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1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题05 用反比例函数解决应用的十四类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数的应用—杠杆问题 题型二、反比例函数的应用—压强问题 题型三、反比例函数的应用—密度问题 题型四、反比例函数的应用—录入问题 题型五、反比例函数的应用—生产问题 题型六、反比例函数的应用—蓄水池问题 题型七、反比例函数的应用—工程问题 题型八、反比例函数的应用—镜片焦距问题 题型九、反比例函数的应用—行程问题 题型十、反比例函数的应用—电阻问题 题型十一、反比例函数的应用—运输问题 题型十二、反比例函数的应用—销售问题 题型十三、反比例函数的应用—浓度问题 题型十四、反比例函数的应用—实验问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 核心知 识点 1. 利用反比例函数表达式表示实际问题中两个变量的反比例关系，建立反比例函 数模型解决实际问题 2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的自变量取值范围（实际意义约束下 的非零取值） 3. 已知一个变量的值，利用反比例函数解析式求出另一个变量的值 4. 结合反比例函数的图象与性质，分析实际问题中变量的变化趋势（如体积固定 目 录 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 时，底面积随高度增大而减小） 5. 能解决与反比例函数结合的跨情境实际问题，包括工程效率、面积体积、压强 电阻、销售定价等常见模型 常见易 错点 1. 忽略实际问题中自变量的取值范围，直接套用反比例函数全体非零实数的取值， 导致结果不符合实际要求 2. 混淆反比例关系和反比例函数，将不成反比例的变量错误判定为反比例关系， 建立错误模型 3. 列函数关系式时，比例系数计算错误，或单位不统一导致解析式出错 4. 解决最值或范围类问题时，错误利用反比例函数单调性判断：忽略k 的正负对 增减性的影响，直接认为y 随x 增大而减小 5. 从图象读取实际问题信息时，混淆横纵坐标代表的变量，导致读取结果错误 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数的应用—杠杆问题 典例1 古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠 杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂= 动 力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力F 与动力臂L 满足的函数 关系是（ ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关 系 3 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式1-1 公元前3 世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”， 即“动力动力臂= 阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变， 分别为1000N 和0.5m，则下列说法错误的是（ ） A．动力 ( ) 1 N F 和动力臂 ( ) 1 m L 之间的大致图象可以用图3 表示 B．当动力臂为2m 时，撬动石头需要的力量为250N C．若想使动力 ( ) 1 N F 不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D．利用此杠杆时，动力臂越长越省力 变式1-2 小海利用杠杆平衡原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图1，小海发现 天平平衡时左盘药品为m 克，右盘砝码重20 克；如图2，仍旧利用此杠杆，小海将砝码放在左盘，药品放 在右盘，此时天平仍旧平衡，测得砝码重5 克，右盘药品为n 克．则m 与n 满足的关系式为____． 变式1-3 如图1 左图所示是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆 原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即 1 2 A B F L F L = ）．受桔槔的启发，小轩组装了如图1 右图所示的装置， 其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端 1 1m L = ，距右端 2 0.4m = L ，在杠杆左端悬挂重力 为80N 的物体A． 4 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B 所受拉力为______N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小轩准备调整装置，当重物B 的质量变化时， 2L 的长度随之变化．设重 物B 的重量为N x ， 2L 的长度为cm y ．则： ①y 关于x 的函数解析式是______； ②根据下表，填空： /N x … 10 20 30 40 50 … /cm y … 8 a 8 3 2 b … a =______，b = ______； ③在图2 的直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为( ) 20,0 ，点B 的坐标为( ) 0,2 ，在函数的图象上存在点C 使得 40 ABC S = △ ， 请求出所有满足条件的点C 的坐标． 类型二、反比例函数的应用—压强问题 典例2 如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和 木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强 ( ) Pa p 与受力面积( ) 2 S m 的关系如下表所示： 湿地地面所受压 强 / Pa p 400 500 600 800 受力面积 2 / m S 1.5 1.2 1 0.75 5 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 以下结论中不正确的是（ ） A．压强p 与受力面积S的关系式为 600 p S = B．压强p 与受力面积S的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强p 不超过6000 Pa ，则受力面积S至少要 2 0.1m D．若受力面积S最大是 2 1.6m ，则压强p 最小为375Pa 变式2-1 一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当 体积为4 升时，压强为100 千帕．下列结论错误的是（ ） A．函数解析式为： 400 p V = B．当体积为5 升时，压强为80 千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200 千帕时，体积为2 升 变式2-2 在温度不变的条件下，气体所产生的压强 ( ) P kPa 与气体的体积( ) V mL 成反比例，如图是某种气体 压缩后，气体产生的压强P 关于气体的体积V 的函数图象．若压强由100kPa减压到80kPa ，则气体体积增 加了________mL． 变式2-3 某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力 6 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 F （单位：N ）一定时，木板面积S（单位： 2 m ）与人和木板对地面的压强P （单位：Pa ）成反比例．当 木板面积为 2 0.2m 时，人和木板对地面的压强为3000Pa ． (1)求P 关于S的函数表达式； (2)当木板面积为 2 0.3m 时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过1200Pa ，木板面积至少要多大？请说明理由． 题型三、反比例函数的应用—密度问题 典例3 现在，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩袋压缩衣物以减小体积， 同一件羽绒服质量 ( ) g m 不变，其体积( ) 3 cm v 与密度( ) 3 g / cm 之间具有反比例函数关系，其图象关系如图 所示．下列说法中正确的是（ ） A．当羽绒服的体积为 3 25cm 时，其密度为 3 10g / cm B．当羽绒服的密度增大时，羽绒服的体积在减小 C．羽绒服的密度每增加 3 1g / cm ，羽绒服的体积就减小 3 2.5cm D．当羽绒服的密度由 3 10g / cm 增加到 3 16g / cm 时，羽绒服的体积增大了 3 15cm 变式3-1 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体 中的高度( ) h cm 是液体的密度( ) 3 g / cm 的反比例函数，其图象如图所示( 0) ．下列说法正确的是（ ） A．当液体密度 3 1g / cm 时，浸在液体中的高度 20cm h B．当液体密度 3 2g / cm = 时，浸在液体中的高度 40cm h = 7 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C．当浸在液体中的高度0 25cm h 时，该液体的密度 3 0.8g / cm D．当液体的密度 3 0 1g / cm 时，浸在液体中的高度 20cm h 变式3-2 根据物理学知识，将同一个密度测量仪放置于不同的液体中时，密度测量仪浸没在液体中的长度l （单位：cm）是液体密度（单位： 3 g / cm ）的反比例函数．当 10cm l = 时， 3 0.8g / cm = ．若某液体的 密度 3 1.6g / cm = ，则密度测量仪浸没在该液体中的长度l 为______cm． 变式3-3 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积V（单位： 3 m ）变化时，气体密度ρ（单位： 3 kg/m ） 随之变化．已知密度ρ 与体积V 是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求密度ρ 关于体积V 的函数解析式； (2)当 3 4m V = 时，求二氧化碳的密度ρ； (3)当2 6 时，求V 的取值范围． 题型四、反比例函数的应用—录入问题 典例4 小明要把一篇社会调查报告录入电脑，当他以100 字/分钟的速度录入文字时，经过240 分钟能完成 录入．设他录入文字的速度为v 字分钟时，完成录入的时间为t 分钟．求：t 与v 之间的函数关系式（写出 自变量的取值范围）． 变式4-1 小明要把24000 字的调查报告录入电脑． (1)写出完成录入的时间y （分）与录入文字的速度x （字/ 分）的函数关系式； (2)小明在录入报告时，实际平均每分钟录入的字数比原计划多20%，结果所用录入时间比原计划减少了20 分 钟，求小明实际平均每分钟录入多少个字？ 8 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-2 小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分钟）与录入文字的速度x（字/分钟）之间的函 数关系图象如图所示． (1)求y 与x 之间的反比例函数关系式． (2)小明在8:20开始录入，完成录入的时间为8: 40，求小明每分钟录入的字数． 变式4-3 周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600 字的社会调查报告 录入电脑.设他录入文字的速度为v 字/分，完成录入所需的时间为t 分钟. (1)求t 与v 之间的函数关系式； (2)当李杰录入文字的速度v 为100 字/分，完成录入的时间t 为多少？ 题型五、反比例函数的应用—生产问题 典例5 某公司生产手机零件，其在某一年中的生产数量y(万件)与生产月份x 之间的变化如图所示，生产前 期是反比例函数图象的一部分，为了适应市场的变化进行技术改造后， 变为一次函数图象的一部分， 根 据题目所给出的条件，回答下列问题： (1)求这一年中该公司手机零件的生产数量y(万件)与生产月份x 之间的函数解析式； (2)求该企业月生产数量没达到200 万件的月份． 变式5-1 某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15 元，每件乙种产品的成本包括材料成本和 制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200 9 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 件，其中生产乙产品x 件，乙产品每件成本为y 元，在生产过程中，可以得到如下数据： x （件） 20 40 y （元） 20 15 (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200 件产品的最小成本． 变式5-2 某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本y （元）与生产数量x （个）之间近似满足反 比例函数关系． (1)已知生产100 个零件时，每个零件的生产成本为50 元，求y 关于x 的函数解析式； (2)若要将每个零件的生产成本控制在30 元以内（不包含30 元），那么至少需要生产多少个零件？ 变式5-3 新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3 支单针疫苗和2 支双针疫 苗需要19min ；生产2 支单针疫苗和1 支双针疫苗需要11min． (1)制药公司生产1 支单针疫苗和1 支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml ）与时间x（单位：天） 的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y 与x 成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y 与x 成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml 时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激 记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 题型六、反比例函数的应用—蓄水池问题 典例6 某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量( ) 3 m / h V 与排完水池中的水所用的时 10 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 间( ) h t 之间的函数关系如图所示． (1)求V 与t 的函数表达式； (2)若每小时排水量不超过 3 2000m ，则排完水池中的水至少需要______h； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求 原计划每小时的排水量是多少 3 m ？ 变式6-1 某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开 始匀速排水．已知每小时平均排水量( ) 3 m q 与排水总时间(h) t 之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当 排水总时间为80h 时，每小时平均排水量为 3 6m ． (1)求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变 量t 的取值范围； (2)若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10 小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？ 变式6-2 云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水0.6 立方米计算， 蓄水池剩余的水一个月（30 天）刚好用完．如果每天的用水量为x 立方米，那么这个蓄水池的水能维持y 天． (1)写出y 与x 之间的函数表达式； (2)如果每天用水0.5立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？ 11 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-3 某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量 3 ) (m / h V 与排完水池中的水所用的 时间( ) h t 之间的函数关系如图所示． (1)该蓄水池的蓄水量为_________ 3 m ； (2)如果每小时排水量不超过 3 2000m ，那么排完水池中的水所用的时间( ) h t 满足的条件是_________； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2 小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%， 求原计划每小时的排水量是多少 3 m ？ 题型七、反比例函数的应用—工程问题 典例7 如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数y （天）是每天完成的工程量x （米/天）的 反比例函数，其图象经过点( ) 20,50 ． (1)求y 与x 的函数关系式． (2)当每天完成25 米时，求该工程队完成工程所需的时间． (3)若完成工程的天数小于50天，则该工程队每天完成的工程量x 的取值范围是______． 变式7-1 一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20 吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6 天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与 12 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 回填天数t 之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4 天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 变式7-2 市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为 3 8100m ，某运输公司承担了运送土 石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度v（单位： 3 m /天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方 3 900m ，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 变式7-3 某小微企业生产加工一种产品，2013 年1 月的利润为180 万元．设2013 年1 月为第1 个月，第x 个月的利润为y 万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013 年1 月底起适当限产，并投 入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1 月到6 月y 与x 成反比例，到6 月底扩建改造工程顺利完 工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16 万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间( ) 1 6 x 及扩建改造工程完工后( ) 6 x ，y 与x 之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190 万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174 万元？ (4)当月利润少于80 万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 题型八、反比例函数的应用—镜片焦距问题 典例8 通过查阅资料，发现近视眼镜的度数D （度）是关于镜片焦距f （米）的反比例函数，其函数图象 如图所示，已知500 度近视眼镜的镜片焦距为0.2 米． 13 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求出度数D （度）关于镜片焦距f （米）的反比例函数解析式． (2)为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25 米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生 的建议． 变式8-1 一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y （度） 200 500 800 1000 镜片焦距x （米） 0.50 0.20 0.125 0.10 (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求y 关于x 的函数表达式． (2)小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40 米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片 的焦距为0.25 米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 变式8-2 近视镜镜片的焦距y （单位：米）和镜片的度数x （单位：度）之间满足一定的关系，下表记录了 一组数据： x （单位：度） … 100 200 250 500 … y （单位：米） … 1.00 0.50 0.40 0.20 … (1)焦距y （单位：米）和度数x （单位：度）之间满足的关系为______； (2)利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为400 度时，求镜片的焦距． 变式8-3 小明在课余时间找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的 光斑最小，此时他测量了镜片到光斑的距离，得到的数据如下表： 镜片度数y/度 … 400 625 800 m … 镜片到光斑的距 … 0.25 0.16 0.125 0.10 … 14 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 离x/m （x 表示镜片到光斑的距离，y 表示镜片的度数） 为了进一步研究镜片度数y 与镜片到光斑的距离x 间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象 （如图）． (1)求x 与y 之间的函数关系式及m 的值； (2)假设小亮的近视镜是400 度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得 出这一结论的； (3)根据图表中的信息，随着x 逐渐变大，y 的变化趋势是什么？（直接写出结论） (4)如果是一副平光镜（近视度数为0），会不会有光斑存在？写出结论并说明理由． 题型九、反比例函数的应用—行程问题 典例9 某海轮以每小时10 千米的速度从A港行驶到B 港，共用6 小时（不考虑水流速度）． (1)写出时间t (时）与速度v (千米/时）之间的函数表达式； (2)若返航速度增至每小时12千米，则该海轮从B 港返回A港（沿原水路）需几小时？ 变式9-1 如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度( ) / v m s 与载重后总 质量 ( ) kg M 是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量 5kg M = 时，它的最快移动速度 10m/ s v = ． 15 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求v 与M 之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量 25kg M = 时，求它的最快移动速度v ． 变式9-2 甲车和乙车从A 地开往B 地，已知A、B 两地全长约600km．设甲车的速度是km/h x ，到达B 地所 用的时间为h y ． (1)写出y 关于x 的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过80km/h ，请利用函数性质，求甲车到达B 地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的1.2倍，乙到达B 地所用的时间比甲车少80 分钟，求乙车的速度． 变式9-3 受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑 到终点．第一次用了60 秒；第二次比第一次速度提高了1米/ 秒，用了45 秒． (1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？ (2)求所用时间(t 秒) 与速度( v 米/ 秒) 的函数关系式；若要使所用时间不超过30秒，则速度应不低于多少米 /秒？ 题型十、反比例函数的应用—电阻问题 典例10 紫外线杀菌灯的电阻( ) kΩ y 随温度( ) x ℃的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温10℃上升 到30℃时，电阻与温度成反比例．在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加， 温度每上升1℃，电阻增加4 kΩ 15 ． (1)当10 30 x 时，求y 与x 之间的函数关系式； 16 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度x 在什么范围内时，电阻不超过4kΩ． 变式10-1 电风扇是我们生活的常用电器，数学小组的一名学生在使用电风扇时，突然产生一个疑问：为什 么电风扇的风速可以调节？好奇的他进行了探究，发现与电风扇的实际功率有关．由物理学中的公式P UI = 和 / I U R = 可知，实际功率的大小是由电阻的大小决定的．于是他将滑动变阻器和电风扇串联，通过调整 滑动变阻器的电阻，改变电风扇的风速．实验测得数据如下： 总电阻 / R 15 12 9 6 3 电流强度/ A I 0.4 0.5 0.7 1 2 (1)数学老师指出：该学生测量的数据大部分都是正确的，个别有误差．你能发现哪几组数据有误吗？说说 你的理由． (2)求I 关于R 的函数表达式； (3)如果将电阻调大，电风扇的风速将发生什么变化？ (4)如果电风扇的电阻为5，电路中滑动变阻器的电阻控制在5到15（包括5，15）时，电路中电流应该 控制什么范围？ 变式10-2 物理实验课上，小明为探究电流( ) A I 与接入电路的滑动变阻器( ) Ω x 之间的关 系，设计如图所示 的电路图．已知电源的电压 ( ) V U 保持不变，小灯泡的电阻为2．改变接入电路的滑动变阻器的电阻( ) Ω x ， 电流表的读数即电流( ) A I 发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为1时，电流表的读数为2A． (1)求电路中的电阻( ) Ω R 关于接入电路的滑动变阻器的电阻( ) Ω x 之间的函数关系， (2)求电流( ) A I 关于电路中的电阻( ) Ω R 的函数关系； (3)如果电流表的读数为0.5A ，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 17 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式10-3【操作实验】 小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流 / A y 的大小， 从而控制小灯泡L 的亮度，实验电路图如图1 所示，已知小灯泡的电阻为2（不计温度对灯泡电阻影响）， 滑动变阻器的电阻为 ( ) / Ω 0 6 x x （串联电路中总电阻= 灯泡电阻+ 滑动变阻器的电阻），通过多次实验， 得到以下数据（如表）（电流= 电压电阻）： 电阻/ x … a 2 3 4 6 电流 / A y … 4 3 2.4 2 b (1)根据实验结果，填空：a =______，b = ，根据实验数据直接写出y 与x 的函数关系式： ( ) 0 6 x ； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y 的图象，并写出函数y 的一条性质： ； (3)【深入探究】已知一次函数 ( ) 3 6 0 2 y x x = − + ，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当y ≤y时x 的 取值范围： ． 题型十一、反比例函数的应用—运输问题 典例11 某运输公司计划运输一批货物，用t 表示运输的天数，用a 表示每天运输的吨数，a 与t 之间的关系 18 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 如表所示： a /吨 600 300 150 / t 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数a （吨）与运输的天数t （天）成反比例． (1)求出每天运输的吨数a 与运输的天数t 之间的函数关系式； (2)若运输公司每天运输200 吨，求运输的天数． 变式11-1 某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程中运送土石方的任务，已知该运输公 司平均运送效率v（单位： 3 m /天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间是反比例函数关系，且当 6 t = 时， 12000 v = ． (1)求反比例函数的表达式； (2)若该运输公司每天可运送土石方 3 8000m ，求完成全部运输任务需要多少天？ 变式11-2 县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为 5 6 10 （单位： 3 m ），某运输公司 承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运输速度v（单位： 3 m 天）与完成运输所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关 系？ （2）这个运输公司共有80 辆卡车，每天可运输土石方为 4 10 （单位： 3 m ），公司完成全部运输任务需要多 长时间？ （3）当公司以问题（2）中的速度工作了30 天后，由于工程进度的需要，剩下的运输任务必须在20 天内 完成，则运输公司至少要增加多少辆卡车？ 变式11-3 被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为 300000 立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务． 19 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y 与x 的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000 立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500 立方米，结果工期比原计划减少 了10 天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 题型十二、反比例函数的应用—销售问题 典例12 校园超市以5 元/件购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查发现每天 调整不同的销售价，其销售总金额为定值（销售金额＝售价×销售量），其中某天该物品的售价为10 元/件时， 销售量为30 件． (1)设售价为x 元/件时，销售量为y 件，请写出y 与x 的函数关系式； (2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为50 元，则该物品的售价应定为多少元/ 件？ 变式12-1 某商场销售一批进价为120 元/双的运动鞋．当每双运动鞋的售价进行调整时，每天的销量随之发 生变化（要求售价高于进价）．部分销售数据如下： 每双的售价/ x 元 200 250 300 每天的销量 / y 双 30 24 20 (1)求y 关于x 的函数解析式． 20 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若要求每天的销量不低于15 双，则x 的取值范围为 ． (3)若商场希望每天的销售利润为2400 元，则售价应定为每双多少元？ 变式12-2 某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量y（件）由基础销 售量 1y 与浮动销售量 2y 两个部分组成，其中 1y 保持不变， 2y 与每件商品的售价x（元）成反比例，且市场 管理局要求每件商品的售价不能超过18 元销售过程中发现，当每件商品的售价定为10 元时，售出34 件： 当每件商品的售价定为12 元时，售出30 件． (1)求y 与x 之间的函数关系式： (2)当该商品销售数量为40 件时，求每件商品的售价； (3)设该超市销售这种商品的总额为W，求当每件商品的售价为多少元时超市的销售总额最大?最大值是多 少? 变式12-3 某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克15 元，通过一段时间的销售情况发现， 该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量y (千克)与每千克售价x (元)的关系如表所示： 每千克售价x (元) 25 30 40 每周销售量y (千克) 240 200 150 （1）求出每周销售量y (千克)与每千克售价x (元)的函数关系式． （2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于300 千克的任务，则该种水果每千克售价最多 定为多少元？ （3）在（2）的基础上，超市销售该种水果能否达到每周获利2000 元？说明理由． 题型十三、反比例函数的应用—浓度问题 典例13 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示；所排污水中硫化物的浓 度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值(1.0mg / L) ．环保局要求该企业立即整改．整改过程中，所排污水 中硫化物的浓度(mg/L) y 与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC 表示前3 天的变化规律，第3 天时硫化物的浓度降为5mg / L，从第3 天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 满足下面表格中的关系： 时间x/天 3 5 6 10 … 21 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 硫化物的浓度 / (mg / L) y 5 3 2.5 1.5 … (1)在整改过程中，当 3 x 时，求硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在20 天以内不超过最高允许值(1.0mg / L) ？为什么？ 变式13-1 环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度 超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15 天以内（含15 天）排污达标，整改过程中， 所排污水中硫化物的浓度( ) mg/L y 随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB 表示前3 天的变化规 律，从第3 天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度y 与时间x 之间的函数表达式（要求标注自变量x 的取值范围）； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15 天以内（含15 天）不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 变式13-2 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难 事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L ，此后浓度呈直线型增加，在第7 小时达 到最高值46mg/L ，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回 答下列问题： 22 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求爆炸前后空气中CO浓度y 与时间x 的函数关系式； (2)当空气中的CO浓度达到34mg/L 时，井下3km 的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h 的 速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多 少小时才能下井？ 变式13-3 某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位： / L mg ） 与喷洒时间x（单位：min ）的关系图像如图所示，OA为直线的一部分，AB 为反比例函数图像的一部分． (1)求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围； (2)结合函数图像，回答下列问题： ①当 1 x = 时，农药浓度是多少？当 10 x = 时，农药浓度是多少？ ②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y 随x 的变化趋势； (3)农场规定：农药浓度不低于5 / L mg 且不超过8 / L mg 时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒 过程中，符合规定的时间范围． 题型十四、反比例函数的应用—实验问题 典例14 项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时 便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 23 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A 处，且托盘 上放置了一个100g 的砝码，右侧托盘可以在BC 段滑动，已知 15cm AC = ， 50cm BC = ，通过往牛奶盒里加 入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1 次 第2 次 第3 次 第4 次 第5 次 总质量m（牛奶+水/g ） 120 60 50 40 150 CD的距离/ cm l 12.5 25 30 37.5 10 问题解决 (1)任务一：根据表中数据可知，CD的长度随着总质量m 的增大而________，并依此猜想：l 与m 满足怎样 的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了65g 的水，移动托盘使天平保持平衡，此时 20cm CD = ，求这个空牛 奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含65g 水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍 保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 变式14-1 如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A 中放置 一些大小不等的立方体，在活动托盘B 中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B 与点O 的 距离( ) x cm ，观察活动托盘B 中砝码的质量( ) g y 的变化情况．实验数据记录如表： 24 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)把表中x，y 的各组对应值作为点的坐标，如( ) 10,30 ，( ) 15,20 ……在图②的坐标系中描出相应的点，并用 平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y 与x 之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为16g 时，活动托盘B 与点O 的距离是多少？ 变式14-2 某3D 打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量m （单位：g ）与出料时间t （单位：s ）之间的关系，已知出料 量m 与出料时间t 成正比例函数关系，部分数据如下： /s t 10 20 30 40 50 … / g m 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料6g 耗材所用的时间t（单位：s ）与挤出头孔径d（单 位：mm ）之间的关系，部分数据如下： / mm d 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … /s t 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲组挤出头出料25 s时的出料量为__________g ； (2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间t 与孔径d 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实 验的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为5.5mm的挤出头出料6g 耗材所用的时间为__________s （结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________ mm （结果保留小数点后一位）． 25 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式14-3 综合与实践 【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1 图所示），通过查阅资料了解到这是马格努 斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时， 会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2 图所示）．生活中的足球“香蕉球”、 乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子． 【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3 图所示，圆柱体模拟 转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．F k v = ，，其中k 为比 例系数（与圆柱体侧面积A 有关，实验条件下关系近似为 0.5 k A = ），ω 为电机控制圆柱体旋转的角速度（单 位： /s rad ），v 为电风扇模拟的风速（单位：m/ s ），产生的推力F 可用测力计测量（单位：N）．现有实验 数据如下： 实验 组 风速v（m/ s ） 旋转角速度ω（ /s rad ） 推力F（N） 1 5 4 24 【问题解决】 (1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度； (2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω 为10 /s rad ． ①现有装置能否产生100N 的推力？请说明理由； ②已知初始时圆柱体半径 0.5m r = ，，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转 角速度下能产生100N 推力．（结果保留2 位小数，计算过程中π 取3） 26 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反 比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I 从6A 增加到10A 时，电阻R（ ） A．减小了2.4 B．减小了4 C．增大了2.4 D．增大了4 2．如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘 米药液浓度( ) mg y 与时间( ) min x 成正比例，喷雾结束后y 与x 成反比例．当每立方厘米药液浓度低于1.6mg 时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（ ） A．喷洒阶段的函数解析式为 5 8 y x = B．喷洒完成后，当 20min x = 时，药液浓度为1mg C．土壤表层药液浓度为4mg 的时间点只有1个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25min 3．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率y 与该班 参加测试人数x 的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则 这四个班合格人数最多的班级是（ ） 27 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 4．某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从20 C 匀速升至100 C ，加热时间为10 分钟；然 后自动转为恒温沸腾模式，保持100 C 持续2 分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内 温度y ( ) C 与启动加热后通电时间x ( ) min 成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温 度降至60 C 时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度y ( ) C 与通电时间x ( ) min 的函 数关系图象，则下列说法中错误的是（ ） A．启动后5 分钟时，锅内温度为60 C B．加热阶段，y 与x 的函数关系式为 8 20 y x = + C．启动后15 分钟时，锅内温度为80 C D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于80 C 的总时长为8 分钟 5．节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．若某款节能冰箱的耗电功率为0.16kW （忽 略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度y （℃）与时间x （min）之间的关系如图所示．通过观察发现： 当内部温度为−5℃时，冰箱运行，当温度下降到−20℃时，停止运行，温度上升到−5℃时，冰箱再次运行， 如此循环．有以下结论：①当0 15 x 时， 5 y x − = + ；②当15 x t 时， 300 y x = − ，③ 25 t = ；④如果 冰箱每天耗电量（kW·h）= 耗电功率（kW ）每天运行时间（h），则该款冰箱每天的耗电量不到1 ?h kW ．其 中正确的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度( y 米) 和修建天数( x 天) 成反比例函数关 系．若每天修40 米，需要6 天完工；若每天修建30 米，则需要________天完工． 7．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆 28 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 原理”，已知阻力 ( ) 1 N F 和阻力臂 ( ) 1 m L 的函数图象如图，若小明想使动力 2 F 不超过150 N ，则动力臂 2L 至少 需要_______ m ． 8．某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间t（单位：小时）与充电功率P（单位：kW ） 成反比例函数关系，已知用60 kW 功率充电，需2 小时充满；若使用80 kW 的快充桩，充满电需要_______ 小时． 9．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它 的纵截面是如图2 所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分 线为y 轴建立平面直角坐标系，其中曲线DE 和曲线CF 分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的 高度为110m， 20m BC = ，上口宽 16 EF = m ，则底部直径AB 的长为____ m ． 10．无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力F （单位：kN ）与速度v （单位： m/ s ）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为3 m / s ，牵引力 20kN F = ．为保证耕地的效果，牵引力F 不能低于40 kN ，则拖拉机速度v（单位：m/ s ）的最大值为_______． 11．多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内 抗体浓度y（微克/ml ）与注射时间x 天之间的函数关系如图所示（当 20 x 时，y 与x 是正比例函数关系； 29 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当 20 x 时，y 与x 是反比例函数关系）． (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)当 20 x 时，体内抗体浓度不高于140 微克/ml 时是从注射药物第多少天开始？ 12．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O 处并将其吊起来，在点O 右侧的秤钩上挂一 个物体，在点O 左侧的秤杆上有一个动点A（OA最长为80 厘米），在点A 处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆 处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与OA的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所 示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y 与x 之间是什么函数，并求y 关于x 的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为 2 y = ，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 13．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流I （单位：A） 与电阻R （单位：Ω ）是反比例函数关系，当 3Ω R = 时， 8A I = ． 30 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)写出I 关于R 的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； / Ω R … 3 4 5 6 8 9 10 12 … / A I … … (3)当电流超过10A 时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 14．为了预防“甲型 1 1 H N ”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气 中的含药量( ) mg y 与时间( ) min x 成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例，如图所示，现测得药物8min 燃 毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg ，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y 关于x 的函数关系式？自变量x 的取值范围是什么？药物燃烧后y 与x 的函数关系式？ 自变量x 的取值范围是什么？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg 时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分 钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒， 那么这次消毒是否有效？为什么？ 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15．【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即 1 1 2 2 F L F L = ．小明利用杠杆原理制 作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为50cm的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），在左侧末端A 处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点O，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为1kg 的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2 中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当 重物的质量变化时，OB 的长度随之变化．设重物的质量为kg x ，OB 的长为cm y ． (1) y 关于x 的函数关系式是________； (2)若0 40 y ，则x 的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B 处，使秤杆平衡．设 重物的质量为kg x ，OB 的长为cm y ，完成下列问题： (3) y 关于x 的函数关系式是________； (4)完成下表： / kg x … 0.5 1 2 4 … /cm y … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端5cm处确定第二个支点Q ．现有重物约16kg ，可选用支点O，Q 和秤砣M （1kg ）、N （2kg ）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为16 kg ．
