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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 利用勾股定理求最短路径问题 常考题型·精准突破 题型1 圆柱中的最短路径模型（高频） 题型2 长方体中的最短路径模型（难） 题型3 阶梯中的最短路径模型 题型4 将军饮马与最短路径模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 圆柱中的最短路径模型 1．5 2．13 3． 【答案】解：圆柱①的侧面沿AB 剪开，展开图如图②所示． 在ABC 中， 90 C = ， 12 AC = cm， 16 BC = cm，则运用“勾股定理”可求 ( ) 2 2 12 16 20 cm AB = + = ． 由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段AB 的长，即绳长至少为20cm． ◆题型2 长方体中的最短路径模型 4．74 5． 【答案】（1）解：将长方体表面展开， 如图1，连接AG ， 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在Rt AFG 中， 90 AFG = ， ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 5 4 11 137 S AG GF AE EF = = + + = + + = + = 甲 ， 如图2 ，连接AG ， 在Rt ABG 中， 90 ABG = ， ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 5 6 4 5 10 125 S AG AB BF FG = = + + = + + = + = 乙 ， 如图3，连接AG ， 在Rt ACG 中， 90 ACG = ， ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 6 9 6 117 S AG AB BC CG = = + + = + + = + = 丙 ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是137 ，125，117 ； （2）解：137 125 117 ，即 2 2 2 S S S 甲 乙 丙， S S S 甲 乙 丙， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 6． 【答案】解：（1）展开后A、B 、C 构成直角三角形，两直角边分别为9cm和12cm． 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据勾股定理，最短路径为： 2 2 9 12 81 144 225 15cm + = + = = （2）底面是正方形，周长为3 4 12cm = ，垂直方向为直四棱柱的高10cm，绕一周高为 ( ) 10 2 5 cm = ， 根据勾股定理， 2 2 12 5 144 25 169 13cm + = + = = ， 绕两周彩条最短长度为：13 2 26cm = ； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为4 6 24cm = ，绕一周垂直长度为7cm ； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： 2 2 24 7 576 49 625 25cm + = + = = （4）底面是半圆长加一个半径， 3 2 2 8 r r + = + = ，高为6cm ， 根据勾股定理，爬行最短长度为 2 2 m 8 0 6 1 0 0 1 c + = = ． ◆题型3 阶梯中的最短路径模型 7．13 8．20 9． 【答案】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是 2 AB+ 个正方形的宽， 长为7 2 1 9 + = 米；宽为4 米． ∴最短路径为： 2 2 9 4 97 + = （米）． ◆题型4 将军饮马与最短路径模型 10．17 11．15km 12． 【答案】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上， 3, 4 , , 2 AC BC x BF x DF = = − = = ，则 ( ) 2 2 2 2 4 3 , 2 AB x BD x = − + = + ， 4 4 CF x x = −+ = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2 4 3 x x BD AB AD + + − + = + ， ∴当 , , A B D 三点共线时， ( ) 2 2 2 2 2 4 3 x x AD + + − + = 最小， 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 作DH AC ⊥ ，则 4, 2 DH CF CH DF = = = = ， ∴ 5 AH AC CH = + = ， ∴ 2 2 4 5 41 AD = + = ， ∴代数式 ( ) 2 2 2 2 2 4 3 x x + + − + 的最小值为 41 ； （2）解：由题意，AP PQ QB + + 为总路程， ∵ 8km PQ = ， ∴要求AP PQ QB + + 的最小值，只需求得AP QB + 的最小值． 如图1，将点A 向上平移8km 得到 1A ，连接 1AQ ， 1A B ，则 1AQ AP = ， ∴ 1 1 AP QB AQ QB A B + = + ， ∴当 1, , A Q B 三点共线时，此时 1AQ BQ + 的最小值为 1A B ． 过点B 作射线垂直河岸，过点A 向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得 1 15km A D = ， 8km BD = ， ∴ 1AQ BQ + 的最小值为 1 17km A B = ， ∴最短路程为17 8 25km + = ． （3）如图2，构造ABC ，CD AB ⊥ ，垂足为D， 9, 12 AC BC = = ． 设CD x = ，则 2 2 81 , 144 AD x BD x = − = − ， ∴ 2 2 81 144 15 AB x x = − + − = ． ∵ 2 2 2 9 12 15 + = ， 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 90 ACB = ， ∴1 1 9 12 15 2 2 x = ，解得 7.2 x = ， ∴x 的值为7.2． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．A 3．B 4．D 5．A 二、填空题 6．13 7．25 8．17 9．1000m/1000 米 10．25 三、解答题 11． 【答案】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2 个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2 个小长方形的对角线 的和， ∵底面周长约为6 米，柱身高约16 米， 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 6 AB = ， 1 1 16 8 2 2 AE AD = = = ， 在Rt BAE 中 2 2 2 2 6 8 10 BE AB AE = + = + = ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为10 2 20 = 米． 12． 【答案】（1）解：如图所示： 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的 1 AC 和 1 AC （2）解：∵ 1 4 5 AB BC CC = = = ， ∴ 2 2 2 2 2 1 1 8 5 89 AC AC CC = + = + = 2 2 2 2 2 1 1 4 9 97 AC AB BC = + = + = ∵89 97 ∴蚂蚁爬过的最短路径长的平方为89 13． 【答案】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A 处为顶部扶手，E 处为底部扶手，如下， 将平台BC 平移至EF 线段上，再向右平移使点C 与点E 重合，此时旋梯的扶手长度l 最小，如下图， 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵油罐底面圆直径约为50 m 3 ， ∴ 1 1 50 π 3 25m 2 2 3 AD EF d = = = ， ∵ 1m = BE ， ∴ 25 1 24m BF = −= ， ∴旋梯的扶手长度l AB BE = + 2 2 AF BF BE = + + 2 2 18 24 1 = + + 31m = ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A 处为顶部扶手，E 处为底部扶手，如下， 将平台BC 平移至EF 线段上，再向右平移使点C 与点E 重合，此时旋梯的扶手长度l 最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为50 m 3 ， ∴ 1 1 50 π 3 25m 2 2 3 AD EF d = = = ， ∵ 1m = BE ， ∴ 25 1 24m BF = −= ， ∴旋梯的扶手长度l AB BE = + 2 2 AF BF BE = + + 2 2 18 24 1 = + + 31m = ． 14． 【答案】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2 3) 3dm + ， 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为dm x ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 20 [(2 3) 3] 25 = + + = x ， 解得： 25 x = ． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是25dm． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得： 1 48 24(cm) 2 AC = = ， 7cm BC = ， 2 2 24 7 25(cm) AB = + = ， 该蚂蚁爬行的最短路程25 厘米； （3）如图，将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ， 连接AC ，AC 即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程， 3cm EF AG = = ， (14 5)cm 9cm CF FB = = − = ， 1 32cm 16cm 2 AE = = ， 12cm CE EF CF = + = ， 根据勾股定理有： 2 2 2 2 12 16 20(cm) AC AE CE = + = + = ， 蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程为20cm ． 15． 【答案】（1）解：CD x = ，则 8 BC BD CD x = − = − ， ∵AB BD ⊥ ， ∴由勾股定理得： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 5 8 25 AC BC AB x x = + = − + = − + ， 2 2 2 2 2 + +1 +1 CE CD DE x x = = = ， 故答案为： 2 (8 ) 25 x − + ； 2 1 x + ； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，AC CE + 的值最小，即为AE ，如图： 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 过点E 作EH AB ⊥ 交AB 的延长线于点H ， ∵AB BD ⊥ ， ∴BD EH ∥ ， ∵ , BH HE ED BD ⊥ ⊥ ， ∴ 1 BH DE = = ，同理 8 BD EH = = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 5 1 8 10 AE AH HE = + = + + = ， ∴AC CE + 的最小值为10； （3）解：如图所示，作线段 12 BD = ，C 为线段BD上一动点，过点B 作AB BD ⊥ ，过点D 作ED BD ⊥ ， 使 2 AB = ， 3 ED = ， 设BC x = ，则 12 CD BD BC x = − = − ， ∴由勾股定理得： 2 2 2 4 AC AB BC x = + = + ， ( ) 2 2 2 12 9 CE DE CD x = + = − + ， ∴ ( ) 2 2 4 12 9 AC CE x x + = + + − + ， ∴当点 , , A C E 共线时，AC CE + 取得最小值即 ( ) 2 2 4 12 9 x x + + − + ，即为AE 的长， 过点A作AF ED ⊥ 交ED的延长线于点F ， 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则同上可得 2 AB DF = = ， 12 AF BD = = ， 3 2 5 EF ED DF = + = + = ， 2 2 2 2 12 5 13 AE AF EF = + = + = ， 即 2 2 4 (12 ) 9 x x + + − + 的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点A表示的数为4 ，点O表示的数为0 ，点D 表示的数为x ，过点A 作AB OA ⊥ ， 且 3 AB = ，过点O作OC OA ⊥ ，且 2 OC = ， ∴ 4, 4 AO AD x = = − ，OD x = ， 过点C 作CE AB ⊥ 于点E ，则同上可得 2, 4 OC AE AO CE = = = = ， ∴ 1 BE AB AE = − = ， ∴由勾股定理得， ( ) 2 2 2 4 9 BD AB AD x = + = − + ， 2 2 2 2 4 1 17 BC CE BE = + = + = ， 2 2 2 4 CD CO DO x = + = + ， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴BC BD CD − ， ∴( ) 2 2 4 9 4 17 x x − + − + ∴当点, , B C D 共线时，BC 的长即为代数式( ) 2 2 4 9 4 x x − + − + 的最大值， ∴( ) 2 2 4 9 4 x x − + − + 的最大值为17 ．
