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专题04 反比例函数与几何图形的综合问题
常考题型·精准突破
题型1 反比例函数与三角形的综合问题（重）
题型2 反比例函数与平行四边形的综合问题
题型3 反比例函数与矩形的综合问题（高频）
题型4 反比例函数与菱形的综合问题
题型5 反比例函数与正方形的综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 反比例函数与三角形的综合问题
1．如图，三角形ABC 为等腰直角三角形，斜边AB
x
∥轴，点C 在x 轴上，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
经过AB
的中点D，交边BC 于点E ，已知点
(
)
2,0
C
．
(1)点B 的坐标为______，反比例函数解析式为______；
(2)连接DE ，求BDE
的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt
ABC
△
的底边BC 在x 轴上，点B，C 的坐标分别为(
) (
)
2,0 , 6,0
−
，
反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象交AC 于点A，D．
(1)求k 的值；
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(2)将
ABC
沿x 轴向左平移t（>0
t
）个单位长度，当反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象与三角形至少有一个公
共点时，求t 的取值范围．
3．如图所示，
OAB
△
的顶点A 在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象上，直线AB 交y 轴于点C，且点C 的纵坐
标为5，过点A、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E、F，且
1
AE = ．
(1)若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；
(2)若
OAB
△
为等腰直角三角形，
90
AOB
=
，其面积小于3．
①求证：
OAE
BOF
≌
△
△
；
②延长AO 交双曲线第三象限于点D，连接BD，求三角形ADB的面积．
◆题型2 反比例函数与平行四边形的综合问题
4．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，
OABC
的顶点O与原点重合，CO边在x 轴的正半轴上，且点
(
)
(
)
4,3 ,
4,0
A
C
，反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
的图象经过对角线OB 的中点P ．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若BD
OC
⊥
，垂足为
,
D BD 交反比例函数的图象于点E ，求BPE
的面积．
5．（25-26 九年级上·江西萍乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB 在x 轴上，点
D在反比例函数
(k
0,x
0)
k
y
x
=
的图象上，已知点C 的坐标为(6,3) ，平行四边形ABCD的面积为12．
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(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接BD，点E 为边BC 与反比例函数
(k
0,x
0)
k
y
x
=
图象的交点，点P 为x 轴上一动点．若点E 为BC
的中点，
PBE
ABD
S
S
=
△
△
，求P 点的坐标．
6．（2026·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点(
)
6,0
A −
，
(
)
3, 4
C
−
是平行四边形OABC的两个
顶点，反比例函数
m
y
x
=
（
0
m
）的图象经过点B ．
(1)求出反比例函数的表达式；
(2)将平行四边形OABC沿x 轴翻折，点C 落在点D 处，
①判断点D是否在反比例函数
m
y
x
=
的图象上，并说明理由；
②连接OD ，作DO 与x 轴正半轴夹角的角平分线，请直接写出该角平分线所在直线与反比例函数的交点坐
标．
◆题型3 反比例函数与矩形的综合问题
7．（2025·河南·模拟预测）如图，点A 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，
交反比例函数
1
y
x
= −
的图象于B，C 两点，以
,
AB AC 为边的矩形ABDC 被坐标轴分割成四个小矩形，矩形
面积分别记为
1
2
3
4
,
,
,
S S S S ，已知
1
3
S =
．
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(1)直接写出反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的表达式；
(2)求矩形ABDC 的面积．
8．（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C 在坐标轴上，顶点B 在反
比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，已知矩形OABC的长OC 和宽OA分别为4，3．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P 在该反比例函数的图象上，且在BC 的上方，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E，F，
PE与BC 交于点G．若矩形OEPF 与矩形ABCO不重合部分的面积为6，求点P 的坐标．
9．（25-26 八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形A B C D
的顶点A与坐标原点O重合，B在x 轴的正半轴上，
16
A D
=
，
12
AB
=
，
对角线A C
、B D
相交于点E．
【构建联系】
(1)如图1，将矩形A B C D
向右平移3 个单位长度，得到矩形ABCD，点E的对应点为E ，若双曲线
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(
0)
k
y
x
x
=
经过点E ，求该双曲线的解析式．
【深度拓展】
(2)如图2，若将矩形A B C D
向右平移
(
0)
m m
个单位长度，得到矩形ABCD，点E的对应点为E ，双曲
线
(
0)
k
y
x
x
=
经过点E ，且与AD交于点F ，若
10
AF =
，求点F 的坐标．
【动态延伸】
(3)如图3，将矩形A B C D
向右平移(
0)
t t
个单位长度，得到矩形ABCD，点E的对应点为E ，双曲线
(
0)
k
y
x
x
=
经过点E ，与边AD交于点K ，连接EK ，若AEK
是等腰三角形，求t 的值．
◆题型4 反比例函数与菱形的综合问题
10．如图，在平面直角坐标系中，直线
1
y
mx
=
+ 与双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=
相交于点A，点C 在x 轴的正半轴上，
点
(
)
2, 3
B
−
，连接AO ，OB ，BC ，CA ，四边形AOBC 是菱形．
(1)求m 和k 的值；
(2)设点P 是x 轴上的点，且
AOP
AOBC
S
S
=
△
菱形
，求点P 的坐标．
11．如图，M 是四边形ABCD对角线的交点，AC
x
⊥
轴于点C，BD
y
⊥
轴于点B ，反比例函数
1
C ：
2
y
x
=
的
图象经过点M，M 是AC 的中点．
(1)求经过点A 的反比例函数
2
C 的表达式；
(2)若点D 恰好也在图象
2
C 上，证明：四边形ABCD是菱形．
12．（25-26 九年级下·山东聊城·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC为菱形，点A的坐
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标为(
)
5,0 ，对角线
,
OB AC 相交于点D ，且菱形的面积为20．
(1)如图1，当反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象与菱形OABC有交点时，k 的最大值为___________．（请直接
写出结果）
(2)如图2，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点D ．
①求反比例函数的关系式；
②判断对角线AC 与OB 的数量关系，并说明理由．
◆题型5 反比例函数与正方形的综合问题
13．如图，四边形ABCD为正方形．点B 的坐标为(
)
0,2 ，点C 的坐标为(
)
0, 4
−
，反比例函数
k
y
x
=
的图象
经过点D．
(1)点A 的坐标为______；
(2)求反比例函数关系式．
14．如图，正方形ABCD的边长为 7 ，以AB 所在的直线为 x 轴， 以AD所在的直线为y 轴建立平面直角
坐标系，反比例函数
k
y
x
=
（
0
k ）的图象与CD交于 E 点，与BC 交于 F 点．
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(1)求点E、F 的坐标（用k 表示） ；
(2)若
AEF
△
的面积为20 时，求反比例函数的解析式．
15．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形边框ABCD的边BC 在x 轴正半轴上，顶
点A，D 在第一象限内，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象与AD交于点E，已知点E 的坐标为(
)
4,5 ．
(1)求k 的值．
(2)若BC 边不动，将正方形边框ABCD向左下方推动，使点A落在y 轴的点A处．点D 落在点D处．若点D
在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，求点D的坐标．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、D 都在反比例函
数
k
y
x
=
（
0
x
）的图象上，对角线BD平行于x 轴，坐标原点O为BC 的中点，若菱形ABCD的面积为40，
则k 的值为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
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2．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
0,6
A
，(
)
5,6
B
，将ABO
向右平移
到
CDE
△
位置，点A、O 的对应点分别是C、E，函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点C 和DE 的中点F，则k 的
值为（ ）
A．15
8
B．15
4
C．15
2
D．15
3．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B 在x 轴的负半
轴上，且
3
AB
AD
=
，顶点D 在函数
k
y
x
=
（
0
x
）的图象上，在CD边上取点E 使DE
AD
=
，EA的延长
线与y 轴的负半轴交于点F ，连结BF ．若
ABF
△
的面积为18，则k 的值为（ ）．
A．6
−
B．12
−
C．18
−
D．24
−
4．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A
B
、分别为(
)
,0
m
、
(
)
0,n ，顶点C 在反比例函数
1k
y
x
=
（
0
x
）上，顶点D 在反比例函数
2k
y
x
=
（
0
x
）上．当D 点坐标为(
)
4,1
时，下列说法：①
2
4
k =
；②
1
m = ；③
3
n = ；④
1
12
k =
．其中正确结论有（ ）．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
5．（25-26 八年级下·重庆万州·期末）在平面直角坐标系中，A、B 两点关于y 轴对称，以AB 为边在x 轴上
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方作平行四边形ABCD，点D 恰好落在y 轴上，反比例函数
k
y
x
=
交边CD于点E ，交边BC 于点F ．点P 是
平行四边形ABCD内任一点，连接PA、PB、PC 、PD、PO．若
2 3
DE EC =
∶
∶，且2
25
AOP
PCD
S
S
+
=
△
△
，
则k 的值为（ ）
A．10
B．20
C．10
−
D．20
−
二、填空题
6．（2026·山西长治·二模）如图，直线
2
4
y
x
−
=
+
与x 轴、y 轴分别相交于点A、B ，四边形ABCD是正方
形，曲线
k
y
x
=
在第一象限经过点D ，则k =____________．
7．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C 关于坐标原点对称，且均在反
比例函数
6
y
x
−
=
图象上，AB
y
⊥
轴于点B，CD
y
⊥
轴于点 D，连结AD、BC ，则四边形ABCD的面积
为_______．
8．（21-22 八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，菱形OABC的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两
条对角线的长分别是10 和6（AC
OB
），反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点C，则k 的值为______；
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9．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）小明将三角尺ABC （
90
ACB
=
，
5
AC
BC
=
=
）摆放在如图所示的
直角坐标系中，使得点C 位于(
)
3,0 处，BC 边与x 轴重合，点B 在点C 左侧．将ABC
绕点C 顺时针旋转一
定角度后，使点B 的对应点D 落在y 轴上，点A的对应点E 恰好落在第一象限的双曲线
k
y
x
=
上，则k 的值
为_____
10．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象和矩形ABCD均在
第一象限，AD平行于x 轴，且
2
AB =
，
4
AD =
，点A 的坐标为(
)
2,6 ，将矩形向下平移，若矩形的两个顶
点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a 的值为________．
三、解答题
11．（2026·江西上饶·二模）如图，将等腰直角三角板
(
)
90
ABC
BAC
=
放在平面直角坐标系上，点A 的坐
标为(
)
3,0 ，
5
AB
AC
=
= ，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上．
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(1)求直线AB 的函数解析式．
(2)求反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的解析式．
12．（2026·山东临沂·二模）如图，菱形OABC的边OA在x 轴的正半轴上，对角线OB ，AC 相交于点D，已
知点
(
)
8,4
B
，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)延长BC 交反比例函数的图象于点E ，交y 轴于点F ，连接DE ，求ODE
的面积．
13．（2026·河南周口·二模）如图，正方形ABCD的两个顶点A，C 都在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，
其中
(
)
3,
A
m ，
(
)
6,
C
n ，AB
y
轴．
(1)正方形ABCD的边长为________；
(2)求这个反比例函数的表达式；
(3)连接OA，OC ，四边形OCDA的面积为________．
14．（25-26 八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
图
像上，将点A先向下平移至点B ，再向右平移至图像上另外一点C ，以AB 、BC 为一组邻边作矩形ABCD，
连接OA、OD ，点E 在x 轴正半轴上．
(1)如果
2
k =
，且
45
AOE
=
，求点A的坐标；
(2)求证：点B 在直线OD 上；
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(3)如果
1
2
OA
BD
=
，求证：
1
3
DOE
AOE
=
．
15．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点B 在x 的正半轴上，
6
OB =
，点A在y 轴正
半轴上，
8
OA = ，以OA和OB 为邻边作矩形OACB，过C 点作CD平分
ACB
交OA于点D ，反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
的图象与CD交于点
(
)
,4
E m
，与BC 交于点F ．
(1)求证：
45
ADC
=
；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)点G 为反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
图象上一动点（点G 在
,
E F 之间运动，不与
,
E F 重合），过点G 作
GP
CD
∥
，交y 轴于点P ，过点G 作GH
x
∥轴，交BC 于点H ，连接PH ，直接写出
PGH
△
面积最大时，
此时点G 的坐标．
