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专题 12 反比例函数与几何图形、实际应用的综合问题之五大题
型
反比例函数与平行四边形的综合问题
例题：（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）如图所示，直线 的图像与x轴交于
点A，与y轴交于点B，与反比例函数 交于的C，且B为线段 的中点，向上平移直
线 与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形 为平行四边形．
(1)若 ，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______；
(2)在（1）的条件下，求平移后的直线 的函数表达式；
(3)当平行四边形 的面积等于30时，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)(3)
【分析】（1）首先根据直线 的解析式求出 和 的坐标，再利用中点坐标公式可得点 的坐
标，从而求出反比例函数解析式；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，利用 可得点 的坐
标，再利用平移知， 相同，从而解决问题；
（3）根据 的面积等于30，得 的面积为30，由题意可得 ， ，
，再由（2）同理可得点 的坐标，从而表示出 ，进而解决问题．
【详解】（1）解：当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
， ，
为线段 的中点，
，
反比例函数 过点 ，
，
，
故答案为： ， ；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
则 轴，∴ ，
在平行四边形 中，
， ，
∴ ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，
， ，
由（1）知， ， ，
，
，
，
，把 代入 中，得 ，
，
设直线 为 ，
直线 由直线 平移得到，
，
将 代入 中，得 ，
，
直线 的解析式为为 ；
（3） 的面积等于30，
的面积为15，
点 是 的中点，
的面积为30，
由 可得： ， ，
∵B为线段 的中点，∴ ，
将 代入 中，得： ，
同（2）可得 ，
，
把 代入 中，得： ，
，
，
，
的面积为30，
，
即 ，
．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，全
等三角形的判定与性质，平移的性质等知识，利用由特殊到一般类比的数学思想是解决问题（3）
的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏常州·八年级统考期末）如图，一次函数 的图像 与 轴交于点 ，点
在 上， 是反比例函数 图像上的一点，四边形 是平行四边形．(1)求 、 的值；
(2)点 在 上．
判断点 是否在反比例函数的图像上，并说明理由；
的面积是______．
【答案】(1) ， ；
(2) 不在，理由见解析； ．
【分析】（1）根据点 代入直线 ，求得 的值，再根据平行四边形 的性质，求出点 的
坐标，又根据点 在反比例函数上，进而求得 的值；
（2） 根据点 代入直线 ，求得 的值，求出点 的坐标，再将点 代入反比例函数上，看等
式两边是否相等，如果相等则在图象上，否则不在图象上；
设 所在直线的解析式为 ，把 、 代入求得解析式，进而解得与 轴交点，再根据
面积和差即可求解．
【详解】（1）当 时， ．
∴ ．
当 时， ．
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴点 的坐标为 ．
∴ ．∴ ．
（2） 不在，理由如下：
∵点 在 上，当 时， ，
∴点 的坐标为 ．
∵反比例函数为 ，当 时， ，
∴点 不在反比例函数的图像上，
延长 交 轴于点 ，如图，
由 得： ， ，
设 所在的直线为 , 将 、 代入得:
，解得： ，
∴设 所在的直线为 ，
令 ，则 ，解得： ，
∴点 ，
∴ ，，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法，
并且借助辅助线求解．
反比例函数与矩形的综合问题
例题：（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形 的顶点B的坐标为 ，双曲线
与矩形的对角线 交于点D，与 、 分别交于点E、F，且 ．
(1)求反比例函数解析式及点E的坐标；
(2)连接 ，求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用矩形性质和坐标与图形性质，通过B点确定F点坐标，进而可确定反比例函数
表达式，即可确定E点坐标；
（2）求直线 表达式，与反比例函数表达式联立求交点D，进而求出三角形面积．【详解】（1）B点坐标 ， ，
∴点 ，代入 得， ，
反比例函数 ，
由图知E点横坐标为4，纵坐标
∴E点 ，
（2）如下图，连接 ．
设直线 ，将 代入得， ，
解得
直线 ： ．
联立直线与反比例函数： ，
解得 （ 舍去）
∴
把 代入
∴【点睛】本题考查矩形性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的综
合、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏·八年级期末）如图，矩形 的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数
在第一象限内的图像经过点D，交 于点E，连接 ， ， ．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)若矩形的面积是12，求点E的坐标．
(3)直接写出当 时，y的取值范围______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据勾股定理求得 ，即 ，然后将 代入 求得k即可解答；
（2）设线段 、线段 的长度为m，根据矩形的面积是12可得 ，解得： ；进而
得到点B，点C的横坐标为： ，再将把 代入 得 ，即可确定点E的坐标；
（3）先求出当 时的反比例函数值，然后再根据函数图像即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ,
∴ ,
∴ ，把点 代入 得： ，解得： ，
即反比例函数的关系式为： ．
（2）解：设线段 ，线段 的长度为m，
根据题意得： ，解得： ，
∴点B，点C的横坐标为： ，
把 代入 得： ，
∴点E的坐标为 ．
（3）解：当 时， ，
观察图像可得：当 时，y的取值范围是 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、反比例函数的应用、根据函数图像求函数值的取值范围等知识
点，求得函数解析式是解答本题的关键．
反比例函数与菱形的综合问题
例题：（2023上·安徽宣城·九年级统考期末）如图，在菱形 中点A在x轴的正半轴上，点B
坐标为 ，双曲线y＝ （k＞0）经过点C，交 于点D．
(1)求双曲线解析式；(2)求点D坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点B作 轴于点E，设菱形的边长为x，则 ， ，根据勾股定
理求出 ，进而可得出 ，代入反比例函数的解析式即可；
（2）求出直线 的解析式与反比例函数的解析式列出方程组，解方程组即可求得交点D的坐标．
【详解】（1）解：如图，
过点B作 轴于点E，设菱形的边长为x，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，反比例函数解析式为 ；
（2）解：∵点 ， ，
设直线 为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 为： ，
由 ，
解得 或 ，
∴点D坐标为 ．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知菱形的性质，反比例函
数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键，学会用解方程组的思想求还是交
点坐标的方法，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A在y轴
正半轴上，点C的坐标为 ，反比例函数 的图象经过点B．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数的图象上是否存在点P，使得 的面积等于菱形 的面积？若存在，请
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在； 或 ，
【分析】（1）延长 交 轴于点 ，易得 轴，根据菱形的性质，求出 点坐标，即可求
出反比例函数的解析式；
（2）求出菱形的面积，再利用 进行计算即可．
【详解】（1）解：延长 交 轴于点 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ 轴，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在双曲线上，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为： ；
（2）解：存在；设 点的横坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，当 时， ，即： ，
当 时， ，即： ；
综上，存在点 或 ，使 的面积等于菱形 的面积．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合
的思想进行求解，是解题的关键．
反比例函数与正方形的综合问题
例题：（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，正方形 的顶
点B、C在x负半轴上，反比例函数 的图象经过点 ，交 于点E．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可得；（2）根据点D的坐标得 且正方形边长为3，即 ，根据点E在 上可设 ，
根据点E在反比例函数 上得 ，即 ，即可得．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式： ；
（2）解：∵ ，
∴ 且正方形边长为3，
∴ ，
∵点E在 上，
∴设 ，
∵点E在反比例函数 上，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
【变式训练】
1．（2023下·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的
负半轴上， ， ，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．
(1)当 时，求k的值及点E的坐标；
(2)连接OC，CE，OE．
①若 的面积为 ，求该反比例函数的表达式；
②是否存在某一位置，使得 ．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在，当 时，
【分析】（1）当 时，求得 ， ，所以 ，则 ，再把
代入求得 即可得点E坐标；
（2）①由题意得 ， ， ，所以 ，从而可求得
当 ，再根据 ，即
，求解即可得 ，从而得 ，所以
，即可求解；
②由 ， ，则 ，， ，当 时，则 ，即
，化简整理，得 ，求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD， ，
∴ ，
∵ ，
当 时，
∴ ， ，
∴ ；
∴ ，
令 ，则
∴ ；
（2）解：① ， ，
∴ ， ， ，
∴
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
②由①知 ， ，
∴ ， ，
，
当 时， ，
∴
化简整理，得 ，
解得： ， （舍去）
∴存在，当 时， ．
【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形，求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，勾
股定理．熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象的性质是解题的关键．
反比例函数与实际应用的综合
例题：（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，
加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温 （℃）与通电时间 成反比例关系．
当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温 与通电时间 之间的
关系如图所示．(1)水温从20℃加热到100℃，需要______分钟；
(2)在水温下降过程中，请求出反比例函数表达式；
(3)求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？
【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升 即可求出水温从 加热到 所需时间；
（2）根据反比例函数过点 可求出解析式；
（3）分别计算出水温达到 前 和达到 后再降到 所需时间即可．
【详解】（1） 开机加热时水温每分钟上升 ，
水温从 加热到 ，所需时间为 ，
故答案为：4；
（2）由题可得， 在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为 ，
代入点 可得， ，
，
水温下降过程中， 与 的函数关系式是 ；
（3）∵开机加热时每分钟上升20℃
∴ ，水温∵ ，
∴当 时， ，
∴水温不低于40℃的时间范围为
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其
销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系式为 ．当广告停止后，销售量y（万
件）与上市的天数x（天）之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)当 时，求该商品上市以后销售量y（万件）与上市的天数 （天）之间的函数关系式；
(2)广告合同约定，当销售量不低于 万件，并且持续天数不少于 天时，广告设计师就可以拿到
“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由．
【答案】(1)
(2)设计师可以拿到特殊贡献奖，理由见解析
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析
式即可；
（2）分别求得销量不低于 万件的天数，相加后大于等于 天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【详解】（1）解：当 时，设 ，把 代入得 ，
∴
（2）当 时，由 得， ，
即 ，有 天；
当 时，由 ，解得： ，即 ，有 天，
共有 天，
因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型．
一、单选题
1．（2023下·河南周口·八年级统考期末）正方形 的顶点A，B分别在 轴和 轴上，点 在
反比例函数 的图象上，点 在第二象限内，若 ，则正方形 的边长为
（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】如图，过点 作 轴于点 ．设 ，则 ．通过证明 ，得
出 ， ，则 ，得出 ，将点 代入 ，
求出 ，即可得出 ， ，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ．
设 ，则 ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵点 在 的图象上，
∴ ，
∴
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴ ， ，根据勾股定理可得 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的图象
和性质，解题的关键是掌握正方形四条边都相等，全等三角形对应边相等，以及反比例函数图象上
点的坐标特征．
2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，菱形 的边长为 ，点 在 轴正半轴上，
反比例函数 的图像经过点 和线段 的中点 ，且点 的横坐标为 ，则 与 满足
的关系为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长 ，交y轴于点N，设 ，根据菱形的性质分别表示出 ，
，再将这两点坐标代入反比例函数解析式即可．
【详解】延长 ，交y轴于点N，设 ，
∵菱形 的边长为 ，点 在 轴正半轴上，
∴ ，
∵点 的横坐标为 ，
∴ ，
∵点M为线段 的中点，
∴ ，
∵反比例函数 的图像经过点 和线段 的中点 ，∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像上点的特征，熟练掌握知识点，运用数形结合
的思想是解题的关键．
二、填空题
3．（2023下·海南海口·八年级统考期末）如图，矩形 的顶点A、B、C的坐标分别为 、
、 ，则点D的坐标为 ，若反比例函数 的图象与矩形 有交点，则
k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据矩形的对边平行且相等可得点D的坐标，再结合图象，求出图象分别经过点B和点
D时的k值，继而求解．
【详解】解：由题意可得：
点D的坐标为 ，即 ，
当点B在函数图象上时，
，
当点D在函数图象上时，
，
∴k的取值范围为 ，
故答案为： ， ．【点睛】本题考查了矩形的坐标，反比例函数的图象，解题的关键是结合图象，求出极端值．
4．（2023下·浙江衢州·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系 中， 的直角
顶点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限， ，反比例函数 的图象分别交
， 于点C，D，连接 并延长交x轴于点E．若 的面积和 的面积相等，则：
（1） 的面积为 ．
（2）点C的坐标是 ．
【答案】 /
【分析】（1）理由 的面积和 的面积相等，转化为 的面积即为 的面
积即可；
（2）利用 ，设 ， ， ，待定系数法求出直线 的含有 的解析式，
继而知道 ，根据三角形 面积是 ，列出关于 的方程求出 的值，则点 坐标随之
求出．
【详解】解：（1）∵ 的面积和 的面积相等，
∴ ．
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，设 ，其中 ，即 ，
设 ，即 ，
设直线 的解析式为： ，将 坐标代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
当 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
根据题意可知点 在第一象限，舍去负值， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形
的性质，设含参解析式是本题突破的关键．
三、解答题
5．（2023上·辽宁铁岭·九年级统考期末）为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教
室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y（单位： ）与时间x（单位：
）的函数关系如图所示．在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为 ，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为 ．
(1)n的值为__________；
(2)当 时，y与x的反比例函数关系式为__________；
(3)当教室空气中的药物浓度不高于 时，对人体健康无危害．当教室药物喷洒完成 后，
学生能否进入教室？请通过计算说明．
【答案】(1)10
(2)
(3)能，说明见解析
【分析】(1)把 代入 ，解方程即可求解；
(2)把 代入 ，即可求解；
(3)当 时， ，据此即可判定．
【详解】（1）解：把 代入 ，
得 ，
故答案为：10；
（2）解：设反比例函数的解析式为 ，
把 代入 ，
得 ，解得 ，
故反比例函数的解析式为 ，
故答案为： ；
（3）解：能进教室，
当 时， ，
即教室空气中的药物浓度不高于 ，所以能进教室．
【点睛】本题考查了从函数图象获取相关信息，求反比例函数的解析式，从函数图象获取相关信息
是解决本题的关键．
6．（2023上·河南郑州·九年级校联考期末）如图，点A是反比例函数 （x＞0）图象上的一个
动点，过点A作 轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以 为边
作菱形 ，过点D作 轴于点F，交反比例函数 的图象于点E．
(1)已知当 时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 ，点D的横坐标是 ，求
该反比例函数的表达式；
(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求 的值．
【答案】(1)3，8：y=
(2)【分析】（1）过点C作 于点T，利用菱形面积求出 ，再利用勾股定理求出 ，
从而可设出点C的坐标为 ，则点A的坐标为 ，得到 ，求出m的
值即可得到答案；
（2）设点 ，过点C作 轴于点N，交 于点M，利用菱形面积得到 ，即
可得到点C的纵坐标为 ，则 ，进一步推出，点D的坐标为 ，点E的坐标为
，得到 ，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：过点C作 于点T，
∴菱形面积 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴点C的横坐标为3，点D的横坐标为 ，
设点C的坐标为 ，则点A的坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∴反比例函数的表达式为： ， ，
故答案为：3，8；（2）解：设点 ，过点C作 轴于点N，交 于点M，
∵菱形面积是48，
∴ ，
∴ ，
∴点C的纵坐标为 ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，
∴点E的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，正确利用菱形的面积求
出对应线段的长度是解题的关键
7．（2023上·山西太原·九年级期末）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，
是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮
饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度 是面条横截面面积 的反
比例函数，其图象经过 两点（如图）．
(1)求y与S之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义；
(3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过 ，求这根面条的总长度至少有多长．
【答案】(1)
(2) ，当面条的横截面积为 时，面条的总长度为
(3)这根面条的总长度至少有【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）将 代入解析式，进行求解即可，根据题意，进行解释即可；
（3）求出面条的横截面面积为 时，面条的长度，利用反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设y与S之间的函数关系式为： ，
∵其图象经过
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 在反比例函数的图像上，
∴ ，
解得： ；
它的意义是，当面条的横截面积为 时，面条的总长度为 ；
（3）解：当面条的横截面面积为 时，
面条的总长度为： ，
∵ ，
∴ 随 的减少而增大，
∴当 时， ，
∴这根面条的总长度至少有 ．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比
例函数的性质进行求解，是解题的关键．注意自变量的取值范围．
8．（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图1，菱形 的边 在平面直角坐标系中的x轴
上 ，菱形对角线交于点 ，过点C的反比例函数 与菱形的边 交于点
E．(1)求点C的坐标和反比例函数 的表达式；
(2)如图2，连接 ， 求出 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由中点坐标公式求出点C的坐标，再用待定系数法即可求解 的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再求出点E的坐标，然后用割补法求得 的面积，即可求解．
【详解】（1）解：由菱形的性质知，点M是A，C的中点，
∵ ， ，
由中点坐标公式 ， ，
则 ，
，
即点 ，
将点 代入反比例函数表达式得： ，
则反比例函数的表达式为： ；
（2）解：过E作 于点H， 交y轴于点P，如图所示：设 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
即 ，
∴ ，即 ，
设 的解析式为 ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
则 的解析式为 ，
联立①②式，即 ，
解得 （舍去）， ，
即
那么 ．
【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形
的性质等，有一定的综合性，难度适中．9．（2023下·四川资阳·八年级统考期末）如图，直线 与双曲线 相交于点 ，
轴于点 ，以 为边在右侧作正方形 ， 与双曲线相交于点 ，连结 、 ．
(1)当 时，求点 的坐标；
(2)当 时，求 的值；
(3)是否存在实数 ，满足 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，得到A点的纵坐标为4，点 在直线 上，求出 点坐标，
进而求出反比例函数的解析式，求出 的长，根据点 在反比例函数上，进行求解即可；
（2）设 ，同法（1）求出 点坐标，利用 ，列式计算即可；
（3）假设存在，推出 ，得到 ，推出 ，与 矛盾，即可得
出结论．
【详解】（1）解：∵四边形 为正方形， ，
∴A点的纵坐标为4，
∵A在直线 上，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
（2）设 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，∴ ，解得 ，
∴ ；
（3）不存在．理由如下：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
要使 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可知， ，则点 ，
∴ ， ，
∴ ，得 ，
∴ ，
∵ ，
∴不符合题意，不存在．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握
值的几何意义，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
10．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）如图 ，正方形 的顶点 ，点 ，反比
例函数 的图象经过点 ．(1)试说明反比例函数 的图象也经过点 ；
(2)如图 ，正方形 向下平移得到正方形 ，边 在 轴上，反比例函数 的图象
分别交正方形 的边 、 于点 、 ．
①求 的面积；
②在 轴上是否存在一点 ，使得 是等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②存在， 或
【分析】（1）将点 的坐标代入反比例函数表达式求得 值，再验证点 即可；
（2） ，即可求解；
分 、 、 三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：（1） 点 ，点 ，四边形 是正方形，
点 ， ，
将点 的坐标代入反比例函数表达式得： ，
反比例函数表达式为： ，
当 时，得 ，
反比例函数 的图象也经过点 ；
（2）解： 平移后点 、 、 、 的坐标分别为： 、 ， 、 ，则平移后点 横坐标为 ，则点 ，
同理点 ，
；
点 、 的坐标分别为： 、 ，
设点 ，
则 ， ， ，
当 时，即 ，
解得： 或 ，
当 时，点 、 、 三点共线，故舍去，
，
当 时，同理可得：方程无实数根，舍去，
当 时，同理可得： ，
故点 的坐标为： 或 ，使得 是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、等腰三角形的性质、面积的
计算等，要注意分类求解，避免遗漏．
11．（2022下·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点 ，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，
射线 交y轴于点E，连结 ， ， ．
(1)①写出点B的坐标．
②求证：四边形 是平行四边形．
(2)当四边形 是矩形时，求点C的坐标．
(3)点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求 的值．
【答案】(1) ；证明见解析
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）①根据反比例函数图象是中心对称图形可得点B的坐标；
②根据中心对称的性质可得OA＝OB，OC＝OD，从而证明结论；
（2）根据矩形的性质可知CD＝AB，则OC＝OB，求出OB的长，即可得出答案；
（3）分点A为中点，C为中点，E为中点，分别画出图形，利用三角形中位线定理可得OE和AD
的长，从而解决问题．
【详解】（1）解：（1）①∵正比例函数与反比例函数 的图象于点 ，B两点，
∴点A、B关于原点对称，
∴ ；
②∵点A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，∵点D与点C关于y轴对称，
∴OC＝OD，
∴四边形ACBD是平行四边形；
（2）当四边形ACBD是矩形时，则CD＝AB，
∴OC＝OB，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）当点E为AC的中点时，则AE＝CE，
作AH⊥x轴于H，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点D与H重合，
∴ ，
∴ ，
当点A为CE的中点时，如图，则 ，同理可得 ，
∴ ，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点C为AE的中点时， ，则 ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
综上： 或 或 ．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的性
质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握反比例函数图象是中心对称图形是解题的关键，同时注意
分类讨论思想的运用．
12．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数
的图象与矩形 相交于 两点，点 分别在 轴和 轴的正半轴上，点 的
纵坐标为3，点 的横坐标为1．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接 ， ， 与 相交于点 ．
ⅰ）求证： ；
ⅱ）连接 ，当 是直角三角形时，求此时 的长．
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)ⅰ）见解析；ⅱ） 的长为 或
【分析】（1）根据四边形 是矩形，点 的纵坐标为3，点 的横坐标为1，得出点 的坐标，
再由点 在反比例函数图象上，代入即可求得反比例函数解析式；
（2）ⅰ）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，先求出直线 的解析式，再联立
两直线解析式求出点 的坐标，再根据中点坐标公式即可得出点 为 的中点，从而证明出
；ⅱ）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，由ⅰ）得，点 的坐标为：，从而可以表示出 的长度，再分 和 分类讨论，
分别求出 的值，从而可得出 的长．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
轴，
点 的纵坐标为3，点 的横坐标为1，
点 的坐标为 ，
点 在反比例函数 的图像上，
，解得 ，
反比例函数解析式为： ；
（2）ⅰ）证明：设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
令直线 的解析式为： ，
点 在直线 上，
，解得 ，
直线 的解析式为： ，
令直线 的解析式为： ，
点 在直线 上，
，解得 ，
直线 的解析式为： ，由 得， ，
点 的坐标为： ，
，
为 的中点，
；
ⅱ）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
由ⅰ）可知点 的坐标为： ，
，
，
，
是直角三角形，
当 时，则 ，
即 ，
解得： 或 ，
当 时，此时 与 重合，不符合题意，舍去，当 时，此时 ， ，
当 时，则 ，
即 ，
解得： 或 或 或 ，
，
或
当 时，此时 与 重合，不符合题意，舍去，
当 时，此时 ， ，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了了矩形的性质，求反比例函数的解析式，勾股定理，中点坐标公式，设出点
的坐标，从而表示出点 的坐标是解题的关键，注意运用分类讨论的思想解题．
13．（2023下·江苏常州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像与
一次函数 的图像在第一象限交于A、B两点．
探究一：
P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩
形面积记为 、 、 ，矩形周长记为 、 、 ，
（1）如图1，P是线段 上不与点A、B重合的一点， ．
______， ______ （填“＞”、“＜”或“＝”）：
猜想：当点P从点A运动到点B时， 的变化规律是____________；
（2）如图2，P是双曲线 段上不与点A、B重合的一点， ， ．
______， ______ （填“＞”、“＜”或“＝”）；猜想：当点P从点A运动到点B时， 的变化规律是____________；
探究二：
如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线 右上方的点Q， 与
反比例函数的图像交于点G．若G是 的中点，且 的面积为9，求k的值．
【答案】探究一：（1）8， ，猜想：先变大后变小；（2）8， ，先变小后变大；探究二：
【分析】探究一：（1）根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解；
（2）根据直线解析式的特点，结合图形即可求解；
探究二：设点G的坐标为 ，则 ，Q、A、B的坐标分别为 、 、
，再由 的面积 求解即可．
【详解】解：探究一：
（1）∵A点、B点在反比例函数 上，
∴ ，
过P点作 轴交反比例函数图像于点Q，过点Q作 轴交于点D，
∴ ，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴在 时， 的值先增大后减小，
∴ ．
故答案为：8，＜，先增大后减小．
（2）∵ ， ．
∴直线的解析式为 ，
设A点坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
过P点作 轴交反比例函数于点E，过E作 轴交于点F，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ 时， 先减小后增大，
∴ 先减小后增大，∴ ．
故答案为：8，＞，先减小后增大．
探究二：
设点G的坐标为 ，则 ．
由题意得点Q、A、B的坐标分别为 、 、 ．
∵ 的面积
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的图像及性质、反比例函数
k的几何意义是解题的关键．
