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专题05 利用勾股定理解决折叠问题
常考题型·精准突破
题型1 长方形中折痕过对角线模型（重）
题型2 长方形中折痕过一顶点模型
题型3 长方形中折痕过任意两点模型（高频）
题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（难）
题型5 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（难）
题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 长方形中折痕过对角线模型
【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’.
结论1：ABC
≌
'
AB C
；
结论2：折痕垂直平方’；
结论3：是等腰三角形。
1．（25-26 八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C处，
BC交AD 于点E．若
4
8
AB
AD
=
=
，
，则线段BE = _________．
【答案】5
【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得AE 的长是解题的关键．
设AE
x
=
，则
8
BE
DE
x
=
= −，在Rt
ABE
△
中利用勾股定理即可列方程求得x 的值，即可求出线段BE的值．
【详解】解：长方形ABCD中，
∴
//
AD BC ，
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∴
ADB
DBC
=
，
由折叠的性质知
EBD
DBC
=
，
∴
ADB
EBD
=
，
∴BE
DE
=
，
设AE
x
=
，则
8
BE
DE
x
=
= −，
在Rt
ABE
△
中，
2
2
2
AB
AE
BE
+
=
，
即
(
)
2
2
2
4
8
x
x
−
+
=
，
解得：
3
x = ，
则
3
AE = ，
∴
8 3
5
BE
DE
=
= −=
，
故答案为：5．
2．（24-25 八年级上·重庆奉节·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，
6,
8
AB
BC
=
=
．将ABD
沿BD折叠，
使点A落在点P 处，PD交CB 于点Q ，则CQ 的长为______________．
【答案】7
4
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相
关条件是解答本题的关键．先证明
(
)
AAS
BPQ
DCQ
≌
，可得BQ
DQ
=
，设CQ
x
=
，则
8
DQ
BQ
x
=
=
−
，
在Rt CDQ
中，由勾股定理得
2
2
2
CQ
CD
DQ
+
=
，即可得出结论．
【详解】解：在长方形ABCD中，
90
A
C
=
=
，
6
AB
CD
=
=
，
∵由折叠的性质可知：
90
A
P
= =
，BP
AB
=
，
∴
P
C
=
，BP
CD
=
，
∵在
BPQ
△
和DCQ
中，
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BQP
DQC
P
C
BP
CD
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
BPQ
DCQ
≌
，
∴BQ
DQ
=
，
设CQ
x
=
，则
8
DQ
BQ
BC
CQ
x
=
=
−
=
−
，
∵在Rt CDQ
中，由勾股定理得：
2
2
2
CQ
CD
DQ
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
6
8
x
x
−
+
=
，解得
7
4
x =
，
∴
7
4
CQ =
，
故答案为：7
4 ．
3．（25-26 八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在长方形ABCD中，
2
4
BC
AB
=
= ，将ABC
沿AC 翻折，
得到
AEC
△
，其中，AD与CE 相交于点F ，则DF 为_____
【答案】3
2
【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易
得
4,
2,
,
90
BC
AD
AB
CD
AD
BC
D
=
=
=
=
=
∥
，然后可得
ACB
FAC
ACF
=
=
，则可设AF
CF
x
=
=
，
则有
4
DF
x
=
−
，进而根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】解：∵
2
4
BC
AB
=
= ，
∴
2
AB =
，
由折叠的性质可知：
ACB
ACF
=
，
在长方形ABCD中，
4,
2,
,
90
BC
AD
AB
CD
AD
BC
D
=
=
=
=
=
∥
，
∴
ACB
FAC
ACF
=
=
，
∴AF
CF
=
，
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设AF
CF
x
=
=
，则有
4
DF
x
=
−
，
∴在Rt DFC
中，由勾股定理可得：(
)
2
2
2
4
2
x
x
−
+
=
，
解得：
5
2
x =
，
∴
5
3
4
2
2
DF =
−
=
；
故答案为3
2 ．
◆题型2 长方形中折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’.
折在矩形内
结论1：ABE
≌
'
AB E
；
结论2：折痕垂直平方’。
折在矩形边上
结论1：ABE
≌
'
AB E
；
结论2：折痕垂直平方’。
折在矩形外
结论1：四边形ABCE≌四边形
'
'
'
'
A B C E ；
结论2：折痕垂直平方’；
结论3：是等腰三角形。
4．
（25-26七年级下·重庆·期末）如图，将长方形ABCD沿着BE折叠，点C恰好落在AD边上点F处，若
8
AB =
，
2
5
DF
BC =
，则BF =_______．
【答案】10
【分析】根据折叠的性质可得BF
BC
=
，由长方形的性质可得AD
BC
=
，从而得到BF
AD
=
，结合已知比
例关系用BF 表示出AF ，最后在Rt ABF
中利用勾股定理建立方程求解即可 ．
【详解】解：由折叠的性质得，BF
BC
=
，
∵四边形ABCD是长方形 ，
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∴AD
BC
=
，
90
A
=
，
∴BF
AD
=
，
∵
2
5
DF
BC =
，
∴
2
5
DF
AD =
，即
2
5
DF
AD
=
，
∴
2
3
5
5
AF
AD
DF
AD
AD
AD
=
−
=
−
=
，
∴
3
5
AF
BF
=
，
在Rt ABF
中，由勾股定理得
2
2
2
AB
AF
BF
+
=
，
∴
2
2
2
3
8
5 BF
BF
+
=
，解得：
10
BF =
（已舍去负值）．
5．（24-25 七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A 系列纸为长方形．将
4
A 纸按如图所示的方式进行两次
折叠，第一次折叠折痕为AE ，点B 落在线段AD上的点B处，第二次折叠折痕为AF ，点E 与点D 恰好重
合．则AD
AB = ______．
【答案】2
【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形ABEB，第二次折叠，得出AD
AE
=
，
由此可解．
【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形ABEB为正方形，
2
2
2
AE
AB
BE
AB
=
+
=
，
第二次折叠，得出
2
AD
AE
AB
=
=
，
2
2
AD
AB
AB
AB
=
=
，
故答案为：2 ．
6．（25-26 八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在长方形ABCD中，
3
AD = ，
4
CD =
，点N 在边CD上，
沿着BN 折叠长方形ABCD，使点C 落在点F 处，连接DF ．当线段DF
BF
+
的值最小时，CN =_______．
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【答案】3
2
【分析】由题意可知当
90
DFN
=
时，
180
DFN
BFN
+
=
，即
,
,
B F D 三点共线时，线段DF
BF
+
的值
最小，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在长方形ABCD中，
3
BC
AD
=
=
，
4
CD =
，
90
C
=
，
根据折叠可得
3,
,
90 ,
BF
BC
CN
FN
BFN
C
BNC
BNF
=
=
=
=
=
=
，
当
90
DFN
=
时，
180
DFN
BFN
+
=
，即
,
,
B F D 三点共线时，线段DF
BF
+
的值最小，此时
180
90
NFD
BFN
=
−
=
，
2
2
2
2
3
4
5
BD
BC
CD
=
+
=
+
= ，
∴
5 3
2
DF
BD
BF
=
−
= −= ，
2
2
2
DF
FN
DN
+
=
，
2
2
2
2
(4
)
CN
CN
+
=
−
，
解得
3
2
=
CN
．
◆题型3 长方形中折痕过任意两点模型
【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’.
折在矩形内
结论1：BEF
≌
'B EF
；
结论2：折痕垂直平方’。
折在矩形边上
结论1：四边形EBCF ≌四边形
'
'
'
'
E B C F ；
结论2：折痕垂直平方’。
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折在矩形外
结论1：四边形EBCF ≌四边形
'
'
'
'
E B C F ；
结论2：折痕垂直平方’；
结论3：’是直角三角形。
7．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形ABCD中，
3
AB =
，
5
BC =
，若把长方形ABCD
沿EF 折叠，使点C 落在点A处，点D 落在点G 处，则CF =_______．
【答案】17
5
【分析】利用折叠的性质，设AF
CF
x
=
=
，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，AF
CF
=
，
设AF
CF
x
=
=
，则
5
BF
x
= −，
在Rt ABF
中，
2
2
2
AB
BF
AF
+
=
，
(
)
2
2
2
3
5
x
x
=
+
−
，
解得：
7
5
1
x =
，即
17
5
CF =
．
8．（25-26 八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片ABCD，AD
BC
∥
，将长方形纸片折叠，使点D 与
点B 重合，点C 落在点C处，折痕为EF ，若
4
AB =
，
8
AD = ，则AE 的长为______．
【答案】3
【分析】根据折叠的性质得到DE
BE
=
，则
8
DE
BE
AD
AE
AE
=
=
−
= −
，在Rt
AEB
△
中，利用勾股定理列方
程求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得到，DE
BE
=
，
8
AD =
，
8
DE
BE
AD
AE
AE
=
=
−
= −
，
四边形ABCD是长方形，
90
A
=
，
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2
2
2
AB
AE
BE
+
=
，
4
AB =
，
(
)
2
2
2
4
8
AE
AE
+
=
−
，
3
AE
=
．
9．（25-26 八年级上·山东济南·期中）如图，有一个长方形纸片ABCD，
6cm,
10cm
AB
BC
=
=
，点为CD上
一点，将纸片沿AE 折叠，BC 的对应边B C
恰好经过点，则线段DE 的长为 cm．
【答案】10
3 / 1
33
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．
根据折叠的性质可得
6cm,
,
10cm,
90
AB
AB
CE
C E B C
CB
B
B
=
=
=
=
=
=
=
，然后在Rt AB D
中，由勾
股定理求出B D
的长，则可得出C D
的长，再在Rt EC D
利用勾股定理进行计算即可求DE 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴
10cm,
6cm,
90
AD
BC
CD
AB
B
C
=
=
=
=
=
=
，
根据折叠的性质，得
6cm,
,
10cm,
90
AB
AB
CE
C E B C
CB
B
B
=
=
=
=
=
=
=
，
在Rt AB D
中，由勾股定理，得
2
2
8cm
B D
AD
AB
=
−
=
，
∴
10 8
2cm
C D
=
−=
，
在Rt EC D
中，
2
2
2
C E
C D
DE
+
=
，
∴(
)
2
2
2
6
2
DE
DE
−
+
=
，
解得
10
3
DE =
．
故答案是：10
3
◆题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】
（1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为
’落在斜边上，折痕为；
（2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为
’落在斜边上，折痕为；
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（3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。
10．
（25-26 八年级下·全国·周测）如图所示的是一张直角三角形纸片，
90
ACB
=
，
8cm
AC =
，
6cm
BC =
．将
斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD，则CD的长为__________cm．
【答案】8
3
【分析】此题考查勾股定理，以及翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破
口．
根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE
AB
=
，已知AC 的长，可将CE 的长求出，
再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD的长．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
2
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
．
根据折叠的性质可知，
10
AE
AB
=
=
．
8
AC =
，
2
CE
AE
AC
=
−
= ，
即CE 的长为2 ．
设CD
x
=
，则
6
BD
x
DE
=
−
=
．
在Rt
CDE
△
中，根据勾股定理得，
2
2
2
CD
CE
DE
+
=
，即
2
2
2
2
(6
)
x
x
+
=
−
，
解得
8
3
x =
，
即CD的长为8cm
3
．
故答案为：8
3 ．
11．（25-26 八年级上·山西运城·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
4
AC =
，
3
BC = ，点D 是BC 上
一点，连接AD，将ACD
沿着AD折叠，使点C 落在AB 上的点E 处，过点B 作BF
AD
⊥
，交AD的延长
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线于点F，则BF 的长为_________．
【答案】10
2
【分析】首先利用勾股定理求出
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，由折叠得，
4
AE
AC
=
=
，
90
AED
C
=
=
，
CD
DE
=
，设CD
DE
x
=
=
，则
3
DB
CB CD
x
=
−
= −
，利用勾股定理求出
4
3
CD
DE
=
=
，
4 10
3
AD =
，然后
利用等面积法求解．
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
4
AC =
，
3
BC = ，
∴
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
由折叠得，
4
AE
AC
=
=
，
90
AED
C
=
=
，CD
DE
=
∴
5 4
1
BE
AB
AE
=
−
= −
=
设CD
DE
x
=
=
，则
3
DB
CB CD
x
=
−
= −
∴在Rt DBE
中，
2
2
2
DE
BE
DB
+
=
∴
(
)
2
2
21
3
x
x
−
+
=
解得
4
3
x =
∴
4
3
CD
DE
=
=
∴
2
2
4 10
3
AD
AC
CD
=
+
=
∵BF
AD
⊥
∴
1
1
2
2
ADB
S
AD BF
AB DE
=
=
∴4 10
4
5
3
3
BF =
∴
10
2
BF =
．
12．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，在Rt ABC
中，
90 ,
3,
4
BAC
AB
AC
=
=
=
，点D 是BC 上的
一动点，将ACD
沿AD折叠得到ADE
，设AE 与BC 相交于点F，当EFD
为直角三角形时，CD = ________．
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【答案】2 或4
5
【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
分三种情况：当
90
DFE
=
时，根据等面积法得出
12
5
AF =
，由勾股定理可求得
2
2
9
5
BF
AB
AF
=
−
=
，
8
5
EF
AE
AF
=
−
=
，然后继续利用勾股定理求解即可；②
90
FDE
=
时，连接CE ，延长AD交CE 于点G，
过点A 作AH
BC
⊥
，然后证明AH
DH
=
，设CD
x
=
，则
16
5
DH
CH
CD
x
=
−
=
−
，建立方程即可求解；根
据题意得出
C
E
=
，确定
90
E
，即可求解．
【详解】解：∵
90 ,
3,
4
BAC
AB
AC
=
=
=
，
∴
5
BC =
，
∵折叠，
∴
4
AE
AC
=
=
，
当
90
DFE
=
时，如图所示，
∴AE
BC
⊥
，
∴1
1
2
2
AB
AC
BC
AF
=
即1
1
3 4
5
2
2
AF
=
，
解得：
12
5
AF =
，
∴
2
2
9
5
BF
AB
AF
=
−
=
，
8
5
EF
AE
AF
=
−
=
，
设CD
x
=
，则
16
,
5
5
CD
DE
x DF
CD
BF
x
=
=
= −
−
=
−
，
∴
2
2
2
8
16
5
5
x
x
+
−
=
，
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解得：
2
x =
，即
2
CD =
；
当
90
FDE
=
时，连接CE ，延长AD交CE 于点G，过点A 作AH
BC
⊥
，如图所示，
由第一种情况得：
12
9
,
5
5
AH
BH
=
=
，
∴
16
5
CH
BC
BH
=
−
=
，
∵折叠，
∴
4
AE
AC
=
=
, DE
CD
=
，
∴AG
CE
⊥
，DG
CE
⊥
，
∴
45
ADH
CDG
DCE
=
=
=
，
∴
45
HAD
ADH
=
=
，
∴AH
DH
=
，
设CD
x
=
，则
16
5
DH
CH
CD
x
=
−
=
−
，
∴16
12
5
5
x
−
=
，
解得：
4
5
x =
，即
4
5
CD =
；
∵
C
E
=
，
∴
90
E
，
综上可得：
2
CD =
或
4
5
CD =
，
故答案为：2 或4
5 ．
◆题型5 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合；
（2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点.
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（3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，.
13．（25-26 八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
8
AC = ，
6
BC =
．现将ABC
进
行折叠，使顶点A，B 重合，折痕为DE ，点D，E 分别在AC ，AB 上．则线段DE 的长为__________．
【答案】15
4
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．在Rt
ABC
△
中可得
10
AB =
，在Rt BCD
中可得
7
4
CD =
，则
7
25
8
4
4
BD = −
=
，在Rt
DEB
△
中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，
∴
2
2
8
6
10
AB =
+
=
，
∵将ABC
进行折叠，使顶点
,
A B 重合，
∴
1
5
2
AD
BD
AE
BE
AB
=
=
=
=
，
，
90
DEB
=
，
设CD
x
=
，在Rt BCD
中，
90 ,
6
C
BC
=
=
，
∴
(
)
2
2
2
6
8
x
x
+
=
−
，
解得：
7
4
x =
，
则
7
25
8
4
4
BD = −
=
，
∴在Rt
DEB
△
中，
2
2
25
15
5
4
4
DE
=
−
=
，
故答案为：15
4 ．
14．（25-26 八年级上·四川成都·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
=
，
3cm
AB =
，
4cm
BC =
，将ABC
折叠，使点C 与A重合，得折痕DE ，则BE的长等于_____cm．
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【答案】7
8 /0.875
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，直角三角形两直角
边平方和等于斜边平方．
设
cm
BE
x
=
，则
(
)
4
cm
CE
x
=
−
，由折叠可得：
(
)
4
cm
CE
AE
x
=
=
−
，根据勾股定理得出
2
2
2
AB
BE
AE
+
=
，
列出方程求解即可．
【详解】解：设
cm
BE
x
=
，则
(
)
4
cm
CE
x
=
−
，
由折叠可得：
(
)
4
cm
CE
AE
x
=
=
−
，
∵
90
B
=
，
∴
2
2
2
AB
BE
AE
+
=
，则
(
)
2
2
2
3
4
x
x
+
=
−
，
解得：
7
8
x =
，
∴
7 cm
8
BE =
．
故答案为：7
8 ．
15．（25-26 八年级上·山东青岛·期中）如图，有一张直角三角形纸片ABC
，两直角边
8
AC = ，
16
BC =
，
现将Rt
ABC
△
折叠，使点B 与点A重合，得到折痕MN ，则ACM
的面积为________．
【答案】24
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得：AM
BM
=
，设
CM
x
=
，则
16
BM
AM
x
=
=
−
，在Rt ACM
中，根据勾股定理列方程求出x ，最后根据三角形的面积公式
求解即可．
【详解】解：由折叠可得：AM
BM
=
，
16
BC =
，
设CM
x
=
，则
16
BM
AM
BC
CM
x
=
=
−
=
−
，
8
AC = ，
90
C
=
，
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在Rt ACM
中，
2
2
2
CM
AC
AM
+
=
，即
(
)
2
2
2
8
16
x
x
+
=
−
，
解得：
6
x =
，
即
6
CM = ，
1
1 8 6
24
2
2
ACM
S
AC CM
=
=
=
，
故答案为：24．
◆题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结.
（2）沿直线翻折使得点与边上的点重合；
16．（25-26 八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由Rt
ABC
△
经过两次折叠得到的，首先将Rt
ABC
△
沿CD
折叠，使点A 落在斜边上的点A处，再沿DE 折叠，使点B 落在DA的延长线上的点B处．若图中
90
A
=
，
3cm
DE =
，
4cm
CD =
，则DA的长为_____________ ．
【答案】12 cm
5
【分析】根据折叠的性质可得出
90
CDE
=
，再利用勾股定理求出
5cm
=
CE
，最后根据等面积法求解．
【详解】解：∵将Rt
ABC
△
沿CD折叠，使点A 落在斜边上的点A处，
90
A
=
，
∴
90
DA C
A
= =
，
1
2
A DC
ADC
ADA
=
=
，
∴DA
BC
⊥
，
∵再沿DE 折叠，使点B 落在DA的延长线上的点B处，
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∴
180
ADA
BDB
+
=
，
1
2
B DE
BDE
BDB
=
=
，
∴
(
)
1
90
2
CDE
A DC
B DE
ADA
BDB
=
+
=
+
=
，
∵
3cm
DE =
，
4cm
CD =
，
∴
(
)
2
2
5 cm
CE
DE
CD
=
+
=
，
∵
1
1
2
2
CDE
S
CE DA
DE CD
=
=
，
∴
(
)
12 cm
5
DE CD
DA
CE
=
=
．
17．（24-25 八年级下·福建三明·期中）如图，在Rt ABC
中，
90
C
=
，
12
AC =
，
10
BC =
，D 是BC 的中
点，E 是AC 边上一动点．将CDE
沿DE 所在直线折叠得到C DE
．当
AEC
△
是直角三角形时，AC的
长为_______．
【答案】8或
74
【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当
90
EC A
=
时，如图2，当
90
AEC
=
时，由直角三角形的性质分别求解即可．
【详解】解：如图1，当
90
EC A
=
时，
90
C
DC E
=
=
，
180
DC E
EC A
+
=
，
D
，C，A共线，
1
5
2
CD
DB
BC
=
=
=
，
12
AC =
，
2
2
2
2
5
12
13
AD
CD
AC
=
+
=
+
=
，
设CE
EC
x
=
=
，则
12
AE
x
=
−，
在Rt
AEC
△
中，则有(
)
(
)
2
2
2
12
13 5
x
x
−
=
+
−
，
解得
10
3
x =
，
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10
3
CE
EC
=
=
．
10
26
12
3
3
AE =
−
=
2
2
2
2
26
10
8
3
3
AC
AE
EC
=
−
=
−
=
如图2 ，当
90
AEC
=
时，
45
CED
DEC
=
=
，
90
C
=
，
45
CDE
CED
=
=
，
5
CD
CE
=
=
，
5
CE
EC
=
= ．
12 5
7
AE =
−=
2
2
2
2
7
5
74
AC
AE
EC
=
+
=
+
=
综上所述，满足条件的AC的值为8或
74 ．
故答案为8或
74 ．
18．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，D，E 分别是AB
和BC 边上的点，将BDE
沿DE 折叠，点B 的对应点为点B．
（1）若B是AC 的中点，则CE 的长为__________．
（2）若点B在线段AC 上（含端点），则CE 的取值范围为__________．
【答案】 55
16 7
4
4
CE
【分析】（1）设BE
x
=
，则
8
CE
BC
BE
x
=
−
= −，根据折叠可知B E
x
=
，然后在Rt
CB E
△
中，由勾股定
理建立方程求解即可；
（2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可．
【详解】解：（1）
B
是AC 的中点，
1
3
2
B C
AC
=
= ，
设BE
x
=
，则
8
CE
BC
BE
x
=
−
= −，根据折叠可知B E
x
=
，
∵
90
C
=
在Rt
CB E
△
中，
2
2
2
B C
CE
B E
+
=
，
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(
)
2
2
2
3
8
x
x
+
−
=
，
解得
73
16
x =
，
73
55
8
16
16
CE
= −
=
；
（2）根据轴对称的性质可得BE
B E
=
，
当B E
的值最大即点A 与点B重合时，CE 的值最小，如图1，此时AE
B E
=
，
设B E
BE
m
=
=
，则
8
CE
m
= −
，
在Rt ACE
中，
2
2
2
AC
CE
AE
+
=
，
(
)
2
2
2
6
8
m
m
+
−
=
，
解得
25
4
m =
，
7
4
CE
=
；
当B E
的值最小即点C 与点B重合时，CE 的值最大，
如图2，此时
4
CE
B E
BE
=
=
=
，
综上所述，CE 的取值范围为7
4
4
CE
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·安徽池州·期末）如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D 落在BC 边上的点F 处，
若
4
AB =
，
5
AD = ，则CE 的长为（ ）
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A．1
B．1.5
C．2
D．5
【答案】B
【分析】先由勾股定理求得
3
BF = ，则
2
CF =
，在Rt CEF
中，由勾股定理求解CE 即可．
【详解】解：在长方形ABCD中，
4
CD
AB
=
=
，
5
BC
AD
=
=
，
90
B
C
=
=
，
由折叠性质得
5
AF
AD
=
= ，EF
DE
=
，
在Rt ABF
中，
2
2
2
2
5
4
3
BF
AF
AB
=
−
=
−
=
，
∴
5 3
2
CF
BC
BF
=
−
= −=
在Rt CEF
中，由勾股定理得
2
2
2
CF
CE
EF
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
4
CE
CE
+
=
−
，解得
1.5
CE =
．
2．（25-26 八年级下·重庆巴南·期末）如图，ABC
中，
90
ACB
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，沿DE 折叠，使点A
与点B 重合，则DE 的长为（ ）
A．11
3
B．4
C．24
5
D．15
4
【答案】D
【分析】根据勾股定理可知
10
AB =
，根据折叠的性质得到
,
5,
90
AD
BD AE
EB
DAE
DEB
=
=
=
=
=
，设
AD
x
=
，根据勾股定理求出
25
4
x =
，进而根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，
∴
2
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
，
∵沿DE 折叠，使点A与点B 重合，
∴
,
5,
90
AD
BD AE
EB
DAE
DEB
=
=
=
=
=
，
设AD
x
=
，
则
,
8
BD
x CD
x
=
=
−
，
∵
90
ACB
=
，
6
BC =
，
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∴(
)
2
2
2
8
6
x
x
−
+
=
，
解得
25
4
x =
，
∴
25
4
AD =
，
∴
2
2
25
15
5
4
4
DE
=
−
=
．
3．（2026·河南·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点P，Q 分别为AB ，CD上一个动点，将正方形沿PQ
折叠，点D的对应点M 始终落在BC 上，已知
8
AB =
，当点M 为BC 中点时，DQ 的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】由正方形的性质得到
8
AD
CD
BC
=
=
= ，由中点的性质得到
1
4
2
MC
BC
=
=
，DQ
x
=
，则
8
CQ
CD
DQ
x
=
−
=
−
，由折叠可得MQ
DQ
x
=
=
，再利用勾股定理运算求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴
8
AD
CD
BC
=
=
= ，
∵点M 为BC 中点，
∴
1
4
2
MC
BC
=
=
，
设DQ
x
=
，则
8
CQ
CD
DQ
x
=
−
=
−
，
∵折叠，
∴MQ
DQ
x
=
=
，
∴在Rt
QMC
△
中，
2
2
2
MC
CQ
MQ
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
8
x
x
+
−
=
，
解得：
5
x = ，
∴
5
DQ =
．
4．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，Rt
ABC
△
中，
8
AB =
，
6
BC =
，
90
B
=
，M ，N 分
别是边AC ，AB 上的两个动点．将ABC
沿直线MN 折叠，使得点A的对应点D 落在边BC 的三等分点处，
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则线段BN 的长为（ ）
A．3
B．15
4
C．3 或15
4
D．3 或5
3
【答案】C
【分析】根据题意，分点D 在BC 上且靠近点B 的三等分点时和点D 在BC 上且靠近点C 的三等分点时两种
情形，设，在Rt BDN
中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：①当点D 在BC 上且靠近点B 的三等分点时，
∴
1
2
3
BD
BC
=
=
，
设BN
x
= ，则
8
AN
DN
x
=
= −
，
∴在Rt BDN
中，
90
B
=
，
∴(
)
2
2
2
8
2
x
x
−
=
+
，
解得
15
4
x =
，
②当点D 在BC 上且靠近点C 的三等分点时，
∴
2
4
3
BD
BC
=
=
，
设BN
x
= ，则
8
AN
DN
x
=
= −
，
∴在Rt BDN
中，
90
B
=
，
∴(
)
2
2
2
8
4
x
x
−
=
+
，
解得
3
x = ，
综上所述，
3
BN = 或15
4 ．
5．（25-26 八年级下·福建南平·期中）如图，在长方形ABCD中，
1
AB = ，在BC 上取一点E ，连接AE ，ED，
将ABE
沿AE 翻折，使点B 落在点B处，线段EB交AD于点F ，将ECD
沿DE 翻折，使点C 的对应点C
落在线段EB上．若点C恰好为线段EB的中点，则线段EF 的值为（ ）
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A．22
B．62
C．
42
6
D．3 2
4
【答案】D
【分析】根据折叠的性质和“AAS”，易得
'
'
AB F
DC F
∽
，从而
'
'
B F
C F
=
，再根据角之间的关系，可得
90
AED
=
，设
'
C E
x
=
，由线段之间的关系易求CE
x
=
，
2
BE
x
=
，
3
2
EF
x
=
，
3
BC
AD
x
=
=
，最后根据
勾股定理，可得
2
2
1
4
AE
x
= +
，
2
2
1
DE
x
= +
，进而列出方程，求解即可．
【详解】解：由折叠知，
'
AEB
AEB
=
，
'
AB
AB
=
，
'
B
B
=
，
'
BE
B E
=
，
'
CED
C ED
=
，
'
EC D
C
=
，
'
EC
EC
=
，
'
DC
DC
=
，
长方形ABCD，
1
AB = ，
'
'
1
AB
CD
AB
C D
=
=
=
= ，
'
'
90
B
C
EC D
B
=
=
=
=
，AD
BC
=
，
在
'
AB F
△
和
'
DC F
中，
90
AFB
DFC
B
DC F
AB
DC
=
=
=
=
，
(
)
AAS
AB F
DC F
∽
，
'
'
B F
C F
=
，
'
'
180
AEB
AEB
CED
C ED
+
+
+
=
，
'
AEB
AEB
=
，
'
CED
C ED
=
，
'
'
2
2
180
AEB
C ED
+
=
，即
90
AED
=
，
设
'
C E
x
=
，则CE
x
=
，
点C恰好为线段EB的中点，
'
'
'
B C
C E
x
=
=
，
'
'
2
2
B E
BE
C E
x
=
=
=
，
'
'
'
'
1
1
2
2
B F
C F
BC
x
=
=
=
，
'
'
1
3
2
2
EF
EC
C F
x
x
x
=
+
=
+
=
，
3
BC
AD
BE
EC
x
=
=
+
=
，
在Rt
ABE
△
中，
2
2
2
2
1
4
AE
AB
BE
x
=
+
= +
，
在Rt
DCE
△
中，
2
2
2
2
1
DE
DC
EC
x
=
+
= +
，
在Rt
AED
△
中，
2
2
2
AD
AE
DE
=
+
，
(
)
2
2
2
3
1 4
1
x
x
x
= +
+ +
，解得
2
2
x =
（负值已舍去），
3
3 2
2
4
EF
x
=
=
．
二、填空题
6．（25-26 八年级上·广东深圳·期中）如图，将直角三角形纸片ABC 的直角
C
沿AD折叠，点C 恰好落到
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边AB 的点E 处．如果
6cm
AC =
，
8cm
BC =
，那么CD = _______cm．
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，一元一次方程，掌握折叠前后对应线段和角大小保持不变是
解题的关键．
设线段CD的长度为cm
x
，根据折叠的性质，用含有x 的式子表示BD
DE
、
，再根据勾股定理列式，即可求
解．
【详解】解：设线段CD的长度为cm
x
，
ABC
是直角三角形，
6cm
AC =
，
8cm
BC =
，
(
)
2
2
2
2
6
8
10 cm
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
根据折叠，可知
cm
6cm
90
DC
DE
x
AC
AE
DEA
C
=
=
=
=
=
=
，
，
，
(
)
(
)
8
cm
10
6
4 cm
BD
BC
DC
x
BE
AB
AE
=
−
=
−
=
−
=
−
=
，
，
在Rt BDE
中，由勾股定理可知(
)
2
2
2
8
4
x
x
−
=
+
，
解得
3
x = ，
线段CD的长度为3cm．
故答案为：3．
7．（25-26 八年级上·四川成都·阶段检测）长方形ABCD中，
6
8
AB
AD
=
=
，
，点E 是边BC 上一点，将ABE
沿AE 翻折，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，则BE的长为_____ ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关
键．
由长方形的性质以及勾股定理可得
2
2
10
AC
AB
BC
=
+
=
，
8
CE
BC
BE
BE
=
−
= −
，根据折叠的性质可得
6
90
AF
AB
EF
BE
AFE
B
=
=
=
=
=
，
，
，即
4
90
CF
AC
AF
EFC
=
−
=
=
，
，最后根据勾股定理列方程
求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴
8
90
BC
AD
B
=
=
=
，
，
又∵
6
AB =
，
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∴
2
2
10
AC
AB
BC
=
+
=
，
8
CE
BC
BE
BE
=
−
= −
，
∵将ABE
沿AE 翻折，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，
∴
6
90
AF
AB
EF
BE
AFE
B
=
=
=
=
=
，
，
，
∴
4
90
CF
AC
AF
EFC
=
−
=
=
，
，
∴
2
2
2
EF
FC
CE
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
8
BE
BE
+
=
−
，
∴
3
BE =
．
故答案为3．
8．（25-26 八年级上·上海松江·期末）如图，在ABC
中，
90
ABC
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，D 为AC 上一动
点，将BDC
沿着BD折叠，点C 落到C处．当BC
AC
⊥
时，CD = ______．
【答案】2
【分析】此题考查了折叠的性质和勾股定理的应用，设BC
AC
⊥
于点E ，用勾股定理和等积法求出
16
5
CE =
，
由折叠可知，
4,
BC
BC
CD
C D
=
=
=
，设CD
CD
x
=
=
，得到
8
5
C E=
，
16
5
DE
x
=
−
，利用勾股定理列方程
即可求出答案．
【详解】解：设BC
AC
⊥
于点E ，如图，
∵
90
ABC
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，
∴
2
2
2
2
3
4
5
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
∵
1
1
2
2
ABC
S
AB BC
AC BE
=
=
，
∴
3 4
12
5
5
AB BC
BE
AC
=
=
=
，
小学
初中
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∴
2
2
2
2
12
16
4
5
5
CE
BC
BE
=
−
=
−
=
，
由折叠可知，
4,
BC
BC
CD
C D
=
=
=
，
设CD
CD
x
=
=
，
∴
12
8
4
5
5
C E
BC
BE
=
−
=
−
=
，
16
5
DE
CE
CD
x
=
−
=
−
∵
2
2
2
C D
DE
C E
=
+
，
∴
2
2
2
16
8
5
5
x
x
=
−
+
,
解得
2
x =
，
故答案为：2
9．（25-26 八年级上·山西·阶段检测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，D，E 分别是边
,
BC AB 上的两个动点．将ABC
沿直线DE 折叠，使得点B 的对应点B落在边AC 的三等分点处，则线段BD
的长为_______．
【答案】17
4 或5
【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．
由题意可知
2
B C
=
或
4
B C
=
，然后分两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵点B 的对应点B落在边AC 的三等分点处，
6
AC =
，
∴
2
B C
=
或
4
B C
=
，
由题意，得
8
B D
BD
CD
=
=
−
，
如图1，当
2
B C
=
时，
在Rt B CD
中，由勾股定理，得：
2
2
2
CD
B C
B D
+
=
，
(
)
2
2
4
8
CD
CD
+
=
−
，
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15
CD
4
=
，
15
17
8
4
4
BD
=
−
=
；
②如图2，当
4
B C
=
时，
在Rt B CD
中，由勾股定理，得：
2
2
2
CD
B C
B D
+
=
，
(
)
2
2
16
8
CD
CD
+
=
−
，
3
CD
= ，
8 3
5
BD
= −= ．
综上所述，线段BD的长为17
4 或5．
故答案为：17
4 或5．
10．（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
10
AC =
，
12
BC =
，点D 是AC 边
的中点，点E 是CB 边上一动点，连接DE ，将
CDE
△
沿DE 折叠，使点C 落在点F 处，连接BF ，若BEF
是直角三角形，则BE的长是_________．
【答案】7 或26
3
【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识．分两种情形：当
90
EFB
=
时，当
90
BEF
=
时，
分别求解即可．
【详解】解：当
90
EFB
=
时，
90
C
DFE
=
=
，
180
DFE
EFA
+
=
，
D
，F ，B 共线，
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5
CD
DF
=
=
，
12
BC =
，
2
2
2
2
5
12
13
BD
CD
BC
=
+
=
+
=
，
设CE
EF
x
=
=
，则
12
BE
x
=
−
，
在Rt BEF
中，则有
2
2
2
(12
)
(13 5)
x
x
−
=
+
−
解得
10
3
x =
，
10
26
12
3
3
BE
=
−
=
；
当
90
BEF
=
时，
45
CED
DEF
=
=
，
90
C
=
，
45
CDE
CED
=
=
，
5
CD
CE
=
= ，
12 5
7
BE
=
−=
，
综上所述，满足条件的BE的值为7 或26
3 ．
故答案为：7 或26
3 ．
三、解答题
11．（25-26 八年级上·江西吉安·阶段检测）如图，将直角三角形纸片ABC 折叠，使得点A与点B 重合，折
痕为DE ，
90
ACB
=
，
10
AB =
，
6
BC =
．
(1)求折痕DE 的长；
(2)求四边形BCED 的面积．
【答案】(1)15
4
(2)117
8
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
（1）连接BE，根据勾股定理求出AC ，由折叠可知
5
AD
BD
=
=
，AE
BE
=
，
90
ADE
=
．设AE
BE
x
=
= ，
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则
8
CE
AC
AE
x
=
−
= −．根据勾股定理可列方程
(
)
2
2
2
6
8
x
x
−
=
+
，即可求得
25
4
AE =
，再根据勾股定理即可
得解．
（2）根据
ABC
ADE
BCED
S
S
S
=
−
四边形
求解即可．
【详解】（1）解：连接BE，
在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
10
AB =
，
6
BC =
，
2
2
2
2
10
6
8
AC
AB
BC
=
−
=
−
= ．
由折叠可知，
5
AD
BD
=
=
，AE
BE
=
，
90
ADE
=
．
设AE
BE
x
=
= ，则
8
CE
AC
AE
x
=
−
= −．
在Rt BCE
中，由勾股定理得：
2
2
2
BE
BC
CE
=
+
，
(
)
2
2
2
6
8
x
x
=
+
−
，
解得
25
4
x =
，即
25
4
AE =
．
在Rt
ADE
△
中，
5
AD = ，
25
4
AE =
，
由勾股定理得：
2
2
15
4
DE
AE
AD
=
−
=
．
（2）解：
1
1 8 6
24
2
2
ABC
S
AC
BC
=
=
=
，
1
1
15
75
5
2
2
4
8
ADE
S
AD DE
=
=
=
△
．
75
117
24
8
8
ABC
ADE
BCED
S
S
S
=
−
=
−
=
四边形
△
△
．
12．（25-26 八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC
中，
8
AC = ，
15
BC =
，
17
=
AB
，D，E 分别是
边AB 和边CB 上的点．把ABC
沿着直线DE 折叠，顶点B 的对应点B刚好落在边AC 的中点上．
(1)试判断ABC
的形状，并说明理由；
(2)求CE 的长度．
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【答案】(1)直角三角形，理由见解析
(2) 209
30 ．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质．
（1）根据勾股定理逆定理证明即可；
（2）根据中点的定义得到
4
B C
=
，设CE
x
=
，根据折叠的性质结合勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：ABC
是直角三角形，理由如下：
∵
2
2
2
8
15
289
17
+
=
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
即ABC
是直角三角形；
（2）解：∵B刚好落在边AC 的中点上，
∴
1
4
2
B C
AC
=
=
，
设CE
x
=
，
∵把ABC
沿着直线DE 折叠，顶点B 的对应点B落在AC 边中点上，
∴
15
BE
B E
BC
CE
x
=
=
−
=
−
，
∴Rt B CE
中，
2
2
2
BC
CE
B E
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
15
x
x
+
=
−
，
解得：
209
30
x =
．
13．（25-26 八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，EF 为折痕，使其对角顶
点A 与点C 重合，点D与点G 重合．若长方形的长BC 为8，宽AB 为4．
(1)求DE 的长；
(2)求
2
EF 的值；
(3)求阴影部分GED
的面积．
【答案】(1)3
(2)20
(3)18
5
【分析】（1）由折叠可知DE
GE
=
，设DE
x
=
，则
8
AE
x
= −
，在Rt AEG
中，根据
2
2
2
AG
GE
AE
+
=
，求
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出DE 的长即可；
（2）过点F 作FH
AD
⊥
于点H ，在Rt ABF
中，由勾股定理求出BF 的长，即可得AH 的长，在Rt EFH
中，由勾股定理即可得出答案；
（3）过点G 作GM
AD
⊥
于点M ，根据三角形面积不变性，1
1
2
2
AG GE
AE GM
=
，求出GM 的长，根据
三角形面积求出结果即可．
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知
识点来分析、判断、推理是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可知DE
GE
=
，
4
AG
DC
AB
=
=
=
．
设DE
x
=
，则
=
GE
x ，
8
AE
x
= −
．
在Rt AEG
中，
2
2
2
AG
GE
AE
+
=
，
∴
2
2
16
(8
)
x
x
+
=
−
，
解得
3
x = ，
∴
3
DE = ．
（2）解：如图，过点F 作FH
AD
⊥
于点H ，则
4
FH =
．
在Rt ABF
中，
∵AF
FC
=
，
∴由勾股定理，得
2
2
2
BF
AF
AB
=
−
，
即
2
2
(8
)
16
BF
BF
=
−
−
，
∴
3
BF
AH
=
= ．
∵
5
AE
AD
DE
=
−
=
，
∴
2
EH
AE
AH
=
-
= ，
∴
2
2
2
2
2
4
2
20
EF
FH
EH
=
+
=
+
=
．
（3）解：如图，过点G 作GM
AD
⊥
于点M ．
在Rt GAE
中，
3
GE = ，
5
AE = ，
4
AG =
．
由1
1
2
2
AG GE
AE GM
=
，
得
12
5
GM =
，
∴
1
18
2
5
GED
S
GM DE
=
=
△
．
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14．（24-25 八年级上·江苏常州·期中）如图，直角三角形AOB中，
6
AO =
，
8
BO =
，M 是OB 的上的一点，
若将ABM
沿AM 折叠，点B 恰好落在AO 所在直线上点B处．
(1)求边AB 的长；
(2)求OM 的长；
(3)在AO 所在直线上找一点P ，使得以点P 、M 、B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出OP 的长．
【答案】(1)10
(2)
3
OM =
(3)
7
8
OP =
或
4
OP =
或
9
OP =
或
1
OP =
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）折叠的性质，得到BM
BM
=
，AB
AB
=
，设OM
x
=
，在Rt B OM
中利用勾股定理，进行求解即可；
（3）分
,
,
PM
PB PM
MB PB
MB
=
=
=
，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：直角三角形AOB中，
6
AO =
，
8
BO =
，
∴
2
2
10
AB
OA
OB
=
+
=
；
（2）∵折叠，
∴
10
AB
AB
=
=
，BM
BM
=
，
∴
4
OB
AB
OA
=
−
=
，
设OM
x
=
，
∴
8
BM
B M
OB OM
x
=
=
−
= −，
在Rt B OM
中，
2
2
2
B M
OM
OB
=
+
，
∴(
)
2
2
2
8
4
x
x
−
=
+
，
解得：
3
x = ；
∴
3
OM = ；
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（3）由（2）可知：
5
BM
B M
OB OM
=
=
−
=
；
当点P 、M 、B为顶点的三角形是等腰三角形时：
①当
5
MP
B M
=
= 时：
则：
4
OP
OB
=
=
；
②当
5
B P
B M
=
= 时：
则：
1
OP
B P OB
=
−
= ，或
9
OP
B P
OB
=
+
=
③当BP
MP
=
时：
设OP
a
=
，则：
4
B P
PM
OB
OP
a
=
=
−
=
−，
在Rt POM
中，由勾股定理，得：(
)
2
2
2
4
3
a
a
−
=
+
，
∴
7
8
a
，
∴
7
8
OP =
；
综上：
7
8
OP =
或
4
OP =
或
9
OP =
或
1
OP = ．
15．（25-26 八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形ABCD中，
10,
6
AB
CD
BC
AD
=
=
=
=
．
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(1)如图①，将长方形ABCD沿EF 翻折，使点A 与点C 重合，点D 落在点D处，求BF 的长；
(2)如图②，将ABD
沿BD翻折，若A B
交CD于点E，求BDE
的面积；
(3)如图③，，P 为AD边上的一点，将ABP
沿BP翻折得到A BP
，A B
，A P
分别交CD边于点E，F，且
DF
AF
=
，求CE 的长．
【答案】(1)16
5
(2)102
5
(3) 40
7
【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由
勾股定理建立方程是解题的关键．
（1）设BF
x
=
，在Rt
BFC
△
中，根据
2
2
2
BF
BC
CF
+
=
，构建方程即可解决问题；
（2）首先证明DE
EB
=
，设CE
y
=
，在Rt BEC
中，利用勾股定理构建方程，求出
16
5
CE =
，再代入数值到
1
2
BDE
S
DE
BC
=
进行计算，即可解决问题；
（3）设PA
PA
m
=
=
，首先证明
E
DFP
AF
≌
，推出
6
DP
A E
m
=
= −
，PF
EF
=
，由DF
FA
=
，推出
DE
PA
m
=
=
，
10
EC
m
=
−
，
4
BE
m
=
+
，在Rt
ECB
△
中，可得
2
2
2
(4
)
6
(10
)
m
m
+
=
+
−
，解方程即可解决问
题；
【详解】（1）解：根据折叠的性质，得AF
CF
=
．
∵四边形ABCD是长方形，
∴
90
B
=
．
设BF
x
=
，
则
10
AF
CF
AB
BF
x
=
=
−
=
−
，
在Rt BFC
中，
2
2
2
BF
BC
FC
+
=
，
∴
2
2
2
6
(10
)
x
x
+
=
−
，
解得
16
5
x =
，
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∴
16
5
BF =
．
（2）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴
90
A
C
=
=
．
根据折叠的性质，得
90 ,
A
A
AD
A D
=
=
=
．
又∵BC
AD
=
，
∴
,
A D
CB
A
C
=
=
．
∵A B
交CD于点E ，
∴
A ED
CEB
=
，
∴
(
)
AAS
A ED
CEB
≌
，
∴ED
EB
=
．
设CE
y
=
，
则
10
ED
EB
DC
CE
y
=
=
−
=
−
．
在Rt BCE
中，
2
2
2
CE
BC
BE
+
=
，
∴
2
2
2
6
(10
)
y
y
+
=
−
，
解得
16
5
y =
，
∴
16
5
CE =
．
∴
16
34
10
5
5
DE =
−
=
，
∴
1
1
34
102
6
2
2
5
5
BDE
S
DE
BC
=
=
=
．
（3）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴
90
A
D
=
=
．
由折叠的性质，
得
90 ,
,
10
A
A
AP
A P AB
A B
=
=
=
=
=
，
∴
90
D
A
=
=
．
又∵
,
DF
A F
DFP
A FE
=
=
，
∴
(
)
ASA
DFP
A FE
≌
，
∴
,
DP
A E PF
EF
=
=
，
∴DE
PA
=
．
又∵
6
AD
BC
=
=
，
设PA
m
=
，
则
6
,
DP
A E
AD
PA
m DE
PA
m
=
=
−
=
=
−
=
，
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∴
(
)
10
,
10
6
4
EC
m BE
m
m
=
−
=
−
−
=
+
．
在Rt ECB
中，
2
2
2
(4
)
6
(10
)
m
m
+
=
+
−
，
解得
30
7
m =
，
∴
30
40
10
7
7
CE =
−
=
．
