
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷，
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（2）2𝑎；
（3）①如图3，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵, 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹
又∵𝐵𝐷= 𝐶𝐷, 𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴R𝑡△𝐷𝐸𝐵≌R𝑡△𝐷𝐹𝐶(HL)，R𝑡△𝐴𝐷𝐸≌R𝑡△𝐴𝐷𝐹(HL)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹, 𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴𝐵𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐶𝐹+ 𝐴𝐹，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶
②100°或40°
【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直
角三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
（1）先证明𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，再利用𝑆筝形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐷𝐶+ 𝑆△𝐴𝐵𝐶及三角形面积公式即可证明；
（2）延长𝐴𝐵至𝐸，使𝐵𝐸= 𝐷𝑀，连接𝐶𝐸，易证△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝑀(SAS)，从而证得∠𝑁𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸，得
到△𝑀𝐶𝑁≌△𝐸𝐶𝑁(SAS)，𝑀𝑁= 𝐸𝑁，由𝐶△𝐴𝑀𝑁的定义，结合图形等线段转化即可得解；
（3）①过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵, 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，由直角三角形的全等的判定易得R𝑡△𝐷𝐸𝐵≌R𝑡△𝐷𝐹𝐶(𝐻𝐿)，R𝑡△
𝐴𝐷𝐸≌R𝑡△𝐴𝐷𝐹(𝐻𝐿)，得到𝐵𝐸= 𝐶𝐹, 𝐴𝐸= 𝐴𝐹，从而得证𝐴𝐵= 𝐴𝐶；
②分两种情况：当四边形𝐴𝐸𝐷𝐶为筝形时，∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴= 80°时和∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶时，结合图形分别计算即
可得解；
【详解】（1）略
（2）如图2，延长𝐴𝐵至𝐸，使𝐵𝐸= 𝐷𝑀，连接𝐶𝐸，
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝑀𝐷𝐶= 90°，
又𝐵𝐸= 𝐷𝑀，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，
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∴△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝑀(SAS)，
∴𝐶𝑀= 𝐶𝐸, ∠𝑀𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
∵∠𝑀𝐶𝐷+ ∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝑀𝐶𝑁，
∴∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝑀𝐶𝑁，
即∠𝑁𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸，
又∵𝐶𝑁= 𝐶𝑁，
∴△𝑀𝐶𝑁≌△𝐸𝐶𝑁(SAS)
∴𝑀𝑁= 𝐸𝑁，
∴𝐶△𝐴𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐴𝑁+ 𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐴𝑁+ 𝑁𝐸= 𝐴𝑀+ 𝐴𝐸= 𝐴𝑀+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸
= 𝐴𝑀+ 𝐴𝐵+ 𝑀𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 𝑎，
∴𝐶△𝐴𝑀𝑁= 2𝑎
（3）①略
②分两种情况：
当四边形𝐴𝐸𝐷𝐶为筝形时，∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴= 80°时，如图
∴∠𝐵𝐷𝐸= 180° −∠𝐶𝐷𝐸= 180° −80° = 100°，
当四边形𝐴𝐸𝐷𝐶为筝形时，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶时，如图
∵∠𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −80° −30° = 70°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶= 70°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐵= 70° −30° = 40°，
综上所述，∠𝐵𝐷𝐸= 100°或40°
◆题型·6:利用尺规作图综合应用（常考）
27．尺规作图：如图，用尺规在∠𝐴𝑂𝐵的内部作一点P，使𝑃𝐶= 𝑃𝐷，并且点P 到∠𝐴𝑂𝐵两边的距离相等．（提
示：作图要保留作图痕迹，且要用2𝐵铅笔，不用写作法）．
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【答案】如图：点P 即为所求．
【分析】如图：连接𝐶𝐷，用尺规作𝐶𝐷的垂直平分线，再用尺规作∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，垂直平分线与角
平分线的交点即为所求．
【详解】略
28．校园一角的形状如图所示，其中𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷表示围墙．现要修建一个垃圾投放点𝑃，使得点𝑃到围墙𝐴𝐵，
𝐵𝐶的距离相等，且到围墙边界𝐶，𝐷的距离相等，请确定点𝑃的位置．
【答案】解：如图，点𝑃即为所求．
【分析】作∠𝐴𝐵𝐶的角平分线和线段𝐶𝐷的垂直平分线即可．
【详解】略．
29．已知：如图，△𝐴𝐵𝐶．请你用尺规作图．
(1)作边𝐴𝐵的垂直平分线交𝐵𝐶于点D；
(2)连接𝐴𝐷，作∠𝐶𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)如图，点D 即为所求：
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(2)如图，射线𝐴𝐸即为所求：
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可；
（2）根据作已知角的平分线的作法画出图形，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
30．如图，两个班的学生分别在𝑀、𝑁两处参加植树劳动，现要在道路𝐴𝐵、𝐴𝐶的交叉区域内设一个临时休
息点𝐷，使𝐷到两条道路的距离相等，且使𝐷到𝑀、𝑁两地的距离相等．用圆规、直尺作临时休息点𝐷的
位置．（不写作法，只保留作图痕迹）
【答案】如图，点D 即为所求：
【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的性质，点D 的位置为∠𝐵𝐴𝐶的平分线与线段𝑀𝑁的垂直平分
线的交点，故连接𝑀𝑁，按照角平分线和线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可．
【详解】略
31．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 30∘，∠𝐶= 40∘．
(1)尺规作图：①作边𝐴𝐵的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝐷，交𝐴𝐵于点𝑃；②连接𝐴𝐷，作∠𝐶𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于
点𝐸；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
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(2)在（1）所作的图中，求∠𝐷𝐴𝐸的度数．
【答案】(1)
(2)40°
【分析】（1）分别以点𝐴，𝐵为圆心，大于
1
2 𝐴𝐵的长度为半径画弧，两弧在𝐴𝐵两侧交于两个交点，过这
两个交点作直线，即是𝐴𝐵的中垂线；
以点𝐴为圆心，任意长度为半径画一条弧，让这条弧与角的两条边分别相交，得到两个交点，分别以这
两个交点为圆心，取大于这两个交点之间距离一半的长度为半径画弧，两弧在角内部相交于一点，连
接点𝐴和找到的交点，画出的射线就是这个角的平分线；
（2）𝐷𝑃是𝐴𝐵的垂直平分线，可得𝐵𝐷= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵= 30°，由三角形内角和定理，可解得∠𝐷𝐴𝐶=
80°，又由𝐴𝐸平分∠𝐷𝐴𝐶，可解得∠𝐷𝐴𝐸的度数．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐷𝑃是𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵= 30°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 30°，∠𝐶= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −(30° + 40°) = 110°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 110° −30° = 80°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐷𝐴𝐶= 40°．
综合攻坚·知能拔高
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵边的垂直平分线分别交𝐵𝐶，𝐴𝐵于点𝐷，𝐸，𝐵𝐷= 5cm，𝐶𝐷= 2cm，𝐴𝐶= 4cm，
则△𝐴𝐶𝐷的周长为（ ）
A．8cm
B．9cm
C．10cm
D．11cm
【答案】D
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【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质，可得𝐵𝐷= 𝐴𝐷，即可求出△𝐴𝐶𝐷的周长．
【详解】解：∵𝐷𝐸为𝐴𝐵边的垂直平分线，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐷，
∵𝐵𝐷= 5cm, 𝐶𝐷= 2cm,𝐴𝐶= 4cm
∴△𝐴𝐶𝐷的周长为𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 11cm，
故选D．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐴𝐵的垂直平分线𝑂𝑀与边𝐴𝐶的垂直平分线𝑂𝑁交于点O，这两条垂直平分线分别
交𝐵𝐶于点D、E，已知△𝐴𝐷𝐸的周长为14cm，分别连接𝑂𝐴、𝑂𝐵、𝑂𝐶，若△𝑂𝐵𝐶的周长为29cm，则𝑂𝐴的
长为（ ）cm．
A．6.5
B．7.5
C．15
D．43
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先根据线段垂直平分线性质得𝐷𝐴= 𝐷𝐵，𝐸𝐴= 𝐸𝐶，𝑂𝐵= 𝑂𝐶= 𝑂𝐴，再根据△𝐴𝐷𝐸的周长为14cm得𝐵𝐶
的长，再根据△𝑂𝐵𝐶的周长为29cm，即可得解．
【详解】解：∵𝑂𝑀是𝐴𝐵的垂直平分线，𝑂𝑁是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵，𝐸𝐴= 𝐸𝐶，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶= 𝑂𝐴，
∵△𝐴𝐷𝐸的周长为14cm，
∴𝐷𝐴+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐴= 14cm，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐵+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐶= 14cm，
∵△𝑂𝐵𝐶的周长为29cm，
∴𝑂𝐵+ 𝑂𝐶+ 𝐵𝐶= 29cm，
∴2𝑂𝐴+ 14 = 29cm，
∴𝑂𝐴= 7.5cm．
故选：B ．
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝑀，𝐸𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，垂足为𝑀，𝑁，且分别交𝐵𝐶于点𝐷，𝐸．若∠𝐵𝐴𝐶= 100°，
则∠𝐷𝐴𝐸的度数为（ ）
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A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理，掌握线段垂直平分
线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得出∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐴，然后利用三角形的内角和
定理得出∠𝐵+ ∠𝐶= 100°，即可求解．
【详解】解：∵𝐷𝑀，𝐸𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵，𝐸𝐴= 𝐸𝐶（线段垂直平分线的性质），
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐴，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 100°，
∴∠𝐵+ ∠𝐶= 180° −∠𝐵𝐴𝐶= 180° −100° = 80°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐵−∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶−(∠𝐵+ ∠𝐶) = 100° −80° = 20°，
故选：A．
4．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛Rt △𝐴𝐵𝐶(∠𝐶= 90°)的相关数据时，用尺规作图的
方法作∠𝐵𝐴𝐶的平分线：以𝐴为圆心画弧交𝐴𝐶，𝐴𝐵于𝐷，𝐸，再分别以𝐷，𝐸为圆心、大于
1
2 𝐷𝐸的长为半
径画弧，两弧交于点𝑀，作射线𝐴𝑀交𝐵𝐶边于点𝐹．若测得𝐵𝐶= 10cm，𝐵𝐹= 6cm，则点𝐹到𝐴𝐵边的距
离为（ ）
A．2cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
【答案】B
【分析】过点𝐹作𝐹𝐻⊥𝐴𝐵，然后根据角平分线的性质定理可得𝐹𝐻= 𝐶𝐹，进而问题可求解．
【详解】解：过点𝐹作𝐹𝐻⊥𝐴𝐵，如图所示：
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由作图可知：𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐶= 90°，
∴𝐹𝐻= 𝐶𝐹，
∵𝐵𝐶= 10cm，𝐵𝐹= 6cm，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐶−𝐵𝐹= 4(cm)，
∴𝐹𝐻= 4cm，即点𝐹到𝐴𝐵边的距离为4cm．
5．如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵= 24°．根据尺规作图的痕迹可知，∠𝐴𝐷𝐸的度数为（ ）
A．66°
B．57°
C．48°
D．42°
【答案】B
【分析】由三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶的度数，由作图方法可得𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，据此求出
∠𝐷𝐴𝐸，∠𝐴𝐸𝐷的度数即可得到答案．
【详解】解：∵在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵= 24°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵= 66°，
由作图方法可得𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 33°，∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 180° −∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐴𝐸𝐷= 57°．
6．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，以点𝐴为圆心，适当长为半径作弧，分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝐷，𝐸，再分
别以点𝐷，𝐸为圆心，以大于
1
2 𝐷𝐸的长度为半径作弧，两弧交于点𝐹，作射线𝐴𝐹交𝐵𝐶于点𝐺，若𝐴𝐵= 12，
𝐶𝐺= 4，则△𝐴𝐵𝐺的面积是（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】B
【分析】过点G 作𝐺𝐻⊥𝐴𝐵于点H，根据题意得，𝐴𝐹是∠𝐶𝐴𝐵的角平分线，得𝐶𝐺= 𝐺𝐻，根据三角形面
积公式，即可求出△𝐴𝐵𝐺的面积．
【详解】解：过点G 作𝐺𝐻⊥𝐴𝐵于点H，
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根据题意得，𝐴𝐹是∠𝐶𝐴𝐵的角平分线，
∵∠𝐶= 90°，
∴𝐴𝐶⊥𝐶𝐺，
∵𝐺𝐻⊥𝐴𝐵，
∴𝐶𝐺= 𝐺𝐻= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐺=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐺𝐻=
1
2 × 12 × 4 = 24．
7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，线段𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线、𝐴𝑀是𝐵𝐶边上的中线，𝐷𝐸垂直于𝐴𝐵，已知：𝑆Δ𝐴𝐵𝑀=
5.5，𝐷𝐸= 2，𝐴𝐵= 6，则𝐴𝐶长是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积
公式．
过𝐷点作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹点，如图，先利用三角形面积公式得到𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝑀= 11，再根据角平分线的
性质得到𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 2, 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶，然后根据三角形面积公式，利用𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶
可求出𝐴𝐶的长．
【详解】解：过𝐷点作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹点，如图，
∵𝐴𝑀是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝑆△𝐴𝐶𝑀= 𝑆△𝐴𝐵𝑀，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝑀= 2 × 5.5 = 11，
∵线段𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵, 𝐷𝐹 ⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 2，
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∵𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴
1
2 × 6 × 2 +
1
2 × 𝐴𝐶× 2 = 11，
解得𝐴𝐶= 5．
故答案为：B．
8．阅读以下作图步骤：①以点O 为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交𝑂𝐴, 𝑂𝐵于点C，D；②分别以点
C，D 为圆心，大于
1
2 𝐶𝐷的长为半径作弧，两弧在∠𝐴𝑂𝐵内交于点M；③作射线𝑂𝑀，连接𝐶𝑀, 𝐷𝑀，如图．根
据以上作图步骤，判断下列结论错误的是（ ）
A．𝑂𝑀平分∠𝐴𝑂𝐵，∠1 = ∠2
B．∠1 = ∠3，𝐶𝑀= 𝐷𝑀
C．△𝑂𝐶𝑀≌△𝑂𝐷𝑀，𝑂𝐶= 𝑂𝐷
D．∠1 = ∠2，𝐶𝑀= 𝐷𝑀
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，根据作图方法依次判断即可得到
答案．
【详解】解：由作图方法可得𝑂𝑀平分∠𝐴𝑂𝐵，∠1 = ∠2，𝑂𝐶= 𝑂𝐷, 𝑀𝐶= 𝑀𝐷，
∴△𝑂𝐶𝑀≌△𝑂𝐷𝑀(SAS)，
∴A、C、D 正确，不符合题意；
无法得出∠1 = ∠3，符合题意；
故选：B．
9．如图，△𝐴𝐵𝐶的角平分线交于点O，𝑂𝐷⊥𝐴𝐶于D，若𝑂𝐷= 2，△𝐴𝐵𝐶的周长为17，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
（ ）
A．16
B．17
C．18
D．19
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质，连接𝐵𝑂，作𝑂𝐸⊥𝐵𝐶, 𝑂𝐹⊥𝐴𝐵，垂足分别为𝐸, 𝐹，根据角平分线的
性质，得到𝑂𝐷= 𝑂𝐸= 𝑂𝐹，分割法求出三角形的面积即可．
【详解】解：作𝑂𝐸⊥𝐵𝐶, 𝑂𝐹⊥𝐴𝐵，垂足分别为𝐸, 𝐹，
小学
初中
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∵△𝐴𝐵𝐶的角平分线交于点O，𝑂𝐷⊥𝐴𝐶于D，𝑂𝐷= 2，
∴𝑂𝐷= 𝑂𝐸= 𝑂𝐹= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐵+ 𝑆△𝐶𝑂𝐵+ 𝑆△𝐴𝑂𝐶
= 1
2 𝐴𝐵⋅𝑂𝐹+ 1
2 𝐵𝐶⋅𝑂𝐸+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝑂𝐷
= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶；
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为17，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 17，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 17；
故选B．
10．如图，三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴的平分线交𝐵𝐶于点D，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足分别为E，F，下
面四个结论：①∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹；②𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹；③
𝑆△𝐵𝐸𝐷
𝑆△𝐶𝐹𝐷=
𝐵𝐸
𝐶𝐹；④𝐸𝐹一定平行𝐵𝐶．其中正确的是
（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．先根据角平分
线的性质得𝐷𝐹= 𝐷𝐸，证明Rt △𝐴𝐷𝐹≌Rt △𝐴𝐷𝐸(HL)，可得𝐴𝐹= 𝐴𝐸，继而证得①∠AFE = ∠AEF；又
由线段垂直平分线的判定，可得②𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹；然后利用三角形的面积公式求解即可得③
𝑆△𝐵𝐸𝐷
𝑆△𝐶𝐹𝐷=
𝐵𝐸
𝐶𝐹．
【详解】解：①∵三角形𝐴𝐵𝐶中，∠A的平分线交𝐵𝐶于点D，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸，
又∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴Rt △𝐴𝐷𝐹≌Rt △𝐴𝐷𝐸(HL)，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐸，
∴∠AFE = ∠AEF，
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故①正确；
②∵𝐷𝐹= 𝐷𝐸，𝐴𝐹= 𝐴𝐸，
∴点D 在𝐸𝐹的垂直平分线上，点A 在𝐸𝐹的垂直平分线上，
∴𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹，
故②正确；
③∵𝑆△𝐵𝐸𝐷=
1
2 𝐵𝐸⋅𝐷𝐸，𝑆△𝐶𝐹𝐷=
1
2 𝐶𝐹⋅𝐷𝐹，𝐷𝐹= 𝐷𝐸，
∴
𝑆△𝐵𝐸𝐷
𝑆△𝐶𝐹𝐷=
𝐵𝐸
𝐶𝐹；
故③正确；
④∵∠𝐴𝐹𝐸不一定等于∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝐸𝐹不一定平行𝐵𝐶．
故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故选：A．
11．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，𝐴𝐺是△𝐴𝐵𝐶的高，
交𝐵𝐶于点𝐺．已知：𝐷𝐸= 3，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 8．
(1)求𝐷𝐹的长；
(2)求𝐴𝐺的长．
【答案】(1)3
(2)
21
4
【分析】（1）根据角平分线的性质可得𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 3；
（2）利用面积法𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷即可求出𝐴𝐺的长．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，且𝐷𝐸= 3，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 3．
（2）解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 × 6 × 3 = 9，
𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐷𝐹=
1
2 × 8 × 3 = 12，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 9 + 12 = 21，
又∵𝐴𝐺是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐺= 21，
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即
1
2 × 8 ⋅𝐴𝐺= 21，
解得𝐴𝐺=
21
4 ．
12．如图，电信部门要在S 区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B 的距离必
须相等，到两条高速公路𝑂𝑀和𝑂𝑁的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位
置P，并简要写出作法及作图依据．
【答案】解：如图所示，作线段𝐴𝐵的垂直平分线，再作∠𝑀𝑂𝑁的角平分线交线段𝐴𝐵的垂直平分线于点
P，则点P 即为所求；
由线段垂直平分线的性质可得点P 到两个城镇A，B 的距离相等，由角平分线的性质可得点P 到两条高
速公路𝑂𝑀和𝑂𝑁的距离也相等．
【分析】点P 到两个城镇A，B 的距离相等，则点P 在线段𝐴𝐵的垂直平分线上，点P 到两条高速公路𝑂𝑀
和𝑂𝑁的距离相等，则点P 在∠𝑀𝑂𝑁的角平分线上，据此作图即可．
【详解】略
13．本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为
完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：
角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等．
(1)请你协助他们进行证明：
在图①中，已知𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，过点𝑃作𝑃𝐶⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵，求证：𝑃𝐶= 𝑃𝐷；
(2)如图②所示，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷、𝐶𝐸𝐹𝐺是长方形，𝐶为公共点，𝐸在𝐵𝐶上，𝐺在𝐷𝐶延长线上，𝐴𝐶、𝐶𝐹为
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长方形的对角线．已知𝐴𝐶= 𝐶𝐹，∠𝐴𝐶𝐹= 90°
①用尺规作∠𝐴𝐷𝐶的角平分线，与𝐴𝐶相交于点𝑃；
②若𝐵𝐸= 7，𝐷𝐺= 23 ，请结合（1）中的结论，求△𝐴𝐷𝑃与△𝐶𝐷𝑃的面积之比．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②15: 8
【分析】（1）利用ASA证明△𝐶𝑂𝑃≌△𝐷𝑂𝑃即可解答：
（2）①根据角平分线的作法作出角平分线即可；
②利用AAS证明△𝐴𝐶𝐵≌△𝐶𝐹𝐸，得到𝐸𝐶= 𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐵𝐶= 𝐹𝐸= 𝐴𝐷= 𝐺𝐶，设𝐷𝐶= 𝐸𝐶= 𝑥，则𝐵𝐶=
𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 7 + 𝑥，利用线段的长度关系求出𝑥的值，过𝑃点作𝑃𝑀⊥𝐴𝐷，𝑃𝑁⊥𝐷𝐶，由角平分线的性质
得到𝑃𝑀= 𝑃𝑁，再利用三角形的面积公式进行比较即可．
【详解】（1）解：证明：∵𝑃𝐶⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵，
∴∠𝑃𝐶𝑂= ∠𝑃𝐷𝑂，
∵𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，
∴∠𝐶𝑂𝑃= ∠𝐷𝑂𝑃 ，
在△𝐶𝑂𝑃和△𝐷𝑂𝑃中，
{
∠𝑃𝐶𝑂= ∠𝑃𝐷𝑂
∠𝐶𝑂𝑃= ∠𝐷𝑂𝑃
𝑃𝑂= 𝑃𝑂
，
∴△𝐶𝑂𝑃≌△𝐷𝑂𝑃(ASA)，
∴𝑃𝐶= 𝑃𝐷；
（2）①如图所示即为所求：
②∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷、𝐶𝐸𝐹𝐺是长方形，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹= 90°，
又∵∠𝐴𝐶𝐹= 90°，
即∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐹𝐶𝐸= 90°，
又∵∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐹𝐶𝐸，
在△𝐴𝐶𝐵和△𝐶𝐹𝐸中，
{
∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐹𝐶𝐸
𝐴𝐶= 𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐶𝐹𝐸(AAS)，
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∴𝐸𝐶= 𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐵𝐶= 𝐹𝐸= 𝐴𝐷= 𝐺𝐶，
设𝐷𝐶= 𝐸𝐶= 𝑥，则𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 7 + 𝑥，
即𝐴𝐷= 𝐶𝐺= 7 + 𝑥，
∵𝐷𝐺= 23，
∴𝐷𝐶+ 𝐶𝐺= 𝑥+ 7 + 𝑥= 23，
解得：𝑥= 8，
∴𝐷𝐶= 8，𝐴𝐷= 𝐶𝐺= 7 + 𝑥= 15，
过𝑃点作𝑃𝑀⊥𝐴𝐷，𝑃𝑁⊥𝐷𝐶如图所示：
又∵𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐶，由（1）结论得：𝑃𝑀= 𝑃𝑁，
∴
𝑆△𝐴𝐷𝑃
𝑆△𝐶𝐷𝑃=
1
2𝐴𝐷×𝑃𝑀
1
2𝐷𝐶×𝑃𝑁=
𝐴𝐷
𝐷𝐶=
15
8 ，
∴△𝐴𝐷𝑃与△𝐶𝐷𝑃的面积之比为15:8．
14．我们通过学习知道角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于点𝐸, 𝑃𝐹⊥𝑂𝐵于点𝐹．求证：𝑃𝐸= 𝑃𝐹．
(2)如图2，𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于点𝐸，𝑃𝐹⊥𝑂𝐵于点𝐹，𝑃为∠𝐴𝑂𝐵平分线上的一点，∠𝑂𝑀𝑃+ ∠𝑂𝑁𝑃= 180°，求
证：𝑃𝑀= 𝑃𝑁．
【答案】(1)
证明：∵𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于点𝐸, 𝑃𝐹⊥𝑂𝐵于点𝐹
∴∠𝑃𝐸𝑂= ∠𝑃𝐹𝑂= 90°
∵𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，
∴∠𝑃𝑂𝐸= ∠𝑃𝑂𝐹
又∵𝑃𝑂= 𝑃𝑂
∴△𝑃𝑂𝐸≌△𝑃𝑂𝐹(AAS)，
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∴𝑃𝐸= 𝑃𝐹；
(2)
证明：∵𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于点𝐸，𝑃𝐹⊥𝑂𝐵于点𝐹，𝑃为∠𝐴𝑂𝐵平分线上的一点，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐹，∠𝑃𝐸𝑀= ∠𝑃𝐹𝑁= 90°
∵∠𝑂𝑀𝑃+ ∠𝑂𝑁𝑃= 180°，∠𝑃𝑁𝐹+ ∠𝑂𝑁𝑃= 180°
∴∠𝑂𝑀𝑃= ∠𝑃𝑁𝐹
∴△𝑃𝑀𝐸≌△𝑃𝑁𝐹(AAS)
∴𝑃𝑀= 𝑃𝑁．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质．
（1）根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△𝑃𝑂𝐸≌△𝑃𝑂𝐹(AAS)，由全等三角
形的性质可得结论．
（2）根据角平分线的性质可得𝑃𝐸= 𝑃𝐹，进而证明△𝑃𝑀𝐸≌△𝑃𝑁𝐹(AAS)，即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
