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专题05 全等三角形中动点与新定义型问题
常考题型·精准突破
题型1 利用全等三角形的性质求解的多解问题（高频）
题型2 利用全等三角形的性质求多结论问题（重）
题型3 利用全等三角形的性质求动点中的最值问题（高频）
题型4 利用全等三角形的性质解决动点综合问题（难）
题型5 利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用全等三角形的性质求解的多解问题
1．4 或5
2．3cm / s或2.4
/
cm s
3．2 或10
3
◆题型2 利用全等三角形的性质求多结论问题
4．①③④
5．③⑤
6．②③/③②
◆题型3 利用全等三角形的性质求动点中的最值问题
7．3
8．1
2
9．
【答案】（1）证明：∵CF
AB
∥
，
90
DAC
ECF
=
=
，
在DAC
和
ECF
△
中，
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CF
AC
DAC
ECF
AD
CE
=
=
=
，
(
)
DAC
ECF SAS
≌
，
DC
EF
=
；
（2）解：连接
,
BF BE
CD
+
的最小值即为线段BF 的长度．
则BE
CD
BE
EF
BF
+
=
+
，
故BE
CD
+
的最小值即为线段BF 的长度．
故答案为：
,
BF BF ；
方法应用：解：在BC 下方作CNA
，使CNA
BMA
≌
，连接AA．
则
,
,
NCA
MBA AM
A N AB
AC
A C
=
=
=
=
．
AM
AN
A N
AN
AA
+
=
+
，
即AM
AN
+
最小值为AA，此时
,
,
A N A三点在同一直线上．
50 ,
BAC
AB
AC
=
=
，
65
ACB
ABC
=
=
，
BD
AC
⊥
，
90
50
40
ABD
=
−
=
，
40
NCA
=
，
65
40
105
ACA
=
+
=
，
∵AC
A C
=
，
37.5
A AC
A
=
=
，
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37.5
BAM
=
，
50
37.5
12.5
MAD
BAC
BAM
=
−
=
−
=
，
故答案为：12.5．
◆题型4 利用全等三角形的性质解决动点综合问题
10．
【答案】(1)
连接OA，
∵
90
A
=
，
6cm
AB
AC
=
=
，O是BC 的中点，
∴
45
OAN
OAB
B
=
= =
，
∴OA
OB
=
，
又∵AN
BM
=
，
∴
(
)
SAS
AON
BOM
≌
，
∴OM
ON
=
；
（2）解：四边形AMON 面积不会发生变化，理由如下：
∵
M
AON
BO
≌
，
∴
AON
BOM
S
S
=
△
△
，
∴
2
1
1
1
6 6
9cm
2
2
2
AOB
ABC
AMON
S
S
S
=
=
=
=
四边形
，
∴四边形AMON 面积不会发生变化，面积为
2
9cm ．
11．
【答案】(1)
证明：①∵
BAC
DAE
=
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAC
CAE
AD
AE
=
=
=
，
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∴
(
)
BAD
CAE SAS
≌
∴BD
CE
=
，
90
AEC
ADB
=
=
，
∴
90
BDF
ADE
AED
CED
+
=
+
=
，
∵AD
AE
=
，
∴
ADE
AED
=
，
∴
BDF
DEC
=
；
②过点C 作CH
BD
∥
，交ED的延长线于点H，
由（1）可知
BDF
CED
，BD
CE
=
，
∵CH
BD
∥
，
∴
BDF
H
=
，
∴
H
CED
=
，
∴CH
CE
=
，
∴BD
CH
=
，
又∵
BFD
CFH
=
，
∴
(
)
AAS
BFD
CFH
≌
，
∴BF
CF
=
；
（2）解：取BH 的中点Q，连接QN ，PQ ，
∵BH
HN
=
，M 为HN 的中点，
∴HM
HQ
=
，
又∵
BHM
QHN
=
，
∴
(
)
SAS
BHM
NHQ
≌
，
∴BM
QN
=
，
∴BM
PN
NQ
PN
PQ
+
=
+
，
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∴Q，N，P 三点共线时，BM
PN
+
最小，
∵
3
3
AP
CP
=
=
，
∴
4
AB
AC
=
=
，
∴
2
AH
BH
=
=
，
1
HQ = ，
∴
3
AQ
AP
=
=
，
∵
100
BAC
=
，
∴
(
)
1
180
100
40
2
APN
=
−
=
12．
【答案】（1）①问题初现：垂直；理由如下：
ABC
和CMN
都是等腰直角三角形，
,
,
90
AC
BC MC
NC
ACB
MCN
=
=
=
=
．
45 ,
90
A
ABC
ACM
BCM
BCN
BCM
=
=
+
=
+
=
．
ACM
BCN
=
．
(
)
SAS
ACM
BCN
≌
．
45
CBN
A
= =
．
45
45
90
ABN
ABC
CBN
=
+
=
+
=
．
BN
AM
⊥
；
②BN
AM
⊥
，
ABC
和CMN
都是等腰直角三角形，
,
,
90
AC
BC MC
NC
ACB
MCN
=
=
=
=
．
45 ,
A
ABC
ACB
BCM
MCN
BCM
=
=
+
=
+
．
ACM
BCN
=
．
,
AC
BC MC
NC
=
=
，
ACM
BCN
△
≌△
．
45
CBN
A
= =
．
45
45
90
ABN
ABC
CBN
=
+
=
+
=
．
BN
AM
⊥
．
(2) BN
AM
⊥
，
理由如下：
如图，过点C 作CD
BC
⊥
交BA的延长线于点D，
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90
DCB
=
．
90
D
DBC
+
=
．
90
90
45
45
D
DBC
=
−
=
−
=
．
D
DBC
=
．
DC
BC
=
．
90
DCB
MCN
=
=
，
DCB
BCM
MCN
BCM
−
=
−
．
DCM
BCN
=
．
,
DC
BC MC
NC
=
=
，
DCM
BCN
△
≌△
．
45
CBN
D
=
=
．
45
45
90
ABN
ABC
CBN
=
+
=
+
=
．
BN
AM
⊥
．
◆题型5 利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题
13．
【答案】（1）解：
ABC
和ADE
互为“兄弟三角形”，
BAC
DAE
=
，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，
即
BAD
CAE
=
，
(
)
SAS
BAD
CAE
△
≌△
，
BD
CE
=
，
故答案为：BD
CE
=
；
（2）BD
CE
=
依然成立，理由如下：
ABC
和ADE
互为“兄弟三角形”，
BAC
DAE
=
，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
BAC
DAC
DAE
DAC
+
=
+
，
即
BAD
CAE
=
，
(
)
SAS
BAD
CAE
△
≌△
，
BD
CE
=
．
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14．
【答案】（1）解：根据“边垂角”的定义，
DAE
的“边垂角”是
DFE
；
（2）解：若
AQB
是
APB
的“边垂角”，分两种情况
①如图，
AQB
是
APB
的“边垂角”，
,
AQ
PA BQ
PB
⊥
⊥
，
1
90 ,
2
90
AQB
APB
+ =
+ =
，
1
2
=
，
AQB
APB
=
，
②如图，
AQB
是
APB
的“边垂角”，
,
AQ
PA BQ
PB
⊥
⊥
，
90 ,
90
PAQ
PBQ
=
=
，
360
PAQ
AQB
APB
PBQ
+
+
+
=
，
180
AQB
APB
+
=
，
综上所述，
AQB
与
APB
的数量关系是
AQB
APB
=
或
180
AQB
APB
+
=
；
(3)
解：延长
,
BA CD 交于点G ，
ACD
是
ABD
的“边垂角”，
∴CG
BD
BG
AC
⊥
，
⊥
，
90 ,
90
ABE
AEB
ACD
DEC
+
=
+
=
，
AEB
DEC
=
，
ABE
ACF
=
，
90
BAE
CAG
=
=
，
AB
AC
=
，
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(ASA)
ABE
ACG
≌
，
,
AG
AE BE
CG
=
=
，
45
FAC
=
，
90
45
GAF
FAC
=
−
=
，
AF
AF
=
，
(SAS)
AGF
AEF
≌
，
GF
EF
=
，
点C 关于直线BE对称点为点F ，
=
EF
EC ，
BE
CG
CF
FG
CF
EF
CF
CE
=
=
+
=
+
=
+
，
BE
CF
CE
=
+
；
15．
【答案】解：（1）①∵点Q 是AB 上一点，且
5
AQ =
，
又∵
10
AB =
，
∴
1
2
AQ
AB
=
，
即：Q 为AB 的中点，
∴CQ 为ABC
的中线，
∴
ACQ
BCQ
S
S
=
，
∵
,
,
AQ
BQ CQ
CQ AC
BC
=
=
，
∴
,
ACQ
BCQ
不全等，
∴CAQ
与
CBQ
△
是偏等积三角形；
故答案为：是；
②∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当BP为ABC
的中线时，ABP
与
CBP
△
是偏等积三角形，此时
1
3
2
AP
CP
AC
=
=
=
；
故当
3
AP =
时，ABP
与
CBP
△
是偏等积三角形；
故答案为：3；
（2）如图2，过C 作CE
AB
∥
交AD的延长线于E，
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ABD
与ACD
是偏等积三角形，且ABD
与ACD
在BD、CD边上的高相等，
BD
CD
=
，
在ECD
和ABD
中，
E
BAD
EDC
ADB
CD
BD
=
=
=
(AAS)
ECD
ABD
△
≌△
，
4
ED
AD
EC
AB
=
=
=
，
，
AC
EC
AE
AC
EC
−
+
，
4
AB =
，
12
AC =
，
12
4
2
12
4
AD
−
+
，
4
8
AD
，
线段AD的长为偶数，
6
AD
=
；
（3）①ACD
与BCE
是偏等积三角形．
理由：如图3，
90
ACB
DCE
=
=
，
180
ACD
BCE
+
=
，
0
90
BCE
，
90
ACD
，
ACD
BCE
，
CA
CB
=
，CD
CE
=
，
ACD
与BCE
不全等，
作BF
CE
⊥
于点F，AG
DC
⊥
交CD的延长线于点G，则
90
G
BFC
=
=
，
180
90
ECG
DCE
=
−
=
，
90
ACG
BCF
BCG
=
=
−
，
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在ACG
和BCF
中，
G
BFC
ACG
BCF
CA
CB
=
=
=
，
(
)
AAS
ACG
BCF
≌
，
AG
BF
=
，
1
1
2
2
CD AG
CE BF
=
，
ACD
与BCE
面积相等，
ACD
与BCE
是偏等积三角形．
②作DK
AE
⊥
，交EA的延长线于点K ，作CH
AB
⊥
于点H ，
∵ABC
与ADE
是偏等积三角形，
∴1
1
2
2
AE DK
AB CH
=
，
∵AB
AE
=
，
∴DK
CH
=
，
在Rt AKD
和Rt AHC
中，
DK
CH
AD
AC
=
=
，
∴Rt
Rt
AKD
AHC
≌
，
∴
DAK
BAC
=
，
∴
180
BAC
DAE
DAK
DAE
+
=
+
=
．
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综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．C
2．A
3．B
4．B
二、填空题
5．2
6．1
7．18
8．7
3 、17
3 、8
三、解答题
9．
【答案】(1)
证明：∵AC
CE
⊥
，
∴
90
ACB
ECD
+
=
，
又∵
90
B
=
，AB
DF
∥
，
∴
90
D
=
，
∴
90
A
ACB
ECD
CED
+
=
+
=
，
∴
ACB
CED
=
．
（2）解：在ABC
和
CDE
△
中，
90
B
D
ACB
CED
AC
CE
=
=
=
=
，
∴
(
)
ABC
CDE AAS
≌
，
∴BC
DE
=
，AB
CD
=
，
∵
4cm
AB =
，
10cm
BD =
，
∴
(
)
10
4
6 cm
BC
BD
CD
=
−
=
−
=
．
10．
【答案】（1）解：根据题意，
1
54
2
ABC
S
AC BC
=
=
，动点的速度为3cm / s，设运动时间为st ，在AC 上运
动的时长为
( )
1
12
4 s
3
3
AC
t =
=
=
，在BC 上运动的时长为
( )
2
9
3 s
3
3
BC
t =
=
=
，在AB 上运动的时长为
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( )
2
15
5 s
3
3
AB
t =
=
=
，
当0
4
t
时，点P 在AC 上运动，此时
APC
△
不存在；
当4<
7
t
时，点P 在BC 上运动，此时
APC
△
存在，如图所示，
根据题意，运动总路程长为
(
)
3 cm
t
，
(
)(
)
3
12
cm
CP
t
=
−
，
∵
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
∴
(
)
1
1
1
·
12
3
12 =
54
2
2
2
AC CP
t
=
−
，
解得
( )
11 s
2
t =
；
当7<
12
t
时，点P 在AB 上运动，此时
APC
△
存在，如图所示，
根据题意，运动总路程长为
(
)
3 cm
t
，此时
(
)(
)
12 15
9
3
36
3
cm
AP
t
t
=
+
+
−
=
−
，
∵
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
∴
1
2
AP
BP
AB
=
=
，
∴
15
36
3
2
t
−
=
，
解得
( )
19 s
2
t =
；
故当
( )
19 s
2
t =
或
( )
11 s
2
t =
时，
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
故答案为：11
2 或19
2 ．
（2）分情况讨论：
当点P 在AC 上运动，点Q 在AB 上运动，且满足APQ
DEF
≌
，
∵
90
E
=
，
6cm
DE =
，
7cm
DF =
，
D
A
= ．
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∴
6cm
AP
DE
=
=
，
7cm
AQ
DF
=
=
，
∵动点P 的速度为3cm / s，
∴动点P 的运动时间为6 =2s
3
，
∴动点Q 的运动时间为6 =2s
3
，
∴动点Q 的运动速度为7 cm / s
2
；
当点P 在BC 上运动，点Q 在AB 上运动，不满足
D
A
= ，不存在；
当点P 在AB 上运动，点Q 在AC 上运动，满足
D
A
= ，存在；
∵
90
E
=
，
6cm
DE =
，
7cm
DF =
，
D
A
= ．
∴
6cm
AP
DE
=
=
，
7cm
AQ
DF
=
=
，
∵动点P 的速度为3cm / s，
∴动点P 的运动时间为36
6 =10s
3
−
，
∴动点Q 的运动时间为10s ，
点Q 的运动路程为
(
)
36
7
29 cm
−
=
，
∴动点Q 的运动速度为29 cm / s
10
；
综上所述，点Q 的速度为29 cm / s
10
或7 cm / s
2
11．
【答案】(1)
证明：
90
ACB
=
，
45
ABC
=
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180
45
BAC
ACB
ABC
=
−
−
=
ABC
BAC
=
AC
BC
=
；
（2）解：过F 点作DF
AC
⊥
于D 点，如图：
90
ADF
=
，
90
DAF
AFD
+
=
∵AF
AE
⊥
90
DAF
CAE
+
=
AFD
CAE
=
90
C
=
，
90
ADF
PDF
=
=
C
ADF
PDF
=
=
在ADF
和ECA中
ADF
ACB
AFD
CAE
AF
AE
=
=
=
(
)
AAS
ADF
ECA
≌
,
AD
CE DF
AC
=
=
2
AC
BC
=
=
，点E 为BC 的中点
1
AD
CE
=
=
1
CD
AC
AD
=
−
=
,
AC
BC DF
AC
=
=
2
DF
BC
=
=
在DPF
和
CPB
△
中
PDF
C
DPF
BPC
DF
BC
=
=
=
(
)
AAS
DPF
CPB
≌
DP
CP
=
1
1
2
2
DP
CP
CD
=
=
=
3
2
AP
AC
CP
=
−
=
3
AP
CP
= ；
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（3）解：
5
4
BC
BE =
∴不防设
5 ,
4
BC
x BE
x
=
=
，则
5
AC
BC
x
=
=
①当点E 在ABC
边BC 上时，则CE
BC
BE
x
=
−
= ，
由（2）得，
,
ADF
ECA
DPF
CBP
△
≌△
△
≌△
,
AD
CE
x
DP
CP
=
=
=
4
CD
AC
AD
x
=
−
=
1
2
2
DP
CP
CD
x
=
=
=
3
AP
AC
CP
x
=
−
=
3
3
2
2
AP
x
CP
x
=
=
②当点E 在边CB 的延长线上时，则
9
CE
BC
BE
x
=
+
=
，
同（2）的方法可证得，
,
ADF
ECA
DPF
CBP
△
≌△
△
≌△
9 ,
AD
CE
x DP
CP
=
=
=
4
CD
AD
AC
x
=
−
=
1
2
2
DP
CP
CD
x
=
=
=
7
AP
AC
CP
x
=
+
=
7
7
2
2
AP
x
CP
x
=
=
综上所述，AP
CP 的值为3
2 或7
2 ．
12．
【答案】（1）解：如图1，Rt
ABC
△
中，
90
C
=
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∴
1
·
2
ABP
S
AP BC
=
；
1
·
2
CBP
S
CP BC
=
∵ABP
与
CBP
△
不全等，ABP
与
CBP
△
为积等三角形，
∴
1
1
·
·
2
2
ABP
CBP
S
AP BC
S
CP BC
=
=
=
∴
1
5
2
2
AP
CP
AC
=
=
=
故答案为：5
2 ；
（2）如图，过点C 作CE
AB
，交AD的延长线于点E，
∵ABD
与ACD
为积等三角形，
∴BD
CD
=
∵AB
EC
∴
BAD
E
=
∵
ADB
EDC
=
∴
(AAS)
ADB
EDC
≌
∴
3
AD
DE
AB
EC
=
=
=
，
∴
2
AE
AD
=
∵
5
AC =
∵AC
CE
AE
AC
CE
−
+
∴5 3
2
5 3
AD
−
+
∴2
2
8
AD
∴1
4
AD
∵线段AD长为正偶数
∴
2
AD =
.
(3)
证明：如图，过点E 作EH
GA
⊥
，交GA的延长线于点H，
∵四边形ACFG 和ABDE 四边形均为正方形，
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∴
90?
AB
AE
AG
AC
GAC
=
=
=
；
；
∴
90?
90?
HAE
BAH
BAH
BAC
+
=
+
=
，
∴
BAC
EAH
=
在ABC
和AEH
中
90?
ACB
AHE
BAC
EAH
AB
AE
=
=
=
=
∴
(AAS)
ABC
AEH
≌
∴BC
EH
=
∵
1
·
2
ABC
S
AC BC
=
△
；
1
1
2
2
AEG
S
AG EH
AC BC
=
=
△
∴
ABC
AEG
S
S
=
∵ABC
是直角三角形，AEG
为钝角三角形，
∴AEG
和ABC
为不全等，
∴AEG
和ABC
为积等三角形．
13．
【答案】（1）解：过点A作AH
BC
⊥
于H ，
ABP
与ABP
是积等三角形，
=
ABP
ACP
S
S
，
1
1
2
2
BP AH
CP AH
=
，
BP
CP
=
，
BP
CP
BC
+
=
，
2
BP
CP
=
=
；
故答案为：2；
（2）①解：如图2，延长AD至N ，使DN
AD
=
，连接CN ，
ABD
与ACD
为积等三角形，
BD
CD
=
，
在ADB
和NDC 中，
BD
CD
ADB
CDN
AD
DN
=
=
=
，
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≌
ADB
NDC ，
2
=
=
AB
NC
，
在ACN
中AC
CN
AN
AC
CN
−
+
，
4
AC =
，
4 2
4
2
−
+
AN
，
2
6
AN
，
2
2
6
AD
，
1
3
AD
，
②
AD
为正整数，
2
AD
=
；
故答案为：2；
（3）是积等三角形，
证明：如图3，过点E 作EH
AB
⊥
于点H ，
MN
AC
⊥
，
90
=
=
ACD
AHE
，
90
BAC
DAE
=
=
，
90
=
=
CAH
DAE
，
−
=
−
CAH
DAH
DAE
DAH ，
EAH
DAC
=
，
在
HAE
△
和CAD
中，
EHA
ACD
EAH
DAC
AE
AD
=
=
=
，
HAE
CAD
△
≌△
，
,
AC
AH EH
CD
=
=
，
1
1
,
2
2
BAE
ACD
S
AB EH S
AC CD
=
=
，
AB
AC
=
∵
，
1
2
ACD
S
AB CD
=
，
=
BAE
ACD
S
S
，
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ABE
与ACD
为积等三角形．
