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专题04 与勾股定理相关的两个模型
（题型突破·举一反三）
▌题型01 勾股树模型
【典例1】
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出𝑥2 =
32 + 42 = 25，𝑦2 = 22 + 32 = 13，𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 38，即最大正方形的面积为𝑧2．
【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E 的边长为z，
由勾股定理得：𝑥2 = 32 + 42 = 25，𝑦2 = 22 + 32 = 13，
∴𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 38．
故最大正方形E 的面积是𝑧2 = 38．
故选：D．
【变式1-1】
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，利用直角三角形的边长与正方形的面积的关系，结合勾股定
理计算判断即可．
【详解】如图，设面积分别𝑆1，𝑆2…𝑆7的正方形的边长分别为𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑥5,𝑥6, 𝑥7，
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则𝑆1 = 𝑥1
2,𝑆2 = 𝑥2
2,𝑆3 = 𝑥3
2,𝑆4 = 𝑥4
2,𝑆5 = 𝑥5
2 𝑆6 = 𝑥6
2,𝑆7 = 𝑥7
2，
根据题意，得𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑥5
2，
∴𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆5，
故A 正确；
同理可证，𝑆3 + 𝑆4 = 𝑆6，𝑆6 + 𝑆5 = 𝑆7，
∴𝑆3 + 𝑆4 + 𝑆5 = 𝑆7，𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 = 𝑆7，
故B，D 正确；
无法证明𝑥5 = 𝑥6，
故𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆3 + 𝑆4不一定成立，符合题意，
故选C．
【变式1-2】
【答案】B
【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是𝐴𝐶2，即可得到答
案．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐶，
根据勾股定理，得𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2，𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2，
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∴𝐴𝐶2＝𝑆1 + 𝑆4，𝐴𝐶2＝𝑆2 + 𝑆3，
∴ 𝑆1 + 𝑆4 = 𝑆2 + 𝑆3，
∴ 𝑆1 −𝑆2 = 𝑆3 −𝑆4
故选：B．
【变式1-3】
【答案】B
【分析】连接𝐴𝐶，根据勾股定理可得𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2，从而得到𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆3 + 𝑆4，即可求
解．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐶，
解：由题意可知：𝑆1 = 𝐴𝐵2,𝑆2 = 𝐵𝐶2,𝑆3 = 𝐶𝐷2, 𝑆4 = 𝐴𝐷2，
在直角三角形𝐴𝐵𝐶和𝐴𝐶𝐷中，
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2，
即𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆3 + 𝑆4，
∵𝑆1 = 2, 𝑆2 = 8, 𝑆4 = 3
∴𝑆3 = 𝑆1 + 𝑆2 −𝑆4 = 7
故选B．
【变式1-4】
【答案】C
【分析】根据勾股定理得到
1S ，
2
S ，
3
S 之间的关系，结合题目中的条件得解
【详解】
Rt
ABC
△
是以AC 为斜边的直角三角形，
2
2
2
AC
AB
BC
−
=
，
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3
1
2
S
S
S
−
=
，
3
2
1
48
S
S
S
+
−
=
，
2
24
S
=
，
∴阴影部分的面积为
2
1
12
2 S =
，
故选：C．
【变式1-5】
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用、圆的面积等知识，由勾股定理表示出三边的关系，表示出三个半圆的
面积即可得出答案，熟练运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设直角三角形的三边分别为𝑎, 𝑏, 𝑐，则三个半圆的半径分别为𝑎
2 , 𝑏
2 , 𝑐
2
由勾股定理得：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2即
(𝑎
2)
2
+ (𝑏
2)
2
= (𝑐
2)
2
∴1
2 𝜋(𝑎
2)
2
+ 1
2 𝜋(𝑏
2)
2
= 1
2 𝜋(𝑐
2)
2
∴𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆3
故选：C．
【变式1-6】
【答案】2027
【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”
了2026 次后形成的图形中所有的正方形的面积和．
【详解】解：如图，
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由题意得：
1
A
S = ，
由勾股定理得：
1
B
C
A
S
S
S
+
=
= ，
则“生长”了1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：“生长”了2 次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3 次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2026 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2027．
故答案为：2027．
【变式1-7】
【答案】4
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性
质得到∠𝐴𝐵𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐷𝐵，，再根据等角的余角相等得到∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐸，则可根据“AAS”判断△𝐴𝐵𝐶≌
△𝐵𝐷𝐸，于是有𝐴𝐶= 𝐵𝐸，然后利用勾股定理得到𝐷𝐸2 + 𝐵𝐸2 = 𝐵𝐷2，代换后有𝐷𝐸2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐷2，根据正
方形的面积公式得到𝑆1 = 𝐴𝐶2，𝑆2 = 𝐷𝐸2，𝐵𝐷2 = 1，所以𝑆1 + 𝑆2 = 1，利用同样方法可得到𝑆3 + 𝑆4 = 3，
通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积．
【详解】如图，
∵四边形为正方形，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐷𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐵𝐸= 90°，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐷𝐸中，
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{
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐸𝐷
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐸𝐵𝐷
𝐴𝐵= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐸(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐸，
∵𝐷𝐸2 + 𝐵𝐸2 = 𝐵𝐷2，
∴𝐷𝐸2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐷2，
∵𝑆1 = 𝐴𝐶2，𝑆2 = 𝐷𝐸2，𝐵𝐷2 = 1，
∴𝑆1 + 𝑆2 = 1，
同理可得𝑆3 + 𝑆4 = 3，
∴𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 = 1 + 3 = 4，
故答案为：4．
【变式1-8】
【答案】 2 1 (1
2)
2023
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面
积的变化找出变化规律“𝑆𝑛= 4 × (1
2)
𝑛−1是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形
的面积公式可得出部分𝑆1、𝑆2、𝑆3、𝑆4的值，根据面积的变化即可找出变化规律“𝑆𝑛= 4 × (1
2)
𝑛−1，依此规律
即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
∵△𝐶𝐷𝐸是等腰直角三角形，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐸，∠𝐶𝐸𝐷= 90°，
∴𝐶𝐷2 = 𝐷𝐸2 + 𝐶𝐸2 = 2𝐷𝐸2，
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∴𝐷𝐸= √2
2 𝐶𝐷，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的√2
2 倍，
∴𝑆1 = 22 = 4 = 4 × (
1
2)0，
𝑆2 = (2 × √2
2 )
2
= 2 = 4 × (1
2)
1，
𝑆3 = (√2 × √2
2 )
2
= 1 = 4 × (1
2)
2，
𝑆4 = (1 × √2
2 )
2
= 1
2 = 4 × (1
2)
3，
…，
∴𝑆𝑛= 4 × (
1
2)𝑛−1，
∴𝑆2026 = 4 × (
1
2)2025 = (
1
2)2023．
故答案为：2，1，(1
2)
2023．
【变式1-9】
【答案】55
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得𝑎2 = 64，𝑒2 = 9，𝑆1 = 𝑎2 + 𝑏2，𝑆2 = 𝑏2 + 𝑐2，𝑆3 = 𝑐2 + 𝑑2，
𝑆4 = 𝑑2 + 𝑒2，然后整体代入待求式子即可算出答案.
【详解】解：进行如下图所示标注，
由题意得𝑎2 = 64，𝑒2 = 9，𝑆1 = 𝑎2 + 𝑏2，𝑆2 = 𝑏2 + 𝑐2，𝑆3 = 𝑐2 + 𝑑2，𝑆4 = 𝑑2 + 𝑒2，
∴𝑆1 −𝑆2 + 𝑆3 −𝑆4
= 𝑎2 + 𝑏2 −(𝑏2 + 𝑐2) + (𝑐2 + 𝑑2) −(𝑑2 + 𝑒2)
= 𝑎2 −𝑒2
= 64 −9 = 55，
故答案为：55．
【变式1-10】
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【答案】A
【分析】过点F 作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，
△ABC≌△EBN 可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得.
【详解】解：过点F 作FD⊥AM，连接FP，如图，
∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD，
∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL），
∴ S2=S△ABC，
∵ Rt△TAC≌Rt△KFD，
∴ AT=FK，
∴ AF-AT=FE-FK，
∴ FT=EK，
∴ △FPT≌△EMK（AAS），
∴ S1+S3=S△ABC，
∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN，
∴ △ABC≌△EBN（AAS），
∴ S4=S△ABC，
∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3×1
2×AC×BC=3×1
2×12=18.
故答案为：A.
【变式1-11】
【答案】D
【分析】延长AB 交KL 于P，延长AC 交LM 于Q，可得∆ABC、∆PFB、∆QCG 全等，根据全等三角形对
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应边相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP 和DQ 的长，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解。
【详解】解：如图，延长AB 交KL 于P，延长AC 交LM 于Q，
则△ABC≌△PFB≌△QCG，
∴PB=AC=8，CQ=AB=6，
∵图2 是由图1 放入矩形内得到，
∴IP=8+6+8=22，
DQ=6+8+6=20，
∴矩形KLMJ 的面积=22×20=440．
故答案为：D．
【变式1-12】
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于较难题型.根据题意可证得：△𝐴𝐶𝐵≅
△𝑀𝐶𝐺(𝑆𝐴𝑆),可得：𝐴𝐵= 𝑀𝐺，即可判定①；过点F 作𝐹𝑂⊥𝑁𝐴交NA 延长NA 延长线于点O，证明得到：
△𝐴𝐹𝑂≅△𝐴𝐵𝐶(𝐴𝐴𝑆),得到：𝑂𝐹= 𝐵𝐶，然后利用三角形的面积公式进行求解即可判定②；过点A 作𝐴𝑃⊥𝐵𝐽
交BJ 的延长线于点P，过点C 作𝐶𝑄⊥𝐵𝐽，证得：△𝐴𝐵𝑃≅△𝐵𝐸𝐼（𝐴𝐴𝑆），得到：𝐴𝑃= 𝐵𝐼，同理得到：
CQ=BI，进而得到：CQ=AP，同理可证得：AJ=CJ，进而即可判定③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，
然后利用勾股定理得到：
𝐸𝐻2 = 𝐴𝐶2 + 4𝐵𝐶2,同理可证得：𝑁𝐹2 = 4𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2,然后再进行判定即可求解④.
【详解】解：∵在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH
和正方形ACMN，∴𝐴𝐶= 𝑀𝐶, 𝐵𝐶= 𝐺𝐶, ∠𝑀𝐶𝐴= ∠𝐺𝐶𝐵= 90°, ∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°,
∴∠𝑀𝐶𝐺= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，△𝐴𝐶𝐵≅△𝑀𝐶𝐺(𝑆𝐴𝑆),∴𝐴𝐵= 𝑀𝐺，故①正确；如图所示：过点F 作𝐹𝑂⊥𝑁𝐴交
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NA 延长NA 延长线于点O，∵∠𝐹𝐴𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝑂= 90°,
∴∠𝐹𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝐵,故在△𝐴𝐹𝑂和△𝐴𝐵𝐶中：
{
∠𝑂= ∠𝐶𝐴𝐵= 90°
∠𝐹𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝐵
𝐴𝐹= 𝐴𝐵
, ∴△𝐴𝐹𝑂≅△𝐴𝐵𝐶(𝐴𝐴𝑆), ∴𝑂𝐹= 𝐵𝐶，∵𝐴𝑁=
𝐴𝐶, 𝑆△𝐴𝑁𝐵=
1
2 𝐴𝑁× 𝑂𝐹, 𝑆△𝐴𝐶𝐵=
1
2 𝐴𝐶× 𝐵𝐶
∴𝑆△𝐴𝑁𝐵= 𝑆△𝐴𝐹𝑁,故②正确；如图所示：过点A 作𝐴𝑃⊥𝐵𝐽交BJ 的延长线于点P，过点C 作𝐶𝑄⊥𝐵𝐽
∵∠𝐴𝐵𝑃+ ∠𝐵𝐸𝐼= 90°, ∠𝐸𝐵𝐼+ 𝐵𝐸𝐼= 90°, ∴∠𝐴𝐵𝑃= 𝐵𝐸𝐼,在△𝐴𝐵𝑃和△𝐵𝐸𝐼中：{
∠𝑃= ∠𝐵𝐼𝐸= 90°
∠𝑃= ∠𝐵𝐼𝐸
𝐴𝐵= 𝐵𝐸
, ∴△
𝐴𝐵𝑃≅△𝐵𝐸𝐼（𝐴𝐴𝑆），故𝐴𝑃= 𝐵𝐼，同理可证得：△𝐵𝐶𝑄≅△𝐻𝐵𝐼（𝐴𝐴𝑆），∴𝐶𝑄= 𝐵𝐼, ∴𝐶𝑄= 𝐴𝑃,又在△
𝐴𝐽𝑃和△𝐶𝐽𝑄中
{
∠𝑃= ∠𝐶𝑄𝐽
∠𝐴𝐽𝑃= ∠𝐶𝐽𝑄
𝐶𝑄= 𝐴𝑃
, ∴△𝐴𝐽𝑃≅△𝐶𝐽𝑄(𝐴𝐴𝑆),∴𝐴𝐽= 𝐶𝐽，故③正确；∵△𝐴𝐵𝑃≅△𝐵𝐸𝐼（𝐴𝐴𝑆），∴
𝐵𝑃= 𝐸𝐼,又∵△𝐵𝐶𝑄≅△𝐻𝐵𝐼（𝐴𝐴𝑆），∴𝐵𝑄= 𝐻𝐼, ∵△𝐴𝐽𝑃≅△𝐶𝐽𝐴（𝐴𝐴𝑆），∴𝑃𝐽= 𝑄𝐽, ∵𝐸𝐻= 𝐸𝐼+
𝐻𝐼= 𝑃𝐵+ 𝐵𝑄= 𝑃𝐽+ 𝑄𝐽+ 𝐵𝑄+ 𝐵𝑄= 2𝐵𝐽, ∵𝐴𝐽= 𝐶𝐽, ∴𝐵𝐽2 = 𝐶𝐽2 + 𝐵𝐶2 =
1
4 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2,∴𝐸𝐻2 = (2𝐵𝐽)2 =
4𝐵𝐽2 = 4 (
1
4 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2)
= 𝐴𝐶2 + 4𝐵𝐶2，同理可证得：𝑁𝐹2 = 4𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2,
∴𝐸𝐻2 + 𝑁𝐹2 = 𝐴𝐶2 + 4𝐵𝐶2 + 4𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 5(𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2) = 5𝐴𝐵2 = 5 × 22 = 20,故④正确，综上所述，正
确的结论个数为4 个.
故答案为：D.
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【变式1-13】
【答案】(1)
2
49cm
(2)正方形A，B ，C ，D 的面积分别为：3969
625
2
cm ，7056
625
2
cm ，12544
625
2
cm ，7056
625
2
cm
【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理，列方程解答即可．
【详解】（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为E ，F ，G
由勾股定理可得：E 正方形的面积
A
=
正方形的面积
B
+ 正方形的面积，F 正方形的面积
C
=
正方形的面积D
+
正方形的面积；G 正方形的面积
E
=
正方形的面积F
+
正方形的面积，
A
，B ，C ，D 四个正方形的面积之和
G
=
正方形的面积
2
49cm
=
，
答：A，B ，C ，D四个正方形的面积之和为
2
49cm ；
（2）解：每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3:5，
设中间的直角三角形的较短的直角边为3x cm，斜边为5x cm，由题意得：5
7
x =
，解得
7
5
x =
，
较短的直角边为21
5 cm，另一直角边为28
5 cm，
设A的边长为3y cm，B 的边长为4 y cm，则
2
2
2
21
(3 )
(4 )
(
)
5
y
y
+
=
，解得：
21
25
y =
，
A
的面积是：
2
2
63
3969
(3 )
(
)
25
625
y
=
=
2
cm ；B 的面积是：
2
2
84
7056
(4 )
(
)
25
625
y
=
=
2
cm ，
同理：
设D 的边长为3z cm，C 的边长为4z cm，则
2
2
2
28
(3 )
(4 )
(
)
5
z
z
+
=
，解得：
28
25
z =
，
C
的面积是；
2
2
112
12544
(4 )
(
)
25
625
z
=
=
2
cm ；D 的面积是：
2
2
84
7056
(3 )
(
)
25
625
z
=
=
2
cm ，
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答：正方形A，B ，C ，D 的面积分别为：3969
625
2
cm ，7056
625
2
cm ，12544
625
2
cm ，7056
625
2
cm ．
▌题型02 弦图模型
【典例2】
【答案】B
【分析】“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【详解】解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证
故选：B
【变式2-1】
【答案】C
【分析】勾股定理是直角三角形三边的数量关系，弦图是包含直角三角形和正方形的一个图形
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想．
故选：C．
【变式2-2】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面
积法证明勾股定理即可解决问题．
【详解】解：A、中间小正方形的面积
(
)
2
2
1
4
2
c
a
b
ab
=
+
−
；化简得
2
2
2
c
a
b
=
+
，可以证明勾股定理，本选
项不符合题意．
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、利用A 中结论，本选项不符合题意．
D、中间小正方形的面积(
)
2
2
1
4
2
b
a
c
ab
−
=
−
；化简得
2
2
2
a
b
c
+
=
，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
故选：B．
【变式2-3】
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关知识是解题的关键．
先求出小三角形的面积，然后根据勾股定理分析即可．
【详解】解：因为大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，
所以一个小三角形的面积是1
4 × (52 −4) = 12，三角形的斜边为√52 = 2√13，
所以1
2 𝑎𝑏= 12，𝑎2 + 𝑏2 = 52，
所以(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 100，
所以𝑎+ 𝑏= 10．
故选：C．
【变式2-4】
【答案】B
【分析】此题主要考查了运用勾股定理解决问题，根据已知得出用𝑥，𝑦表示出𝑆1，𝑆2，𝑆3，再利用𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 =
12求出是解决问题的关键．根据图形的特征得出四边形𝑀𝑁𝐾𝑇的面积设为𝑥，将其余八个全等的三角形面积
一个设为𝑦，从而用𝑥，𝑦表示出𝑆1，𝑆2，𝑆3，得出答案即可．
【详解】解：将四边形𝑀𝑇𝐾𝑁的面积设为𝑥，将其余八个全等的三角形面积一个设为𝑦，
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻，正方形𝑀𝑁𝐾𝑇的面积分别为𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 12，
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∴得出𝑆1 = 8𝑦+ 𝑥，𝑆2 = 4𝑦+ 𝑥，𝑆3 = 𝑥，
∴𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 3𝑥+ 12𝑦= 12，故3𝑥+ 12𝑦= 12，
𝑥+ 4𝑦= 4，
所以𝑆2 = 𝑥+ 4𝑦= 4，
故选：B
【变式2-5】
【答案】（1）a
b
+
，c ；（2） (
)
2
a
b
+
，
2
1
4
2
c
ab
+
；（3）(
)
2
2
1
4
2
a
b
c
ab
+
=
+
，
2
2
2
c
a
b
=
+
【分析】本题考查图形验证勾股定理，数形结合找准面积关系是解决问题的关键．
由图2 可得大正方形的边长、小正方形的边长，再结合正方形及三角形面积公式即可用两种方式表示出大正
方形面积，列出等式后整理即可得到勾股定理．
【详解】解：如图所示：
图2 中大正方形的边长是a
b
+
，里面小正方形的边长为c ；
大正方形面积可以表示为(
)
2
a
b
+
，也可以表示为
2
1
4
2
c
ab
+
；
对比这两种表示方法，可得出(
)
2
2
1
4
2
a
b
c
ab
+
=
+
，
则
2
2
2
2
2
a
ab
b
c
ab
+
+
=
+
，
整理得
2
2
2
c
a
b
=
+
，
故答案为：a
b
+
，c ，(
)
2
a
b
+
，
2
1
4
2
c
ab
+
，(
)
2
2
1
4
2
a
b
c
ab
+
=
+
，
2
2
2
c
a
b
=
+
．
【变式2-6】
【答案】 𝑐2 2𝑎𝑏 𝑎= 𝑏
【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式与几何图形面积的计算，掌握乘法公式的变形运算是解题的关键．
（1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解；
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（2）根据图示，可得𝑆
正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= (𝑎+ 𝑏)2，𝑆
正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= 𝑐2，由此可得(𝑎+ 𝑏)2 = 2𝑐2，根据直角三角形
的性质，乘法公式的变形可得2(𝑎+ 𝑏)2 −4𝑎𝑏= (𝑎+ 𝑏)2，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
（1）𝑆
正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆
正方形𝐸𝐹𝐺𝐻+ 4𝑆△𝐴𝐸𝐹，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑐2 + 4 × 1
2 × 𝑎𝑏= 𝑐2 + 2𝑎𝑏，
故答案为：𝑐2，2𝑎𝑏；
（2）∵𝑆
正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= (𝑎+ 𝑏)2，𝑆
正方形𝐸𝐹𝐺𝐻= 𝑐2，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = 2𝑐2，
由（1）可知，(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏，
∴2(𝑎+ 𝑏)2 = 2𝑐2 + 4𝑎𝑏，
∴2(𝑎+ 𝑏)2 −4𝑎𝑏= 2𝑐2，
∴2(𝑎+ 𝑏)2 −4𝑎𝑏= (𝑎+ 𝑏)2，
(𝑎+ 𝑏)2 −4𝑎𝑏= 0，
∴𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 −4𝑎𝑏= 0，
∴𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2 = 0，即(𝑎−𝑏)2 = 0，
∴𝑎= 𝑏；
故答案为：①𝑐2；②2𝑎𝑏；③𝑎= 𝑏 ．
【变式2-7】
【答案】5
【分析】过点𝐷作𝑀𝑁⊥𝑙1构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方
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程求解即可．
【详解】解：过点𝐷作𝑀𝑁⊥𝑙1交𝑙1于点𝑀，交𝑙4于点𝑁，
∵𝑙1∥𝑙2∥𝑙3∥𝑙4，𝑀𝑁⊥𝑙1
∴𝑀𝑁⊥𝑙4
在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，
𝐴𝐷= 𝐶𝐷, ∠𝐴𝐷𝐶= 90°
∴∠𝐴𝐷𝑀+ ∠𝐶𝐷𝑁= 90°
∵∠𝐷𝐴𝑀+ ∠𝐴𝐷𝑀= 90°
∴∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐶𝐷𝑁
又∵∠𝐴𝑀𝐷= ∠𝐷𝑁𝐶= 90°
∴△𝐴𝐷𝑀≌△𝐷𝐶𝑁
∴𝐴𝑀= 𝐷𝑁= ℎ，𝐷𝑀= 2ℎ
∴𝐴𝐷2 = 𝐴𝑀2 + 𝐷𝑀2 = ℎ2 + (2ℎ)2 = 5ℎ2
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为25，
∴𝐴𝐷2 = 5ℎ2 = 25
∴ℎ2 = 5
故答案为：5
【变式2-8】
【答案】B
【分析】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；“赵爽弦图”模型
【详解】解：设AC 于BF 相交于点Q，如图所示：
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由题意得：△AEB≌△BFC≌△CGD≌△DHA，
∴AE=BF=CG=DH，BE=CF=DG=AH，∠CGD=90°=∠CGH，
∴AE－AH=BF－BE=CG－CF=DH－DG，即HE=EF=GF=HG，
∴四边形GHEF 是正方形，
∴AE//CG，DH//BF，
∴∠EAQ=∠CGP
∴△EAQ=△CGP（ASA），
∴GP=EQ.
∵DH//BF，AH=HE，
∴HP 为中位线，
∴GP=EQ=2HP.
∴𝐺𝑃=
2
3 𝐻𝐺.
∵AH=HE，设𝐴𝐻= 𝑎，
∴𝐴𝐻= 𝐻𝐸= 𝐺𝐹= 𝐶𝐹= 𝐻𝐺= 𝐵𝐸= 𝑎，AE=BF=CG=DH=2a.
∴𝑆△𝐶𝐺𝑃= 1
2 𝐶𝐺· 𝐺𝑃= 1
2 · 2𝑎· 2
3 𝑎= 2
3 𝑎2 = 4，
∴解得：𝑎2 = 6，
∴在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐵中，由勾股定理得，𝐴𝐵2 = 𝐴𝐸2 + 𝐵𝐸2 = (2𝑎)2 + 𝑎2 = 5𝑎2 = 5 × 6 = 30，
∴正方形的面积为30，
故答案为：B．
【变式2-9】
【答案】C
【分析】先证明△𝐴𝐸𝑃≌△𝐶𝐺𝑄(𝐴𝑆𝐴)，得到𝐸𝑃= 𝐺𝑄，𝑆△𝐴𝐸𝑃= 𝑆△𝐶𝐺𝑄，再设𝐴𝐸= 𝑥
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，𝐵𝐸= 3𝑥，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：𝑥2 + 9𝑥2 = 80，解得𝑥2 = 8，再根据割补法可得：
阴影部分的面积之和为梯形𝐺𝑄𝑃𝐹的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
【详解】解：由题意：∠𝐴𝐸𝑃= ∠𝐶𝐺𝑄= 90°，𝐴𝐸= 𝐶𝐺
∴𝐴𝐸∥𝐶𝐹
∴∠𝐸𝐴𝑃= ∠𝐺𝐶𝑄，
∴△𝐴𝐸𝑃≌△𝐶𝐺𝑄(𝐴𝑆𝐴)
∴𝐸𝑃= 𝐺𝑄，𝑆△𝐴𝐸𝑃= 𝑆△𝐶𝐺𝑄
∵𝐵𝐸: 𝐴𝐸= 3: 1
∴设𝐴𝐸= 𝐶𝐺= 𝐵𝐹= 𝑥，𝐵𝐸= 𝐶𝐹= 3𝑥
∴𝐸𝐹= 𝐺𝐹= 𝐶𝐹−𝐶𝐺= 2𝑥
∴FG∶CG=2∶1
∴𝑆△𝐹𝐺𝑄= 2𝑆△𝐶𝐺𝑄= 𝑆△𝐴𝐸𝑃+ 𝑆△𝐶𝐺𝑄
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为80
∴𝐴𝐸2 + 𝐵𝐸2 = 𝐴𝐵2
∴𝑥2 + 9𝑥2 = 80，解得𝑥2 = 8
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF 的面积
∴阴影部分的面积之和为
𝑆
梯形𝐺𝑄𝑃𝐹= 1
2 (𝐺𝑄+ 𝑃𝐹) ⋅𝐺𝐹
= 1
2 (𝐸𝑃+ 𝑃𝐹) ⋅𝐺𝐹
= 1
2 𝐸𝐹⋅𝐺𝐹
= 1
2 × (2𝑥)2
= 2𝑥2
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【变式2-10】
【答案】A
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【分析】根据直角三角形的勾股定理和正方形的面积公式，然后再根据“ 图1 中大正方形的面积为24，小
正方形的面积为4 ”，建立方程：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 = 24和4 = (𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 −2𝑎𝑏，从而得到ab 的值，大正
方形的面积等于4 个底为a，高为b 加上1 个边长为c 的正方形，代入数据即可求解
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，
∵图1 中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为24，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 = 24，
∵小正方形的面积为4，
∴4 = (𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 −2𝑎𝑏，
∴ab=10
∵将这四个直角三角形拼成图2，
∴图2 中最大的正方形的面积为：𝑐2 + 4 × 1
2 𝑎𝑏= 24 + 2 × 10 = 44．
故答案为：A．
【变式2-11】
【答案】√29；𝑘2−2𝑘+1
4
【分析】
（1）设5 个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b，根据三角形ABF 面积为5，可知Aab=10；
根据小正方形FGHK 的面积为9.得到（𝑎−𝑏）
2
= 9，通过代数式的化简得到𝑎2 + 𝑏2 = 29，而𝐴𝐵2 = 𝑎2 + 𝑏2，
可求出𝐴𝐵= √29
（2）𝑆
四边形𝐴𝐸𝐻𝑁= 𝑆△𝐴𝐸𝐺+ 𝑆
四边形𝐴𝐺𝐻𝑁. 𝑆
四边形𝐵𝑀𝐻𝑃= 𝑆△𝐵𝐷𝐾. 用a、b 表示它们的面积，根据
𝑆
四边形𝐴𝐸𝐻𝑁
𝑆
四边形𝐵𝑀𝐻𝑃
=
𝑘 。求出a、b、k 之间的关系。而
𝑆
四边形𝐹𝐺𝐻𝐾
𝑆
四边形𝐵𝐶𝑁𝐾
= (𝑎−𝑏)2
𝑏2
，化简并把a、b、k 代入求值即可。
【详解】
（1）设5 个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b
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∵若Rt △𝐴𝐵𝐹的面积为5，∴ab=10 ①
∵小正方形𝐹𝐺𝐻𝐾的面积为9，∴（𝑎−𝑏）
2
= 9
即𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2 = 9②
①代②得𝑎2 + 𝑏2 = 29
∵𝐴𝐵2 = 𝑎2 + 𝑏2，
∴𝐴𝐵= √29，
故答案为：√29；
（2）∵𝑆
四边形𝐴𝐸𝐻𝑁= 𝑆△𝐴𝐸𝐺+ 𝑆
四边形𝐴𝐺𝐻𝑁= 1
2 𝑎𝑏+ 𝑎(𝑎−𝑏) = 𝑎2 −𝑎𝑏
2 ，
𝑆
四边形𝐵𝑀𝐻𝑃= 𝑆△𝐵𝐷𝐾= 1
2 𝑎𝑏，
𝑎2−𝑎𝑏
2
𝑎𝑏
2
= 𝑘，化简得𝑎
𝑏= 𝑘+1
2
∴
𝑆
四边形𝐹𝐺𝐻𝐾
𝑆
四边形𝐵𝐶𝑁𝐾
= (𝑎−𝑏)2
𝑏2
= 𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2
𝑏2
= (𝑎
𝑏)2 −2𝑎
𝑏+ 12．
= (𝑎
𝑏−1)2 = (𝑘+ 1
2
−1)2 = 𝑘2 −2𝑘+ 1
4
故答案为：𝑘2−2𝑘+1
4
．
